理论力学 计算题

理论力学复习题(计算题)

一、分析力学部分

半经为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，

4?c2?2r2?一端在碗外，在碗内的长度为c，试用虚功原理证明棒的全长为：l?

c

?解：建坐标如图示，棒受主动力为重力，作用点在质心c上，方向竖直向下，即P??mgj

???l??由虚功原理得 ??AF???mgj????xi??yj???mg?y?0 由图可知y???c??sin?

2??又由几何关系知sin??4r2?c2l?4r2?c2? 所以y???c??

2r2?2r??4r2?c2l?11??y????c??c??4r2?c22r2?2r2???对c求变分得

??1?12???2c?c????

4r2?c2??24r2?c2?c?2c?l??c4r????4r2?c224r2?c2?c?2c?l??c?0 代入虚功原理得mg?4r????由于?c?0 故24r?c?22??c?2c?l??0

4?c2?2r2?整理得l?

c

六．五根长度相同的匀质杆，各重为P用铰连接，与固定边AB成正六边形，设在水平杆的中点施力F以维持平衡，用虚功原理求力F之大小？

解：设六边形边长为a，建坐标系如图，取角?为广义坐标

由虚功原理得：

??AF?2p?y1?2P?y2?P?y3?F?y3?0

aa3acos?,y2?acos??cos??cos?,y3?2acos? 222a3a变分?y1??sin????，?y2??sin????，?y2??2asin????

22由几何关系知 y1?代入虚功原理

?a??3a?2P??sin?????2P??sin?????P??2asin?????F??2asin???? ?2??2???6Pasin????2Fasin??????6P?2F?asin????0由于?的任意性，sin??0,???0

所以 F?3P

等边六角形连杆铅直放置，各杆间用光滑铰链连接，底边固定不动，C、D点用绳拉紧，连杆AB中点受力Q作用，已知平衡时∠ACD=α，试用虚功原理求平衡时Q与绳内张力T之间的关系？

解：设六边形边长为a，建坐标系如图，取角?为广义坐标

由虚功原理得：

??AF??Q?y1?T?xC?T?xD?0

aa?acos?),xD??acos? 22由几何关系知 y1?2asin?,xC??(

变分?y1?2acos????,?xC?asin????,?xD??asin???? 代入虚功原理

?Q2acos?????Tasin?????Tasin?????0

(?Qcos??Tsin?)2a????0由于的?任意性，???0 所以Q?Ttan?

如图所示平面机构有五根长度相同的匀质杆与固定杆AB组成一正六边形，杆AF中点与杆BC中点有一刚度系数为k的水平弹簧相连，已知各杆长度用弹簧原长均为l，其重量与各铰接处摩擦均不计，若在ED中点作用一铅垂力F，则此机构平衡时角?的大小为多少。

解：以AB杆中点为原点建立坐标系，ox轴沿AB方向，oy轴竖直向上。解除弹簧约束以力T1、T2代替。由由虚功原理得：

??AF?T1?x1?T2?x2?F?YF?0

llll?cos?),x2??cos? 2222ll变分得?yF?2lcos????,x1?sin????,x2??sin????

22由几何关系知 yF?2lsin?,x1??(代入虚功原理T1?sin??????T2??又T1?T2?k?x?k?2??l?2???l?sin??????F?2lcos??????0 ?2?lcos??klcos? 2klcos??lsin?????2Flcos?????0,?klsin??2F????0

由于???0 故??arcsin??2F?? ?kl?图示系统，均质轮C质量为m1，半径为R1，沿水平面作纯滚动，均质轮O的质量为m2，半径为R2，绕轴O作定轴转动。物块B的质量为m3，绳AE段水平。系统初始静止。

求：（1）轮心C的速度?C、物块B的加速度?B； （2）两段绳中的拉力。（20分）

解，以整体为研究对象，设物块B的速度为?B，加速度为aB，如图

则有 ?0??B系统的动能为

R2，?0?aBR2，?C??CR1??B2R1

T? ?1111222mB?B?J0?0?m1?C?Jc?c2 22223m1?4m2?8m32??

16理想约束不作力，受力的功率为

P?m3g?B

应用功率方程：

dT?P dt3m1?4m2?8m3?aB??B?m3g??B

8

得 aB?进而得

8m3g

3m1?4m2?8m3aC?4m3g1aB? 23m1?4m2?8m3再以物块B为研究对象，受力如图，由质点的运动微分方程

m3g - FT1 = m3aB

得

FT1?m3g?m3aB?3m1?4m2?m3g

3m1?4m2?8m3绕最后勤部轮O为研究对象，受力如图，由刚体定轴的转动微分方程

J0??0?FT1R2?RT2R2

得

FT2?3m1m2g

3m1?4m2?8m3图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦的滑动。质量为m2的均质圆柱体O沿三棱柱体的斜面AB向下作纯滚动，斜面倾角为?。以x和s为广义坐标，用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，并求出三棱柱体的加速度（用其他方法做不给分）。（15分）

解：以三棱柱体ABC的水平位移和圆柱体O沿三棱柱体的斜面滑动位移S为广义坐标，以y = AC处为势能整点动能与势能为系统

11122 m1?2?m2?0?J0??0222?1111s?2?m2(x?2?s?2?2x?s?co? ?m1xs)??m2r2?()2 2222r13?2?m2s?2?m2x?s?co? ?(m1?m2)?xs

24T?V??m3gssin? （常数略去）

该系统为保守系统，拉格朗目日函数为

L?T?V?m1?m223??m2s?2?m2x?s?cos??m3gs?sin? ?x24由第二类拉格朗日方程

m?m2d?L?L??m2??cos??0 ?2?xs()??0，1?2dt?X?Xd?L?L3??m2??cos??m2gsin??0 ()??0，m2?2?sx??Sdt?S4整理得

??m2??cos??0 ……① (m1?m2)?xs3?????cos??gsin??0 ……② sx2取关立（1）（2）两式，得

m2gsin2??? a??x23m1?(3?2cos?)m2

第一章质点力学

?????0点沿空间曲线运动，在点M处其速度为v?4i?3j ，加速度a与速度v夹角??30，

且a?10m/s。求轨迹在该点密切面内的曲率半径?和切向加速度a?。

2

???答：由已知条件v?4i?3j得

v?42?32?5m/s 法向加速度an?asin300?5m/s2 v2则曲率半径???5m 切向加速度 a??acos300?8.66m/s2

an一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角?与其经过的那段圆弧对应的圆心角?之间有如下关系tan??2?

证明：设点M沿半径为R的圆作圆周运动，t时刻走过的路程为AM=s，速度为v，

对应的圆心角为?。由题设条件知

anv2tan????????a?a?Ra?a??dvdv?v?C?????b?dtds2

C为常数 积分(b)式得

?vdv??a?ds 所以v00vs?2a?s????c?

将（c）式代入（a），并考虑s?R?，所以tan??2?

质点M的运动方程为x?3t(m),y?2t(m) 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小。

2??3(m),y??4t?4(m) 所以有v?解：由于xss又：v??2?y?2?9?16?5mx?s?

?2?y?2?9?16t2 则x32t2?9?16t1221122?1???9?16t??32t?at?v2??3.2m?s?

???0,???4m,a???2???2?4mxyxyss

222an?a?at?16?3.2?2.4ms点M沿半径为R的圆周运动。如果

??????an??K(K为已知常数），以初始位置为原点，a?原点初速度为v0。求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。

andvv2?a?????解：设点的初始位置为A。依题意 dtKKR积分上式

RKv011tdv1tv???? 得 ??dt?v0v2KR?0v0vKRKR?v0tv则弧坐标形式的运动方程为s?KRv0v0t??dt?KRln1??? ?0KR?k0t?KR?t当v?v0KR时t?

v02?为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。一质点沿圆滚线s?4asin?的弧线运动，如?式中?为圆滚线某点P上的切线与水平线（x轴）所成的角度，s为P点与曲线最低点之间

的曲线弧长。

解：因s?4asin? 故v?ds?cos??4a?cos? ?4a?dt???=常量（题设） 式中?v2dvds2??4a?sin? an??4acos? 又a?? 而???dtd?16a2?2cos2???4a?2cos? 所以an??4acos?故a?2a?2?an?4a?2sin2??cos2??4a?2=常数 结论得证

v2

设质点沿螺旋线x?2sin4t,y?2cos4t,z?4t运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。

解：因x?2sin4t,y?2cos4t,z?4t

??8cos4t?4y,y???8sin4t??4x,z??4 故x所以v??2?y?2?z?2?4x2?y2?1?45 x??4y???16x,????4x???16y,???0 又?xyz所以a?又a????2???2???2?16x2?y2?32 xyz??2yy?dv12xx4xy?4xy?4??4??0

22dt2x2?y2?1x?y?122所以an?a?16x?y?32

v280而????2.5

an32小环的质量为m。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x4ay，试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。 质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。

2?????证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢r与力F共线，则有M?r?F?0

所以质点的动量矩守恒，即J?C

????C1..........??zyJx?m?yz..(1)??xz???C2.............(2) 其分量式为jy?m?zx??yx???C3..........Jz?m?xy...(3)由x?(1)?y?(2)?z?(3)得到C1x?C2y?C3z?0

由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。

一物体质量m=10kg ,在变力F?10(1?t)N作用下运动。设物体初速度v0?0.2m/s，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？

（知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题

dv?F 得 解答：由mdt再积分

s?dv??10(1?t)dt 积分得 v??5tv00vt2?10t?0.2(m/s)

t5322ds?(?5t?10t?0.2)dt 得 S??t?5t?0.2t(m) ?0?03

由 v??5t?10t?0.2?0 解得 t?2.02s 再代入前式得 S=7.07 m 质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量v与加速度矢量a正交。

??证明：采用自然坐标系，由题意知v?c? c为常量

2??????dvd?dc?d?d?于是有a? ?(c?)???c?cdtdtdtdtdt??d??n 又在自然坐标系中??dt????dvd??dc?d?d??n 所以a??(c?)???c?c?c?dtdtdtdtdt????由于??n 故a?v 得证

12动点M以匀速v?5(m/s)沿轨迹y?x运动，求当x?2m时动点M的速度沿x和y分

3量的大小，以及M的加速度

2?2?y?2?25..........(1) 解：由v?x1224??x?........(??xx?而x?2m时yx求导数得y2)

333162?2?x??25. （2）代入（1）得x9根据y???4(m./s) ??3(m/s)代入（2）得y整理得x又a??dv22?an即a?an ?0 则a2?a?2?andt1222(1?y?) 而根据y?x微分得y??x,y??? 当 x?2m时

333y??232又由数学知识知??y??42,y??? 3332331625125(1?)2()22(1?y?)1259??9?27?所以有??

222??y18333故a?an?v2??25?3.6(m/s2) 12518

???????322某力场的力矢为F?(2xy?z)i?xj?3xzk 其中i,j,k分别为x,y,z轴的单位矢，

试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。 解

：

?i????F??x2xy?z3

?j??yx2?k??(3xz2)?(x2)??i?(??z?y?z23xz???(2xy?z3)?(3xz2)??j???z?x??

???(x2)?(2xy?z3)????22 +k????i(0?0)?j(3z?3z)?k(2x?2x)?0

?x?y??故力场为保守力场。

?U?2xy?z3??????(1)?x?U由 Fy???x2?????????(2)

?y?UFz???3xz2????????(3)?zFx??（1） 式积分得：U??xy?zx?f(y,z)?????(4) 对（4）式求偏导数得：

23?U??f(y,z)???f(y,z)???x2???x2 即?0 ?y?y?y23上式得：f(y,z)?g(z) 代入（4）式得：U??xy?zx?g(z)??????(5) 对（5）式求偏导数得：?U??g(z)???g(z)???3xz2???3xz2即?0 积分得：g(z)?c ?z?z?z23代入（5）式得：U??xy?zx?c 取x?0,y?0,U?0 则c?0 所以势能函数为 U??xy?zx

某力场的力矢为Fx?6abzy?20bxy,Fy?6abxz?10bxy,Fz?18abxyz 试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。

解

：

33234223?i????F??xFx?k??Fz?Fy????Fx?Fz????Fy?Fx????????i?????j??????k?z??y?z???z?x??x?y??FZ???22223333?(18abxz?18abxz)i??18abzy?18abzy?j??6abz?40bxy?6abz?40bxy?k?0?j??yFy

故力场为保守力场。

?U?6abz3y?20bx3y2??????(1)?x?U由 Fy???6abxz3?10bx4y??????(2)

?y?UFz???18abxyz2????????(3)?zFx??对（1）式积分得：U??6abzyx?5bxy?f(y,z)?????(4) 对（4）式求偏导数得：

342?U??f(y,z)???6abz3x?10bx4y???Fy??6abxz3?10bx4y ?y?y即

??f(y,z)??0上式得：

?yf(y,z)?g(z) 代入（4）式得：

U??6abz3yx?5bx4y2?g(z)?????(5)

对（5）式求偏导数得：即

??g(z)??0 积分得：g(z)?c代入（5）式得： ?z?U??g(z)???18abz2xy???Fz??18abxyz2 ?z?zU??6abz3yx?5bx4y2?c??????(6)

取x?0,y?0,z?0,U?0 则c?0 所以势能函数为U?5bxy?6abxyz

423Fx?a11x?a12y?a13z已知作用于质点上的力为Fy?a21x?a22y?a23z

Fz?a31x?a32y?a33z式上系数aij(i,j?1,2,3)都是常数，问这些aij满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。

解：要满足势能存在须使力场为保守力场，既力场的旋度为零，

?所以??F?0

?Fy?Fx?a12??a21 即?y?x?Fx?F?a13?z?a31 ?z?x

?Fy?z?a23??Fz?a32 ?y即势能存在aij满足条件是：a12?a21 a13?a31 a23?a32

?V.............(1)?x?V由Fy?a21x?a22y?a23z??............(2)

?y?VFz?a31x?a32y?a33z??.............(3)?zFx?a11x?a12y?a13z??（1）式积分得V??1a11x2?a12yx?a13zx?f(y,z)........(4) 2（4）式对y偏微分=（2）式得

?V?f(y,z)??a12x???a12x?a22y?a23z ?y?y即

?f(y,z)??a22y?a23z...........(5) ?y1a22y2?a23zy?g(z)............(6) 21122（6）式代入（4）式得V??a11x?a12yx?a13zx??a22y?a23zy?g(z)........(7)

22（5）式积分得f(y,z)??（7）式对z偏微分=（3）式得

?V?g(z)??a13x?a23y???a13x?a23y?a33z ?z?z?g(z)即??a33z...........(8)

?z12（8）式积分得g(z)??a33z?c............(9)

2（9）式代入（4）式得

111V??a11x2?a12yx?a13zx??a22y2?a23zy?a33z2?c........(10)

222取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能为

111V??a11x2?a12yx?a13zx??a22y2?a23zy?a33z2222

1??(a11x2?a22y2?a33z2?2a12xy?2a23zy?2a31zx)2????某力场的力矢为F?xi?yj?zk

试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。

?i??解：由于??r??xFx

?j??yFy?k???Fz?Fy????Fx?Fz????i??????z??y?z???z?xFz????Fy?Fx???j????x??y??k?0 ???故力场为保守力场

??VF???x.............(1)?x?x??V?由?Fy???y.............(2)

?y??F???V?z..............(3)z??z?x2?f?y,z?????4? 积分（1）式得V??2y2?V?f?y,z????y 积分得f(y,z)???g?z?????5? （4）式对y偏微分=（2）式得

?y?y2x2y2??g?z?????6? 代（5）入（4）得V??22z2?V?g?z?（6）式对z偏微分=（3）式得???z 积分得g?z????c????7?

2?z?zx2y2z2???c 代（7）入（6）得V??222x2y2z2?? 取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为V??222???有一质点在xy平面上运动，质点受到的力为F?(x?y)i?(x?y)j，质点在平面上由点

?A（1,0）沿直线运动到点B（1,1）,求力F所作的功

解法1：由功的定义计算

W??BA??BBF?dr??(Fxdx?Fydy)??(x?y)dx?(x?y)dy

AA又x?1,dx?0

所以

W??BA??BB1F?dr??(Fxdx?Fydy)??(x?y)dx?(x?y)dy??(1?y)dyAA011?(y?y2)1?022B

解法2：由功的定义计算

??B(1,0)(1,1)112(1,1),0)W??F?dr??(Fxdx?Fydy)??(x?y)dx??(x?y)dy?(x2?xy)((1?(xy?y)(1,0)1,0)AA(1,0)(1,0)2211?1??22或

??BB(1,1)11W??F?dr??(Fxdx?Fydy)??(x?y)dx?(x?y)dy??d(x2?xy?y2)AAA(1,0)22

1212(1,1)1111?(x?xy?y)(1,0)?(?1?)??222222B解法3：由保守力性质计算

???ijk??????Fz?Fy??r??????x?y?z??y?zFxFyFz???(0?0)i?(0?0)j?(1?1)k?0????Fx?Fz??i???z??x??????Fy?Fx???j????x??y??k ????故力场F为保守力场

??VF???x?y.............(1)?x?x??V??x?y.............(2) ?Fy???y??F???V?0..............(3)z??z?x2?xy?f?y?????4? 积分（1）式得V??2（4）式对y偏微分=（2）式得

?V?f?y???x???x?y ?y?y

积分得f(y)?12y?c????5? 2x2y2??xy?c????6? 代（5）入（4）得V??22x2y2??xy 取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为V??22则由保守力与功的关系可知

11111111W??(V2?V1)?V1?V2?(?x2?y2?xy)(1,0)?(?x2?y2?xy)(1,1)???(???1)?22222222Fx?x?2y?z?5设作用于质点上的力场的力矢为Fy?2x?y?z

Fz?x?y?z?6求此质点沿螺旋线x?cos?,y?sin?,z?7?运行，自??0至??2?时力场所作的功 解：由保守力性质计算

???ijk??????Fz?Fy??r?????x?y?z??y?z?FxFyFz???(1?1)i?(1?1)j?(2?2)k?0????Fx?Fz????Fy?Fx????i???z??x?j????x??y??k

??????故力场F为保守力场

??VF???x?2y?z?5.............(1)?x?x??V?F???2x?y?z.............(2) ?y?y??F???V?x?y?z?6..............(3)z??z?x2?2xy?xz?5x?f?y,z?????4? 积分（1）式得V??2（4）式对y偏微分=（2）式得

?V?f?y???2x???2x?y?z ?y?y积分得f(y,z)??12y?zy?g(z)????5? 2x2y2??2xy?xz?5x?yz?g(z)????6? 代（5）入（4）得V??22

（6）式对z偏微分=（3）式得

?V?g?z???x?y???x?y?z?6 ?z?zz2?6z?c????7? 积分得g?z???2x2y212??z?2xy?xz?5x?yz?6z?c????6? 代（7）入（6）得V??222取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为

x2y212V????z?2xy?xz?5x?yz?6z????6?

222又由x?cos?,y?sin?,z?7?知当??0时x?1,y?0,z?0；

??2?时x?1,y?0,z?14?

则由保守力与功的关系可知W??(V2?V1)?V1?V2121212111x?y?z?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,0)?(?x2?y2?z2?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,14?)22222211111?(??5)????(14?)2?14??5?84?????5??98?2?14??5?84??98?2?70?22222?(?有一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数c，试证明在此情形下，

v3加速度的量值可用下式表示a?

c???y??x??c.................(1) 证明1：由v?x （1）式求导得v22222dv??c,???0，故??????ax? （因y??a） y?xxxdt?av2?c2dvax??........... 由此得出dtvv?v2??dv?2222?....(3) 又a?????a?an?a????..........dt?????a2(v2?c2)v222?a?() （2）=（3）得2?vv3整理得a? 结论得证

c?证明2：

22

??c,???0，故有a?axi 如图设v与y轴夹角为α，则由yyv2.............(1) 由图示几何关系知an?acos?? 即a???cos?又vy?vcos??c 则有cos????v2c...........(2) vv3（2）代入（1）得a? 结论得证

c?

33、船得一初速v0 ，在运动中受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，而比例系数为km，其中m为船的质量。问经历多长时间船速减为其初速的一半。（15分） 解：由题意知 阻力为f?kmv 则船的运动方程为m2?dvdv??kmv2 即 2??kdt dtvv而t?0时v?v0 设船经历时间为t时，v?0 积分上式得

2?v02v0v?2dv??k?dt 即

0t?21???????kt ?v0v0?从而得t?1 kv0质点M在力X?Psin?t的作用下沿x轴作直线运动，在初瞬时t?0,v?v0，x?x0。 求质点的运动方程。

??F?X?Psi?t解：由mvn m(v?v0)?

x积分

?vv0mdv??Psin?tdt ，得

0tP???v?v0?(1?co?ts) 即 xP(1?co?st) 积分 m?t?PPP?dx?0v?(1?cos?t)dtx?x?(v?)t?sin?t 得000?x0?0?2?m?m?m???

点在xy平面内运动，当0≤x≤4时，点的轨迹为y?3?1?cos3???x??，当x＞4时，轨迹为水4?平线（如图示）。点的x坐标按规律x?t?3t变化，式中x以毫米计，t以秒计。求当t=2秒时，点的位置、速度和加速度。

3解：当t=2秒时, x?t?3t?8?6?2mm，y?3?1?cos???x??????3?1?cos??3mm 4?2?????所以点的位置坐标为 r?2i?3j?mm?

??3t2?3?9mm,y??3又 x故速度为

??x????3sin?9?21.2?mm? ?sin?xss4442???v?9i?21.2j?mm?

s????6t?12mmx?s2?

???y3???x3??x3??x3????cos?x???????xsin??xsin??x?sin?12?28.3mm2

s444444442???所以加速度为：a?12i?28.3jmm2

s????2v2g41、质量m=g kg的质点，在不均匀的介质中作水平曲线运动，阻力大小按规律F?变

3?s化，其中vo 速度，s为经过的路程，g为重力加速度。设t=0时，v0?5m,s0?0，求质点经

s过的路程与时间的关系。

d2s2v2g解：质点运动微分方程在切线方向的投影式为：m2?? 由于m=g kg

3?sdtd2s2v2d2sdvdvdsdvdv2v???v代入上式得所以有2?? 由于2? ??3?sdtdsdtdsdtdtds3?s分离变量

dv2ds2d?3?s? ????v3?s3?s

sd?3?s?dv 即lnv?ln5??2?ln?3?s??ln3? ??2?0v3?s积分得

?v5v?3?s?v3?s或ln??2ln 同取以e为底的对数 ???535?3?因此得v?s?2?9?3?s?2

45?3?s?2 或

tds452??3?sd?3?s??45dt ? 分离变量2dt?3?s?积分

123????3?sd3?s?45dt 即 ??3?s?0?03?9?45t

?3?s?3?135t?27?27?5t?1? 开立方得3?s?335t?1

故s?335t?1?1

??已知点的运动方程, 求其轨迹方程, 并自起始位置计算弧长, 求出点沿轨迹的运动规律. (1) x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2 (2) x=5cos5t2 , y=5sin5t2 (3) x=4cos2t, y=3sin2t

解（1）由x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2…….（1） 两式相除得?xy4?2t8?4t4(2?t)4??? 3?1.5t6?3t3(2?t)3所以轨迹方程为y?x是一直线方程

??4?4t?4(1?t),y??3?3t?3(1?t)............(2)x得 ????4.????3......................(3)xy34?2?y?2?16(1?t)2?9(1?t)2?5(1?t) 所以速度为v?x?2???2?16?9?5 全加速度为a??xy而切线加速度为a??dv??5，法线加速度an?a2?a?2?0 dt由此说明质点作匀减速直线运动。 （2） 由x=5cos5t2 , y=5sin5t2…….（1）

得轨迹方程为x2?y2?25是一圆的方程，其半径R=5 由（1）式得

???50tsin5t2,y??50tcos5t2.........(x2)

?2?y?2?2500t2(sin25t2?cos25t2)?50t..........所以速度为v?x(3)

切线加速度为a??dv?50 说明质点作匀加速圆周运动 dtv22500t2?500t2 法线加速度为an???5?2???2?2500?250000t4?501?100t4 全加速度为a??xy

（3） 由x=4cos2t, y=3sin2t…….（1）

x2y2得轨迹方程为??1为一椭圆方程

169由（1）式得所以速度为

???8sin2t,y??6cos2t.......(2)x

????16cos2t,????12sin2t......(3)xy?2?y?2?64sin22t?36cos22t?216sin22t?9cos22t..........v?x(3)

全加速度为

?2???2?(?16cos2t)2?(?12sin2t)2?416cos22t?9sin22t.......(a??xy4)

如图6 -1 所示, 半径为R 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动, 已知轮心C 的速度是常量u , 求轮缘上一点M 的轨迹, 速度和加速度及轨迹的曲率半径.

图6-1

解 将M点与地面的接触时的位置作为直角坐标系的

原点O , 并建立直角坐标系如图所示, 经过时间t, M 点的坐标为: x

= ut - Rsinφ y = R - Rcosφ

因轮纯滚动, 线段O D 与弧长D M 相等,

??DMutR?R整理后得运动方程为 x?ut?RsinutR y?R?cosutR从运动方程中消去时间t 后, 得轨迹方程为:

x?y?2R?y??RarccosR?yR .即M 点的轨迹为旋轮线(或摆线) , 速度在x , y 轴上的投影、大小及

v?utx?x?u?ucosRvy?y??usinutR方向余弦分别为v?v22sinutx?vy?2u2R

cos??vxv?sinut2R?sin?2cos??vyut?v?cos2R?cos2M 点的加速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为

u2ut?x????ax?vxsinRRu2ut?y????ay?vycosRRu222 a?ax?ay?Rautcos???x?sin?sin?aRayut?cos???cos?cos?aR即各点加速度指向轮心

u2v2ut又a?a??a?,an?,而a??v,由此可求得: ??4Rsin

R?R22n证明题

证明：质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。

证明：考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为??的弦上的运动，则在任意

位置的受力如图所示。沿弦的方向用质点动力学基本方程得

质点加速度 a?gcos?，即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求得其运动方程为

s?1212at?gtcos? 22又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为

s?2rcos?

质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需

的时间 t?2s?a4rcos??gcos?4r，与?无关，故质量为m的质量从圆的最高g点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕。

重为P的小球位于半径为r的光滑球面顶点，小球从静止开始下滑，求小球脱离球面的位置。

解：小球运动过程中受力为重力和支持力，只有重力作功，机械能守恒。 设球面顶点处为零势能面 由机械能守恒定律有0?1P2?v?P(r?rcos?) 2g故v?2gr(1?cos?).............(1)

2Pv2?Pcos??N 小球在法向方向运动微分方程为?gr小球脱离球面时N=0，所以有v?grcos?.................(2) （1）代入（2）式有grcos??2gr(1?cos?)

222,??arccos?48011? 33r?h2r又由几何关系知cos??? （h为自球面顶点起下降高度）得h?

r33整理有cos??讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球（质量）无关，当球面不光滑时与小球（质

量）有关。

第二章质点系力学

一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与在地面成一角度?，炮弹对炮身的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对地面的速度v及炮车反冲的速度U。

解：由于在水平方向（x方向）无外力作用，火药爆炸力为内力，故水平方向动量守恒 即

mvx?MU?0................(1)

又由相对运动关系知Vcos??U?vx,Vsin??vy.......(2)

?MVcos??M?m?（2）代入（1）得vy?Vsin?......(3) ?..........?mU??Vcos??M?m?vx?所以

?M?2?M?222222222v?vx?vy???Vcos??Vsin????Vcos??V(1?cos?)?M?m??M?m??V1?m(2M?m)cos2?............(4)2(M?m)vyvx?Vsin?M?m?tan?..........(5)

MMcos?M?m22如设v与水平面夹角为?，则tan??讨论：由（4）式知炮车反冲时v?V，由（5）式知??? 重G的物体A带动单位长度的质量为q的软链，以速度足够的长度，求重物所能达到的最大高度。

向上抛出，如图示。假定软链有

解：取OZ轴铅直向上，O点位于地面。将在空中运动的链条的物体A视为主体。则并入主

?体的质量元（原先静止于地面）的绝对速度u?0 于是密歇尔斯基方程为

?d??mz?F????1?

dt?????d???????G?qg?g 因m?G?qz,F??G?qz?g?k,z?zk，代入（1）式得??G?qz?zdt????d??G?qz?z????g?G?qz?dz 用?G?qg?dz乘上式两端得??G?qz?z2已知初始条件为

z?0时，

??v0z 所以积分上式得

1g1g?2???G?qz?3?G2v02?G3 当z??0时，?G?qz?2z上升高度z正好就是最大

23q23q2?3qv0G??31?值h 即h??1?

?q?2Gg??在椭圆机构中，规尺AB质量为2m1，曲柄OC质量为m1,滑块A和B质量均为m2曲柄以匀角速度ω绕轴O转动。试求机构质心的运动方程及系统动量。设各物体为均质，OC=AC=BC=l。

解法1:运动方程（C点）的运动为平面运动 运动方程为：x?lcos?t,y?lsin?t,

消去t得：x?y?l

222???????p?poc?pAB?pA?pB?m1voc?(2m1?2m2)vAB?l???l?m1(??sin?ti??cos?tj)?(2m1?2m2)(?l?sin?ti?l?cos?tj)22动量 ?5???5??m1l?sin?ti?m1l?cos?tj?2m2l?cos?tj?2m2l?sin?ti22?l??l???(5m1?4m2)sin?ti?(5m1?4m2)cos?tj22总动量值的合成:p?px2?py?2l?(5m1?4m2) 2解法2:首先建立整个系统的质心位置

l(m1?cos?t?2m1lcos?t?2m2lcos?t)2xc?(3m1?2m2)l(m1?sin?t?2m1lsin?t?2m2lsin?t)2yc?(3m1?2m2)

?c??px?mx将质心位置求导后,代入动量式

l?sin?t(5m1?4m2)2?c?py?myl?cos?t(5m1?4m2)2

l?(5m1?4m2) 2?????某质量为m的质点，其运动方程用矢量式可表达为r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k ，式中：r总动量值的合成:p?px2?py?2???为质点的矢径，i,j,k分别为x,y,z的单位矢。试求：

（1） 质点的动能、动量及对坐标原点O的动量矩。 （2） 质点对点A（a,b,c）的动量矩。 （3） 作用在质点上的力及力的功率。

121?2?y?2?z?2) mv?m(x22??????i?y?j?z?k) 动量p?mv?m(x解：（1）动能T??????)i?(zx??xz??yx?)k ??zy?)j?(xy 动量矩LO?m(yz??（4） 动量矩

??????i??(z?c)x??(x?a)z??(y?b)x??k ??(z?c)y??j??(x?a)yLA?m?(y?b)z???????????i???j???k) xyz（5） 力F?ma?mr?m(?????????m???m(x?????y?????z????) P?F?v?F?rr??rxyz功率

29、质点在xoy平面内运动，其势能为：V?2x?5xy?3y?6x?7y 试求使该质点处于平衡状态的点的坐标。

解：欲使质点平衡须使质点势能对任一函数的一阶偏微分为零即

22?V?V?0,?0 ?x?y?V?4x2?5x?6?0.........(1)?x由 ?V??5x?6y?7?0.........(2)?y求解上面方程组得平衡坐标为x=1,y=2

一人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平台中心为圆心，r为半径的圆周，假定人重为p，平台重也为p，其半径也为r，试求当人在平台上走完一周时平台转过的角度。

解：以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。假设平台与转轴接触面光滑无摩擦，故质点系动量矩守恒。

?在质点系起始时，t?0,G0?0 在某时刻人相对于平台的速度为u，平台的角速度为?，则人的绝

对速度为v?u??r 人的动量矩为：G1?pr(u??r) 方向沿转轴方向。 g平台动量矩为：G2?I??1p2r? 方向也沿转轴方向。 2gpp22ur(u??r)?r??0 ???? g2g3r由动量矩守恒定律得：G1?G2?又

??

?2?rd?dsd?2ds22 d???ds积分得：?d????,u? 即 ??ds

00dtdtdt3rdt3r3r故???4? 332、一均质木板放在光滑的水平面上，板的一端站着一个人。在某一时刻，人以不变的速度u向x轴正向运动。设板的质量为m1，人的质量为m2。试求t秒钟后，人的绝对速度v与位移以及板的绝对速度v1与位移。

解：以人和板为研究对象。系统受力：人的重力P，板的重力W，光滑的水平面对板的正压力FN。以上受力均在竖直方向，所以水平方向受力为零，则动量守恒。

在初始时刻t=0，人和板都静止，动量pax=0，任意时刻t，设板的绝对速度v1沿x轴正向，则由点的合成运动可知，人的绝对速度为v=v1+u。 由动量守恒定律得：m1v1+m2(v1+u)=0 解此方程得 v1??m2u 负号表示板的运动方向与x轴正向相反。

m2?m1m2m1u?u 正号表示人的运动方向与x轴正向相同

m2?m1m1?m2m1m2ut,?x1?v1t??ut

m1?m2m1?m2由此得人的绝对速度为v?v1?u?u?因u与v都是常量，故人和板的位移分别为?x?vt?设矢量r在笛卡儿坐标系中的投影为?x,y,z?，证明divr?3,rotr?0并求使r?grad?的函数?

??????x?y?z????????????解：（1）divr???r???i?x?j?y?k?z???xi?yj?zk??x??y??z?3

?????ijk???????z?y????x?z????y?x??rotr???r?????i????j????k?0 （2）?????x?y?z??y?z???z?x???x?y?xyz??

???????????????i?j?k （3）由rotr?0可知势函数?必存在，由r?xi?yj?zk,r?grad???x?y?z?????x?x??1????x2??f?y,z?????4? 故??y ??2? 积分（1）式得??2?y???3?????z???zy2?f?y,z??y 积分得f??g?z?????5? 代（4）入（2）得

?y2x2y2??g?z?????6? 代（5）入（4）得??22z2???g?z??c????7? 代（6）入（3）得??z 积分得g?z??2?z?zx2y2z2???c 代（7）入（6）得??222质量为m1及m2的两自由质点互相以引力吸引，引力与其质量成正比，与距离的平方成反比，比例常数为k，开始时两质点皆处于静止状态，其间距离为a，试求两质点间的距离为两质点的速度。

解法1：用机械能守恒定律求解

令质量为m1自由质点的速度为v1，质量为m2的自由质点速度为v2，则因两质点互相吸引，故v1v2方向相反，取v1方向为正方向如图示

由于两质点无外力作用，故动量守恒有m1v1?m2v2?0...........(1) 两质点间的相互吸引力为万有引力是保守力

a时2r v 2m

2

v 1m

1

??rkm1m2km1m2dr??由保守力性质得势能为V???F?dr???式中r是两质点间的距

??rr2r

离。由机械能守恒定律?km1m21kmm12?m1v12?m2v2?12

aa222即

kmm112m1v12?m2v2?12............(2) 22a解（1）（2）式得v1?m2解法2：用动能定理求解

2k2k v2?m1

a(m1?m2)a(m1?m2)令质量为m1自由质点的速度为v1，质量为m2的自由质点速度为v2，则因两质点互相吸引，故v1v2方向相反，取v1方向为正方向如图示

??km1m21122??dr 由dT??W得d(m1r1?m2r2)?F?dr??22r2积分上式得

kmm112m1v12?m2v2?12............(1) 22a由于两质点无外力作用，故动量守恒有m1v1?m2v2?0...........(2) 解（1）（2）式得v1?m22k2k v2?m1

a(m1?m2)a(m1?m2)解法3：用两体问题方法求解

由于两质点无外力作用可视为两体问题

d2r12?F得 由两体问题运动方程?dt2d2r12dvmmdv12kmm?2??12?12?F??122........(1)

dtm1?m2dtdtr12又

dv12dv12dr12dv???v1212 dtdr12dtdr12代入（1）式有

1kv12dv12??2dr12

m1?m2r12a2a积分

?v120v12dv12???k(m1?m2)dr12得v12?2r122k(m1?m2).........(2)

a

由于两质点无外力作用，质心作惯性运动，原来质心静止，故由vc?m1v1?m2v2?0得

m1?m2m1v1?m2v2?0...........(3)

又根据速度合成方法知v12?v1?v2.......(4) 解（2）（3）（4）式得v1??m22k2k v2?m1

a(m1?m2)a(m1?m2)v1为负值表明与v2方向相反

如图示，一长为l的均质链条在水平面上自然堆成一堆，线密度为?，某人持链条一端以匀速v将其提高，试证：当他的手离开水平面的高度为x时（x?l），链条对手的作用力大小

?v2为F???x?g?

????g ?

解法1：用质心运动定理求解

???P??lg取链条整体为研究对象，在t时刻，整体所受的外力有重力，拉力F和水平面对静??止的那部分链条的支持力F????l?x?g。由质心运动定理可得

?????mac?F??lg???l?x?g 式中ac为质心的加速度。

?c?F??lg???l?x?g x上式在x轴上的投影式为m??x????l?x??0由于链条的质心坐标为xc?x2?lx2? 2lxv2?c?v,??c?x则有x

ll

v2v2?F??lg???l?x?g,m?F??xg 代入投影式得mllv2?v2?所以F??xg?m??x???g ??l?g?解法2：用动量定理求解

???取链条整体为研究对象，在t时刻，整体所受的外力有重力P??lg，拉力F和水平面对??静止的那部分链条的支持力F????l?x?g

链条整体的总动量在竖直方向分量为Px??xv??(l?x)?o??xv

???整体所受的外力有重力P??lg，拉力F和水平面对静止的那部分链条的支持力??F????l?x?g

上式在x轴上的投影式为FX?F??xg

由动量定理

dPxdPddx?Fx得x?(?xv)??v??v2?Fx?F??xg dtdtdtdtF??xg??v2

解法3：用变质量问题方法求解

如图示，取已上升部分为主体，其质量为m??x，速度为v，不断增加部分为变体，

dm??dx其速度u?0，主体和变体所受合外力为F合?F??xg

由密歇尔斯基方程

ddm(mv)?u?F合得 dtdtddx(?xv)?F合?F??xg 即?v??v2?F合?F??xg dtdt2故F??xg??v

圆环质量为M，放在光滑水平面上，有一质量为m的小虫在圆环上爬行，如图示，求证：

小虫在圆环上相对地爬行一周时，圆环的自转角度不超过180°。设初始时系统静止。

解：以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。

故质点系动量矩守恒。

?在质点系起始时，t?0,G0?0 在某时刻小虫相对于圆环的速度为u，圆环的 角速度为?，则小虫

的绝对速度为v?u??r 小虫的动量矩为：G1?mr(u??r) 方向沿转轴方向。

圆环动量矩为：G2?I??1Mr2? 方向也沿转轴方向。 21Mr2??0 有???2由动量矩守恒定律得：G1?G2?mr(u??r)?u M(1?)r2m又 ??d?d?ds?? 即 ,u?dtdtdt1ds1ds积分得： d???MdtM(1?)r(1?)r2m2m??0d???2?r0?1ds M(1?)r2m2? M(1?)2m???假设小虫和圆环质量相等 故???4?=-240° 300假设M=2m，则??????180 一般M?m 故??180

另正解：以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。故质点系动量矩守恒。

?在质点系起始时，t?0,G0?0 在某时刻小虫相对于圆环的速度为u，圆环的 角速度为?，则小虫

的绝对速度为v?u??r 小虫的动量矩为：G1?mr(u??r) 方向沿转轴方向。

圆环动量矩为：G2?I??Mr? 方向也沿转轴方向。

由动量矩守恒定律得：G1?G2?mr(u??r)?Mr??0 有???22u M(1?)rm又 ??d?d?ds??,u? 即 dtdtdt1ds1ds积分得： d???MdtM(1?)r(1?)rmm

??0d???2?r0?1ds M(1?)rm2? M(1?)m0???假设小虫和圆环质量相等 M=m 故??????180 假设M=2m故???2???1200 30一般M?m 故??180

一光滑球A与另一静止的光滑球B发生斜碰，如两球均为完全弹性体，且两球质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。

?证明：设两球质量为M，光滑球A碰前速度矢量为V1，光滑球B碰前速度矢量为0，

????A和B碰撞后的速度的速度矢量为V1,V2

?????由于两球碰撞过程中动量守恒有MV1?MV1?MV2.......(1) 1?21?21?2MV1?MV1??MV2?.......(2) 222??2?2?2（1） 式代入（2）式有(V1??V2?)?V1??V2?

又两球为完全弹性体动能守恒有

??整理上式得2V1??V2??0，由于V1??0,V2??0所以欲使两矢量的乘积为零，只有两矢量互相垂??直即V1??V2? 结论得证

有三个完全弹性的小球,质量分别为m1、m2、及m3，静止于一直线上，今于第一球上加上v1的速度，其方向沿此直线，设m1、m3及v1为已知，求第二球的速度为何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。

?，第二球的速度为v2? 解：设第一、第二球碰撞后第一球的速度为v1??v1??1?e?则由速度公式得v1m2?v1?v2?

m1?m2m1?v1?v2?

m1?m2??v2??1?e? v2

??v2??1?e?而 v2?0,e?1 故v2m1?v1?v2?m1v12m1v1?0?2??

m1?m2m1?m2m1?m2?? 已知 v3??0,e?1 又设第三、第二球碰撞后第三球的速度为v3???v3???1?e?则由速度公式得v3??v3???m2?v22m2v24m1m2v1??

m2?m3m2?m3?m1?m2??m2?m3?欲使第三球的速度最大，须有即

??dv3?0 dm22??dv3(m1?m2)(m2?m3)?m2(m2?m3?m1?m2)m1m3?m2?4m1v1?4m1?02222dm2(m1?m2)(m2?m3)?m1?m2??m2?m3?

所以有m2?m1m3时第三球的速度最大。

一条柔软、无弹性、质量均匀的绳子，竖直的自高处坠落至地板上，如绳子的长度为l，每单位长度的质量等于?，求当绳子剩在空中的长度为x?x?l?时，绳子的速度及它对地板的压力。设开始时绳子的速度为零，它的下端离地面的高度为h。 解法1：用自由落体公式和动量定理求解

当绳子的上端离地面的高度为x时，由自由落体公式知绳子的速度为

v?2gh??2g(l?h?x)

地板对绳子的作用力有两部分，其一为与已经落地的绳子的重力大小相等，方向相反，设为

N1，N1?m?g??(l?x)g 其二是即将落地的绳子对地板的冲力，设为N2

设在dt时间内落地的绳子的质量为dm???dl，该质量元的动量为dm?v，该质量元一经落地动量即变为零。动量的变化为dp?dm?v?0?dm?v 由动量定理F?忽略重力）

所以总的压力为N?N1?N2??g?2h?3(l?x)?

解法2：用变质量物体的运动方程求解

当绳子的上端离地面的高度为x时，由自由落体公式知绳子的速度为

dpdm?v??dl?vdl得 N2????v??v2??2g(l?h?x)（此处dtdtdtdtv?2gh??2g(l?h?x)

取已落地部分为主体，其质量为m??(l?x)速度为v?0

所示. 今有一水平力F 垂直作用于A 端, 大小为98N , 求此力作用的瞬时, 杆中点C 的加速度大小aC = ( 2m/s2 ), 杆的角加速度大小α=( 6rad/s2 ), A端加速度大小aA =( 8m/s2 ) .

图12-17

解 AB 杆作平面运动. 由平面运动微分方程可知 maC=F , JCα=AC·F

1即49*aC = 98 ,12×49×22·α=1×98

因此可求得aC= 2m/s2 , α= 6rad/s2 又以C为基点可求得A 点加速度 aA=aC+AC·α=8m/s2

第三章刚体力学

为了测定一半径为0.5m的飞轮的转动惯量，在飞轮上绕以软绳，挂一质量为10kg的重物。测得重物从静止下落2m的时间为16s。如果轴承中的摩擦力可以略去不计，则飞轮的转动惯量为多大？

解：重物从静止下落 由h?122h2?2at,得a?2??0.015625m/s 22t16

又 ma?mg?FT 则FT?mg?ma?10(9.8?0.015625)?100N

J??rFT,r??a由刚体转动方程

r2FT0.52?100J???1600N?ma0.015625

3???在直角坐标系中，三轴的单位矢为i,j,k。物体的惯量张量为I?N0020?1。设一转轴通10?1?3?6????过上述直角坐标系原点，方向为

?3j?3k?，那么物体对于该轴的转动惯量是多少？ ??????3?6?j?k 于是物体对于该轴的转动惯量为 解：由于n??i??j??k?0?33??300???36??N02?1??I???0,,?33????0?11?????0?3?2?2?2N 3?36??3???匀质圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为?0 。已知圆盘与桌面的摩擦系数为?，问经过多长时间后盘将静止？

?t；当末角速度为零时，?为常数时，则有???0??解：当角速度?。则有t???0????1? ????0，并非t为负值）（注意，?。作用于圆盘的反力矩的大小为

L??r???dm?g??r????rd??dr?g

由题意，圆盘的面密度为??m ，代入上式?a2a22???gam????2? ??2??33?a?m?2??mL??g?2??d??r2dr??g?20??a?0??a??12?定轴转动的动力学方程为I??L????3? 已知圆盘的转动惯量为I?ma????4?

2将（2）（4）代入（3）得?24?g?1?????ma2?????gam 于是得?????5?

33a?2?

代（5）入（1）得t?3?0a 4?g一块正方形薄板的边长为l,质量为m，求在其中心的惯量张量，已知z轴垂直于板面，x与y轴平行于两边。

解：由于薄板的坐标z?0，所以惯量积Iyz?Izx?0，又由于薄板相对于平面oxz,oyz对称，所以惯量积Ixy?0

薄板相对于x轴的转动惯量为

?y?1Ixx????y2?z2?dm????y2dxdy???y2dy?dx?l????ml2

?3??l122l2l?2l2l?23l2因x轴与y轴均为对称轴，所以Iyy?由垂直轴定理知Izz?Ixx?Iyy?1ml2 1212ml 6?100???1ml2

于是正方形薄板相对于中心的惯量张量为I?010??12??002??一端系于天花板顶上的绳子，在另一端系一半径为r，重量为p的滑轮，求滑轮中心向下运动的

加速度和滑轮转动时的角加速度。 解：建坐标如图示 o 滑轮受力：重力p，绳子张力T

P??c?P?T????1?xg建动力学方程式：

1P2???Tr????2?r?2g??????x?c?????3? ?c 即r?x又由约束条件：r?1P32?c?g x解（1）（2）（3）式得?32g????3rT?如图示，均质轮Ⅰ质量为m1，半径为r1 ，在O1O2的带动下沿半径为r2的固定轮Ⅱ作纯滚动。杆O1O2为均质，质量为m，长为l（l?r1?r2），整个系统处于水平面内，O1、O2处的摩擦不计，

滚动摩阻不计，求：在杆O1O2上施加力矩M，由静止开始，当O1O2杆转过?角时杆的角速度和角加速度。

解：取杆O1O2及轮Ⅰ为研究对象。初动能T1?0

O1O2杆转过?角时，设杆的角速度为?，轮Ⅰ的角速度为?1 则

系

统

的

动

能

T12I12121121222?O1O2?2?2m1vO1?2IO1?1?6ml2?2?2m1vO1?2(m1r1)?1 又vO1??l??1r1,?l1??r 所以T2?1?2?m?3?3m12?2212???l 作用于系统上的外力的功为W?M?

由动能定理T1?m3m1?22?T1?W得

2??3?2???l2?M? ??12M?(2m?9m2 1)l1将?、?对t求导数得??12M(2m?9m2?11)l2?2?1????6M?2m?9m2 1?l、图示半径为r、绕水平轴转动的圆轮O，轮缘上绕一不可伸长的绳子。绳下端系一

物体A，从静止开始以等加速度a0下落。求轮缘各点全加速度a与重物下降高度h的关系。

为

解：圆轮作定轴转动，重物A作直线平动。任一瞬时，轮缘上各点的速度大小与重物下落速度相同；轮缘上各点的切线加速度大小等于重物的重力加速度。 依题意 a??dvvdv??a0?C dtdyh0积分

?v0vdv??a0dy 则v2?2a0h ?2a0h r而an?v2?全加速度大小：a?a??an22?2ah??2h??a0??0??a01???

?r??r?22 方向：tan?a,an????????aran?r 2h图示半径为R的均质圆柱A缠以细绳，绳的B端固定，圆柱自静止下落，其轴心速度为vA?23gh（h为轴心至初始位置的距离）。求圆柱A的运动方程。 3

解：设圆柱质量为m，绳的张力为T。

?A?mg?Tm?x?A?0y由图可知圆柱作平面运动，其运动方程为m? ???TRI?A1??23gh,又t=0时，x?0,y?0,??0代入上?A?R?mR2，xAA23??2gt,??gt2,y?0,x?1gt2 式得?AA3R3R3由于IA?均质圆柱体A的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端B固定不动，如图所示。当BC铅垂时圆柱下降，其初速为零。求当圆柱体的质心A降落了高度h时质心A的速度和绳子的张力。

解：

先求质心A的速度，设当圆柱体的质心A降落了高度h

时质心A的速度为vA。

根据机械能守恒，以初始位置的重力势能为零，有

32mvA?hmg?0 （1） 4解得 vA?

23hg 3下面求绳子的张力。为此先求质心A的加速度，

将式（1）对时间求导，并注意到关系

dvdh?vA , A?aA， 得 dtdt

dv3dh3dvAmvAA?mg?0 ? ?g?0 2dtdt2dt解得 aA?2g 3取圆柱为研究对象，受力分析见右下图，在铅垂方向用质心运动定理

maA?mg?FT

图示两物体重为P和Q（P＜Q），用长为l，跨过半径为r为滑轮的绳连接，开始时两物体的高度差为h，不计轮与绳的质量。求静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。

?1FT?mg?maA?mg

3

解：两物体的运动方程为

QP??Q?Q?T,a??P?T?P agg??Q?a??P,hQ?又a整理得：t?11??Qt2,hP?a??Pt2,hQ?hP?h a22hP?Q ?gQ?P?图示折杆OAB，已知OA?AB?l，?OAB?120，O与固定铰连接，?、

?大小已知，转向如图所示。试求AB中点C的速度和加速度。

解：

1°研究点C。OAB作定轴转动，可由定轴转动刚体的运动确定其上点C的速度和加速度。

2°速度分析

vc?oc?? 其中

222? OC?OA?AC?2?OA?AC?co1s20

ll7

?l2?()2?2?l?sin30??l2

224 OC?7l2

所以 方向如图所示

vC?3l?2

3° 加速度分析

ac?oc??方向如图示。

??7l?2

a?oc??nc2?72l?2

???(0???45)??45u图示机构，杆AB在时以匀速作直线平动，试求在任意位置

时，杆OD的角速度、角加速度。

解：

OD作定轴转动，AB作直线平动，1°研究系统。取?为杆OD的转角。由题意知杆OD的角速度? 转向如图示，并设出? 的转向。

2°运动速度分析。杆AB上点A的运动方程为 yA?ltg?

?A?lvAy?y其速度、加速度为

由图示杆AB的速度知 vAy1cos?2??

???u?j??u

2si?n2lcos2??????0a?v?l???AyAy????u32cos?cos?l因此 ?，?????????? 根据图示?、?的 转向有 ????u2cos2????2sin2??cos2???ull所以 ，

计算结果说明，?的真实转向与图示所设相反。

有一直角三角形薄板,两个直角边的连长分别为a、b，试求该板的三个主转动惯量和三个惯量积。

解：由于板的z坐标为零，故：惯量积Izx?Izy?0 三角形斜边的方程为即：y?xy??1 abb?a?x? a在三角形薄板上取质量元dm??ds?m2mdx?dy?dx?dy 1abab2ab(a?x)a0所以

主转动惯量：

Ixx??y2dm??y2??dx?dy???dx?03y2?dy???a01dx?y333b(a?x)a0

b3a3m2m又 ?? ?1abab2???a0(a?x)3dx??14?(a?x)3a34?b3a0??b312a3a4??ba12

2m3ba?b3aab1所以有Ixx???mb2

12126同理：

Iyy??xdm??x??dx?dy???xdx?022a2b(a?x)a0dy???xdx?y0a0a2b(a?x)a0

ba?b12142(a?x)?x?dx??(ax?x)?0a34a122 由垂直轴定理得Izz?Ixx?Iyy?m(a?b)

6??惯量积

??ba123?1ma26Ixy2m2m2mxy?dm?xy?dx?dy?x?dxy?dy?x?dx??ab???ab?ab?0ab?a?x?a?y?dy?1mab 12三个质量都为m的质点用质量可以不计的刚体连结成正三角形，边长为b。求（1）三个中心的主转的惯量。（2）在任一个顶点的三个主转动惯量。（3）讨论中心主转惯量与任一点的主转惯量之间的关系。

（1）质心C在几何形心，轴y是对称轴，轴z是过质心C并与对称面Cxy相垂直，轴x 与轴y、z正交。所以Cx、Cy、Cz是三个中心惯性主轴。

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