2007-2013年广东省高考理科数学真题（有答案）

绝密★启用前 试卷类型：B

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合要求的． 1．已知函数f(x)?

11?x的定义域为M，g(x)?ln(1?x)的定义域为N，则M?N? B．xx?1 C．x?1?x?1

A．xx??1

??????D．?

2．若复数(1?bi)(2?i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数）则b＝

A．2

2 B．

1 2

C．?1 2 D．-2

3．若函数f(x)?sinx?

A．最小正周期为

1(x?R),则f(x)是 2B．最小正周期为?的奇函数

D．最小正周期为?的偶函数

4．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发．经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是

25．已知数?an?的前n项和Sn?n?9n，第k项满足5?ak?8，则k=

A．9 B．8 C．7

6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、?、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的

1

?的奇函数 2C．最小正周期为2?的偶函数

D．6

条件是

A．i<6 B． i<7 C． i<8 D． i<9

7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为

A．15 B．16 C．17 D．18

8．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是 A．（a*b）*a=a B．［a*(b*a)］*(a*b)=a C．b*(b*b)=b D．(a*b)* ［b*(a*b)］=b

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，

三题全答的，只计算前两题得分．

9．甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球． 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10． 若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120，则a?b? ． a＋a?11．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y?2px(p?0)的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．

12．如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝

; f(n)＝ ．（答案用数字或n的解析式表示）

13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

2??x?t?3(参数t?R)，圆的参数方程为C??y?3?t?x?2cos?(参数???0，2??)，则圆C的圆心坐标为 ，圆心到直?y?2sin??2?线l的距离为 ． 14．（不等式选讲选做题）设函数f(x)?2x?1?x?3,则f(?2)＝ ;若f(x)?5，则x的取

值范围是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O的直径AB?6，C为圆周

上一点，BC?3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则

∠DAC＝ ，线段AE的长为 ．

三、解答题：本大题共有6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

2

16．（本小题满分12分）

已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．

（1）若c?5，求sin∠A的值;

（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．

17．(本题满分12分)

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生 产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x

3 2.5 4 3 5 6 4.5 y 4 （1）请画出上表数据的散点图；

??a?； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y?bx （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性 同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：3?2.5?4?3?5?4?6?4.5?66.5） 18．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点

x2y2O．椭圆2?＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．

9a（1）求圆C的方程．

（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分） 如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．记 BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积．

（1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值

3

20．（本小题满分14分）

已知a是实数，函数f(x)?2ax?2x?3?a．如果函数y?f(x)在区间[?1,1]上有零点，求a的取值范围． 21．（本小题满分14分）

2已知函数f(x)?x?x?1，?、?是方程f(x)?0的两个根（???），f?(x)是f?x?的导数，

2设a1?1，an?1?an?f(an)，(n?1,2,?)． f?(an)（1）求?、?的值；

（2）证明：任意的正整数n，都有an??； （3）记bn?ln

an??，(n?1,2,?)，求数列{bn}的前n项和Sn．

an??2007年普通高等学校全国招生统一考试 （广东卷）数学（理科）参考答案

一、选择题

题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 B 6 C 7 B 8 A

二、填空题

n?n?1?n?n?1??n?2?1159． 10． 11．x?? 12．，12,

22924?13．（0，2），22 14．6，??1,1? 15．30 ，3

三、解答题 16．解：（1）∵A?3,4?，B?0,0?，

∴AB?5，sinB?4． 5当c?5时，BC?5，AC?根据正弦定理，得∴sinA??5?3???0?4?，

22?25，

BCsinA?ACsinB25． 54

（2）∵A?3,4?，B?0,0?，C?c,0?， ∴AB?5，AC??c?3?2?42，BC?c．

222根据余弦定理，得cosA?AB?AC?BC2ABAC22．

2若?A为钝角，则cosA?0，即AB?AC?BC?0， 即52???c?3??42??c2?0，

2??解得c?25． 3

17．解：（1）如下图

76543210012产量（2）

能耗345

i?1?xiyi＝3?2.5＋4?3＋5?4＋6?4.5＝66.5，

nx＝

3?4?5?6＝4.5，

42.5?3?4?4.5y＝＝3.5，

4n2?xii?1?32?42?52?62?86，

b＝

66.5?4?4.5?3.5?0.7， 286?4?4.5a＝3.5－0.7?4.5＝0.35．

故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35．

（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7?100＋0.35＝70.35，

5

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