2005年高考理科数学全国卷试题及答案

2005年高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案 （黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆）

第I卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2

如果事件A、Ｂ相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

V?43?R 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kKn?k P (k)?CP(1?P)nn一、选择题

（１）函数f(x)?sinx?cosx的最小正周期是

（A）

?? （B） （C）? （D）2? 42P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，（２）正方体ABCD?A1BC11D1中，

正方体的过P、Q、R的截面图形是

（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形 （３）函数y?（A）y?（C）y?3x2?1(x?0)的反函数是

(x?1)3(x??1)（B）y??(x?1)3(x??1) (x?1)3(x?0)（D）y??(x?1)3(x?0)

（４）已知函数y?tan?x在(???,)内是减函数，则

22（A）０＜?≤１（B）－１≤?＜０（C）?≥１（D）?≤－１

（５）设a、b、c、d?R，若

a?bi为实数，则 c?di（A）bc?ad?0（B）bc?ad?0 （C）bc?ad?0（D）bc?ad?0

x2y2??1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1?x轴，则F1到（６）已知双曲线

63直线F2M的距离为

（A）653656（B）（C）（D）

5656（７）锐角三角形的内角A、B满足tanA?1?tanB，则有

sin2A（A）sin2A?cosB?0（B）sin2A?cosB?0 （C）sin2A?sinB?0（D）sin2A?sinB?0

（８）已知点A(3,1)，B(0,0)，C(3,0)．设?BAC的平分线AE与BC相交于E，

????????那么有BC??CE，其中?等于

（A）２（B）

11（C）－３（D）－ 2322（９）已知集合M?xx?3x?28?0，N?xx?x?6?0，则M?N为

????（A）x?4?x??2或3?x?7?（B）x?4?x??2或3?x?7? （C）xx??2或x?3? （D）xx??2或x?3?

（10）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v?(4,?3)（即点P的运动方向与v相同，

且每秒移动的距离为v个单位）．设开始时点P的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P的坐标为 （A）（-2，4）（B）（-30，25）（C）（10，-5）（D）（5，-10） （11）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d?0，则

（A）a1a8?a4a5（B）a8a1?a4a5（C）a1+a8?a4+a5（D）a1a8=a4a5 （12）将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

（A）

????43?263?262626（B）2+（C）4+（D）

3333

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 （13）圆心为(1,2)且与直线5x?12y?7?0相切的圆的方程为_____________． （14）设a为第四象限的角，若

sin3a13?，则tan2a?_____________． sina5（15）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数

共有_____________个．

（16）下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分）

设函数f(x)?2x?1?x?1，求使f(x)?22的x取值范围．

（18） （本小题满分12分）

已知?an?是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn?1，a2nn?1,2,3,…．

（Ⅰ）证明?bn?为等比数列；

（Ⅱ）如果无穷等比数列?bn?各项的和S?1，求数列?an?的首项a1和公差d． 3（注：无穷数列各项的和即当n??时数列前项和的极限）

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令?为

本场比赛的局数．求?的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）

（20）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点． （Ⅰ）求证：EF垂直于平面PAB；

（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．

（21）（本小题满分14分）

2PCBFEADy2?1上，P、Q、M、N四点都在椭圆x?F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ2共线，MF与FN共线，且PF?MF?0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

（22）（本小题满分12分）

2x已知a?0，函数f(x)?(x?2ax)e．

（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

参考答案

1-6: CDBBCC 7-12:ACACBC (2)分析：本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力，通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D.

(12) 解析一：由题意，四个半径为1的小球的球心O1,O2,O3,O4,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器P?ABC的各对应面的距离都为1 如图一所示显然HO?1设N,T分别为AB,O2O3的中点，

在棱长为2的正四面体O1?O2O3O4中，

PMO1OT1?3,HT?3, 3∴ O1H?126，且sin?TO1H?.

33O2ANTO3BHOO4C作O1M?PN，则O1M?1， 由于?O1PM??TO1H, ∴ PO1?图一 O1MO1M??3 sin?O1PMsin?TO1H∴ PO?PO1?O1O?HO?3?故选C 2626 ?1?4?33解析二：由题意，四个半径为1的小球的球心O1,O2,O3,O4,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器P?ABC的各对应面的距离都为1 如图二所示,

正四面体O1?O2O3O4与P?ABC有共同的外接球球心O的相似正四面体，其相似比为：

126126???1OO1OH3264332643k???(?)????3 ,所以OP?OQ126k4343126??1?4343所以PQ?OP?OQ?(?32612626)?3?(??1)??4 43433

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