福建省2012届高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何 解析版

（8）立体几何

一、选择题：

表4. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)用m,n表示两条不同的直线，示平面，则下列命题正确的是

4.D【解析】对于A，可能出现m ；对于B，m,n可以异面；对于C，m, 可以相交也可以在平面内.

5. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科） 下列四个条件：

①x，y，z均为直线； ②x，y是直线，z是平面； ③x是直线，y，z是平面；④x，y，z均为平面.

其中，能使命题“x y,y z x z”成立的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.C【解析】①③④能使命题“x y,y z x z”成立

.

5．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查文科)一个几何体的直观图、正视图、侧视

图如图所示，则这个几何体的俯视图是 （ B ）

6．(福建省厦门市2012年3月高三质量检查理科)如图，O为正方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（ D ） A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1

9．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查文科)已知 , , 是三个互不重合的平面，l

是一条直线，下列命题中正确的是

A．若 ,l ,则l//

（ D ）

B．若 , ,则

C．若l上有两个点到α的距离相等，则l// D．若l ,l// ,则

l//

6．(福建省莆田市2012年3月高三毕业班教学质量检查理科)某圆柱被一平面所截得到的

几何体如图（1）所示，若该几何体的

正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图 是 （ D ）

3．(福建省莆田市2012年3月高三毕业班教学质量检查理科)已知l,m为两条不同的直线，

α为一个平面。若l//m,则“l// ”是“m// ”的

（ D ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．(福建省莆田市2012年3月高三毕业班教学质量检查文科)如图（1）是底面为正方形、

一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的 （ D ）

二、填空题：

12. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科）一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .

12.【解析】该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为

1

1 2 1. 2

15．(福建省泉州市2012届高三3月质量检查文科)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 1 ．

正视图侧视图

13．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查理科)一个空间几何体的三

视图如右所示，则该几何体的体积为 4 。

15．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查理科)在面积为S的正三角形ABC中，E

是边AB上的动点，过点E作EF//BC，交AC于点F，当点E运动到离边BC的距离为

3

11

ABC高的时， EFB的面积取得最大值为S.类比上面的结论，可得，在各棱条

24

相等的体积为V的四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG//平面BCD，分别交AC、AD于点F、G，则四面体EFGB的体积的最大值等于V。三、解答题：

19. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)（本小题满分14分）

4 27

如图，在边长为4的菱形ABCD中, DAB 60o.点E,F分别在边CD,CB上，点E与点C,D不重合，EF AC,EF

AC O.沿EF将 CEF翻折到 PEF的位置，使平

面PEF 平面ABFED.

( I)求证：BD 平面P0A；

(Ⅱ)当PB取得最小值时，请解答以下问题： ( i)求四棱锥P BDFF的体积；

( ii)若点Q满足AQ QP( 0)，试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于

4

？并说明理由.

19.（Ⅰ）证明：

∵ 菱形ABCD的对角线互相垂直， ∴BD AC，∴BD AO，

∵ EF AC，∴PO EF． ∵ 平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF 平面ABFED EF，

（ⅰ）设AO BD H.

因为 DAB 60 ，所以 BDC为等边三角形， 故BD

4，HB 2,HC .

又设PO

x，则OH

x，OA x. 所以O(0,0,0)，P(0,0,x

)，B x,2,0)，

故

PB OB OP x,2, x)，

所以PB ，

当x

PBmin .

此时PO

OH 由（Ⅰ）知，PO 平面BFED,

112

所以V四棱锥P BFED S梯形BFED PO 422) 3.

33（ⅱ）设点Q的坐标为 a,0,c ，

设平面PBD的法向量为n (x,y,z)，则n PB 0,n BD 0．

2y 0,

， 2,，BD 0, 4,0 ，∴ 4y 0

取x 1，解得：y 0,z 1， 所以n (1,0,1).

∵PB

设直线OQ与平面PBD所成的角 ，

因此直线OQ与平面PBD所成的角大于

4

，即结论成立．

18．(福建省泉州市2012届高三3月质量检查文科) (本小题满分12分)

如图1，在正方形ABCD中，AB 2，

E是AB边的中点，F是BC

边上的一

点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点．将 DAE, DCF折起，使A、C重合于A点，构成如图2所示的几何体． （Ⅰ）求证：A D 面A EF；

'

又AE AF A,AE 面AEF,AF 面AEF， 4分

'''''''

A'D 面A'EF． 5分

（Ⅱ）当点F为BC的中点时，EF//面A'MN． 6分 证明如下：当点F为BC的中点时，

19. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科）（本小题满分13分） 如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，AA1 AB AC 3，

AB AC t(t 0)，P是侧棱AA1上的动点

.

（Ⅰ）当AA1 AB AC时，求证：AC 平面ABC1； 1（Ⅱ）试求三棱锥P BCC1的体积V取得最大值时的t值；

∴AB 平面AAC11C.

又∵AC1 平面AAC11C, ∴AB AC1. ∵AB,AC1 平面ABC1,AB AC1 A, ∴AC 平面ABC1. 1

证法二：∵AA1 面ABC，∴AA1 AC，AA1 AB. 又∵AB AC，

∴分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则

A(0,0,0),C1(0,1,1),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)，

AC (0,1, 1),AC1 (0,1,1),AB (1,0,0)， 1

∴AC1 AC1 0,AC1 AB 0，

AC1,AC AB. ∴AC11

又∵AB,AC1 平面ABC1,AB AC1 A

平面ABC1. ∴AC1

证法三：∵AA1 面ABC，∴AA1 AC，AA1 AB. 又∵AB AC，

∴分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则A(0,0,0),C1(0,1,1),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),

AC (0,1, 1),AC1 (0,1,1),AB (1,0,0). 1

设平面ABC1的法向量n (x,y,z)，

x 0 n AC1 y z 0则 ，解得.

y z n AB x 0

令z 1，则n (0, 1,1)，

n, ∴AC∵AC 平面ABC1. 11

（Ⅱ）∵AA1

平面BB1C1C，

∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离

1113

∴V VP BCC1 VA BCC1 VC1 ABC t2(3 2t) t2 t3(0 t ),

6232

V' t(t 1)，

令V' 0，得t 0（舍去）或t 1，

列表，得

(0,1)

+ 递增

1 0 极大值

3(1,) 2

－ 递减

V' V

∴当t 1时，Vmax

1

.

6

x1 0 n AC ty (3 2t)z 0 1 111则 ，解得 2t 3,

y1 z1 n1 AB tx1 0t

令z1 t，则n1 (0,2t 3,t).

设二面角A BC1 C的平面角为 ，

|n n2| 则有|cos | 1

|n1| |n2| 化简得5t2 16t 12 0,解得t 2（舍去）或t

6

. 5

所以当t

6

时，二面角A BC1

C.

5

20．(福建省晋江市四校2012届高三第二次联合考试文科) (本题满分12分)

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB//EF，

矩形ABCD的边BC垂直于圆O所在的平面，且AB 2，AD EF 1. （1）求证：AF 平面CBF；

（2）设FC的中点为M，求证：OM//平面DAF； （3）求三棱锥的体积VF ABC .

（2）设DF的中点为N，则MN//

11

CD，又AO//CD， 22

则MN//AO，∴MNAO为平行四边形 6分 ∴OM//AN， 又AN 平面DAF，OM 平面DAF 7分

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