华南理工大学高数下答案(第九章：曲线积分与曲面积分)

1

、计算

对弧长的曲线积分

C

，其中曲线C

是y 0 x 2a的一段弧 a 0 。

x 2acos2

解：C的参数方程为

y 2acos sin

0

2

0

原式

20

2acos 24a2cos d 4a2

4

4 33

2、计算 x y ds，其中L星形线x acos3t,y asin3t在第一象限的弧

L

0 t 。

2

72 sint cost

解：原式 2a cost sint 3acostsintdt 3a a3 06 0

6

6

4

4

4

373

3、计算xyzds，其中 为折线ABC，这里A,B,C依次为点

0,0,0 , 1,2,3 , 1,4,3 。

x t x 1

解：AB段参数方程 y 2t0 t 1，BC段参数方程 y 2 2t0 t 1

z 3 z 3t

原式

AB

xyzds

BC

xyzds 3dt

12 12t dt

11

21

4 12t 6t 18 0 0

4、计算

1

x

1

2

y2 ds，其中 为螺旋线x tcost,y tsint,z t上相应于t从0到1

的弧。

解：方法一 原式

t

t

1

1

111 112 2 2

2 t dt t

2 t 2 t2 dt 020202

1 t

02

11 1

原式 lnt

42042 2 0

1

1 221

1

方法二、 原式

t

t 111

2t dt

222

11u 1 1

201

u 1 2

1

1

0

02

2

11

2

1

20

原式 方法三、

原式

1

lnu 1

2

0

1

12 0

1

ln2

2

1

ln2 24

t

1

t

1

34222因为 t t4

2

2

lnt

1

11 所以lnt t

42

1111

lnt ln1 ln原式 4222 0

1

5、计算

L

，其中L:x2 y2 axa 0

2

x acos2

解：x y ax r acos ，曲线L的参数方程为

y asin cos

2

2

2

原式

2

2

acos 2a

2

20

cos d 2a2

6、计算

L

,其中L为圆周x2 y2 a2，直线y x,y 0在第一象限内所围成的

扇形的边界。

解：如右图，线段OA的参数方程为

x t0 t

2 y t

x acost

弧AB的参数方程为 0 t

4 y asint

线段OB的参数方程为

x t

0 t

a

y 0

a

a

t

原式

4eadt edt 00 0

a

4 et aet 0 0

a

e 1

a

a aaa

e e 1 ea 2 44

2

7、求曲线x at,y

a2at,z t3 0 t 1 的质量，其密度

。

23解：m

1a

u t2

020

a

20a 1

s u 2

3aa3s

88

h

3a 1

lnh 8 2

3ln3 a 16

8、求半径为a，中心角为 的均匀圆弧（线密度 1）的质心。

x acos

解：设圆的方程为

y asin

0

2

xds a

L

2

a a

yds cos d asin a ，

L

sin d

a a

a 1 cos

所求质心坐标为

asin

,

a 1 cos

。

对坐标的曲线积分

1、计算下列对坐标的曲线积分

x2y2

1） x y dx x y dy，其中L为按逆时针方向绕椭圆2 2 1周。

abL

x acos x2y2

解：椭圆2 2 1的参数方程为

ab y bsin

原式

2 0

从0变到2

acos bsin asin acos bsin bcos d

2

a2 b2

abcos2 sin2 d 0

2

2）ydx xdy，其中L是点A 1,0 ,B 0,1 ,C 1,0 为顶点的三角形边界（按

L

逆时针方向）。 解：AB:

原式

x 1 t

y t

10

x tBC:

y 1 t

1

1

x 1 2t

，t从0变到1 CA:

y 0

1 2t dt t 1 t dt 2t dt 1

3）计算曲线积分

12xy e dx cosy xe dy，其中L为由点A 1,1 沿抛物线

y

y

L

y x2到点O 0,0 ，再沿x轴到点B 2,0 的弧段。

解：原式

1

12x e

3

x2

2xcosx 2xe

2

2

2x2

dx 1dx

20

3x4 sinx2 xex 2 3 sin1 e 2 e sin1 1

1

4）xdx ydy x y 1 dz，其中 是从点 1,1,1 到点 2,3,4 的一段线段。

x 1 t

解： 的参数方程为 y 1 2t，t从0变到1

z 1 3t

原式 5）

1

1 t 2 1 2t 3 1 3t dt 6 14t dt 13

1

ydx xdy dz，其中 是圆柱螺线x 2cost

,y 2sint,z 3t从t 0到

t 2 的一段弧。

解：原式 2、计算

4sin

2

2

t 4cos2t 3 dt 2 。

2

L

x2

式中L是从点O 0,0 沿L1:y 到点A 2,2 ，2x ydx 2y xdy，

2

2

y2

再由点A沿L2:x 回到点O的闭曲线。

2

12 x t

x t

解：L1的参数方程为 2，t从2到0 12，t从0到2；L2的参数方程为

y t 2 y t

原式

0 14 14

2t tdt 2t t dt 0。 0 24 4 2

3、设力F的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依y轴的负方向，求质量为m的质点沿抛物线1 x y从点 1,0 移到 0,1 时，求力F所做的功。

2

x 1 t2

解：F 0, x ，抛物线L的参数方程为 ，t从0到1。

y t

2

W xdy

L

2

1 t

1

22

23t5 8dt t t

5 015 3

3

1

4、设 为曲线x t,y t,z t上相应于t从0变到1的一段曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz化为关于弧长的曲线积分。

2

解：

dxdy 1, 2t,dtdtdz

3t2 dt

cos

2

cos

cos

Pdx Qdy Rdz

Pcos Qcos Rcos ds

格林公式及其应用

1、利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积 1） 星形线x acos3t,y asin3t。

解：S xdy

L

2

3acostsintdt 12a

2422

cos

20

4

t cos6t dt

12a

2

53 3 3

a2。

616 8 16

112 242224

方法二、S ydx xdy 3asintcost 3asintcost dt

2L203a2

2

2

2

3a2

sintcostdt

8

2

2

2

3a2

sin2tdt

8

2

2

1 cos4t3a2

dt 28

2） 9x 16y 144。

解：S xdy

L

2

2

12costdt 48 2cos2tdt 12 。

2

x2y2

2、计算 x y dx x y dy，其中L为反时针绕椭圆2 2 1 一周。

abL

解：利用格林公式

原式 3、计算

2dxdy 2 ab

D

3

2xy

y2cosx dx 1 2ysinx 3x2y2 dy，其中L为抛物线2x y2上由

点 0,0 到

,1 的一段弧。 2

解：设P x,y 2xy3 y2cosx 因为

,Q x,y 1 2ysinx 3x2y2

P Q

，所以此曲线积分与路劲无关， 6xy2 2ycosx

y x

1

1

3 22 23 22

y dy y y y 原式 1 2y

0444 0

x2y2

4、计算 ye 3x y 1 dx xe 3x y 3 dy，其中L为椭圆a2 b2 1的正

L

xy

xy

向一周。

解：利用格林公式 原式

x2a

e

y2b 12

xy

xyexy 3 exy xyexy 1 dxdy

x2a

4dxdy 4 ab

1

2 2

y2

b2

4）

L

x y dx x y dy，其中L为正向椭圆x2 y2

x y

2

2

48

1。

解：在L的内部以原点为圆心以很小正数 为半径作取正向的圆周C，其参数方程为

x cost Px2 2xy y2 Q

，t从0到2 。由于，利用格林公式有 222 y y sint x y x

原式

C

x y dx x y dy

x y

2

2

sintcost sin

2

2

t cos2t sintcost dt

2

1dt 2 。

5、计算曲线积分I

2

f x sinydx f x cosy x dy，其中f x 为连续函数L是

L

沿圆周 x 1 y 1 2

2

按逆时针方向由点A 2,2

到点O 0,0 的弧段。

解：P f x siny,Q f x cosy x

P

f x cosy y

,

Q

f x cosy x

x 2tOA:

y 2 t

原式

D

t从0变到1

dxdy

1

OA

f x sinydx f x cosy x dy

1 2

2

2f 2t sin2 t 2 f 2t cos2 t 4 2tdt

2

2

4

4

f 2t sin2 t 2 t

221

3 2 4

2

2424

2

2 4

6、计算

L

xdy ydx

，其中L为

x2 y2

2

2

1）圆周 x 1 y 1 1（按反时针方向）； 2）闭曲线x y 1（按反时针方向）。 解：设P x,y

yx

,Qx,y ，它们在 0,0 处无定义。 2222

x yx y

Py2 x2 Q

y x2 y2 2 x

1）因为 0,0 不在圆周内，所以

L

xdy ydx

0；

x2 y2

2）因为 0,0 在闭曲线内，所以可在闭曲线内作圆周Cr:x2 y2 r2（取反时针方向）

L

2 xdy ydxxdy ydx

2 d 2 。 20x2 y2x yCr

7、证明下列曲线积分在xoy平面内与路径无关

2xy y 3 dx x 4xy dy

2xy y 3 x

解：因为 2x 4y

1）

4

2

3

1,0

2,1

42

3

4xy3 x

2

y

，所以以上曲线积分在xoy平面

内与路径无关。

2,1

1,0

2xy y4 3 dx x2 4xy3 dy 3dx 4 8y3 dy 5

1

1

2）

,2

0,0

e

y

cosx m dx eysinx my dy

解：因为

eycosx m

y

eycosx

eysinx my

x

，所以以上曲线积分在xoy平

面内与路径无关。

ecosx m dx esinx my dy cosx m dx mydy m 2

8、计算 e x dx xe 2y dy，其中是过三点A 0,0 ,B 0,1 ,C 1,2 的圆周。

y

y

0,0

,2

2

yy

L

解：设L围成的区域为D，利用格林公式得

e

L

y

x dx xey 2y dy ey ey d 0

D

9、设f x 在 , 上具有连续的导数，计算

1 y2f xy x2

yf xy 1 dx dy 2 yyL

其中L为从点 3,

2

到点 1,2 的直线段。 3

1 y2f xy x2 2 yf xy 1 y1y 解：因为，所以此曲 2 f xy xyf xy

yy x

线积分与路劲无关。取路径沿曲线xy 2从点 3,

2

到点 1,2 3

1

2x x2 2

原式 1 f 2 f 2 dx x 4。

3x2 4 3 x

1

10、验证P x,y dx Q x,y dy在整个xoy平面内是某个函数的全微分，并求出一个原函数。

xyxy

x ye edx e x 1e1） dy

解：因为

xy

x ye e

y

x

x

ex ey

xy

e x 1e

x

，所以上式在xoy平面内是某个

函数的全微分。

xyxxxy

u x,y xe 1 dx e x 1edy xe e ey x 1e 00 2232y

2）3xy 8xydx x 8xy 12yedy

y

解：因为

3x2y 8xy2

y

y

3x2 16xy

x3 8x2y 12yey

x

，所以上式在xoy平面内

是某个函数的全微分。

322yy

u x,y x3 8x2y 12yey dy xy 4xy 12ye 12e

y

x3y 4x2y2 12yey 12ey 12

22

3）2xcosy ycosxdx 2ysinx xsinydy

解：因为

2xcosy y2cosx

y

x

y

2ycosx 2xsiny

2ysinx x2siny

x

2

2

y

，所以上式

在xoy平面内是某个函数的全微分。

u x,y 2xdx 2ysinx xsiny dy x ysinx xcosy 0 00

2

2

y2sinx x2cosy

11、设有一变力在坐标轴上的投影为X x y2,Y 2xy 8，这变力确定了一个力场，证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。 证明：因为

x y2 y

2y

2xy 8

，所以场力所做的功与路径无关。

x

对面积的曲面积分

1、计算下列对面积的曲面积分 1）

xyz4

1在第一卦限中的一部分。 ，其中为平面z 2x ydS 2343

解：原式

Dxy

41 4

3

xy16

dxdy，其中Dxy由 1,x 0,y 0围城的区域

239

2

3 x4612461 32 2dy dx3x x 461 0033 4 0

2）

xy yz zx dS，其中

是锥面z

被柱面x2 y2 2ax所截得的有限

部分。

解：原式

x2 y2 2ax

xy

x y3

420

x2 y2 2ax

3）

d

2 2

2aco s

rcos dr 8a

264544cos d 8a a 4

5315

x

2

y2 z2 dS，其中 为球面x2 y2 z2 2ax。

解：原式 2

2

x y 2

2

2 2 dx0

2a

2

4a2

2

4a

2a

xdx0

4a

2

a2

x 0

dx

2a

2

xdx 4 a4。

2、

22

x y z 4，其中是平面被柱面x y 1截的有限部分

ydS

解：原式

2

x y2 1

d

2 2sin d 0

3、求球面x2 y2 z2 a2含在柱面x2 y2 ax内部的那一部分面积。 解：S 2

22222 :z a x yxoy，其中在面投影为x y ax围成的区域 dS

2

2

x2 y2 ax

aa x y

2

2

2

dxdy 2 2 d

2

acos

ara r

2

2

dr 2 2 a2 a2sin d

2

4a

2

2 1 sin d 2a 20

4、求抛物面壳z 解：m

2

12

x y2, 0 z 1 的质量，此壳的面密度大小为 z。 2

zdS

20

12

x y2 x2 y2dxdy 2x2 y2 2

d

2113

r r2dr 2 u udu（其中u r2）

042

2

35 131 2 1 22 2 u 1 u 1 u 2 6 1

61551515 0

5、

设圆锥面z

a为圆锥面底面半径，h为高），其质量均匀分布，求其重心。 解：由对称性可得 0, 0，无妨设其密度为1，

2 y2 a2 zdS

2

h a3

d r2dr

a

2h 3

所求重心为 0,0,

2 h 。 3

2

6、计算

1 x y

dS

，其中 是四面体x y z 1,x 0,y 0,z 0的边界。

解：原式

Dxy1

1 x y

1

2

dxdy

Dyz

1

1 y

10

2

dydz

Dxz

1

1 x

dz

2

dxdz

Dxy

1 x y

2

dxdy

dx

1 0

1

x y1 x

2 dx

1 x

1

1 x

2

1 11 x1

dx 2 0 1 x 2dx 01

x y 0

10

1 1 21 1

1 dx 2

dx 20 1 x2 1 x 1 x

x 2

1 ln 1 x 2 ln 1 x

2 0 1 x

11

1ln2

1、计算

对坐标的曲面积分

22

，其中是柱面x y 1被平面z 0及z 3所截得zdxdy xdydz ydxdz

的在第一象向部分的前侧。

解： 在xoy上的投影区域Dxy为一段圆弧；

在xoz面上投影区域为Dxz:0 z 3,0 x 1 在yoz面上投影区域为Dyz:0 z 3,0 y 1

原式

Dyz

3

2 2 dz

002DxzDxz

3

2、计算曲面积分I

z

2

x dydz zdxdy，其中 为旋抛物面z

1

2

x y2 下侧介 于平面z 0及z 2之间部分。 解：原式

Dyz

z2

dydz

z2dydz

Dyz

2

2

12

x y2 dxdy 2Dxy

2

2

dyy2z2 dz dyy2z2dz d

2

2

2

2

2 2

13

rdr 2

2 dy 2

2

23

122 4 2 2z y dy 4 23 y2

2

2

2

3

116431 22

2 4 y dy 4 4 2 16cos4tdt 4 4

23033422

8

这里用换元法计算定积分，（令y 2sint）及3、计算

2

cosntdt的计算公式。

x，其中 为半锥面z 及平面z 1,z 2所围成立体

表面外侧。

2222

解：曲面分成四部分 1:z 1x y 1, 2:z 2x y 4

3:x , 4:x ， 1, 2在yoz面上投影区域面积为零，

3, 4在yoz面的投影为梯形Dyz由z 1,z 2,z y,z y围成，所以

x dz

1

2z

z

z

dy dz

1

2z

e z

z

dy

定积分无法求出，题目有问题。 4、计算

xydydz yzdzdx xzdxdy，其中 是平面x 0,z 0,y 0,x y z 1所

围成空间区域整个边界的外侧。 解：原式

xzdxdy xydydz yzdzdx

1

2

3

xydydz yzdzdx xzdxdy

4

0 0 0 dx

dy

11 y

x 1 x y dx

1

1 y

11 x

z 1 x z dz dy

1

z 1 y z dz

3 dy

11 y

1 y 2 1 y 3y 1 y 2

x 1 x y dx 3 dy

0 232

1

1 y 3 1 y 4y4y3y2 3331

3

612834 2412248 0

5、计算曲面积分

axdydz z adxdy

2

，其中 下半球面z a为大于零的常数。

解：

对应侧的法向量为n ,

原式

,1

z a xdydz

a

2

dxdy

x2 y2

2

2a dxd ya2a

a

2

32d 0

2

a

2

dr

a

sin2

4 2 0

33

2221 2r42222 2222

2ra r a r 2 ar a r 3

4a3 0 0

31

a3 2 a3 a3 22

6、把对坐标的曲面积分面积的曲面积分：

1

） 是平面3x 2y 6在第一象限的部分上侧。

22

2） 是抛物面z 8 x y在xoy面上方部分的上侧。

P x,y,z dydz Q x,y,z dzdx R x,y,z dxdy化为对

解：1

） 对应侧的法向量为n 3,2,

n 32

,, n 55

原式

3P x,y,z 2Q x,y,z x,y,z

dS 5

2）

对应侧的法向量为n 2x,2

y

,1

n ,

n

原式

2xPx,y,z 2yQx,y,z Rx,y,z高斯公式和斯托克斯公式

1、利用高斯公式计算曲面积分 1）求I

x2dydz 2y2dxdz 3z2

4x2y2 dxdy，其中 为z 与z 2围

成的立体的表面，取外侧。

解：利用高斯公式可得

I 2x

4y 6z dxdydz

x2 y2 4

dxdy22x 4y 6z dz

3 4 x2 y

2

2

x y 42

2x 4y 2

2

233

dr d 2r r2cos 4sin 12r 3r 00 2 816

cos sin 12 d 24 03 3

2

2）利用高斯公式计算曲面积分

8y 1 xdydz 2 1 y dxdz 4yzdxdy，其中 是由

2

曲线

z x 0

1 y 3

绕y轴旋转一周所成曲面，它的法向量与y正方向夹角

恒大于

。 2

解：曲面 为x2 z2 y 1作辅助曲面 1:y 3

1 y 3 ，并取左侧。

x2 z2 2，并取右侧，利用高斯公式可得

2

8y 1xdydz 21 y dxdz 4yzdxdy

8y 1 4y 4y dxdydz 8y 1 xdydz 2 1 y2 dxdz 4yzdxdy

1

dxdydz

x2 z2 2

16

dxdz

x2 z2 2

dxdz

3

2

1 x z

dz 32 d 2

2 0

2r r dr 32

3

34

3）设函数f u 由一阶连续的导数，计算曲面积分

I

211

f xy2 dydz f xy2 dzdx x2z y2z z3 dxdy yx3

式中 时下半球面x2 y2 z2 1(z 0)的上侧。 解：添加辅助曲面 1:z 0x2 y2 1，并取下侧 利用高斯公式可得

I 2yf xy2 2yf xy2 x2 y2 z2dxdydz

211

f xy2 dydz f xy2 dzdx x2z y2z z3 dxdyyx3 11

I x2 y

2 z2 dxdydz x2z y2z z3 dxdy

3 1

2 12

d d 2 2sin d 0

0052

2、利用斯托克斯公式计算曲线积分

x2 y2 2z

1） 3ydx xzdy yzdz，其中 是圆周 ，从Oz轴正方向看去， 取逆时

z 2

2

针方向。

x2 y2 4

解： 取 并取上侧

z 2

原式

dydzdzdxdxdy

x y z3y xzyz2

z2 x dydz z 3 dxdy z 3 dxdy

x2 y2 4

5dxdy 20

2）

ydx 3zdy 2xdz，其中 为圆周x2 y2 z2 4,x y z 0，从y轴正方向看

去，这圆周是逆时针方向。 解：

对应单位法向量为,,

原式

y 3z

4

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