排列组合与二项式定理

排列组合与二项式定理

1．两个基本原理

教学目的：正确理解和掌握加法原理和乘法原理，能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题；发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力

.重点：加法原理，乘法原理。 解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． .难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 教学方法：思考，讨论，对比，练习． 教学方式：多媒体课件； 教学过程： 1．新课导入

随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。

排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键． 2．新课

我们先看下面两个问题．

(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十?十mn种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题：

由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2?mn种不同的方法．

1

例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书． 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

练习： 一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币

1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？

例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ (3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

练习：

1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．

（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ （2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、?、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、?、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？

3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习 练习

1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？

2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？

3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？

4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2

5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

2．排列

一、复习基本原理

1.加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二

办法中有m2种不同的方法??，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m1+m2+m3+?mn 种不同的方法.

2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第

二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有

N=m1?m2?m3???mn 种不同的方法. 3.两个原理的区别： 【练习1】

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？

2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.

二、基本概念

1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素（这里的被取元素各不相同）

按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 ．．．．．．．．．2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同. 3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列. 4. 什么叫一个排列？ 三、例题与练习

1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.

四、排列种数

1. 定义：从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中

m取出m元素的排列数，用符号pn表示.

用符号表示上述各题中的排列数.

m2. 排列数公式：An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)

关于排列种数计算公式练习：

3

五、课后检测 1. 写出：

① 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列； ② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数. ③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

2. 计算：

① p3100 ② p36 ③

p?2p4828 ④

8p12 7p12

3．排列的简单应用（1）

目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和

解决简单的实际问题． 过程：

一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理） 1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题； 2．排列数的定义，排列数的计算公式

mm?An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)或Ann! （其中m≤n m,n?Z）

(n?m)! 3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1 4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用． 二、新授：

例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

7 解：问题可以看作：7个元素的全排列——A7＝5040

⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040

⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

6 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A6=720

⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A2种；第二步 余下的5名

55同学进行全排列有A5种 则共有A2A5=240种排列方法

22⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在

2排头和排尾有A5种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排525列）有A5种方法 所以一共有A5＝2400种排列方法． A5 4

66 解法二：（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若

5甲站在排头且乙站在排尾则有A5种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在765排尾的排法共有A7－2A6＋A5=2400种．

小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．

例2 ： 7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一

6起进行全排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方法．所6以这样的排法一共有A6A2＝1440种．

22⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

53 解：方法同上，一共有A5＝720种． A3⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为

丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排

2尾，有A5种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙两个2同学“松绑”进行排列有A2种方法．所以这样的排法一共有A5A4A2＝960种

2424方法．

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

5若丙站在排头或排尾有2A5种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有652(A6?2A5)?A2?960种方法．

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法，

5 再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所5以这样的排法一共有A4A5A2＝960种方法．

121小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．

例3： 7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

762解法一：（排除法）A7?A6?A2?3600

5

6．二项式定理

一、 复习填空：

n

1. 在n=1,2,3,4时，研究(a+b)的展开式.

1

(a+b)= ,

2

(a+b)= ,

3

(a+b)= ,

4

(a+b)= .

2. 列出上述各展开式的系数：

3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 得到.你能写出第五行的数字

5

吗？(a+b)= .

12344.计算：C04= ，C4= ，C4= ，C4= ，C4= .用这些组合数表示(a+b)

4

4

的展开式是：(a+b)= . 二、定理：

n

(a+b)= （n?N）,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Crn（r=0,1,2,??,n）

n

叫做 ， 叫做二项展开式的通项，通项是指展开式的第 项，展开式共有 个项.

例题：1.展开(x?1416)； 2. 展开(2x?). xx

小结：求展开式中的指定项一般用通项公式，当指数n不是很大时，也可用定理展开，

再找指定项.

3

3.计算：（1）（0.997） 的近似值（精确到0.001）

6

（2）（1.002）的近视值（精确到0.001）.

三 、课后检测

6

1.求（2a+3b）的展开式的第3项.

6

2.求（3b+2a）的展开式的第3项. 3.写出(3x?3

123x7

)n的展开式的第r+1项.

4.求（x+2x）的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.

11

5.用二项式定理展开：

（1）(a?3b)9； （2）(6.化简：

（1）(1?x)?(1?x)； （2）(2x?3x

5512?124x27?). 2x12?124

)?(2x?3x)7．排列、组合总结（习题课）

教学目的：通过串讲总结使学生掌握排列、组合知识，灵活应用处理问题。 一、知识串讲： 二、 应用总结 1、排队 2、排数 3、选元素 4、分组

5、在体育上的应用

三、课本疑难处理：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ksq3.html