6.解三角形应用举例(4)

1.2 应用举例（4）三角形中的几何计算

教材分析

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解三角形形状判断面积计算以及三角形中证明恒等式成立问题。

教学目标

重点: 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

知识点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。 能力点：掌握三角形的面积公式的简单推导和应用。

教育点：教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。

自主探究点：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力。 考试点：利用正、余弦定理进行边角的互化，进而进行解体。 易错易混点：利用正弦定理判断多解的情形不清，容易出错。 拓展点：如何转化成三角函数求范围、最值问题。

教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课

[创设情境]

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在

?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？

生：ha=bsinC=csinB hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA

二、探究新知

师：根据以前学过的三角形面积公式S=面的三角形面积公式，S=

1ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以推导出下21absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 211bcsinA, S=acsinB 22师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解。

[设计意图] 给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．避免直接将公式抛给学生．

生：同理可得，S=

三、理解新知

应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.

四、运用新知

例1、 例1根据下列条件确定三角形的形状： （1） 在△ABC中，a2tanA?b2tanB

（2） 在△ABC中，b2sin2C?c2sin2B?2bccosBcosC

解：只要根据条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状。

（1）

解法一：把条件转化为角的关系式，由正弦定理得

sinBsinA(2RsinA)2?(2RsinB)2cosBsinB?2sinAcosA?2sinBcosB?sin2A?sin2B?0?A?B??,即0<2A+2B<2??2A=2B或2A+2B=2??A=B或A+B=

?2??ABC为等腰三角形或直角三角形

解法二：把条件化为边的关系式，由条件得

sinBsinA?b2cosBsinB?acosA?bcosBa2b2?c2?a2a2?c2?b2?a?b2bc2ac?a4?a2c2?b2c2?b4?0?(a2?b2)(a2?b2?c2)?0?a2?b2或a2?b2?c2,即?ABC为等腰三角形或直角三角形

（2）

?b2sin2C?c2sin2B?2bccosBcosC?由正弦定理得4R2sin2Bsin2C?4R2sin2Bsin2C?8R2sinBsinCcosBcosC即sinBsinC=cosBcosC?cos（B+C)=0?B+C=90??A=90???ABC是直角三角形.[设计意图] 解此题目的关键是条件的转化，得边与边的关系式或角与角的关系式.注意由三角函数求角的多解性，如sin2A=sin2B不能只得A=B，而忽略A+B= 腰直角三角形的关系。

?；另外还有注意等腰三角形或直角三角形与等2变式训练：

在△ABC中，若B=60?,2b?a?c,试判断△ABC的形状.

解法一：

由正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC?B=60??A+C=120??A=120??C,代入上式中得2sin60?=sin?120??C?+sinC化简整理可得：sin(C+30?)=1?C+30?=90?即C=60???ABC为正三角形.

解法二：

由余弦定理可得：b2=a2?c2?2accosB又?B=60?，b=2a+c2

?a+c?22??=a?c?2accos60??2????a?c??0即a=c又?B=60?，??ABC为正三角形.

2例2、 在中，A=60?,a?7,b?c?8，求b、c、sinB及△ABC的面积. 分析：解答本题的关键是利用余弦定理构造方程(组).

解：

?a2=b2?c2?2bccosA?49=(b+c)2?2bc?2bccos120??bc?15又?b?c?8?以a、b、c为根的一元二次方程为:x2?8x+15=0?x1=3或x2=5?b=3,c=5或b=5,c=3.(1)当b=3,c=5时?ba=sinBsinAbsinA3sin120?33?sinB===a714bcsinA3?5?sin120?153?S?ABC===224(2)当b=5,c=3时bsinA5sin120?53?sinB===a714bcsinA5?3?sin120??S?ABC===2233153当b=3,c=5时，sinB=，S?ABC=；14453153当b=5,c=3时，sinB=，S?ABC=.

144[设计意图] 解答本题时，应注意分类讨论思想的应用才能避免出现漏解

.

变式训练：

已知角A、B、C为△ABC的三个内角，且对边分别为a、b、c，若cosBcosC?sinBsinC?（1）求角A

（2）若a?23,b?c?4，求△ABC的面积.

分析：解答本题的关键是利用余弦定理列出关于b、c的方程，再求解.

1 2解： （1）

?cosBcosC?sinBsinC?1211?cos(B?C)?，即cosA??

22又?0?

由余弦定理可得a2=b2?c2?2bccosA ?12=b2?c2?2bccos120??b2?c2?bc?12，即(b?c)2?bc?12又?b+c=4，?bc=4bcsinA4?sin120??S?ABC===322

[设计意图] 本题中求时，利用整体代入思想求解可优化解题过程.

六、布置作业

1．书面作业

必做题：1.教材 P18.练习T3 P20.A组T14 P20. B组T1 P20.A组T14 P20.A组T14 2. （2001·上海）已知a、b、c是?ABC中?A、?B、?C的对边，S是?ABC的面积，若a=4，

b=5，S=53，求c的长度。

2. 选做题： 课外思考 如何利用三角形的三条边表示三角形的面积？

（参考教材21页海伦公式）

[设计意图]设计作业是引导学生熟悉边角互化方法解决三角形恒等式问题，培养学生在公式上的综合应用，起到承上启下的作用：课外思考的安排，是让学生理解公式之间的互化，拓宽视野。

七、教后反思

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。

本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，从这几方面体现：

一、在整个教学过程中，注意调动学生，增强学生的参与意识。上课在复习完正、余弦定理之后，例题由学生来分析题意，得出解法。这样既可以在分析的过程中让学生自己悟出做题的方法，还可以提高学生的注意力。

二、立足课本，抓基础，注重学习方法的培养。课堂上紧扣课本，以书本例题为主，详细分析、总结习题做法，并提醒学生做题时应如何去分析题意。

三、注意总结。例题解答完后回头继续观察做法，总结解题方法，步骤以及书写格式。

八、板书设计

1.2.3三角形中的几何计算

引导：

在?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为

ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？ ha=bsinC=csinB hb=csinA=asinC

hc=asinB=bsinaA

问题思考:

根据以前学过的三角形面积公式S=12ah,能否推导出新的三角形公式呢？

根据以前学过的三角形面积公式S=

12ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式： S=12absinC

同理可得，S=

112bcsinA, S=2acsinB

因此，如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求出三角形的面积.

八、板书设计

1.2.3三角形中的几何计算

引导：

在?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为

ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？ ha=bsinC=csinB hb=csinA=asinC

hc=asinB=bsinaA

问题思考:

根据以前学过的三角形面积公式S=12ah,能否推导出新的三角形公式呢？

根据以前学过的三角形面积公式S=

12ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式： S=12absinC

同理可得，S=

112bcsinA, S=2acsinB

因此，如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求出三角形的面积.

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