2022.1东城高三期末数学试题 (理科)

2016.1东城高三期末数学试题 (理科)

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 （理科） 2016.1

学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

（1）已知集合U {1,2,3,4}，集合A {1,3,4}，B {2,4}，那么集合(CUA)IB

（A）{2}（B）{4}（C）{1,3}（D）{2,4}

（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于

俯视图

（A）

33

cm（B）2cm3（C）3cm3（D）9cm3 2

（3）设i为虚数单位，如果复数z满足(1 2i)z 5i，那么z的虚部为

（A） 1（B）1（C）i（D） i

（4）已知m (0,1)，令a logm2，b m，c 2，那么a,b,c之间的大小关系为

（A）b c a（B）b a c（C）a b c（D）c a b （5）已知直线l的倾斜角为 ，斜率为k，那么“

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

2

m

3

”是“k

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1

1,0 x 2

（6）已知函数f(x) x，如果关于x的方程f(x) k有两个不同的实根，

lnx,x 2

那么实数k的取值范围是

3

（A）(1, )（B）[, )（C）[e2, )（D）[ln2, )

2

3

（p 0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，如（7）过抛物线y 2px

果BF 3，BF AF， BFO

2

2

，那么AF的值为 3

(A)1(B)

3

(C)3（D）6 2

（8）如图所示，正方体ABCD A B C D 的棱长为1, E,F分别是棱AA ，CC 的中点，

过直线E,F的平面分别与棱BB 、DD 交于M,N，设BM x，x (0,1)，给出以下四个命题：

①四边形MENF为平行四边形；

② 若四边形MENF面积s f(x),x (0,1),则f(x)有最小 值；

③ 若四棱锥AMENF的体积V p(x)

，x (0,1)，则

p(x)常函数；

1

④ 若多面体ABCD MENF的体积V h(x)，x (,1)，2

则h(x)为单调函数． 其中假命题为 ．．．

(A)①

(B)②

(C

)③

（D）④

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

（9） 在 ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B 300，C 105，a 4，那

么b .

（10）在平面向量a,b中，已知a (1,3)，那么y=；如果a+b a-b，b (2,y).如果a b 5，

那么

y=.

x+y 10,

（11）已知x,y满足满足约束条件 x y 2,，那么z x2 y2的最大值为___.

x 3

（12）如果函数f(x) x2sinx a的图象过点(π,1)且f(t) 2．那么a ； f( t) ．

（13）如果平面直角坐标系中的两点A(a 1,a 1)，B(a,a)关于直线l对称，那么直线l的 方程为__.

（14）数列{an}满足：an 1 an 1 2an(n 1,n N*)，给出下述命题：

①若数列{an}满足：a2 a1，则an an 1(n 1,n N*)成立； ②存在常数c，使得an c(n N*)成立；

③若p q m n(其中p,q,m,n N*)，则ap aq am an； ④存在常数d，使得an a1 (n 1)d(n N*)都成立．

上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）

设{an}是一个公比为q(q 0,q 1)等比数列，4a1,3a2,2a3成等差数列,且它的前4项和s4 15.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn an 2n,(n 1,2,3......),求数列{bn}的前n项和.

（16）（本小题共13分）

2016.1东城高三期末数学试题 (理科)

已知函数f(x) sinx xcosx cosx(x R)． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若 为第四象限角，且cos

（17）（本小题共14分）

如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，

22

3 7π

)的值. ，求f( 2125

PA 底面ABCD，AB AP,E为棱PD的中点.

（Ⅰ）证明:AE CD；

（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM AC，若存在， 求出

（18）（本小题共13分）

PM

的值，若不存在，说明理由. MC

x2y21

已知椭圆2 2 1（a b 0）的焦点是F1、F2，且F1F2 2，离心率为．

ab2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|g|F2B|的取值范围．

（19）（本小题共14分）

ex

已知函数f(x) a(x lnx)．

x

（Ⅰ）当a 1时，试求f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a 0时，试求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围．

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（20）（本小题共13分）

*已知曲线Cn的方程为：x y 1(n N).

n

n

（Ⅰ）分别求出n 1,n 2时，曲线Cn所围成的图形的面积;

（Ⅱ）若Sn(n N )表示曲线Cn所围成的图形的面积，求证：Sn(n N )关于n是递增的;

(III) 若方程xn yn zn(n 2,n N)，xyz 0，没有正整数解，求证：曲线

Cn(n 2,n N )上任一点对应的坐标(x,y)，x,y不能全是有理数.

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东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案

高三数学 （理科） 2016.1

学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

2

1;

3 （11）58 （12）1;0 （13）x y 1 0 （14）（9）22 （10）

①④

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）

设{an}是一个公比为q(q 0,q 1)等比数列，4a1,3a2,2a3成等差数列,且它的前4项和s4 15.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn an 2n,(n 1,2,3......),求数列{bn}的前n项和. 解：（Ⅰ）因为{an}是一个公比为q(q 0,q 1)等比数列， 所以an a1qn 1．

因为4a1,3a2,2a3成等差数列，

所以6a2 4a1 2a3,即q 3q 2 0． 解得q 2,q 1(舍).

2

a1(1 q4)

15(q 0,q 1)， 又它的前4和s4 15，得

1 q

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解得a1 1．

所以an 2n 1 . 9分 （Ⅱ）因为bn an 2n， 所以

i 1bi i 1ai i 12i 2n n(n 1) 1． 13分

nnn

（16）（本小题共13分）

已知函数f(x) sinx xcosx cosx(x R)．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若 为第四象限角，且cos

2

2

3 7π

)的值. ，求f( 2125

解：

（Ⅰ）由已知f(x) sin2x xcosx

cos2x

2x cos2x

π

2sin(2x ).

6

所以 最小正周期T=由得

2π2π==π.ω2

2kπ,k?z.

π

+2kπ?2x2

2π

+kπ＃x3

π3π?62

10π

+kπ,k?z6

故函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间 π,（Ⅱ）因为 为第四象限角，且cos

1

35

π 9分6

34

，所以sin ． 55

7π7ππ8

)=2sin( ) 2sin ． 13分 所以f(

521266

（17）（本小题共14分）

如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，

PA 底面ABCD，AB AP,E为棱PD的中点.

（Ⅰ）证明:AE CD；

（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；

2016.1东城高三期末数学试题 (理科)

（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM AC，若存在，

PM

的值，若不存在，说明理由. MC

（Ⅰ）证明：因为PA 底面ABCD，

求出

所以PA CD． 因为AD CD，

z

所以CD 面PAD. 由于AE 面PAD， 所以有CD AE．

４分 （Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设AB AP 2，可得B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2).

C

uuuv

由E为棱PD的中点，得E(0,1,1).AE (0,1,1)

uuuruur

向量BD ( 2,2,0),PB (2,0, 2).

r

设n (x,y,z)为平面PBD的法向量，则 0即 2x 2y 0．

0 2x 2z 0

不妨令y=1，可得 （1,1,1）为平面PBD的一个法向量.

uuuvuuuv所以

cosAE,EF .

所以，直线EF与平面PBD

11分

uuruuuruuur

（Ⅲ）解：向量CP ( 2, 2,2)，AC (2,2,0)，AB (2,0,0).

uuuruur

PC 由点M在棱上，设CM CP,(0 1). uuuruuuruuur

故FM FC CM (1 2 ,2 2 ,2 ).

由FM

AC，得FM 0，

3. 4

因此，(1-2 ) 2 (2-2 ) 2 0，解得

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所以

PM1

. 13分 MC3

（18）（本小题共13分）

x2y21

已知椭圆2 2 1（a b 0）的焦点是F1、F2，且F1F2 2，离心率为．

ab2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|g|F2B|的取值范围．

x2y2

解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为2 2 1(a b 0)，

ab

a2 b2 c2，

c1

由题意知 ，

解得a 2,b

a2 2c 2

x2y2

1． 5分 所以椭圆的标准方程为43

（Ⅱ）因为F2(1,0)，当直线l的斜率不存在时，A(1,)，B(1, )，

3

232

|F2B| 则|AF2|g

9

，不符合题意. 4

当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为y k(x 1)．

y k(x 1),

由 x2y2消y得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0（*）．

1, 3 4

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是方程（*）的两个根，

8k24k2 12所以x2 x2 ，x1x2 ．

3 4k23 4k2

所以|AF2| 所以|F2B|

1 1，

2 1

2

所以|AF2|g|F2B| (1 k)x1x2 (x1 x2) 1

4k2 128k2

(1 k) 1

3 4k23 4k2

2

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(1 k2) (1 k2)

9

3 4k2

93 4k2

91 (1 ).43 4k2

当k2 0时，|AF2|g|F2B|取最大值为3，

所以|AF2|g|F2B|的取值范围 ,3 .

又当k不存在，即AB x轴时，|AF2|g|F2B|取值为所以|AF2|g|F2B|的取值范围

（19）（本小题共14分）

9

4

9． 4

9

,3 . 13分 4

ex

已知函数f(x) a(x lnx)．

x

（Ⅰ）当a 1时，试求f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a 0时，试求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围．

ex(x 1)1/

1 解：（Ⅰ）当a 1时，f(x) ，f(1) 0，f(1) e 1． 2

xx

/

方程为y e 1． 4分

ex(x 1)1ex(x 1) ax(x 1) a(1 ) （Ⅱ）f (x) ， 22

xxx

x

(e ax) x(1)

．

x2

当a 0时，对于 x (0, )，ex ax 0恒成立，

所以f'(x) 0 x 1； f'(x) 0 0 x 10.

'

所以单调增区间为(1, )，单调减区间为(0,1) ． 8分

（Ⅲ）若f(x)在(0,1)内有极值，则f(x)在x (0,1)内有解．

(ex ax)(x 1)exx

0 e ax 0 a . 令f(x) 2

xx

'

ex

x (0,1), 设g(x) x

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ex(x 1)

所以g(x) ,

x

'

当x (0,1)时，g'(x) 0恒成立，

所以g(x)单调递减.

又因为g(1) e，又当x 0时，g(x) , 即g(x)在x (0,1)上的值域为(e, ),

(ex ax)(x 1)

0有解. 所以当a e时，f(x)

x2

'

设H(x) ex ax，则H (x) ex a 0x (0,1)， 所以H(x)在x (0,1)单调递减. 因为H(0) 1 0，H(1) e a 0, 所以H(x) ex ax在x (0,1)有唯一解x0. 所以有：

所以当a e时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一.

当a e时，当x (0,1)时，f'(x) 0恒成立，f(x)单调递增，不成立． 综上，a的取值范围为(e, )． 14分

（20）（本小题共13分）

*

已知曲线Cn表示x,y满足x y 1(n N)的方程.

n

n

（Ⅰ）求出n 1,2时，曲线Cn所围成的图形的面积;

（Ⅱ）若Sn(n N )表示曲线Cn所围成的图形的面积，求证：Sn(n N )关于n是递增的;

(III) 若方程xn yn zn(n 2,n N)，xyz 0，没有正整数解，

求证：曲线Cn(n 2,n N )上任一点对应的坐标(x,y)，x,y不能全是有理数. 解:（Ⅰ）当n 1,2时, 由图可知C1 4

1

1 1 2,C2 π. 3分 2

（Ⅱ)要证Sn(n N )是关于n递增的，只需证明：Sn Sn 1(n N )．

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由于曲线Cn具有对称性，只需证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递 增．

现在考虑曲线Cn与Cn 1，

因为 x y 1(n N)LL(1)

n 1

n 1

n

n

因为 x y 1(n N )LL(2)

在(1)和(2)中令x x0,x0 (0,1)，

当x0 (0,1)，存在y1,y2 (0,1)使得x0n y1n 1，x0n 1 y2n 1 1成立， 此时必有y2 y1．

因为当x0 (0,1)时x0n x0n 1， 所以y2n 1 y1n．

两边同时开n次方有，y2 y2 这就得到了y2 y1，

从而Sn(n N )是关于n递增的． 10分

n 1n

（指数函数单调性） y1．

xy

(III)由于xn yn zn(n 2,n N)可等价转化为()n ()n 1，

zz

反证：若曲线Cn(n 2,n N*)上存在一点对应的坐标(x,y)，x,y全是有理数， 不妨设x

n

qt

,y ，p,q,s,t N*，且p,q互质，s,t互质． ps

n

则由x y 1可得，

qt

1．

ps

即qs pt

n

n

n

n

ps．

n

n

n

*

n

这时qs,pt,ps就是x y z(n 2,n N)的一组解，

nnn*

这与方程x y z(n 2,n N)，xyz 0，没有正整数解矛盾，

所以曲线Cn(n 2,n N*)上任一点对应的坐标(x,y)，x,y不能全是有理数．

2016.1东城高三期末数学试题 (理科)

13分

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