浅谈初中数学几何证明题解题方法

浅谈初中数学几何证明题解题方法

内容摘要：几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤：审题，寻找证明的思路，书写证明过程

关键词：几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线

初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段，几何证明，是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触，会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”，丧失了信心，以至于几何越学越糟。为此，我根据自己几年的数学教学实践，就初中数学中几何证明题的一般结构，解题思路进行初步探讨。

学好几何证明，起步要稳，要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构

初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分（即前提和结论）组成。已知条件是几何证明的前提，指题目中用文字和符号直接给出的明确条件，也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标，就是根据题目给出的已知条件，利用数学中的公理、定理、性质，用合理的推理形式推导出的最后结果，而且只能出现在证明过程的最后。

例如：如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M． 求证：△ABC≌△DCB ；

A D

M B C

N

已知条件：文字给出的有：△ABC和△DCB，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M 图形给出的有：BC=CB,∠BMA与∠CMD是对顶角等等 求证目标是：△ABC≌△DCB 注意，已知条件除了上面列出的，就没有其它的了，不可随意出现AM=DM ,BN=CN等等

二、做几何证明题的一般步骤 （一）、审题

审题就是读题，这一步是解决几何证明题的关键，非常重要。许多学生读几何证明题时讲快，常常忽略了题目中蕴含的重要信息。和读其它类型的题有所不同，读几何证明题要求

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图文对照，做到心中有几何基础知识，一边读题一边对照几何图形，要求每读一句题对照图形一次，读懂而且要读完整。审题的过程中，明确已知条件有哪些，才能在后面的证明中有材料可用；找到求证的目标是什么，才能在后面的证明中有的放矢。 （二）、寻找证明的思路

几何证明就是根据题目中的已知条件、利用数学公理、定理、法则、公式、图形性质等说明结论正确性的过程。许多学生，遇到几何证明题时，无从下手，茫然不知所措，根本原因就是证明思路不明确。寻找证明的思路，有以下几种方法可供参考： 1.执因索果法

执因索果，是指由已知条件出发，经过逐步推导得出求证目标成立的方法，即由可知逐步推向未知,最后得出求证的目标。

例如：AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BD＝DC。 求证：BE＝CF

思路：由已知中的“ AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F”，根据

“角平分线上的点到角两边的距离相等”和“垂直的定义”可以得出：DE=DF,∠E=∠DFC＝90°.又加上已知中的“BD＝DC”可证明“△BDE≌△DCF ”(HL),又根据“全等三角形的对应边相等”即可推出求证目标：BE＝CF成立。

2.执果索因法

执果索因，也叫“逆推法”，就是由未知到已知的方法，指由题目中要求证明的结论开始，逆向寻找使结论成立的各种可能条件，层层假设层层寻找，最后找到已知条件。 例如：如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB． 求证：∠ABE=∠EAD；

思路：要证明∠ABE=∠EAD，只需∠EAD=∠AEB；要∠EAD=∠AEB，只需AD∥BC；要AD∥BC只需四边形ABCD是平行四边形（已知条件）；要∠ABE=∠AEB，只需AE=AB（已知条件）。 3.因果互推法。

因果互推，俗称“两头凑”，即执因索果法和执果索因法的综合运用。即由已知条件出发，联系基础知识和基本经验，推出可能得出的所有结果；又从证明的结论出发，逆推使

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结论成立的条件，在前面的“结果”和逆推条件中找到共同点，从而找到证明思路。

例如：如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB的中点，点P是线段CD上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F． 求证：∠CAE?∠CBF。 C

FE

思路： 执果索因：要使求证目标∠CAE?∠CBF，只需P△CAP≌△CBP ;

执因索果：由已知“AC=BC，D是AB的中点”可知：CD平分∠ABC(三线合一)，即∠ACD=∠BCA.由图可知：CP=CP(公共边),则△CAP≌△CBP（SAS）.由△CAP≌△CBP建立了已知和未知

BAD的联系，从而本题得证。 4.添加辅助线法

有的几何证明题，就题目所给已知条件及图形所给条件无法建立已知和求证的联系时，此时，可以尝试添加辅助线，帮助解题。常用辅助线有：连接两点，延长线段，取中点并连接，作平行线、垂线，作对称点并连接，作圆等。

例如：如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，且E是BC的中点，求证：AD=AB+CD

证法一：延长AE交DC延长线于点F ∵AB∥CD（已知） ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF（两直线平行，内错角相等） ∵E是BC的中点 （已知） ∴BE=CE（中点定义） 在△ABE和△CEF中

A B

? ? BAE= ?F ? ? ?B=? ECF（已证）

?BE=CE? ∴△ABE≌△CEF（AAS）

∴AB=CF (全等三角形性质) ∵AE平分∠ABD（已知）

∴∠BAE=∠DAE（角平分线性质） ∵∠BAE=∠F（已证） ∴∠DAE=∠F（等量代换） ∴AD=DF（等边对等角） ∵DF=DC+CF（已知） CF=AB（已证）

∴AD=AB+DC（等量代换）

证法二：取AD中点F，连接EF ∵AB∥CD，点E是BC的中点（已知） ∴EF是梯形ABCD的中位线

D

E C

F

A B

F E

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D C

∴EF∥AB , EF=

1（AB+CD）（梯形的中位线性质） 2 ∴∠BAE=∠AEF（两直线平行，内错角相等） ∵AE平分∠BAD（已知）

∴∠BAE=∠FAE（角平分线性质） ∴∠AEF=∠FAE（等量代换） ∴AF=EF（等边对等角） ∵AF=DF（已作）

1AD（中点定义） 211 ∴ (AB+CD)= AD（等量代换）

22 ∴EF=AF=FD=

∴AD=AB+CD

如果给出的题目只有一句话（即一个命题）时，则需要根据题目画出辅助图形，借以思考和证明。不管添加辅助线还是辅助图形，必须用数学语言加以说明。 （三）、书写证明过程 1.证明的结构和形式

书写证明的过程就是逻辑推理的过程，一段推理通常采用“因为”“所以”的形式进行，即用“∵”“∴”的形式呈现。“∵”后接条件，“∴”后接由条件直接得出的结论。整个证明过程就是由许多段“∵”“∴”组成，每段推理都为证明的结论准备条件。 2.推理中条件和结论的个数

（1） 一个条件推出一个结论 如：∵∠ABC=90° ∴AB?BC

（2）一个条件推出多个结论 如：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AB=CD,AD∥BC,AD=BC （3）几个条件推出一个结论

如上图， ∵AB=DE, ∠A=∠D

AC=DF ∴ △ABC≌△DEF(SAS) 3.条件和结论的要求和关系

“∵”后接的条件来源必须准确可靠，只能是题目中明确给出的已知或图形中直接给出的信息或前面推导得出的结论，不可臆造，更不可无中生有；作为推理前提，“∵”后接的条件必须充分，即根据相关数学基础知识足以推出后面所需结论。“∴”后接的结论，只能由前面的条件直接推出，即结论只能由前面的条件根据数学公理、定理等最直接推出。一个推理中的条件和结论只能是最直接的因果关系。

如果前面得出的结论又可以进一步得出后面所需要的结果，可以连续使用“∴”进行推

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理。如果一个推理可以得出几个结论时，只写出马上要用或者后面将要用到的。后面用不到的结论，虽然可以得出，但不必写出。

例如：已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足

为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。 求证：（1）△ABC≌△DEF； （2） GF＝GC。

证明：（1）∵AB⊥BE，DE⊥BE.（已知） ∴∠B=∠E==90°（垂直的定义） ∵BF＝CE.（已知）

∴BF+FC＝CE+FC（等式性质） 即 BC=EF

在△ABC和△DEF中 ∵ AB＝DE（已知） ∠B=∠E（已证） BC=EF（已证） ∴△ABC≌△DEF（SAS） （2）∵△ABC≌△DE（已证）

∴∠ACB=∠DFE(全等三角形性质) ∴GF＝GC(等角对等边)

初中几何证明是初中数学的重要组成部分，学会初中数学几何证明题的解题方法，是学好初中数学的关键。要学好初中数学，不但需要有扎实的基础和科学的方法，需要良好的数学学习习惯，还需要有敢于尝试、不怕挫折的勇气，更需要有吃苦耐劳、持之以恒的精神。以上只是个人总结的点滴经验，希望对大家有所帮助。如有不妥或错误之处，期待指正。

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