2008-2013辽宁省高考文科数学导数压轴题汇总 2

2008-2012辽宁省高考文科数学导数压轴题汇总

2008年辽宁高考文数22．（本小题满分14分）

设函数{ EMBED Equation.DSMT4 |f(x)?ax?bx?3ax?1(a，b?R)在，处取得极值，且． （Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

22．本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能322力．满分14分 解：．① ··································································································································· 2分 （Ⅰ）当时， ；

由题意知为方程的两根，所以 ．

由，得． ································································································································· 4分 从而，． 当时，；当时，．

故在单调递减，在，单调递增． ··························································································· 6分 （Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根， 所以． 从而，

由上式及题设知． ·················································································································· 8分 考虑， ． ··········································································································································· 10分 故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．

又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为． 所以，即的取值范围为． ····································································································· 14分

2009年辽宁高考文数（21）（本小题满分12分） 设，且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行。 求a的值，并讨论f（x）的单调性； 证明：当 （21）解：

（Ⅰ）.有条件知，

，故. ………2分 于是.

故当时，＜0； 当时，＞0.

从而在，单调减少，在单调增加. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为， 最小值为. 从而对任意，，有. ………10分 而当时，.

从而 ………12分

2010年辽宁高考文数 （21）（本小题满分12分）

已知函数.

1

（Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设，证明：对任意，。

2011年辽宁高考文数（20）（本小题满分12分）

2

2012年辽宁高考文数（21）(本小题满分12分) 设，

证明： (Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ） (Ⅱ)当时，

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21．(2013辽宁，文21)(本小题满分12分) (1)证明：当x∈[0,1]时，sin x≤x； (2)若不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．

(1)证明：记F(x)＝，则F′(x)＝. 当时，F′(x)＞0，F(x)在上是增函数；

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当时，F′(x)＜0，F(x)在上是减函数．

又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sin x≥.

记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1＜0，所以，H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，

即sin x≤x.

综上，≤sin x≤x，x∈[0,1]． (2)解法一：因为当x∈[0,1]时， ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4 ＝(a＋2)x＋x2＋ ≤(a＋2)x＋x2＋ ＝(a＋2)x.

所以，当a≤－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立． 下面证明，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立． 因为当x∈[0,1]时， ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4 ＝(a＋2)x＋x2＋ ≥(a＋2)x＋x2＋ ＝(a＋2)x－x2－ ≥(a＋2)x－ .

所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足＋2(x0＋2)cos x0－4＞0， 即当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4≤0对x∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．

解法二：记f(x)＝ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4，则f′(x)＝a＋2x＋＋2cos x－2(x＋2)sin x. 记G(x)＝f′(x)，则

G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x. 当x∈(0,1)时，cos x＞，因此 G′(x)＜2＋3x－4·x－(x＋2) ＝.

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于是f′(x)在[0,1]上是减函数，因此，当x∈(0,1)时，f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)＜0，从而f(x)

在[0,1]上是减函数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立．

下面证明，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立．

由于f′(x)在[0,1]上是减函数，且f′(0)＝a＋2＞0，f′(1)＝a＋＋2cos 1－6sin 1.

当a≥6sin 1－2cos 1－时，f′(1)≥0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，因此f(x)在[0,1]上是增函数，故f(1)＞f(0)

＝0；

当－2＜a＜6sin 1－2cos 1－时，f′(1)＜0，又f′(0)＞0，故存在x0∈(0,1)使f′(x0)＝0，则当0＜x＜x0时，f′

(x)＞f′(x0)＝0.所以f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，f(x)＞f(0)＝0. 所以，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．

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