随机变量的特征函数

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1特征函数

内容提要

1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下

(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞

?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的.

2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭;

(3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??=

(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+

(5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =?

(6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续

(7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n

j k z z t t ?

(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有

=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim 21dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有

;)(21lim )()(2112dt t it e e x F x F T

T itx itx T ?π?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；

(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ?如果

+∞

+∞

∞

-dt t )(?,

则

dt t e x p itx )(21)(?π

?

∞

+∞

--=

3. 常用的分布函数特征表

分布

特征函数

退化分布P (X =a )=1

ita e t =)(?

二项分布 p q pe q t n it -===1,)()(?

几何分布 p q t it it

qe

pe

-==-1,)(1? 正态分布 {}22

2exp )(t t i t σμ?-=

标准正态分布 2

2

)(t e

t -=?

均匀分布U(a ,b ) ()it a b e e ita

itb

t )(--=?

均匀分布U(-a ,b )

at

at

t sin )(=

?

指数分布 1

)1()(--=λ?it t 伽玛分布Ga(α,λ)

()(1)

it t αλ?-=- 2χ分布 2

)21()(n

it t --=?

泊松分布

{})1(ex p )(-=it e t λ?

习题与解答4.1

1. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.

X 0 1 2 3 P

0.4

0.3

0.2

0.1

解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=?

2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).

解 记q =1-p , 则

it

it

K it

it k k itk itx

qe pe q e pe p q

e e E t -====∑∑+∞

=+∞

=-1)()()(1

1

1

?,

()

2

'

1)(it it

qe ipe t -=

?,

4

2'

')

1()1(2)1()(it it

it it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=?, p q p i X E 1

)1()0(1)(2

'=-==?,

242''21)1()1(2)1()0(1)(p

q

q q pq q p i X E +=--+-==?,

2

2222)1(1)]([)()(p

q

p p q X E X E X Var =-+=

-= 3．设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(r

k r p p r k k X P --???

? ??--== ,1,

,k r r =+试求X 的特征函数.

解 设r X X X ,,,21 是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为

,1)(X it

it

qe

pe t j -=? 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++= 21,所以X 的特征函数为

∏=-==r

j r

it

it x X qe pe t t j 1

)1()()(??. 4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.

(1)dt e a x F x t a ?∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x

?∞-+=2

221

)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2

)(1x

a e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为

010

()22

itx ax itx

ax a a

t e e dx e

e dx ?+∞

--∞=?+

???

(cos sin )(cos sin )22

ax ax

a a

tx i tx e dx tx i tx e dx +∞

--∞=+?++???

=.cos 2220t

a a dx txe

a ax +=?+∞

- 又因为,)(2)(2222'

1

t a ta t +-=? ,0)0('1=? ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=? ,2)0(2''1a -=? 所以 0,(0)1)('1==?i X E V a r(X )= .a

2(0)1)(2''122==?i X E (2) 因为此分布的密度函数为 ,1)(222a x a

x p +?=

π .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为 ,cos 2)(022222??+∞+∞∞-+=+=dx a

x tx a dx a x e a x itx ππ? 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 0

22?+∞

-=+at e a dx a x tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at at e e a a t --=?=

ππ? 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=??所以

.22)(2t a at e e a

a t --=?=ππ? 又因为)(2t ?在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在. 注：?+∞

∞-+=dx a x e a

x itx

222)(π?也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t >0时, ???? ??=+?=+=?+∞

∞-ai z a z e i a dx a x e a

x itz itx ,Res 2)(22222πππ? ta ta

itz ai z e ai e ai ai z e i a --→==+?=22lim 2ππ 5. 设),,(~2σμN X 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解 因为正态分布),(2σμN 的特征函数为,)(2/22t t i e t σμ?-=所以

,)0('μ?i = ,)

0()('μ?==i X E

,)0(22''σμ?--= ,)0()(222''2σμ?+==

i X E ,3)0(23'''μσμ?i i --= ,3)0()(333'''3μσμ?+==

i X E ,36)0(4224''''σσμμ?++= .36)0()(42244''''4σσμμ?++==

i X E

由此得X 的3阶及4阶中心矩为 ,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E

.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E

6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p).

证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=?, m it Y q pe t )()(+=?,

所以由 X 与Y 的独立性得

()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ???++==+,

这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P ).

7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X 与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2).

证：因为 ,)(,)()1()1(21====it it e Y e X e t e t λλ?? 所以由X 与Y 独立性得

,)()()()1)2(-+==+it e e t t t Y X Y X λλ???

这正是泊松分布 P (λ1+λ2).的特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2). .

8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若),,(~1λa Ga X ),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++.

证 因为 1)1()(a X it t --=λ?,2)1()(a Y it t --=λ

?,所以由X 与Y 的独立性得 )(21)1()()()(a a Y X Y X it

t t t +-+-==λ???, 这正是伽玛分布),(21λa a Ga +的特征函数,由唯一性定理知

),(~21λa a Ga Y X ++.

9.试用特征函数的方法证明2χ分布的可加性：若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ

证 因为2)21()(n X it t --=?,2)21()(m Y it t --=?,所以由X 与Y 的独立性得

2)()21()()()(m n Y X Y X it t t t +-+-=+=???,

这正是2χ分布2χ(n+m)的特征函数,由唯一性定理知).(~2m n Y X ++χ

10. 设i X 独立同分布,且n i Exp X i ,,2,1),(~ =λ.试用特征函数的方法证明:

∑==n

i i n n Ga X Y 1),(~λ.

证 因为1)1()(--=λ

?it t i X ,所以由诸i X 的相互独立性得n Y 的特征函数为 n Y it

t n --=)1()(λ?, 这正是伽玛分布),(λn Ga 的特征函数,由唯一性定理知),(~λn Ga Y n .

11. 设连续随机变量X 服从柯西分布,其密度函数如下：

+∞<<-∞-+?=x x x p ,)(1

)(22μλλπ,

其中参数+∞<<-∞>μλ,0,常记为),(~μλCh X ,

(1) 试证X 的特征函数为{}t t i λμ-exp ,且利用此结果证明柯西分布的可加性；

(2) 当1,0==λμ时,记Y =X,试证)()()(t t t Y X Y X ???=+,但是X 与不独立；

(3) 若n X X X ,,,21 相互独立,且服从同一柯西分布,试证：

)(121n X X X n

+++ 与X i 同分布.

证 (1) 因为μ-=X Y 的密度函数为+∞<<-∞+?

=x y x p ,1)(22λλπ,由本节第4题(2)知Y 的特征函数为{}()exp ||Y t t φλ=-.由此得μ+=Y X 的特征函数

{}{}t t i t t i t t Y Y X λμ?μ??μ-===+exp )(exp )()(.

下证柯西分布的可加性: 设)2,1(=i X i 服从参数为i i λμ,的柯西分布,其密度函数为: 2,1,,)(1

)(2

2=+∞<<-∞-+?=i x x x p i i μλλπ.若1X 与2X 相互独立,则 (){}t t i t t t X X X X )(exp )()()(21212121λλμμ???+-+==+,

这正是参数为2121,λλμμ++柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知, 21X X +服从参数为2121,λλμμ++的柯西分布.

(2) 当1,0==λμ时有 {}t t X -=exp )(?,{}t t Y -=exp )(?,所以

)2()()(2t t t X X Y X ???==+ {}{}{}t t t --=-=exp exp 2exp )()(t t Y X ??=.

由于Y=X,当然X 与Y 不独立.

此题说明,由)()()(t t t Y X Y X ???=+不能推得X 与Y 独立.

(3) 设i X 都服从参数为λμ,的柯西分布,则特征函数为{}t t i t λμ?-=exp )(.

由相互独立性得, ∑=n i i X n 11 的特征函数为 []{}t t i n t n λμ?-=exp )/(,即 ∑=n i i X n 1

1与X 1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.

12.设连续随机变量X 的密度函数为p (x ),试证：p (x )关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

证：记X 的特征函数为)(t X ?.先证充分性,若)(t X ?是实的偶函数,则)()(t t X X ??=-或)()(t t X X -=-??,这表明X 与-X 有相同的特征函数,从而X 与-X 有相同的密度函数,而-X 的密度函数为p (-x ),所以得p (x )=p (-x ),即p (x )关于原点是对称的.

再证必要性.若p (x )=p (-x ),则X 与-X 有相同的密度函数,所以X 与-X 有相同的特征函数.由于-X 的特征函数为)(t X ?,所以)()(t t X X ??=-=________)(t X ?,故)(t X ?是实的偶函数.

13.设n X X X ,,,21 独立同分布,且都服从N (2,σ?)分布,试求∑==n

i i X n X 1___1的分布.

解：因为X j 的特征函数为2/22)(t t i j e

t σ??-=,所以由诸X i 互相独立得___X 的特征函数为)2/(22))/(()(n t t i n i X e n t t σ

???-==这是正态分布N (n /,2σ?)的特征函数,所以由唯一性定理知∑==n

i i X n X 1___1~N (n /,2σ?)

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