2022年高考理科数学(全国1卷)

2019年高考理科数学

(全国1卷)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)

（适用：安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南、山东）

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}

}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=( ) A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )

A. 22+11()x y +=

B. 22(1)1x y -+=

C. 22(1)1x y +-=

D. 2

2(+1)1y x += 3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则( )

A. a b c <<

B. a c b <<

C. c a b <<

D. b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512

-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）

A. 165 cm

B. 175 cm

C. 185 cm

D. 190cm

3 5.函数f (x )=2sin cos x x x x ++在[—π，π]的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）

A. 516

B. 1132

C. 2132

D. 1116 7.已知非零向量a ，b 满足

a =2

b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ）

A. π6

B. π3

C. 2π3

D. 5π6

8.如图是求1

1

2122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

A. A =12A

+ B. A =12A

+ C. A =112A

+

D. A =112A + 9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则

（ ）

A. 25n a n =-

B. 310n a n =-

C. 228n S n n =-

D. 2122

n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为

4 A. 2

212x y += B. 22132x y += C. 22143x y += D. 22154x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：（ ）

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（

2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A. ①②④

B. ②④

C. ①④

D. ①③ 12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）

A.

B.

C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．

14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

14613a a a ==，，则S 5=____________．

15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结

束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是

____________． 16.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120

F B F B ?=，则C 的离心率为____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。 17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22

(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；

（2

2b c +=，求sin C ．

5 18.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．

19.已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．

20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：

（1）()f x '在区间(1,)2π

-存在唯一极大值点；

（2）()f x 有且仅有2个零点．

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21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试

验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；

(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．

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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

2

21141t x t t y t ?-=??+??=?+?

，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为

2cos sin 110ρθθ+=．

（1）求C 和l 直角坐标方程；

（2）求C 上的点到l 距离的最小值．

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：

（1）222111a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．

的

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