高中文科数学公式

高考数学（文科）公式大全 及重要基础知识记忆检查

目录

第一章 集合与常用逻辑用语????????????????2

第二章 函数???????????????????????3

第三章 倒数及其应用???????????????????7

第四章 三角函数?????????????????????8

第五章 平面向量?????????????????????12

第六章 数列???????????????????????13

第七章 不等式??????????????????????15

第八章 立体几何?????????????????????17

第九章 平面解析几何???????????????????19

第十章 概率、统计及统计案例????????????24

第十一章 算法初步及框图?????????????????25

第十二章 推理与证明???????????????????26

第十三章 数系的扩充与复数的引入?????????????26

第十四章 几何证明选讲??????????????????26

第十五章 坐标系和参数方程????????????????27

第十六章 不等式选讲???????????????????27

第一章 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语

1. 集合的基本运算

；

；

2. .集合的包含关系:；；

3. 识记重要结论： A?B?A?A?B;A?B?A?A?B;

CU?A?B??CUA?CUB;CU?A?B??CUA?CUB

4．对常用集合的元素的认识

??②B??xx?x?6?0?中的元素是不等式x?x?6?0的解，B即不等式的解集；

③C??yy?x?2x?1,0?x?5?中的元素是函数y?x?2x?1,0?x?5的函数值，C22①A?xx?3x?4?0中的元素是方程x?3x?4?0的解，A即方程的解集；

2222即函数的值域；

22④D?xy?log2x?2x?1中的元素是函数y?log2x?2x?1的定义域，D即函数

??????的定义域； ⑤M???x,y?y?2x?3?中的元素可看成是关于x,y的方程的解集，也可看成以方程

nnnny?2x?3的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。

5. 集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个；非空的真子集有2–2个.

6. 方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.

特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于

2f(k1)f(k2)?0,或

k1?k2b???k2. 22af(k1)?0且

k1??k?k2b?12a2,或

f(k2)?0且

7. 闭区间上的二次函数的最值问题：

2二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??b处及区间的两2a端点处取得，具体如下： (1) 当a>0时，

b??p,q?，则有 ①若x??2abf(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?；

2ab??p,q?，则有 ②若x??2af(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.

(2) 当a<0时， ①若x??二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。 b??p,q?，则有f(x)min?min?f(p),f(q)?， 2a

b??p,q?，则有f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2a8. a?f?x??a???f?x???max；a?f?x??a???f?x???min

②若x??9. 由不等导相等的有效方法：若a?b且a?b，则a?b. ．．．．．．．．．．

10. 真值表 表1

ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ

真 真 假 真 真 同真为真

真 假 假 真 假 同假为假 假 真 真 真 假 真假相对 假 假 真 假 假

11. 常见结论的否定形式

表2

原结论 反设词 原结论 反设词

是 不是 至少有一个 一个也没有

都是 不都是 至多有一个 至少有两个

大于 不大于 至少有n个 至多有（n?1）个

小于 不小于 至多有n个 至少有（n?1）个 对所有x，成立 存在某x，不成立 p或q ?p且?q

对任何x，不成立 存在某x，成立 p且q ?p或?q

12. 四种命题的相互关系

如右图所示 逆命题 原命题 互逆 “若q则p” “若p则q” 互 否 为

逆 互

互 为 否 否 互

逆 否命题 逆否命题 否

互逆 “若?q则?p” “若?p则?q” 一个命题 13. 充要条件 一种形式 p?q（1）若，则说p是q的充分条件，同时q是p的必要条件

两种方法 （2）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q的充要条件.

另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关系一目了然。设A?xp?x?，B?xq?x?，①若A?B，则p是q的充分不必要条件；②若B?A,则q是p的必要不充分条件；③若A?B，则p是q的充要条件。

????

第二章 函 数

14. 函数的单调性

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?⑶单调性性质：

①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 15. 复合函数单调性的判断方法：

⑴如果函数f(x)和g(x)都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数（增函数）; ⑵ 对于复合函数y?f[g(x)]的单调性，必须考虑y?f(u)与小结：同增异u ?g(x)的单调性，从而得出y?f[g(x)]的单调性。

减。研究函数

y?f ?u?y?f?u?g ?x? g?x??的单调性，定??

义域优先考增函数 增函数 增函数

虑，且复合函

增函数 减函数 减函数 数的单调区间

减函数 增函数 减函数 是它的定义域 的某个子区减函数 增函数 减函数

间。

16．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

⑴若f(x)是偶函数，则f?x??f??x??f?x?；偶函数的图象关于

y轴对称；偶函数在

x>0和x<0上具有相反的单调区间。 ⑵定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间。

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f?x??f??x??0或者

f??x???1?f?x??0? f?x?⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

⑸多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

17. 函数y?f(x)的图象的对称性：函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x). 18. 两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.

(2)函数y?f(x)与函数y??f(x)的图象关于直线y?0(即x轴)对称. (3)指数函数y?a和y?logax的图象关于直线y=x对称.

x19. 若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.

20． 互为反函数的两个函数的关系（指数函数y?ax和对数函数

y?logax?a?0,a?1?）：f(a)?b?f?1(b)?a.

21. 几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型

(1)正比例函数f(x)?kx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?k.

(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?a?0. (3)对数函数f(x)?logax,

xf(xy)?f(x)?f(y),f()?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

y(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.

(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，f(0)?1.

22. 对于y?x，y?x，y?x，y?x，y?223121的图象，了解它们的变化情况． xg?x? = x2f?x? = x如图：

1.5h?x? = x3

23. 几个函数方程的周期?a?0? 321q?x? = x10.5r?x? = 1xO0.51123411.52⑴y?f?x?对x?R时，f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期为a的周期函数

⑵f?x?a??f?x?a?或f?x?2a??f?x??a?0?恒成立，则y?f?x?是周期为2a的周期函数

⑶若y?f?x?是偶函数，其图像又关于直线x?a对称，则是周期为2a的周期函数 ⑷若y?f?x?是奇函数，其图像又关于直线x?a对称，则是周期为4a的周期函数 ⑸y?f?x?对x?R时，f(x)?f(x?a)?0，或f(x?a)??的周期2a的周期函数

24. 函数图像变换

向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位

向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位

y?fx图象

点的纵坐标变为原来的A倍

横坐标不变

点的横坐标变为原来的1/ω倍

纵坐标不变

1(f(x)?0),则y?f?x?f(x)y?f?x??b图象

y?f?x???图象

y=Af?x?图象

??y=f(wx)图象

25. 分数指数幂

(1)amn?a（a?0,m,n?N，且n?1）;(2)anm??mn?1amn（a?0,m,n?N?，且n?1）.

26． 根式的性质

（1）(na)n?a;（2）当n为奇数时，nan?a；当n为偶数时，an?|a|??n?a,a?0.

??a,a?027． 有理指数幂的运算性质

(1)ar?as?ar?s(a?0,r,s?R);(2)(ar)s?ars(a?0,r,s?R); (3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R). 28. 指数式与对数式的互化式

logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).

mlogaN?29. 对数的换底公式

30． 对数的四则运算法则：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)loga(MN)?logaM?logaN;(2) loga(3)logaMn?nlogaM(n?R)；

31. 对数有关性质：

⑴logab的符号有口诀“同正异负”记忆；⑵logaa?1；⑶loga1?0； ⑷对数恒等式：alogaNM?logaM?logaN; N?N?a?0,a?1,N?0?

2⑸logabm?m?logab；

⑹设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则

a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检

验.； 32. 对数函数

y?logax?a?0,a?1?的图像和性质分析：

a的符号 a?1 y 0?a?1 y 图像 o 1 x o 1 x 定义域 值域 单调性 过定点 函数值的分布情况

⑹指数函数y?ax?0,??? ???,??? 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 ?1,0? 0?x?1时，y?0； x?1时，y?0 0?x?1时，y?0； x?1时 ，y?0 ?a?0,a?1?的图像和性质分析：

a的符号 y 图像 1 a?1 0?a?1 y 1 x o 定义域 值域 单调性 过定点 函数值的分布情况 o ???,??? ?0,??? x 在???,???上是增函数 在???,???上是减函数 ?0,1? x?0时，y?1； x?0时，0?y?1 x?0时，0?y?1； x?0时，y?1 33. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

y?N(1?p)x.

第三章 导数及其应用

34．导数的定义：f(x)在x0处的导数记作

f(x0??x)?f(x0)?y?lim. x?x0?x?0?x?x?0?xdydf?yf(x??x)?f(x)??lim?lim35. ⑴f(x)在(a,b)的导数概念：f?(x)?y??. dxdx?x?0?x?x?0?x12Cy?xy?y?C⑵能根据导数概念求函数 (为常数)，，，y?x，y?x的导数. ．．．．．．．．．．．．．xf?(x0)?y??lim36. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义： ．．．．

函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0). 37. 几种常见函数的导数

(1) C??0（C为常数）； (2) (x)?nx(n?Q)； (3) (sinx)??cosx； (4) (cosx)???sinx；

11ex (5) (lnx)??；(loga)??loga；

xxxx(6) (e)??e.

38. 导数的运算法则

n'n?1法则1 ：[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)；

法则2 ：[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)；

?u(x)?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)法则3 ：?? (v(x)?0). ?2v(x)?v(x)?39. 判别f(x0)是极大（小）值的方法 当函数f(x)在点x0处连续时， 左正右负 （1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； 极大值 （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 左负右正 ?

第四章 三角函数

40． ⑴终边相同的角的集合：?????2k?,k?Z;

极小值 ??180?⑵角度与弧度的换算：180??rad,1??rad?,1rad????；

180???112⑶弧长与扇形的面积公式：弧长l???r，扇形面积S?lr???r.

22????⑷常见恒成立的三角不等式（给定范围条件下） ①若x?(0,)，则sinx?x?tanx；②若x?(0,)，则1?sinx?cosx?2；

22③ |sinx|?|cosx|?1.

41. 常用三角函数不等式及相关等式的解集： ⑴不含绝对值情况： ①sinx?cosx的x集合是

y45°角终边??3?????2k?,k?Z?； x?x?2k??x?O44??225°角终边②sinx?cosx的x集合是

???半个月亮爬上来 ?xx??k?,k?Z?；

4??3????③sinx?cosx的x集合是?x??2k??x??2k?,k?Z?。

44??⑵含绝对值情况：①sinx?cosx的x集合是 3?????k?,k?Z?； ?x?k??x?4?4?②sinx?cosx的x集合是

y135°角终边O 45°角终边x?3????k?,k?Z?； ?xx??k?,orx?44??????③sinx?cosx的x集合是?x??k??x??k?,k?Z?。

44?? 所谓伊人 在水一方 42. ⑴对于“sin??cos?,sin??cos?,sin?cos?”这三个式子，已知其中一个式子的值，

可以求出其余二式的值。 ⑵三角函数的诱导公式

“奇变偶不变，符号看象限，看左边，写右边”

形似角中的角?不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号；

0?sin?,180??2?900??sin(1800??)? 注意：总共两套000sin?, 180-?)2?90-?)sin(180-?)? 诱导公式（一套 是函数名不变；cos?,sin(900??)? 900??1?900?? 00另一套是函数名0cos?,sin(90??)? 90??1?90?? 必须改变）；对于000?cos?sin(270??)? ,270??3?90?? 余弦函数和正切cos?, sin(2700??)?? 2700??3?900??函数的诱导公式 规律记忆同正弦sin?,sin(3600??)? 3600??4?900?? 函数。 0?sin?,00sin(360??)? 360??4?90??

?sin?, sin(??)? ??0?900??43. ⑴同角三角函数的基本关系式：sin??cos??1，tan?=

22sin? cos?推论：cos2??112?tan???1；

1?tan2?cos2?cos???11,tan????1（正负号取决于?所在的象限）

1?tan2?cos2?⑵和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos??sin?sin?; tan??tan?tan(???)?；

1?tan?tan?sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(正弦平方差公式);

cos(???)cos(???)?cos2??sin2?(余弦平方差公式)；

asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,其中

ba ). sin??,cos??2222a?ba?b⑶二倍角公式：

sin2??sin?cos?；cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；

2tan?2tan?1?tan2?tan2??sin2??cos2??万能公式：；； 222．．．．1?tan?1?tan?1?tan?⑷半角公式（降幂公式）：

1?cos?1?cos?1?cos?2?2???；sin；tan

222221?cos??sin?1?cos??②tan?

21?cos?sin?①cos2??44. 三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?2??；

函数y?tan(?x??)，x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

T??. ?45. ①类正弦函数y=Asin(wx+?)的图像的变换（两种办法殊途同归）

作y=sinx（长度为2?的某闭区间）的图像 沿x轴平移|φ| 个单位（左加右减） 得y=sin(x+φ)的图像 横坐标伸长或缩 短到原来的 ? 倍 得y=sin(ωx+φ)的图像 纵坐标伸长或缩 短到原来的A倍 1横坐标伸长或 缩短到原来的 ? 倍 得y=sinωx的图像 沿x轴平移|．．1?|个单位（左加右减） ?．．．得y=sin(ωx+φ)的图像 纵坐标伸长或缩 短到原来的A倍 得y=Asin(wx+?)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。 ②类正弦函数y=Asin(wx+?)?b?A?0?的参数计算：振幅A?ymax?ymin2?，??, 2Tb?ymax?ymin,求?时，一般代入最高点或者最低点的坐标后，利用已知三角函数值求角，2再根据给定?的范围进而分析得到?值。 46. 正弦函数和余弦函数的图像和性质 y=sinx 函数 y=cosx y=cosxy1y=sinx图像 -2π-3π/2-π-π/2y1o-1π/2π3π/22πx R -2π-3π/2-π-π/2o-1π/2π3π/22πx 定义域 值域 ??1,1? x?最值 x???2?2k?,k?Z时，ymax?1 ?2k?,k?Z时，ymin??1 x?2k?,k?Z时，ymax?1 ?2x??2k?1??,k?Z时，ymin??1 x???2k?,?2k?1?????k?Z?时，减函数 x????2k?1??,2k?,???k?Z?时，增函数 单调性 奇偶性 周期性 ????x????2k?,?2k???k?Z?时，增函数 2?2? 3????x???2k?,?2k???k?Z?时，减函数 2?2?奇函数 偶函数 最小正周期为2?

对称性 对称轴：x???k?,k?Z 2对称轴：x?k?,k?Z 对称中心：(对称中心：(k?,0) k?Z ?2?k?,0) k?Z

47. 正切函数的图像和性质 函数 y?tanx f?x? = tan?x?2.5y21.510.5图像 3?π2π = –4.714322 = –1.571π2 = 1.57233?π24 = 4.71O0.51x11.522.5 定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性

48. ⑴正弦定理：

x??2?k??k?Z? R ???? x????k?,?k???k?Z? 时，增函数 2?2?奇函数 最小正周期为? 对称中心：(k?,0) k?Z 2abc???2R.（R为?ABC外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）. ．．．．．．．．．．．．sinAsinBsinC?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC?a:b:c?sinA:sinB:sinC

sinAsinCsinBabc???2R?a?b?①，c?a?，b?c?等； 等sinBsinAsinCsinAsinBsinC号两acabc?sinA?sinB?sinC?sinA????2R②，， 边basinAsinBsinCbsinB?sinC?等；

c⑵余弦定理：

地位相同 b2?c2?a2a?b?c?2bccosA?cosA?;

2bca2?c2?b2222b?c?a?2cacosB?cosB?;

2aca2?b2?c2222c?a?b?2abcosC?cosC?.

2ab222⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴；解题时注意一种重要关系：在?ABC中，给定角A、B的正弦或余弦值，则角C的正弦或余弦有解（即存在）?cosA?cosB?0

49. 三角形内角和定理：在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B???2C?2??2(A?B) 22250. 面积定理

111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111⑵S?absinC?bcsinA?casinB

222⑶S?ABC?2R2sinAsinB?2R2sinAsinC?2R2sinCsinB (其中R为?ABC的外接圆

⑴S?的半径) ⑷S?ABC?⑸S?ABC?abc（R为?ABC外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。） ．．．．．．．．．．．．4R1?r??a?b?c?(其中r为?ABC的内切圆的半径，也能导出内切圆半径的一种算．．．．．．．．．．．．．2a?b?c，其中a、b为两条直角边，c为斜2法。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径．．．．．．．．．．．．．r?边。) ⑹S?ABC?⑺S?OABa?b?c1p??p?a???p?b???p?c?(其中p?，海伦公式)

22????????2????????21?(|OA|?|OB|)?(OA?OB)（注意：此时以坐标原点为一个顶点的三角形的．．．．．．．．．21x1y2?x2y1 2面积公式）；设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则S?AOB?

第五章 平面向量

51. 向量的加减法的代数结构：

????????????????????????首首接 尾尾联 尾首接 首尾联 ⑴AB?AB?AB ⑵OB?OA?AB

指向被减向量

52. 平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．（不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．）

????53． 向量平行与垂直的坐标表示：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0， ??????则a∥b (b?0)?x1y2?x2y1?0；a?b?x1x2?y1y2?0.

54. a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cosθ．其几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 55. 平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2)； (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2)；

????????????(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1)； (4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y)；

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).

x1x2?y1y256. 两向量的夹角公式：cos??(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

2222x1?y1?x2?y2????????????2257. 平面两点间的距离公式：dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1)，

B(x2,y2)).

58. ①线段的定比分公式：

????????设P12的分点,?是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1??PP2，则

?x?????y???x1??x2????????????????????????1OP1??1??OP2t?（）. ?(1?t)OP?OP??OP?tOP12y1??y21??1??1??②中点的向量形式：平面内，设线段AB的中点为C，O为直线AB外任意一点，则有．．．．．．．????????????OA?OB; OC?2x1?x2?x???2设此时A?x1,y1?,B?x2,y2?，则中点的坐标公式： Cx,y???．．．．．．．y?y2?y?1??259. 三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3360. 三角形四“心”向量形式的充要条件 ．．．．

设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.

?????????????（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.

????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.

?????????????（4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0.

第六章 数 列

61. ⑴自然数和公式：

n?n?1?； 2n?n?1??2n?1?222②1?2?????n?；

6①1?2?????n?

n2?n?1?333③1?2?????n?

4⑵常见的拆项公式： ①②

2111； ??n?n?1?nn?11?11?????；

?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?1?11?11???③?；

n?n?1??n?2?2?n?n?1??n?1??n?2??11?a?b；⑤an?Sn?Sn?1?n?2?. ④a?ba?b??⑶数列的通项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,①an??

s?s,n?2?nn?1②Sn?Sn?1?an(n?2) （注：该公式对任意数列都适用） ③Sn?a1?a2???an （注：该公式对任意数列都适用）

62. ⑴ 等差数列的通项公式：

①一般式：an?a1?(n?1)?d(n?N*)； ②推广形式： an?am?(n?m)d；d?an?am

n?m③前n项和形式an?Sn?Sn?1(n?2)（注：该公式对任意数列都适用）其前n项和公式为：

sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n.

2222⑵ 数列?an?为等差数列?an?an?1?d（d为常数）

?2an=an?1?an?1?n?2,n?N*??an?an?b?An2?Bn

⑶ 常用性质：

①若m+n=p+q ，则有 am?an?ap?aq ；特别地：若am是an,ap的等差中项，则有2am?an?ap?n、m、p成等差数列；

②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1?a2?a3,a4?a5?a6,a7?a8?a9，

???）仍是等差数列；

③?an?为等差数列，Sn为其前项和，则Sm,S2m?Sm,S3m?S．．．也成等差2m，S4m?S3m，．n．．．

数列；

④ap?q,aq?p,则ap?q?0；

⑤1+2+3+?+n=

n(n?1) 263. 等比数列的通项公式： ⑴ ①一般形式：an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； qn?m②推广形式：an?am?qn?m，q?an am?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??③其前n项的和公式为：sn??1?q，或sn??1?q.

?na,q?1?na,q?1?1?1⑵数列?an?为等比数列

?an?1?q?q?0??an2?an?1?an?1?0?n?2,n?N???an?a1?qn?1an?a1、q?0，n?N*??Sn?A?qn?B

⑶ 常用性质：

① 若m+n=p+q ，则有 am?an?ap?aq ；特别地：若am是an,ap的等比中项，则有

am2?an?ap?n、m、p成等比数列;

② 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1?a2?a3,a4?a5?a6,a7?a8?a9，

???）仍是等比数列；

③?an?为等比数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m?Sm,S3m?S2m，S4m?S3m，．．．也成等比数列（仅当当q??1或者q??1且m不是偶数时候成立）； ④设等比数列{bn}的前为Tn，则Tk，．n项积．．

T2kT3kT4k,，成等比数列．

T3kTkT2k第七章 不 等 式

64. 常用不等式：

22⑴a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)；

⑵a,b?R??a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)；⑶a?b?a?b?a?b. 265. 极值定理

已知x,y都是正数，则有

“一定二正三相等” （1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； 12s. 422x,y?R推广形式：已知，则有(x?y)?(x?y)?2xy ．．．．

（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值

积定和最小 和定积最大 （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大；当|x?y|最小时,|x?y|最小. （2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小；当|x?y|最小时, |xy|最大. 66. ①一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与

ax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号，则其解集在两根之间.

简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

对于a?0的情形“大射线小线段” ．．．．

x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2). ②简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。

1 ?x?1??x?1??x?5??0，如图 -3 5 从图中易知解集为 - - -1 - ???,?3????3,?1???1,5?

2③一元二次方程的根的分布情况：设x1,x2是实系数二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两个实根，则x1,x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：

根的分布 图像 1816141210例如：?x?3?23充要条件 kx1?x2?k xOxx=-b/2a1012 ???0, ?fk?0,????????b?k??2a???0, ????f?k??0,???b?k??2a67. 含有绝对值的不等式，当a> 0

时，有

x?a?x2?a??a?x?a.

2x?a?x2?a2?x?ax??a

大射线 小线段 ．．．．．．

或

k?x1?x2 f(k)kOx1x2x=-b/2a x1?k?x2 1210x = -b/2ax1kx2f(k)Of?k??0 ???0,?f?k1??0,???f?k2??0,??k??b?k12?2a?68. （1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义

x1,x2??k1,k2? x = -b/2af(k1)k1 及取等号的条件：

f(k2)k2Ox1x2 |a?b|?|a|?|b|，a,b?R； |a?b|?|a?c|?|c?b|，a,b?R.

（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

f?k1??f?k2??0或?f?k??0,1x1、x2有且只有一个在k1??bk1?k2??k1??2a2?k2或?k1,k2?内 O?f?k2??0,??k1?k2b???k2?2a ?2|ax?b|?c；|ax?b|?c；

|x?c|?|x?b|?a.

69. 无理不等式

?f(x)?0?（1）f(x)?g(x)??g(x)?0 ；

?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?（2）f(x)?g(x)??g(x)?0； 或??f(x)?[g(x)]2?g(x)?0??f(x)?0?（3）f(x)?g(x)??g(x)?0

?f(x)?[g(x)]2?70. 指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?0?. ?f(x)?g(x); logaf(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?

第八章 立体几何

71. 常用公理和定理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． ③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． ④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直． ⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．

⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行． ⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行． ⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．

⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 72. 三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）

设AB与平面α所成的角为?1,AC是α内的任一 条直线，且AC与AB的射影AB所成的角

/

为?2，AB与AC所成的角为?．则

/

BACB'cos??cos?1cos?2.如右图⑴。 图⑴ 73. 空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

????????????222则dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1). S'74. 面积射影定理：S?.(平面多边形及其射影的面积

cos?'分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?).如图⑵。

ABB'75． 已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为

C图⑵

?、?、?，因此有cos2??cos2??cos2??1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所?，则有cos2??cos2??成的角分别为?、?、（线线面12） cos2??2。

76． 棱锥的平行截面的性质：

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．）若每个顶点引出的棱数为m，则：. 77. 球

4?R3,其表面积S?4?R2； 3②球的半径（R），截面圆半径（r），球心到截面的距离为（d）构成直角三角形，因而有关

①球的半径是R，则其体积V?系：r?R2?d2，它们是计算球的关键所在。 78. 球的组合体

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为径为6a,外接球的半126a. 411V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）;V锥体?Sh（S是锥体的底面积、

3379． 柱体、锥体的体积

??80. 空间向量的直角坐标运算：设a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，则

??????a?b?x1x2?y1y2?z1z2；a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?；a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?；

h是锥体的高）.

??xyza∥b?x1??x2,y1??y2,z1??z2???R?,或1?1?1；

x2y2z2??a⊥b?x1x2?y1y2?z1z2?0

??81. 二面角??l??的平面角计算（夹角）公式：设a,b为平面?，?的法向量。通常情况

????x1x2?y1y2?z1z2下，若已知a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，则cosa ,b?222222x1?y1?z?2z1?x2?y282. 空间两点的距离公式：设

A??x1,y1,z1?,B??x2,y2,z2?，则

dA、B??x1?x?2??y2?y1???2z2?z?1.

2283． 高中数学角的范围： ① 向量夹角:[0°,180°]； ③ 直线的倾斜角:[0°,180°)； ③ 共面直线的夹角:[0°,90°]； ④ 直线和平面夹角:[0°,90°]； ⑤ 异面直线夹角:(0°,90°]； ⑥ 二面角:[0°,180°]。

第九章 平面解析几何

84. 斜率公式

y2?y1???（P、）?tan???(x,y)P(x,y)111222??.

x2?x12??/②曲线y?f?x?在点P0?x0,y?0处的切线的斜率k?f?x0?，切线方程：

①k?y?f/?x0??x?x0??y0.

③直线y?kx?b的一个方向向量为?1,k? 85. 直线的五种方程﹙一般两点斜截距﹚ ．．．．．．．

k（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)．

（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).

y?y1x?x1?(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0)

ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

86. 两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,

A1B1C1；②??l1?l2?A1A2?B1B2?0； A2B2C2（3）直线l:Ax?By?C?0中，若A?0,B?0,

有谁垂（吹）谁 则l垂直于y轴；若A?0,B?0,则l垂直于x轴。

①l1||l2?87．四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线的直线系方程为x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

Bx?Ay???0,λ是参变量．

88. 点到直线的距离

A?B89. Ax?By?C?0或?0(其中A、B不同时为0).所表示的平面区域

设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0(或?0)所表示的平面区域是：

若C?0,则用原点O?0,0?试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则，边界的另一区域才是；

若C?0，则用点?1,0?或者?0,1?试，方法同上。 90. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r；

22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).

22d?|Ax0?By0?C|22(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).

是0，（0，1）、（1，0）试 非0，（0、0）试 222（3）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). 91. 点与圆的位置关系

点

P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种若

d?(a?x0)2?(b?y0)2，则d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在

圆内.

92. 直线与圆的位置关系

222直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种:

①d?r?相离???0; ②d?r?相切???0; ③d?r?相交???0.其中d?93. 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d ①d?r1?r2?外离?4条公切线; ②d?r1?r2?外切?3条公切线

③r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线;

Aa?Bb?CA?B22.

④d?r1?r2?内切?1条公切线; ⑤0?d?r1?r2?内含?无公切线.

94. 圆的切线方程：已知圆x2?y2?r2．过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为

x0x?y0y?r2;

95. 椭圆

①椭圆定义：MF； a2a?|F1F2|?0）1?MF2?2（222②F1B1?OF1?OB1（即c?b?a，注意Rt?FOB； 11）

222222③设P是椭圆上任意一点，且?F则有PF1?PF2?2PF1?PF2cos???2c?. 1PF2??，④下表是椭圆的标准方程及几何性质。 标准方程 x2y2??1(a?b?0) a2b2B1 y x2y2??1(a?b?0) b2a2y F1 图形 x A1 F1 O B2F2 A2x F2 O B1 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半长轴 焦距 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a 0?、?a? ??b，?0，?c? ?0，关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 0? ?0,?b?、??a，0? ??c，长半轴椭长为a，短半轴长为b 焦距为 2c a、b、c关系 离心率 a2?b2?c2 e?c a2??b?2b??2????1?eore?1?????a??a???? ??x2y2a2a2)，PF2?e(?x)； ⑴椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式：PF1?e(x?abcc⑵椭圆的的内外部：

22x0y0x2y2①点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?2?2?1；

abab22x0y0x2y2②点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?2?2?1；

ababx2y222222⑶椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.

ab96. 双曲线

①双曲线定义： MF1|-|MF2 =2a?0< 2a<|F1F2|?；

222②A1O?OB1?A1B1（即c?b?a，注意Rt?AOB11，其中A1、B1为同一象限内的

222实顶点、虚顶点，O为坐标原点）；

③设M是双曲线上任意一点，且

?F1MF2??，则有

MF1?MF2?2MF1?MF2cos???2c?.

④下表是其标准方程及几何意义。

标准方程 222x2y2??1(a、b?0) a2b2y My2x2??1(a、b?0) a2b2 MF2y图形 F1oF2xF1x范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半长轴 焦距 x?a或者x??a y?a或者y??a 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 0? ??a，0? ??c，a2?c2?b2 e?c a?a? ?0，?c? ?0，实半轴椭长为a，虚半轴长为b 焦距为 2c 2??b?2b??2????e?1ore?1?????a??a??a、b、c关系 离心率 渐近线 ?? ??y??bx ay??ax ba2a2x2y2⑴ 双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式：PF1?|e(x?)|，PF2?|e(?x)|;

ccab⑵ 双曲线的内外部：

22x0y0x2y2①点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的内部?2?2?1；

abab22x0y0x2y2②点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的外部?2?2?1;

ababx2y222222⑶ 双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.

ab

97. 抛物线

⑴抛物线y?2px?p?0?的焦点弦（过焦点的弦）为．．．．．．．．．．．AB，A?x1,y1?,B?x2,y2?，则有如下

2结论：

① 焦半径公式：AF?x1?p； 2

pp?x2??x1?x2?p； 22p22③y1y2??p，x1x2?.

4② 焦点弦长AB?x1?⑵抛物线的内外部：

① 点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部?y2?2px(p?0)； ②点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的外部?y2?2px(p?0)；

y⑶抛物线y?2px?p?0?上的动点可设为P(?,y?)，可简化计算。

2p22⑷ 抛物线的切线方程：

① 抛物线y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0)；

②抛物线y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC.

98. 抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形 方程 焦点 准线 图形 四大方程四条．．．．．．y 规律： px ．．y2?2px?p?x??F?,0? 2⑴一次项是?p?0? O F ?2? 谁，焦点在谁轴上； ⑵一次项系数y FF 的正负，代表p2 py??2px?p?0???x? 开口方向的上x 2O ??,0? ?2?下或右左； ⑶焦点坐标一y 个是0，另一非p2x?2py0，且刚好是 ?p?y??F 0,F2???p?0? 一次项系数的?2?x O 1； x2??2py?p?0? Fp??0,??? 2??y?y 4p 2O F x ⑷准线方程的数值刚好是焦点的非0坐标的相反数。 99. ①直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或

2212AB?(1?k2)(x2?x1)2?1?k2?|x1?x2|??1?k????(x?x)?4x1x2???1?1?|y1?y2| 2k?y?kx?b2（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程? 消去y得到ax?bx?c?0，??0,k?F(x,y)?0为直线的斜率）;

②中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax?By?1；

③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆．．．．．

22

x2y2b2??1(a?b?0)上不同两点，M?x0,x0?是AB中点，则kAB?kOM??2；对于双曲a2b2ax2y2b2线2?2?1(a、b?0)，类似可得：kAB?kOM?2；对于抛物线y2?2px?p?0?有aba2p. kAB?y1?y2100. 圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0. （2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是

2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)F(x?,y?)?0. 2222A?BA?B

第十章 概率、统计及统计案例

101. 等可能性事件的概率：P(A)?102. P（A）=

m事件A包含的基本事件数m= n试验的基本事件总数n构成事件A的区域长度（面积或体积）.

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）103. 互斥事件A，B分别发生的概率的和:P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

104. n个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋

P(An)．

105. 抽样方法主要有：①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；②系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；③分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：

每部分抽取的个体数样本容量?该部分的个体总数总体中的个体数或者

nkn? NkN106. 总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图. 107. 样本平均数：x?样本方差：s?2x1?x2?x3?...?xn；

n1?x1?x?x2?x?x3?x?...?xn?x?； ??n1?样本标准差：s?x1?x?x2?x?x3?x?...?xn?x?。

??n????????????

第十一章 算 法 初 步 及 框 图

108. ①画出计算2?4?6?????100的程序框图，如图⑴；②对图⑵，若输入行程序后输出y的值为:____

开始 s=0 i=2 开始 输入y S1=0,i=1 s=s+i2 i=i+2 i=i+1 22221，则执2开始 输入x1,???,x4 x>1 Y N x<1 N 是 Y 1s?s1ii<=100 否 y=x2 y=1 y=4x i<=4 否 输出S 是 S1=S1+xi 输出y 输出s 结束 结束 结束 图⑴

图⑵

图⑶

④如果执行下面的程序框图，如图⑷，输入N=5,则输出的数等于__________；⑤阅读下面的程序框图⑸，运行相应的程序后，则输出S的值为_________.

③某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为:x1,???,x4(单位：吨)。根据如图所示的程序框图，若x1,x2,x3,x4分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为______________. 开始 输入N S=0,k=1 开始 s=0 s?s? 1k?k?1?k=k+1 k

i=1 a?i?2i s?s?ai?i?1 否 s>11 是 输出s 结束 图⑸

第十二章 推理与证明

109. ⑴归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。；

⑵类比推理是从特殊到特殊的推理。通常是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠 110. 综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”；反证法，往往用于“正难则反”，思路决定出路。

第十三章 数系的扩充与复数的引入

110. 复数的相等：a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）

111. 复数z?a?bi的模：|z|=|a?bi|=a2?b2. 112. 复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i;(2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?22ac?bdbc?ad?2i(c?di?0). 222c?dc?d113. z?z?z?z(其中z?a?bi和z?a?bi互为共轭复数) 114. ⑴?1?i???2i； ⑵

21?i1?i?i；??i 1?i1?i⑶虚数单位i的幂的周期性：

i4n?1?i，i4n?2??1，i4n?3??i，i4n?4?1，n?N?

22一、二、三、四 i负一，相反数 32115. 设???1?3i,则有: ①1????2?0；②?3?1??；③?2??,???.

第十四章 几何证明选讲

116． ① 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 ② 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。 ③ 切割线定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项。 推论（割线定理）：从圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的

BD

AC

积，等于另一条割线上对应线段长的积。

④ 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 ⑤ 直角三角形的射影定理：Rt?ABC中，AD为斜边上的高，如图⑷。则有 ⑴CD?AD?DB;⑵AC?AD?AB⑶;BC?BD?AB.

222图⑷

第十五章 坐标系和参数方程

117. 极坐标和直角坐标的互化

设为平面上的任一点，它的直角坐标为，极坐标为，如图⑸，由图可知下面的关系式成立：

y

???x2?y2?x??cos?? 或者 ??yy??sin???tan???x?0?x?这就是极坐标和直角坐标之间的互化公式。

MxO图⑸

第十六章 不等式选讲

118. ⑴函数f?x??x?1?2?x的值域。（答案提示：图像如图⑴所示）。函数f?x??1,???，的几何意义；表示在数轴上，到定点1和2的距离之和。

?1,?⑵函数g?x??x?1?2?x??2x?3,??1,?x?21?x?2值域，（答案提示??1,1?，其图像如图⑵x?1所示）。函数g?x?的几何意义：表示在数轴上，到定点1的距离与到定点2的距离的差。

y 3 2 1 y?x?1?2?xy 1 y?x?1?2?x1 2 x 1 2 3 图⑴

o -1 x o 图⑵

⑶会根据绝对值的几何意义，求不等式x?1?2?x?1、x?1?2?x?1的解集。 具体求解不等式的类型及具体的解法，见“第七章 不等式”。

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