2013极坐标、参数方程资料

2013极坐标、参数方程

5、选修44:-坐标系与参数方程

极坐标系中，已知圆心C (3,)6π

，半径r=1．

（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线为参数）t t y t x (21231???

????=+-=与圆交于B A ,两点，求AB 的中点M 与点P （-1，0）的距离．

（1、1)23(23322=-+???

? ??-y x 2

、1232t t PC +==+

解：（1）由已知得圆心)6sin 3,6cos 3(π

πC ，半径1，圆的方程为1)23(23322=-+???

? ??-y x 2分 即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ 5分

（1）

把直线方程代入圆方程得26)90,30t t -++=?=> 7分 设21,t t 是方程两根

126)t t ∴+=-

所以1232t t PC +=

= 10分

5、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参

数方程为

cos,

sin,

x t

y t

α

α

=

?

?

=

?

（t为参数，α为直线l的倾斜角）。圆C的极坐标方程为

28cos120.

ρρθ

-+=

（1）若直线l与圆C相切，求α的值；

（2）若

1

tan

2

α=，直线l与圆C交于A，B两点，求||||

OA OB

+的值。

23． 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）试分别将曲线C l 的极坐标方程θθρcos sin -=和曲线C 2的参数方程???+=-=t t y t t x cos sin cos sin （t 为参数）化为直角坐标方程和普通方程： （II ）若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线C l 和曲线C 2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离（视蚂蚁为点）．

23解：（1）曲线22

1:0C x y x y ++-= ┅┅┅┅┅┅┅2分 曲线2sin 2:cos 2

x y t C y x

t +?=???-?=??，即222x y += ┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 （2

）因为12C C ===所以圆221:0C x y x y ++-=与圆222:2C x y +=内切 所以红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆2C

的直径 ┅┅┅┅┅┅10分

6、 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα

=??=+?为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =

，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ

=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|． 6、解：

（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(2

,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ???

???????????+==ααsin 222,cos 22y x 即

??????+==ααs i n 44c o s 4y x

从而2C 的参数方程为 4cos 44sin x y αα=??=+?

（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3πθ

=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=。

所以21||||AB ρρ-==

5、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

23(24x t t y t

=--??=-?为参数） 它与曲线C ：221x -=（y-2)交于A 、B 两点。 （1）求|AB|的长

（2） 在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P

的极坐标为3)4

π，求点P 到线段AB 中点M 的距离。

23（本小题满分10分） 解（1）直线l 的参数方程化为标准型???

????+=+-=t y t x 232212（t 为参数） …… 2分

代入曲线C 方程22430x

y y -+-=得01042=-+t t 设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ， 所以142||||

21=-=t t AB …… 5分 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分 所以点P 在直线l 上， …… 7分 中点M 对应参数为22

21-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段

AB 中点M 的距离2||=PM ……1 0分

23．（10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线C:

，已知过点P(-2,-4)

的直线 的参数方程为 (t 为参数)，直线 与曲线C 分别交于M,N ．

（1）写出曲线C 和直线 的普通方程；

（2）若︱PM ︱, ︱MN ︱, ︱PN ︱成等比数列, 求

的值

23解：（Ⅰ）22,2y ax y x ==-. ……………..5分

（Ⅱ）直线l 的参数方程为???????+-=+-=t y t x 224222（t 为参数）,

代入22y ax =, 得到2)8(4)0t a t a -+++=， ………………7分

则有1212(4),8(4)t t a t t a +=+?=+.

因为2||||||MN PM PN =?，所以22

12121212()()4t t t t t t t t -=+-?=?. 解得 1a =. 2sin 2cos a ρθθ=)0(>a l l l ???????+-=+-=t y t x 224222a

5．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210

πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈．

（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．

6、直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为4cos ρθ=，

直线l

的方程为2212x y t ?=-+????=??（t 为参数），直线l 与曲线C 的公共点为T 。

（1）求点T 的极坐

标；（2）过点T 作直线','l l 被曲线C 截得的线段长为2，求直线'l 的极坐标方程。

7、平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是??

???==t y t x 3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

已知曲线C 的极坐标方程为-+θρθρ2222sin cos 03sin 2=-θρ．

（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB ．

23、（1）22

1:(4)(3)1C x y ++-= 22

2:1649x y C +=（4分） （2

）5（10分）

13．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=??=+?

且参数[]0,2απ∈， 所以点P 的轨迹方程为22(2)4x

y +-=． ·················································································· 3分 (Ⅱ)因为)4

sin(210

πθρ-=

，所以)104πθ-=， 所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． ······················· 6分

法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为

2.

d ==P 到直线l

距离的最大值2. ··························· 10分 法二

：)44d πα==++，当74πα=

，max 2d =，即点P 到直线l

距离的最大值2. ······················································· 10分

12、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=

- 由???==θ

ρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=?ρπθ. （ 也可以是：3π

θ=或)0(3

4≥=ρπθ） （Ⅱ）??

???==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ 得0332=--ρρ- 设

)3,(1πρA ，)3,(2πρB ，则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB

23. 解：（1）由?

??=+=,sin ,cos 1ααy x 得点P 的轨迹方程),0(1)1(22≥=+-y y x （2分） 又由,cos sin 9,)4sin(29

θθρπθρ+=+=得 9cos sin =+∴θρθρ ∴曲线C 的直角坐标方程为9=+y x 。 （5分）

（2）半圆)0(1)

1(22≥=+-y y x 的圆心（1，0）到直线9=+y x 的距离为24， 所以

124min -=PQ （10分

23．选修4-4：极坐标与参数方程

已知点)sin ,cos 1(αα+P ，参数[]πα,0∈，点Q 在曲线C

：9

)4ρπθ=+上。 （Ⅰ）求点P 的轨迹方程与曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点P 与点Q 之间的最小值。

23. 解：（1）由???=+=,

sin ,cos 1ααy x

得点P 的轨迹方程),0(1)1(22≥=+-y y x （2分） 又由,cos sin 9,)4sin(29

θθρπ

θρ+=+=得 9cos sin =+∴θρθρ

∴曲线C 的直角坐标方程为9=+y x 。 （5分）

（2）半圆)0(1)1(22≥=+-y y x 的圆心（1，0）到直线9=+y x 的距离为24， 所以124min -=PQ

23、选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)

已知圆4)2(:22=+-y x C ，直线l 经过M(1,0)，倾斜角为6

5π，直线l 与圆C 交与 A 、B 两点。

（1） 若以直角坐标系的原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标

系，写出 圆C 的极坐标方程； （2）选择适当的参数，写出直线l 的一个参数方程，并求MB MA +的值。

23、 已知曲线C 的极坐标方程是1ρ

=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立

平面直角坐标系，直线l 的方程为21)y x -=-；直线l 与曲线C 的交点为A,B.且P(1,2)

（1）求｜PA ｜+|PB|的值；（2）设曲线C 经过伸缩变换3x x y y '=??'=?

得到曲线C '，设曲线C '上任一点为

(,)M x y ，求x +的最小值.

19（１）22:21);:1y x C x y -=-+= 圆—4分 （２）曲线2

2':19

x C y +=—7分

令3cos 3cos sin x x y θθθθ=?∴+=+?=?—9分

)θφ=+

x ∴+最小值10分

23、 已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=，直线l 的参数方程为???+==ααsin 1cos t y t x ( t 为参数，0≤

α＜π).

(Ⅰ)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；

(Ⅱ)若直线l 经过 ,点(1, π)关于极点对称点M ，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.

23．（三校一模）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是22cos 2sin x y ??=+??=?

（φ为参数）和cos 1sin x y ??=??=+?

（φ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；

（2）射线OM :θ = α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求| OP | · | OQ |的最大值

23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）圆1C 和2C 的的普通方程分别是4)2(22=+-y x 和1)1(2

2=-+y x ，

所以圆1C 和2C 的的极坐标方程分别是θρcos 4=和θρsin 2=. ……5分 （Ⅱ）依题意得，点Q P ,的极坐标分别为(4cos ,)P αα和(2sin ,)Q αα

所以|cos 4|||α=OP ，|sin 2|||α=OQ .从而|||||4sin 2|4OP OQ α?=≤.

当且仅当sin 21α=±时，上式取“=”即，||||OP OQ ?的最大值是4. ……10分

23．（本小题满分10分）

选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23(24x t t y t =--??=-?

为参数） 它与曲线C ：221x -=（y-2)交于A 、B 两点。

（1）求|AB|的长

（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P

的极坐标为3)4

π，求点P 到线段AB 中点M 的距离。

23）解：

（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 051272=--t t

设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 75,7122121-==

+t t t t ． ……3分 所以771104)(5)4()3(212212122=

-+=--+-=t t t t t t AB ． ……5分 （Ⅱ）易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为7

6221=+t t ． ……8分 所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为

7

3076)4()3(22=?-+-=PM ． ……10分 23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，已知点

P ，曲线C

的参数方程为x y ??

?=??=??（φ为

参数）。以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为2cos()6ρθ=-

（1）判断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；

（2）设直线l 与直线C 的两个交点为A 、B ，求||||PA PB ?的值。

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)

直线:2cos()6l π

ρθ-=

cos sin θρθ+=

∴直线l

y +=，

∴

点P 在直线l 上. ……5分

(Ⅱ)直线l 的参数方程为???

????+=-=t y t x 233,21（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为221515x y += 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，

有2221

3())15,28022

t t t -+=∴+-=，036>=?，设方程的两根为12,t t ， 121288PA PB t t t t ∴?===-= ……10分

在极坐标系中，已知直线l

的极坐标方程为sin()14π

ρθ+=，圆C

的圆心是

)4

C π

（1）求圆C 的极坐标方程；

（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长。

23.（Ⅰ）圆C 的极坐标方程为：)4sin(22π

θρ+= ·

········5 分 （Ⅱ）圆心到直线距离为1，圆半径为2，所以弦长为2

设直线l 的参数方程为{22t x t y +== (t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=θ

θ2sin cos 8． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB .

23．（10分）解：（1）由ρ=

θθ2sin cos 8得ρθθcos 8sin 2= θρθρcos 8sin 22= ∴x y 82=

∴ 曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 上的抛物线 （5分）

（2）{22t x t y +==化为t x t y 5

52552{+==代入x y 82=得020522

=--t t 10)20(4)52(4)(22121212=-?-=-+=-=t t t t t t AB

已知直线: t t y t x (.23,211???

????=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=??=? （θ为参数）. （Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；

（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的

21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是

23.解：

（I ） 的普通方程为1),1(3C x y -=

的普通方程为.122=+y x 联立方程组?????=+-=,

1),1(322y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B , 则1||=AB . …5分

（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 2

3,cos 21???

????==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是 ]2)4

sin(2[432|3sin 23cos 23|

+-=--=πθθθd , 由此当1)4sin(-=-

πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(4

6-. …10分

（Ⅰ）由已知得，

直线l

的参数方程为()1122

x t y t ?=????=+??，为参数，， ………………………………………3分

圆C 的直角坐标方程为2220x x y ++=. ………………………………………………5分

（Ⅱ）将()1122

x t y t ?=????=+??，为参数，代入2220x x y ++=，

整理得24(210t t +-+=，设方程两根分别为12,,t t 则121,4

t t ?= 根据参数t 的几何意义，得点P 到A B ，两点的距离之积为121||4

t t =.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为122

x t y ?=????=??（t 为参数）．在极坐标系

（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C

的方程为2sin 10ρθ--=. 设圆C 与直线l 交于点A ，B

，且(0,P .

（1）求AB 中点M 的极坐标；

（2）求|PA |＋|PB |的值.

23.

由2sin 10ρθ--=，

得2210x y +--=

，即(224x y +=. …………3分 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 212t ?? ???

＋22? ?＝4，即2680t t -+=， 40?=>，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以1212

68t t t t +=??=?, …………6分 12t 2,t 4.==解得

（1）

1232t t +=，

∴322M ?? ? ???

，∴点M

的极坐标为6π???. ………………8分 （2）又直线l 过点，故由上式及参数t 的几何意义得PA PB +=12t t + ＝126t t +=. .........10分

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆C 的方程是042

2=-+x y x ，圆心为C ．在以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1

：

ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点．

（1）求直线AB 的极坐标方程；

（2）若过点C(2,0)的曲线C 2

:2212

x y t ?=+????=??(t 是参数)交直线AB 于点D ，交y 轴于点E ，求|CD|:|CE|的值.

23. 解：

（1）在以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,

极坐标与直角坐标有关系:222

tan x y y x ρθ?=+??=??

或cos sin x y ρθρθ=??=?， ………………………1分 所以圆1C 的直角坐标方程为0342

2=++y y x ， …………………………………2分 联立曲线C:0422=-+x y x ，得 1100x y =??=?

或223x y =???=??，

即不妨令(0,0),(3,A B ，从而直线AB 的直角坐标方程为

:y x =， (此处如下解法也可:联立曲线1C 与C ,消去2x 与2y 项,

0x +=)，

所以sin cos 3ρθρθ=-

，

即tan θ=， …………………………………………………………………4分 所以直线AB 的极坐标方程为6π

θ-=，R)(∈ρ. ………………………………5分

（2）（方法一）由(1)可知直线AB

的直角坐标方程为y x =， …………………6分 依题令交点D 11(,)x y

则有11112212

x y t ?=+????=??， 又D 在直线AB

上，所以，111(2)232t t =-+

，解得13

t =-， 由直线参数方程的定义知|CD|=|1t

|3

=， 同理令交点E 22(,)x y

，则有22222212

x t y t ?=+????=??， 又E 在直线0x =

上，所以2202+=

，解得23

t =-， 所以|CE|=|2t

|=

所以|CD|:|CE|=12.

（方法二）将曲线C 2

:2212

x y t ?=+????=??(t 是参数)化为普通方程

:2)3y x =-， ………6分 将其联立AB 的直线方程

:y =，解得

:1x y =???=??

从而

D (1,， 再将曲线C 2与直线0x =联立,

解得03x y =???=-??

,从而

E (0,3-， 这样

………………………………………8分

3， …………………………………………9分 从而|CD|:|CE|=

12

. ……………………………………………………10分

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极

轴，已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 4=，曲线2C 的参数方程是?

??=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，)0πα<≤，射线4,4,π

?θπ

?θ?θ-=+==与曲线1C 交于极点O 外的三点C B A ,,

（1）求证：||2||||OA OC OB =+；

（2）当12π?=

时，C B ,两点在曲线2C 上，求m 与α的值．

23.解（1）设点C B A ,,的极坐标分别为)4,(),4,(),,(321π?ρπ?ρ?ρ-+

∵点C B A ,,在曲线1C 上， ∴)4cos(4),4cos(4,cos 4321π

?ρπ?ρ?ρ-=+== 则||||OC OB +=?π

?π?ρρcos 24)4cos(4)4cos(432=-++=+ ?ρcos 242||21==OA , 所以||2||||OA OC OB =+

（2）由曲线2C 的参数方程知曲线2C 为倾斜角为α且过定点)0,(m 的直线， 当12π

?=时，B ，C 点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ

- 化为直角坐标为)3,1(B ，)3,3(-C ,

∵直线斜率为31333tan -=---=α，πα<≤0， ∴32πα= 直线BC 的普通方程为)(3m x y --=， ∵过点)3,1(B ， ∴)1(33m --=，解得2=m

已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=

，直线l 的参数方程为???+==α

αsin 1cos t y t x ( t 为参数，0≤α ＜π). (Ⅰ)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (Ⅱ)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/krli.html