最新高三数学暑假预科讲义 第12讲 导数及其几何意义 拔高教师版

第12讲导数及其几何意义

目录

第12讲导数及其几何意义 (1)

考点1：导数基本知识 (1)

导数的概念和几何意义 (1)

典例精讲 (3)

考点2：导数运算 (6)

一、导数的运算 (6)

二、导函数与原函数的关系 (6)

典例精讲 (8)

综合练习 (10)

一．填空题（共1小题） (10)

二．解答题（共4小题） (10)

考点1：导数基本知识

导数的概念和几何意义

1. 函数的平均变化率：

已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1?x0，Δy=y1?y0=

f(x1)?f(x0)=f(x0+Δx)?f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)?f(x0)

Δx =Δy

Δx

称作函数y=f(x)

在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率．

2. 函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)?f(x0)．

如果当Δx趋近于0时，平均变化率Δy

Δx =f(x0+Δx)?f(x0)

Δx

趋近于一个常数l（也就是说平均变

化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．

“当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)?f(x0)

Δx

趋近于常数l可以用符号“→记作：“当Δx→0时，

f(x0+Δx)?f(x0)

Δx →l，或记作“lim

Δx→0

f(x0+Δx)?f(x0)

Δx

=l，符号“→读作“趋近于．函数在x0的瞬

时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是可导

的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)?f(x0)

Δx

→f′(x0)或

“lim Δx→0f(x0+Δx)?f(x0)

Δx

=f′(x0)．

3. 可导与导函数：

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成

一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）．

4. 导数的几何意义：

设函数y=f(x)的图象如图所示：

AB为过点A(x0,f(x0))与B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是Δy

Δx

=

f(x0+Δx)?f(x0)

Δx

，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割

线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即

lim Δx→0f(x0+Δx)?f(x0)

Δx

=切线AD的斜率．

由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．

5. 在点(x0，f(x0))处的切线方程与过点a，b的切线方程

(1)函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y?f(x0)=f′(x0)(x?x0)；

(2)函数y=f(x)过点(a，b)的切线方程

此时(a，b)可能是切点，也可能不是切点；

因此设切点为(t，f(t))，求出在(t，f(t))处切线方程y?f(t)=f′(t)(x?t)

代入(a，b)，得b?f(t)=f′(t)(a?t)，解出t，再代入y?f(t)=f′(t)(x?t)即可．

典例精讲

【典例1】（2019春?屯溪区校级期中）已知函数f （x ）在x 0处的导数为1，则lim △x→0f(x 0+2△x)?f(x 0)△x 等于（ ）

A ．2

B ．﹣2

C ．1

D ．﹣1 【分析】先将lim

△x→0f(x 0+2△x)?f(x 0)△x 进行化简变形，转化成导数的定义式f ′（x ）=lim x→0f(x+△x)?f(x)△x 即可解得．

【解答】解：lim △x→0f(x 0+2△x)?f(x 0)△x =2lim △x→0f(x 0+2△x)?f(x 0)2△x =2f ′（x 0）＝2

故选：A ．

【点评】本题主要考查了导数的定义，以及极限及其运算．

【典例2】（2018秋?龙岩期末）已知P 为函数y ＝lnx 图象上任意一点，点Q 为圆x 2+（y ﹣e 2﹣1）2＝1上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为 e √1+e 2?1 ．

【分析】圆x 2+（y ﹣e 2﹣1）2＝1的圆心坐标为：C （0，e 2+1）．y ＝lnx 对x 求导可得：y ′=1x ．设与曲线y ＝lnx 相切的切点为M （x 0，lnx 0），且满足CM 与切线垂直． 可得lnx 0?e 2?1x 0?1

x 0

=?1，解得x 0，进而得出答案． 【解答】解：圆x 2+（y ﹣e 2﹣1）2＝1的圆心坐标为：C （0，e 2+1）．

y ＝lnx 对x 求导可得：y ′=1x ． 设与曲线y ＝lnx 相切的切点为M （x 0，lnx 0），且满足CM 与切线垂直．

则lnx 0?e 2?1x 0?1

x 0

=?1， 化为：lnx 0+x 02?e 2﹣1＝0，

令g （x ）＝lnx +x 2﹣e 2﹣1在（0，+∞）上单调递增，且g （e ）＝0．

∴x 0＝e ．

∴切点为：（e ，1）．

∴线段PQ 长度的最小值=√e 2+(e 2+1?1)2?1＝e √1+e 2?1．

故答案为：e √1+e 2?1．

【点评】本题考查了导数的几何意义、直线与圆的位置关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

【典例3】（2018秋?天心区校级月考）已知实数a ，b 满足ln （b +1）+a ﹣3b ＝0，实数c ，d 满足2d ﹣c ?√5=0，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 1 ．

【分析】问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y ?√5上的两点之间距离的最小

值．利用导数的意义可得：与曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0相切，而与直线2x ﹣y ?√5平行的直线方程，即可得出．

【解答】解：问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y ?√5上的两点之间距离的最小值．

y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3?

1x+1，令3?1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．

点P 到直线2x ﹣y ?√5的距离l =√5|

√5=1．

∴（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力．

【典例4】（2018秋?东湖区校级月考）一物体做直线运动，运的路程s （t ）（单位：m ）与运动的时间t （单位：s ）满足：s （t ）=1

2t 3+t 2+3t ． （1）求该物体在第s 内的平均速度；

（2）求s ′（2），并解释它的实际意义；

（3）经过多长时间物体的运动速度达到19m /s ．

【分析】（1）根据平均速度的公式进行计算s(1)?s(0)

1?0即可；

（2）求函数的导数，利用导数的几何意义为瞬时速度即可；

（3）解导数方程s ′（t ）＝19，即可．

【解答】解：（1）1s 内的平均速度为

s(1)?s(0)1?0=12+1+3?01=92（m /s ） （2）s ′（t ）=32t 2+2t +3，则s ′（2）=32×22+2×2+3＝6+4+3＝13（m /s ），

即该物体在2s 末的瞬时速度为13（m /s ），

（3）由s ′（t ）=3

2t 2+2t +3＝19，得3t 2+4t ﹣32＝0，

即（t +4）（3t ﹣8）＝0，

得t ＝﹣4（舍）或t =83， 即经过8

3s 物体的运动速度达到19m /s ． 【点评】本题主要考查导数的定义以及导数的几何意义，根据平均变化率和瞬时变化率的公式是解决本题的关键．

【典例5】（2015?长春四模）已知函数f(x)=

1+lnx x ． （1）如果a ＞0，函数在区间(a ，a +12)上存在极值，求实数a 的取值范围；

（2）当x ≥1时，不等式f(x)≥k x+1恒成立，求实数k 的取值范围．

【分析】（1）因为f(x)=

1+lnx x ，x ＞0，x ＞0，则f ′(x)=?lnx x 2，利用函数的单调性和函数f （x ）在区间（a ，a +12）（其中a ＞0）上存在极值，能求出实数a 的取值范围．

（2）不等式f(x)≥k x+1，即为

(x+1)(1+lnx)x ≥k ，构造函数g(x)=(x+1)(1+lnx)x ，利用导数知识能求出实数k 的取值范围．

【解答】解：（1）因为f(x)=1+lnx x ，x ＞0，则f ′(x)=?lnx

x 2，（1分）

当0＜x ＜1时，f '（x ）＞0；

当x ＞1时，f '（x ）＜0．

所以f （x ）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f （x ）在x ＝1处取得极大值．

因为函数f （x ）在区间（a ，a +12）（其中a ＞0）上存在极值， 所以{a ＜1a +12

＞1解得12＜a ＜1． （2）不等式f(x)≥k x+1，即为

(x+1)(1+lnx)x ≥k ，记g(x)=(x+1)(1+lnx)x ， 所以g ′(x)=[(x+1)(1+lnx)]′x?(x+1)(1+lnx)x 2=x?lnx x 2

令h （x ）＝x ﹣lnx ，

则?′(x)=1?1x ，∵x ≥1，∴h '（x ）≥0，∴h （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴[h （x ）]min ＝h （1）＝1＞0，

从而g '（x ）＞0，

故g （x ）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g （x ）]min ＝g （1）＝2，

所以k ≤2．

【点评】本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．

考点2：导数运算

一、导数的运算

1. 导数公式表

2. 复合函数的导数

复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即 设y =f(u)，u =g(x)，则y ′x =f ′(u)?g ′(x)．

3. 导数的四则运算

(1)(f(x)+g(x))′=f ′(x)+g ′(x)，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和．

(2)(f(x)?g(x))′=f ′(x)?g ′(x)，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差．

(3)[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．

(4)[f(x)g(x)]′

=g(x)f ′(x)?f(x)g ′(x)

g 2(x)(g(x)≠0)，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．

二、导函数与原函数的关系

1．导函数的图像

对于非基本初等函数以及无法通过平移和伸缩做出图形的函数，可以采用考察特殊点与求导相结合的方法做出该函数的大致图像，考察特殊点可以研究该函数与坐标轴的交点，然后利用求导研究该函数单调性的方法得出函数的增减走向，进而大体勾画出函数的图像．

2、求导公式的逆用

导函数与原函数的关系密切透过导函数的符号可以反映原函数的增减性，据此，可以通过配凑等方法构造某一函数的导函数并判断其符号，进而得到原函数的增减性．

典例精讲

【典例1】（2019?渝水区校级模拟）已知函数f（x）＝x2+3f'（1）x，则f'（2）＝1．【分析】求导得f′（x）＝2x+3f'（1），令x＝1，则f′（1）＝2+3f'（1），求出f'（1）可得函数及导函数的解析式，将x＝2代入可得答案．

【解答】解：∵函数f（x）＝x2+3f'（1）x，

∴f′（x）＝2x+3f'（1），

令x＝1，则f′（1）＝2+3f'（1），

解得：f'（1）＝﹣1，

即f（x）＝x2﹣3x，f′（x）＝2x﹣3，

∴f'（2）＝1，

故答案为：1

【点评】本题考查的知识点是导数计算，方程思想，难度中档．

【典例2】（2018?南开区二模）函数y＝x cos x在x=π

3处的导数值是1

2

?√3π

6

．

【分析】利用导数的运算法则及导数的公式求出导函数，再令导函数中的x=π

3

，求出导数值．

【解答】解：y′＝x′cos x+x（cos x）′＝cos x﹣x sin x

所以y＝x cos x在x=π

3处的导数值是cosπ

3

?π

3

sinπ

3

=1

2

?√3π

6

故答案为1

2?√3π

6

【点评】求函数的导数值时，先根据函数的形式选择合适的导数运算法则及导数公式，再求导数值．

【典例3】（2018?广陵区校级四模）已知函数f0（x）＝e ax sin（bx+c），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．

（1）求f1（x），f2（x），f3（x）（利用公式a sin x+b cos x=√a2+b2sin(x+?)化简）；

（2）求f n（x）的表达式，并证明．

【分析】（1）根据已知中函数f0（x）＝e ax sin（bx+c），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．结合导数公式及辅助角公式，可得f1（x），f2（x），f3（x）；

（2）由（1）可猜想：f n（x）=(√a2+b2)n?e ax?sin(bx+c+n?)，利用数学归纳法，可

证明结论．

【解答】解：（1）∵函数f0（x）＝e ax sin（bx+c），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，

∴f1（x）＝ae ax sin（bx+c）+be ax cos（bx+c）=√a2+b2?e ax?sin(bx+c+?)，

f2（x）=(√a2+b2)2?e ax?sin(bx+c+2?)，

f3（x）=(√a2+b2)3?e ax?sin(bx+c+3φ)

（2）由（1）可猜想：f n（x）=(√a2+b2)n?e ax?sin(bx+c+n?)，

理由：当n＝1时，成立，

设n＝k时，成立，即f k（x）=(√a2+b2)k?e ax?sin(bx+c+kφ)，

则n＝k+1时，f k+1（x）＝f′k（x）

=(√a2+b2)k?e ax?asin(bx+c+k?)+(√a2+b2)k?e ax?bcos(bx+c+kφ)

=(√a2+b2)k+1?e ax?sin[bx+c+(k+1)?]，

即n＝k+1时也成立，

故f n（x）=(√a2+b2)n?e ax?sin(bx+c+n?)，

【点评】本题考查的知识点是导数计算，辅助角公式及数学归纳法．

【典例4】（2017秋?如东县月考）求下列函数的导函数．

（1）y＝（3x﹣2）3

（2）y＝log2（2x+1）

【分析】（1）（2）利用导数的运算法则即可得出．

【解答】解：（1）y'＝3（3x﹣2）2×3＝9（3x﹣2）2，

（2）y′=2

(2x+1)ln2

．

【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力．

【典例5】（2014春?高阳县校级月考）设f（x）＝（ax+b）sin x+（cx+d）cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′（x）＝x cos x．

【分析】根据求导的乘法法则，先对f（x）进行求导，再将导函数和所给函数进行比较，可得．

【解答】解：由已知f′（x）＝[（ax+b）sin x+（cx+d）cos x]′

＝[（ax+b）sin x]′+[（cx+d）cos x]′

＝（ax+b）′sin x+（ax+b）（sin x）′+（cx+d）′cos x+（cx+d）?（cos x）′

＝a sin x+（ax+b）cos x+c cos x﹣（cx+d）sin x

＝（a﹣cx﹣d）sin x+（ax+b+c）cos x．

又∵f′（x）＝x cos x，

∴必须有{a?d?cx=0

ax+b+c=x ，即{

a?d=0

?c=0

a=1

b+c=0

解得a＝d＝1，b＝c＝0．

【点评】导数是近年来高考中必考内容，解答题中一般可涉及到．考查的重点在于导数的几何意义和导数对函数性质的研究，当然导数的计算更是做题的前提．

综合练习

一．填空题（共1小题）

1．（2017春?朝阳区期末）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n （x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：

f（x1+x2+?+x n

n ）≥f(x1)+f(x2)+?+f(x n)

n

．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，

则f n（x）＝﹣sin x；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为2√3

3

．

【分析】构造函数f（x）＝sin x，x∈（0，π），求导，则f″（x）＝﹣sin x，由正弦函数的图

象可知f″（x）＜0成立，根据函数的性质sin x1+sin x2+sin x3≤3sin（x1+x2+x3

3

），即可求得sin x1+sin x2+sin x3的最大值．

【解答】解：设f（x）＝sin x，x∈（0，π），则f′（x）＝cos x，则f″（x）＝﹣sin x，x∈（0，π），

f（x）有如下性质：f（x1+x2+?+x n

n ）≥f(x1)+f(x2)+?+f(x n)

n

．

则sin x1+sin x2+sin x3≤3sin（x1+x2+x3

3）＝3×sinπ

3

=2√3

3

，

∴sin A+sin B+sin C的最大值为2√3

3

，

故答案为：﹣sin x，2√3

3

【点评】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．二．解答题（共4小题）

2．（2014春?灌云县校级月考）如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm2/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率．

【分析】作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答案．

【解答】解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ktce.html