备战高考数学二轮复习专题1.9推理与证明、复数教学案理

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专题1.9 推理与证明、复数

一．考场传真

拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 1. 【2017课标1，理3】设有下面四个命题

1p1：若复数z满足?R，则z?R；p2：若复数z满足z2?R，则z?R；p3：若复数z1,z2满足z1z2?R，

z则z1?z2；p4：若复数z?R，则z?R.其中的真命题为 A.p1,p3 【答案】B

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

2．【2017课标II，理1】

3?i?（） 1?iA．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i 【答案】D

【解析】由复数除法的运算法则有：

3?i?3+i??1?i???2?i，故选D. 1?i23．【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）

A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D

【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反，丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，即乙、丁可以知道自己的成绩，

故选D.

4．【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=

A．

1 2 B．

2 2 C．2 D．2

【答案】C

【解析】由题意可得：z?z12iz2i2 ，由复数求模的法则：1? 可得：z???2 .故选C. 1?i1?iz2z125．【2017课标3，理7】执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D

6．【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3?2>1000的最小偶数n，那么在可以分别填入

A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A?1 000和n=n+1 D．A?1 000和n=n+2

nn和两个空白框中，

【答案】D

【解析】由题意，因为3n?2n?1000，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入A?1000，故填

A?1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填n?n?2，故选D.

7．【2017课标II，理8】执行右面的程序框图，如果输入的a??1，则输出的S?（） A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

二．高考研究【考纲解读】 1.考纲要求 1.算法初步

（1）算法的含义、程序框图

①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环. （2）基本算法语句

理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 6.推理与证明

（1）合情推理与演绎推理.①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

（2）直接证明与间接证明.①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 7.数系的扩充与复数的引入

（1）复数的概念，①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义.

（2）复数的四则运算

①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 8.框图

（1）流程图：①了解程序框图；②了解工序流程图（即统筹图）；③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用. （2）结构图

①了解结构图；②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息. 2.命题规律：

1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题.

2.知识点分布均衡、重难点突出，对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合

以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.

3.设计新颖、形式多样、难易适度，复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题. 3．学法导航

1. 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

2. 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．

3．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．

2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)

1＋i1－i1323nn＋1n＋2n＋3＝±2i；(2)＝i，＝－i；(3)ω＋ω＋1＝0，ω＝1，其中ω＝－±i.(4)i＋i＋i＋i＝0(n

1－i1＋i22∈N)．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：(1)(z)＝z(m，n为分数)；(2)若z＝z，则m＝n(z≠1)；(3)若z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0.注意2

利用共轭复数的性质，将zz转化为|z|，即复数的模的运算，常能使解题简捷．

一．基础知识整合基础知识： 1.算法：

①自然语言就是人们日常使用的语言，可以是人之间来交流的语言、术语等，通过分步的方式来表达出来的解决问题的过程.

其优点为：好理解，当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解；

缺点是：表达冗长，且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理现象、先后顺序等问题. ②程序框图

程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程. 优点是：简捷形象、步骤的执行方向直观明了 ③程序语言

程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机所识别的低级和高级语言编写而成.特点：能在计算机上执行，但格式要求严格 2．程序框图

构成程序框的图形符号及其作用程序框起止框输入、输出框处理框算法中任何需要输入、输出的位置. 赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内. 判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”. 流程线算法进行的前进方向以及先后顺序程序框图不可缺少的. 表示一个算法输入和输出的信息，可用在名称功能表示一个算法的起始和结束，是任何算法 6

循环框用来表达算法中重复操作以及运算连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图 3．几种重要的结构（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构

4.算法语句：输入语句

输入语句的格式：INPUT “提示内容”；变量输出语句

输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句

赋值语句的一般格式：变量=表达式赋值语句中的“＝”称作赋值号条件语句

（1）“IF—THEN—ELSE”语句格式： IF 条件 THEN 语句1 ELSE 语句2 END IF

（2）“IF—THEN”语句格式： IF 条件 THEN 语句 END IF 循环语句

（1）当型循环语句

当型（WHILE型）语句的一般格式为： WHILE 条件循环体 WEND

（2）直到型循环语句

直到型（UNTIL型）语句的一般格式为： DO 循环体

LOOP UNTIL 条件【推理与证明】

1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.

（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.

（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.

2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理.

基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论. 3.直接证明：综合法、分析法

（1）综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.

（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件为止的证明方法.

4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

?5.数学归纳法：（1）当n取第一个值n0（例如n?1）时，证明命题成立；（2）假设当n?kk?N,k?n0时

??命题成立，并证明当n?k?1时，命题也成立，于是命题对一切n?N，n?n0，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题分为两步：第一步是递推的基础，第二是递推的依据，这两步缺一不可的. 【复数】

1.复数的相关概念：

（1）形如a?bi?a,b?R?的数叫复数，其中i叫做复数的虚数单位，且i??1，a叫做复数的实部，b叫做复

2?数的虚部.复数集用集合C表示.

（2）复数的分类：对于复数z?a?bi?a,b?R?

① 当b?0时，z是实数； ② 当b?0时，z是虚数； ③ 当a?0且b?0时，z是纯虚数. （3）复数相等：若z1?a?bi?a,b?R?，z2?c?di?c,d?R?，则z1?z2的充要条件是a?c且b?d. 特别地：若a?bi?0?a,b?R?的充要条件是a?b?0.

2.复数的几何意义：（1）复平面：x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数z?a?bi?a,b?R?与复平面内的点Z?a,b?一一对应.（3）复数z?a?bi?a,b?R?与复平面内所有以原点O为起点的向量OZ一一对应（.4）复数的模：向量OZ的模叫做复数z?a?bi?a,b?R?的模，记作z或a?bi，且|z|?a2?b2. 3.复数的四则运算：

（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若z?a?bi?a,b?R?，则它的共轭复数z?a?bi.

（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：

a?bic?di??a?bi??c?di??c?di??c?di??ac?bdbc?adc2?d2?c2?d2i； 4.重要性质：i1?i，i2??1， i3??i，i4?1.i4n?1，i4n?1?i，i4n?2??1，i4n?3??i.

二．高频考点突破考点1程序框图的执行

【例1】【2018四川德阳三校联考】执行如图所示的程序框图，若输入m?1,n?3，输出的x?1.75，则空白判断框内应填的条件为（）

A. m?n＜1B． m?n＜0.5C． m?n＜0.2D． m?n＜0.1 【答案】B

【规律方法】此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．识别、运行程序框图和完善程序框图的思路

(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．

【举一反三】【2018江西宜春六校联考】按下列程序框图来计算：如果输入的x?5，应该运算（）次才停止

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C

考点2 简单程序的运用

【例2】如图所示，运行该程序，当输入a,b分别为 2,3时，最后输出的m的值是（）

A．2 B．3 C．23 D．32 【答案】B

【解析】程序的作用是取a,b中的最大值，故m?3.

【规律方法】输入、输出和赋值语句是任何一个算法必不可少的语句，一个语句可以输出多个表达式．在赋值语句中，一定要注意其格式的要求，如“＝”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋值；变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换；条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构，解决像“判断一个数的正负”“比较两个数的大小”“对一组数进行排序”“求分段函数的函数值”等问题，计算时就需要用到条件语句．【举一反三】

1.下面求2?5?8?11?…?2012的值得伪代码中，正整数m的最大值为．

【答案】2015

考点3 归纳推理

【例3】【山东省淄博市2018届12月考试】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 222?2， 33333445588?3，4?4，5?5?8具有 “穿墙术”，则n= ，则按照以上规律，若88815152424nnA. 35 B. 48 C. 63 D. 80 【答案】C

【解析】根据规律得3?1?3,8?2?4,15?3?5,24?4?6, ,所以n?7?9?63 ,选C.

【规律方法】归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数学家的发现、科学家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数学研究的独特方法之一.

【举一反三】【山东省、湖北省重点中学2018届第二次联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai,j，比如a3，2?9,a4，2?15,a5，4?23，若ai,j?2017，则i?j?（）

A. 64 B. 65 C. 71 D. 72 【答案】D

考点4 类比推理

222【例4】已知a,b,c是?ABC的三边，若满足a?b?c，即()?()?1，?ABC为直角三角形，类比此

ac2bc2结论：若满足a?b?c(n?N,n?3)时，?ABC的形状为________．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．【答案】锐角三角形

nnn?a??b?nnna?b?c(n?N,n?3)?【解析】易得c最大，则C角最大，??????1

?c??c?a2?b2?c2??a??b??a??b?222故该三角形为锐?????????????1?a?b?c?cosC??0?0?C?，

2ab2?c??c??c??c?角三角形.

【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.

【举一反三】已知36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36?2?3，所以36的所有正约数之和为

22nn22nn(1?3?32)?(2?2?3?2?32)?(1?2?22)(1?3?32)?91参照上述方法，可求得200的所有正约数之和

为 . 【答案】465

232【解析】因200?2?5，故200的所有正约数之和为(1?2?2?2)(1?5?5)?465.故应填答案465.

32考点5复数

【例5】【河南省中原名校2018届第五次联考】已知a?R，若所对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B

a?2i是纯虚数，则在复平面内，复数z?ai?i20184?i

【规律方法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．

(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．

(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．

对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即z?a?bi