2019届湖南省永州市高三第一次模拟考试 理科数学试题（含答案）

永州市2019年高考第一次模拟考试试卷

数学（理科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．）

2

1．设集合A=｛x∈Z|x－4x+3≤0｝，集合B={2，3，4，5}，则AB?

A．? 2．已知z?

B．{2}

C．{2，3}

D．{2，3，4}

1（i是虚数单位），则复数z的模为 1?iC．2

D． 2

B．2

2243．若x?2，则x?的最小值为

x?2A．1 A．4

开始 B． 5 C． 6 D． 7

14． 已知数列{an}满足a2 =2，an+1=an，则数列{an}的前5项和S5等于 2A．31

4B．

输入a，b c =a MOD b a=b b= c c =0? 否 31 2C．31 D．32

?2x?y?4?0?5．已知实数x,y满足约束条件?x?2y?2?0，则z?x?y的最小值

?y?2?是

A． －1

B． 1

C．2

D．4

是 输出a 结束 （第6小题图）

6．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的

“a MOD b”表示a除以b的余数，若输入a，b的值分别为195，

52，则执行该程序输出的结果为 A．13 B．26 C．39 D．780

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7．已知数列{an}前n项和为Sn，且an=n，令bn=1，则数列{bn}的前n项和Tn为

2SnA．1?1

nB．1?1n?1 C．2?2

n D．2?2n?1

??（，）fx）?acos2x?sinx在区间8．若函数（单调递减，则实数a的取值范围是 63A．[，??) B．(，??)

2211C．[36，??) D．[，??)

419．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

3????A．6? B．6? C．6? D．6?

424410．已知函数f（x－1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于

点（1，0）成中心对称，当x∈［－1，1］时，f（x）=x－1，则f（2019）=

A．－2 B．－1

C．0

D．2

111正视图侧视图俯视图（第9小题图）

11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AC＝BC＝3，AA1＝2，则直线AA1与平面A1BC所成角的正弦值是

3443A． B． C． D．

4535x2y21a?0，b?0）12．已知双曲线C：2?2?（的右焦点F，过点F作其中一条渐近线的垂线，

abuuuruuur垂足为M，与另一条渐近线交于N，若FN?2MF，则双曲线的离心率为

23 B．2 C．3 3A．

D．22 第II卷

本卷包括必考题和选考题，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横

线上．） 13． 在（2x?1x3）的展开式中，常数项是 ．

14．从3个男生、2个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是男生的概率是 ．

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x2y2x2y21a?b?0）15．椭圆是的圆的一个伸缩变换，椭圆C′：2?2?（是圆C：2?2?1作伸

abaa?x??xb?缩变换?b得到的，我们说C′与C的纵伸缩比是，横伸缩比是1，伸缩变换的

y??ya?a?x2y2图形的面积比为伸缩比之积，圆C：2?2?1的面积是S＝πa2，设椭圆C′：

aax2y2bS?b?S??1(a?b?0)的面积为，由＝知S′＝πab．过点P（3，0）作直?1?22abaaS22xy??1相交于点M，N，则△OMN（O是坐标原点）的面积最大值线l与椭圆42是 ．

uuruuruuuruuruur16．在△ABC中，CA＝2，CB＝4，CA?CB??2，O是△ABC的外心，若CO?xCA?yCB，

则x+y＝ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，AB＝8，点D的BC边上，且CD=2，

113cos∠ADC=，cos∠DAB=． A714（1）求角B； （2）求AC的长．

BDC

（第17小题图）

18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为长方形，AB＝2BC＝6，

P点E线段AB的中点，PC＝PD＝PE＝32，点F在线段

PC上，且PF?PC；

31FDAEBC（1）证明：AD?PC；

（2）求二面角F－DE－C的余弦值．

（第18小题图）

y19．（本小题满分12分）如图，圆M：x2+(y－2)2=32，N（0，－2），

点P是圆M上的点，连接PN交圆于点Q，过N作MQ的平行线交MP于E．

EM （1）求证：｜ME｜＋｜NE｜为定值，并求动点E的轨迹Γ的

方程； O（2）点F（4，3），点A（1，0），过A作直线l交Γ于G，H两N点，求证：直线FG，FH的斜率之和为定值． Q （第19小题图）

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20．（本小题满分12分）某城市的美团外卖和百度

外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下： 美团外卖的底薪90元，每单提成m元；百度 外卖的底薪120元，每日前40单无提成，超出 40单的部分每单提成6元．现从两公司各随机 抽取50名“骑手”，跟踪30天，考察他们的 每天的派送单数，得出两公司的“骑手”的人 平均派送单数情况如右条形图：

（1）求百度外卖公司的“骑手”日工资y（单位：

元）与送餐单数n的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：

①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； ②要使美团“骑手”的日工资期望值与百度外卖的“骑手”日工资期望值相等，求m的值（精确到0.1）．

21．（本小题满分12分）函数f（x）=x2+mln（x+1）． （1）当m??4时，求函数f（x）的单调减区间；

fx2）（2）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，求（的取值范围． x1

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A

??（2，）的极坐标，曲线C1的极坐标方程为?cos（??）?a，且曲线C1过点A，曲线

44C2的极坐标方程为???2cos?．

（1）求a的值及曲线C2的直角坐标方程；

（2）求曲线C2上的点到曲线C1的距离的最大值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

fx）?x?1． 已知函数（fx）?2x； （1）解不等式：（fx）?x?2?a的解集为非空集合，求a的取值范围． （2）若不等式（

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永州市2019年高考第一次模拟考试试卷

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分）

1～5 CBCAB 6～10 ABACD 11～12 CA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．6 14．

7 15． 102 16．

7 5三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

A解：（1）Qcos?ADC?113，cos?DAB?， 714 ?sin?ADC?4333，sin?DAB?， ………… 2分 B714DC QcosB?cos(?CDA??DAB)，

?cosB?cos?CDAcos?DAB?sin?CDAsin?DAB …………… 4分 ?cosB?11343331?，且B?(0,?)， ???2714714?B??． …………………………………………………………………… 6分 3ABAD?，

sin?BDAsinB（2）在?ABD中，由正弦定理可得，

?AD?7． ………………………………………………………… 9分 在?ADC中，由余弦定理可得

AC?DC?AD?2AD?DC?cos?ADC

?AC?7 ． ………………………………………………………… 12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）取DC的中点O，连接DO,OE，

QPD?PC， ?PO?DC，且PO?3 ， ………………………… 2分

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易证PE2?PO2?OE2 ，

PFDAEOBC?PO?OE且DC?OE?O，

?PO?面ABCD．

?PO?AD ． …………………………………

……………………… 4分

QAD?DC，且DC?PO?O， ?AD?面PDC 且PC?面PDC ，

?AD?PC ． ……………………………………………………… 6分

（2）建立如图所示的空间直角坐标系

zurP易知面ABCD的法向量n1?(0,0,1)，

FQD(0,?3,0),E(3,0,0),F(0,1,2)，，

DAxEOBuuuruuur………（8分） ?DE?(3,3,0),DF?(0,4,2) ，

Cyuur 设面DEF的法向量n2?(x,y,z)，

uuruuur?uur?n2?DE?3x?3y?0 ??u，可得n2?(1,?1,2) ， ………………… 10分 uruuur??n2?DF?4y?2z?0uruurn1?n2626 ?cos??u，即所求角的余弦值为 ．…………… 12分 ?ruur?336n1?n219．（本小题满分12分）

（1） 证明：｜MP｜＝｜MQ｜，∠MPQ＝∠MQP，NE//MQ，∠ENP＝∠MQP＝∠MPQ，

｜ EP｜＝｜EN｜，｜ME｜＋｜NE｜＝｜ME｜＋｜EP｜＝｜MP｜＝42 ，动点E

的轨

迹

Γ

的

方

程是

：

x2y2??148MOy（x≠0）；……………………………… 5分

注：没写出x≠0也不扣分．

（2）设直线l的方程：y=k(x－1)与椭圆

22222EPxNxy??1联立方程，消去48Q2222y得2x?k?(x?1)?8，(2?k)x?2kx?k?8?0，

（第19小题图）

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