2016届湖南省长沙市长郡中学高三高考模拟卷（一）理数试题 解析

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1.若复数a?17（a?R,i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） 4?iA．-4 B．-1 C．1 D．4 【答案】D

考点：1、复数的概率；2、复数的运算． 2.以下四个命题，正确的是（ ）

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在回归直线方程y?0.2x?12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；

④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K，K越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小.

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【解析】

试题分析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的是系统抽样，故①不正确；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，满足线性相关的定义，故②正确；③在回归直线方程y?0.2x?12中，当变量x每增加一个单位时，变量y平均增加0.2单位，故③不正确；对于两分类变量

^22^X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小，足随

机变量K的观测值的特点，故④正确，故选D．

考点：1．抽样方法；2、线性相关；3、随机变量的观测值．

3.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入的实数x的取值范围是（ ）

2

A．(4,10] B．(2,??) C．(2,4] D．(4,??)

【答案】A

考点：程序框图．

4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1?6,O1C1?2，则该几何体的侧面积为（ ） A．64 B．80 C．96 D．128

【答案】C 【解析】

试题分析：由三视图知该几何体是一个四棱柱，该棱柱俯视图的直观图面积为12，所以它的俯视图的面积为242，所以其俯视图是边长为6的菱形，棱柱的高为4，所以该几何体的侧面积为4?6?4?96，故选C．

考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱的侧面积． 5.将函数f(x)的图象向左平移?(0????2)个单位后得到函数g(x)?sin2x的图象，若

对满足|f(x1)?g(x2)|?2的x1,x2，有|x1?x2|min?A．

?3，则??（ ）

5???? B． C． D． 12346【答案】D

考点：1、三角函数图象的平移变换；2、三角函数的图象和性质．

【规律点睛】高考题对于三角函数的考查，多以f(x)?Asin(?x??)为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.

6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为

（ ） A．

9135 B． C． D．

2326464【答案】A 【解析】

试题分析：设小典到校的时间为x，小方到校的时间为y，(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为??{(x,y)|40?x?60,40?y?60}是一个矩形区域，对应的面积为S?20?20?400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A?{(x,y)|y?x?5}作

?y?x?5出符合题意的图像，则符合题意的区域为?ABC，联立?，得C(55,60)，联立

y?60??y?x?51S??15?15．由几何概型可知小张比小王至少早5B(40,45)，得，则??ABC2?x?401?15?1592分钟到校的概率为?，故选A．

20?2032

考点：几何概型．

【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．

27.已知函数f(x)?klnx?1(k?R)，函数g(x)?f(x?4x?5)，若存在实数k使得关于

x的方程g(x)?sin?4x?0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（ ）

A．3? B．6 C．12 D．12?

【答案】C

考点：1、方程的根；2、函数图象．

8.在菱形ABCD中，A?60，AB?3，将?ABD折起到?PBD的位置，若三棱锥

?P?BCD的外接球的体积为77?，则二面角P?BD?C的正弦值为（ ） 6A．

1137 B． C． D． 3223【答案】C 【解析】

试题分析：如图所示，因为?BCD与?PBD均为正三角形，因此球心G在过?BCD外接圆圆心且和平面BCD垂直的直线上，同时也是在过?PBD外接圆圆心且和平面PBD垂直的直线上，如图中G．设外接球的半径为R，则由条件有

4377?7?R?，解得R?．因362为AB?3，所以CD?2132322CE＝?则GF?R?GF?，?3＝1，EF?，32232GF???3，?GEF?．同理可求得?GEH?．由EF33所以在Rt?GEF中，tan?GEF?条件知BD?PE,BD?CE，所以?PEC为二面角P?BD?C的平面角，所以

?PEC??GEF??GEH?2?3，所以sin?PEC?，故选C． 32

考点：

x2y22229.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作圆x?y?aab的切线分别交双曲线的左、右两支于点B,C，且|BC|?|CF2|，则双曲线的离心率为（ ）

A．25?3 B．25?3 C．5?23 D．5?23 【答案】C

考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的几何性质；3、余弦定理．

M，在Rt?FOM【一题多解】由双曲线定义，得|BF中，1|?2a，|BF2|?4a，设切点为1|MF1|?b，过F2作F2H垂直直线CF1于点H，则|F1H|?2|MF1|?2b，|F2H|?2a，

所以|BH|?|BF2|?|F2H|＝23a，所以|FH|?|BF1|?|BH|?2a?23a?2b，1即b?(3?1)a，则e?1?()?5?23，故选C． 10.已知点A(1,?1),B(4,0),C(2,2)，平面区域D由所有满足

22ba2????????????若区域D的面积为8，AP??AB??AC(1???a,1???b)的点P(x,y)组成的区域，

则a?b的最小值为（ ） A．3 B．2 C．4 D．8 【答案】C

考点：1、向量数量积；2、向量夹角公式；3、基本不等式． 11.已知数列{an}满足an?an?1?(?1)n(n?1)2n，Sn是其前n项和，若S2017??1007?b，且

a1b?0，则

12

?的最小值为（ ） a1b

A．3?22 B．3 C．22 D．3?22 【答案】D 【解析】

试题分析：由已知：an?an?1?(?1)n(n?1)2n，则a2?a3?3，a4?a5??5，a6?a7?7，

a8?a9??9，?，a2014?a2015?2015，a2016?a2017??2017，则S2017?a1?(?1008)??1007?b，所以a1?b?1，所以

1212b2a??(a1?b)(?)?1?2??1?3?22，故选D. a1ba1ba1b考点：1、递推数列；2、数列求和；3、基本不等式．

12.设函数f(x)?x3?bx?c，?,?是方程f(x)?0的根，且f'(?)?0，当0?????1时，关于函数g(x)?1332x?x?(b?2)x?(c?b??)lnx?d在区间(??1,??1)内的32零点个数的说法中，正确的是（ ）

A．至少有一个零点 B．至多有一个零点 C．可能存在2个零点 D．可能存在3个零点 【答案】B 【解析】

试题分析：因为?,?是方程f(x)?0的根，且?是重根，则

???2??0?f(x)?x3?bx?c?(x??)(x??)2，即得?2????2?b．由x?(??1,??1)，则

????2?c?x?(?2??1,??1)．又由0?????1，则0???'212，????0，则33c?b??x3?3x2?(b?2)x?c?b??g(x)?x?3x?(b?2)??，令h(x)?x3?3x2xx＋(b?2)x＋c?b???x3?3x2?(2?3?2)x?2?3?3?2?2?，则

h'(x)?3(x?1)2?(3?2?1)．当x?(?2??1,??1)时，

h'(x)?h'(?2??1)?(3??1)(3??1)?0，所以h(x)在(??1,??1)上是减函数，而

h(?2??1)＝?8?3?2?(3?2?1)?(2?3?2?)?0；当x?(?2??1,??1)时，h(x)?h(?2??1)?0，所以g(x)在(?2??1,??1)上是减函数，故选B．

考点：1、函数零点；2、方程的根；3、利用导数研究函数的单调性．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知集合A?{x?R|x2?2x?3?0}，B?{x?R|?1?x?m}，若x?A是x?B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】(3,??)

考点：充分条件与必要条件．

【方法点睛】(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将p,q等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围． 14.在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，d为数列{an}的公差，若对任意

n?N*，都有Sn?0，且a2a4?9，则d的取值范围为 . 【答案】[0,3) 【解析】

试题分析：由题意，知a1?0,d?0．因为a2a4?9，即(a1?d)(a1?3d)?9，亦即

a12?4a1d?3d2?9?0，??16d2?4(3d2?9)?4d2?36?0，所以方程有两个不相等

的实数根，且两根之和为?4d?0，又a1?0，所以必须至少不一个正实数根，所以

3d2?9?0,d?0，解得0?d?3．

考点：等差数列的通项公式及前n项和．

xx2y2??1与函数y?tan的图象相交于A1,A2两点，若点P在椭圆C上，15.设椭圆C:443且直线PA2的斜率的取值范围是[?2,?1]，那么直线PA1斜率的取值范围是 . 【答案】[,]

3384考点：1、椭圆的几何性质；2、直线的斜率公式．

kk?11?k?n，且k,n?N*）可以得到几种重要的变式，如：16.已知kCn?nCn?1（

1k?11kkk?1Cn?1?Cn，将n?1赋给n，就得到kCn，?，进一步能得到： )Cn?1?(n?1kn12n01122n?1n?11Cn?2Cn?21???nCn?2n?1?nCn?n(1?2)n?1?n?3n?1?1?nCn?1?2?nCn?1?2???nCn?1?2.

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：

111121213110nCn??Cn?()?Cn?()???Cn?()n?1? . 32333n?13【答案】

14[()n?1?1] n?131k?111k?11k11kkkCn?CnC()?C()， ，?1nn?1kn?1k3n?13【解析】

试题分析：由kCn?1?(n?1)Cn，得所以Cn?0kk?11111212131n1n?1?Cn?()?Cn?()???Cn() 32333n?13

??1101111121012n?11nCn?()?C?()?C?()???C?1n?1n?1n?1() n?13n?13n?13n?131114[(1?)n?1?1]?[()n?1?1]. n?13n?13考点：1、二项式定理；2、合情与演绎推理．

【知识点睛】归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数f(x)?sin(2x?（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在?ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，已知f(A)??6)?cos2x.

?3，a?2,B?，求

32?ABC的面积.

【答案】（1）[?5??3?3?k?,?k?],k?Z；（2）． 12122（2）由f(A)?因此2A??12???5?3，sin(2A?)?，又0?A?，?2A??，

3233332?3?5??，解得：A?. 64

由正弦定理：

ab?，得b?6， sinAsinB又由A??4，B??3可得sinC?6?2， 4故S?ABC?13?3. absinC?22考点：1、两角和的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质；3、正弦定理；4、面积公式． 【思路点睛】从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．

18.（本小题满分12分）《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1： 表1：空气质量指标AQI分组表

表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况. 表2：

表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表. 表3：

（1）设x?M，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程； 100（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.

（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.

（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.

（用最小二乘法求线性回归方程系数公式b?^?xy?nxyiin?xi?1i?1n，a?y?bx.）

^^^2i?n(x)2【答案】（1）y??2141x?；（2）（ⅰ）EX?550；（ⅱ）P?0.876． 204（2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7.

设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，

则P(A)?0.1，P(B)?0.2，P(C)?0.7， （ⅰ）设洗车店每天收入为X元，则X的分布列为

则X的数学期望为EX??200?0.1?400?0.2?700?0.7?550（元）.

（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C,3B,2B1C,1B2C,3C五种情况”，

则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：

222P?0.23?C3?0.72?0.1?C3?0.72?0.2?C3?0.22?0.7?0.73?0.876.

考点：1、回归方程；2、离散型随机变量的期望；3、独立性检验．

19.（本小题满分12分）如图所示，异面直线AB,CD互相垂直，AB?6，BC?3，

BD?2，AC?3，CD?1，截面EFGH分别与BD,AD,AC,BC相交于点E,F,G,H，

且AB//平面EFGH，CD//平面EFGH. （1）求证：BC?平面EFGH； （2）求二面角B?AD?C的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）30． 6（2）由（1）及异面直线AB,CD互相垂直知，直线AB,BC,CD两两垂直，

???????作Cz//BA，建立空间直角坐标系C?xyz，如图所示，

则C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,3,0),A(0,3,6)，

?∵x轴?平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为n?(0,y,1)， ??????????∵DA?(?1,3,6)，∴D A?n?0?3y?6?0，得：y??2，即n?(0,?2,1)，

??又∵z轴//平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为m?(x,1,0)， ????????∴DA?m??x?3?0，得x?3，即m?(3,1,0)，

???|n?m|26设二面角B?AD?C的大小为?，那么|cos?|?????， ?6|n||m|23∴sin??3030，∴二面角B?AD?C的正弦值为. 66考点：1、线面平面的性质定理；2、线段垂直的判定定理；3、二面角．

20.（本小题满分12分）如图，抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点为F(0,1)，取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1,P2，过P1,P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且PQ?P2Q. 1（1）求抛物线C和圆Q的方程； （2）过点F作倾斜角为?(?6????4)的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于

M,A,B,N，求|MN||AB|的最小值.

【答案】（1）抛物线C的方程为x2?4y；圆Q的方程为x2?(y?3)2?8；（2）325． 3

（2）设直线l的方程为y?kx?1，且k?tan??[3,1]， 3

圆心Q(0,3)到直线l的距离为d?21?k2，

∴|AB|?2r?d?42?221， 21?k?x2?4y由?，得y2?(2?4k2)y?1?0，设M(x1,y1),N(x2,y2)， ?y?kx?1则y1?y2?4k2?2，由抛物线定义知，|MN|?y1?y2?2?4(1?k2)， 所以|MN|?|AB|?16(1?k)2?21， 21?k设t?1?k，因为

243?k?1，所以?t?2，

33所以|MN|?|AB|?16t2?1114?162t2?t?162(t?)2?(?t?2)， t483所以当t?43325时，即k?时，|MN||AB|有最小值. 333考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、圆的方程；3、直线与抛物线的位置关系；4、直线与直线的位置关系．

【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可． 21.（本小题满分12分）已知函数f(x)?(1?x)e?2xx3?1?2xcosx，当，g(x)?ax?2x?[0,1]时，

（1）求证：1?x?f(x)?1； 1?x（2）若f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(??,?3]．

（2）（解法一）

f(x)?g(x)?(1?x)e?2xx3x3?(ax??1?2xcosx)?1?x?ax?1??2xcosx

22x2??x(a?1??2cosx).

2x2?2cosx，则G'(x)?x?2sinx， 设G(x)?2记H(x)?x?2sinx，则H(x)?1?2cosx，

当x?(0,1)时，H(x)?0，于是G(x)在[0,1]上是减函数，

从而当x?(0,1)时，G(x)?G(0)?0，故G(x)在[0,1]上是减函数，于是

'''''G(x)?G(0)?2，

从而a?1?G(x)?a?3，

所以，当a??3时，f(x)?g(x)在[0,1]上恒成立. 下面证明，当a??3时，f(x)?g(x)在[0,1]上不恒成立，

1x3?xx3f(x)?g(x)??1?ax??2xcosx??ax??2xcosx1?x21?x21x2??x(?a??2cosx).

1?x21x21?1?a??2cosx??a?G(x)，则I'(x)?记I(x)??G'(x)， 21?x21?x(1?x)当x?(0,1)时，I'(x)?0，故I(x)在[0,1]上是减函数. 于是I(x)在[0,1]上的值域为[a?1?2cos1,a?3].

因为当a??3时，a?3?0，所以存在x0?(0,1)，使得I(x0)?0此时f(x0)?g(x0)，即

f(x)?g(x)在[0,1]上不恒成立.

综上，实数a的取值范围是(??,?3].

32x2x3???(a?3)x?x[x?(a?3)].

231?x2所以存在x0?(0,1)（例如x0取

a?31和中的较小值）满足f(x0)?g(x0). 32

即f(x)?g(x)在[0,1]上不恒成立. 综上，实数a的取值范围是(??,?3].

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．

【方法点睛】求证不等式f?x??g?x?，一种常见思路是用图像法来说明函数f?x?的图像在函数g?x?图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数F?x?＝f?x?－g?x?，通过导数研究函数F?x?的性质，进而证明欲证不等式．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD?42，DE?22，BD?2. （1）求圆O的半径R； （2）求线段BE的长.

【答案】（1）5；（2）

215． 3

22?x2?(22)2在?DBE中，cos?DBE?，

2?2?x

20x22?x2?(22)22152由，得x?，即x?. ?3102?2?x3∴BE?215. 3考点：1、相交弦定理；2、余弦定理．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是??4cos?，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是?（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A,B两点，且|AB|?14，求直线的倾斜角?的值.

22【答案】（1）(x?2)?y?4；（2）???x?1?tcos?（t是参数）.

y?tsin???4或

3?． 4考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 关于x的不等式lg(|x?3|?|x?7|)?m. （1）当m?1时，解此不等式；

（2）设函数f(x)?lg(|x?3|?|x?7|)，当m为何值时，f(x)?m恒成立？ 【答案】（1）{x|2?x?7}；（2）m?1．

考点：1、不等式的解法；2、绝对值的几何意义．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kqu7.html