人教版高中数学必修1至5全部说课稿（精华） - 图文

《集合的含义与表示》

一.教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，

都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

二.目标分析： 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择.

教学目标 l.知识与技能

(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号；

(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象；

2. 过程与方法

(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观

使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 三. 教法分析

1. 教学方法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.

2. 教学手段：在教学中使用投影仪来辅助教学. 四.过程分析

(一)创设情景，揭示课题

1．教师首先提出问题：(1)介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级。 (2)问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，有什么共同特征？ 引导学生互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.活动：(1)列举生活中的集合的例子；

(2)分析、概括各实例的共同特征

由此引出这节要学的内容。

设计意图:既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为新知作好铺垫 （二）研探新知，建构概念

1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面7个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；

(6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.

2．教师组织学生分组讨论：这7个实例的共同特征是什么?

3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出7个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.

4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，?表示，元素常用小写字母a,b,c,d?表示. 设计意图:通过实例让学生感受集合的概念，激发学习的兴趣，培养学生乐于求索的精神 (三)质疑答辩，发展思维

1

1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：

判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流.

让学生充分发表自己的建解.

3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.

4.教师提出问题，让学生思考

(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b是高一(4)班的一位同学，那么

a,b与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a?A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.

(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．

(3)让学生完成教材第6页练习第1题.

5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.

6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式?

(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法?

使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

设计意图:明确集合元素的三大特性，使学生弄清楚三种表示方式的优缺点，从而突破难点。 (四)巩固深化，反馈矫正

教师投影学习：

(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}； (2)用例举法表示集合A?{x?N|1?x?8}

(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题.

设计意图:使学生及时巩固所学新知，体会三种表示方式存在的必要性和适用对象 (五)归纳小结，布置作业

小结：在师生互动中，让学生了解或体会下例问题： 1．本节课我们学习了哪些知识内容? 2．你认为学习集合有什么意义？

3．选择集合的表示法时应注意些什么?

设计意图:通过回顾，对概念的发生与发展过程有清晰的认识，回顾集合元素的三大特性及集合的三种表示方式。 作业：

1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.

2. 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材. 五.板书分析

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PPT 集合的含义与表示 定义 例1 集合 ××××××× ××××××× ××××××× 元素 ××××××× ××××××× 例2 元素与集合的关系 ××××××× ××××××× ××××××× 作业 ××××××× ×××××××

课题：§1.2.1函数的概念

教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与

对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．

教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应

的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、 引入课题 1. 2.

复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例：

我国2003年4月份非典疫情统计：

日 期 新增确诊病例数 3. 4.

22 106 23 105 24 89 25 103 26 113 27 126 28 98 29 152 30 101 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

二、 新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作：

y=f(x)，x?A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域（range）．

注意：

1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○

2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． ○

2． 构成函数的三要素：

3

定义域、对应关系和值域 3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．

（由学生完成，师生共同分析讲评）

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （二）典型例题 1．求函数定义域

课本P20例1 解：（略） 说明：

1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○

2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○

3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． ○

巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数

课本P21例2 解：（略）

说明：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定○

义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 ○

巩固练习： 1 课本P22第2题 ○

2 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ ○

（1）f ( x ) = (x －1) ；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) =

2

0

x2

2

（3）f ( x ) = x ；f ( x ) = (x + 1) （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （三）课堂练习

求下列函数的定义域 （1）f(x)x2

?1

x?|x|（2）f(x)?11?1x

（3）f(x)??x2?4x?5

（4）f(x)?4?x2x?1

4

（5）f(x)（6）f(x)?x2?6x?10

?1?x?x?3?1

三、 归纳小结，强化思想

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。 四、 作业布置

课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题

《单调性与最大（小）值》说课稿

一、教材分析 1．教学内容

本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

2． 教材的地位和作用

函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

3．教材的重点﹑难点﹑关键

教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。明确单调性是一个局部概念. 教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念。 教学关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程． 4．学情分析

高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强.

二、目标分析 （一）知识目标：

1．知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法；了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。

2．能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。

3．情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲望。领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法。通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。

（二）过程与方法

培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质，通过函数的单调性的学习，掌握自变量和因变量的关系。通过多媒体手段激发学生学习兴趣，培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力。

三、教法与学法 1．教学方法

在教学中，要注重展开探索过程，充分利用好函数图象的直观性、发挥多媒体教学的优势。本节课采用问答式教学法、

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探究式教学法进行教学，教师在课堂中只起着主导作用，让学生在教师的提问中自觉的发现新知，探究新知，并且加入激励性的语言以提高学生的积极性，提高学生参与知识形成的全过程。

2．学习方法

自我探索、自我思考总结、归纳，自我感悟，合作交流，成为本节课学生学习的主要方式。 四、过程分析

本节课的教学过程包括：问题情景，函数单调性的定义引入，增函数、减函数的定义，例题分析与巩固练习，回顾总结和课外作业六个板块。这里分别就其过程和设计意图作一一分析。

（一）问题情景：

为了激发学生的学习兴趣，本节课借助多媒体设计了多个生活背景问题，并就图表和图象所提供的信息，提出一系列问题和学生交流，激发学生的学习兴趣和求知欲望，为学习函数的单调性做好铺垫。（祥见课件）

新课程理念认为：情境应贯穿课堂教学的始终。本节课所创设的生活情境，让学生亲近数学，感受到数学就在他们的周围，强化学生的感性认识，从而达到学生对数学的理解。让学生在课堂的一开始就感受到数学就在我们身边，让学生学会用数学的眼光去关注生活。

（二）函数单调性的定义引入

1．几何画板动画演示 ，请学生认真观察，并回答问题：通过学生已学过的函数y=2x+4，

y?x2，y?1的图象的x动态形式形象出x、y间的变化关系，使学生对函数单调性有感性认识。，进行比较，分析其变化趋势。并探讨、回答以下问题：

问题1、观察下列函数图象，从左向右看图象的变化趋势？ 问题2：你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗？ 通过学生的交流、探讨、总结，得到单调性的“通俗定义”：

从在某一区间内当x的值增大时，函数值y也增大，到图象在该区间内呈上升趋势再到如何用x与 f(x)来描述上升的图象？

通过问题逐步向抽象的定义靠拢，将图形语言转化为数学符号语言。几何画板的灵活使用，数形有机结合，引导学生从图形语言到数学符号语言的翻译变得轻松。

设计意图：①通过学生熟悉的知识引入新课题，有利于激发学生的学习兴趣和学习热情，同时也可以培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识，增强学生自主学习、独立思考，由学会向会学的转化，形成良好的思维品质。②通过学生已学过的一次y=2x+4，

y?x2，y?1的图象的动态形式形象地反映出x、y间的变化关系，使学生对函数单调性有x感性认识。 ③从学生的原有认知结构入手，探讨单调性的概念，符合“最近发展区的理论”要求。④从图形、直观认识入手，研究单调性的概念，其本身就是研究、学习数学的一种方法，符合新课程的理念。

（三）增函数、减函数的定义

在前面的基础上，让学生讨论归纳：如何使用数学语言来准确描述函数的单调性？在学生回答的基础上，给出增函数的概念，同时要求学生讨论概念中的关键词和注意点。

定义中的“当x1?x2时，都有f(x1)< f(x2)”描述了y随x的增大而增大;它刻画了函数的单调递增的性质，数学语言多么精练简洁，这就是数学的魅力所在！ 注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

让学生自已尝试写出减函数概念，由两名学生板演。提出单调区间的概念。

设计意图：通过给出函数单调性的严格定义，目的是为了让学生更准确地把握概念，理解函数的单调性其实也叫做函数的增减性，它是对某个区间而言的，它是一个局部概念，同时明确判定函数在某个区间上的单调性的一般步骤。这样处理，同时也是让学生感悟、体验学习数学感念的方法，提高其个性品质。

（四）例题分析

在理解概念的基础上，让学生总结判别函数单调性的方法：图象法和定义法。

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2．例2．证明函数

f(x)??3x?1在区间（-∞，＋∞）上是减函数。

在本题的解决过程中，要求学生对照定义进行分析，明确本题要解决什么？定义要求是什么？怎样去思考？通过自己的解决，总结证明单调性问题的一般方法。

变式一：函数f(x)=-3x+b在R上是减函数吗？为什么？

变式二：函数f(x)=kx+b (k<0)在R上是减函数吗？你能用几种方法来判断。 变式三：函数f(x)=kx+b (k<0)在R上是减函数吗？你能用几种方法来判断。 错误：实质上并没有证明，而是使用了所要证明的结论

例题设计意图：在理解概念的基础上，让学生总结判别函数单调性的方法：图象法和定义法。例1是教材中例题，它的解决强化学生应用数形结合的思想方法解题的意识，进一步加深对概念的理解，同时也是依托具体问题，对单调区间这一概念的再认识；要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。例2是教材练习题改编，通过师生共同总结，得出使用定义证明的一般步骤：任取—作差（变形）—定号—下结论，通过例2的解决是学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性训练，从而提高学生的推理论证能力。例3是教材例2抽象出的数学问题。目的是进一步强化解题的规范性，提高逻辑推理能力，同时让学生学会一些常见的变形方法。

（五）巩固与探究

1．教材 p36 练习 2，3 2．探究：二次函数的单调性有什么规律？

（几何画板演示，学生探究）本问题作为机动题。时间不允许时，就为课后思考题。

设计意图：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。

通过课堂练习加深学生对概念的理解，进一步熟悉证明或判断函数单调性的方法和步骤，达到巩固，消化新知的目的。同时强化解题步骤，形成并提高解题能力。对练习的思考，让学生学会反思、学会总结。

（六）回顾总结

通过师生互动，回顾本节课的概念、方法。本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。

设计意图：通过小结突出本节课的重点，并让学生对所学知识的结构有一个清晰的认识，学会一些解决问题的思想与方法，体会数学的和谐美。 （七）课外作业

1．教材 p43 习题1.3 A组 1（单调区间），2（证明单调性）； 2．判断并证明函数

f(x)?x在 (0,??)上的单调性。

3．数学日记：谈谈你本节课中的收获或者困惑，整理你认为本节课中的最重要的知识和方法。

设计意图：通过作业1、2进一步巩固本节课所学的增、减函数的概念，强化基本技能训练和解题规范化的训练，并且以此作为学生对本结内容各项目标落实的评价。新课标要求：不同的学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展。作业3这种新型的作业形式是其很好的体现。

（七）板书设计（见ppt） 五、评价分析

有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上，，因此在教学设计过程中注意了：第一.教要按照学的法子来教；第二在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”；第三.强化了重探究、重交流、重过程的课改理念。让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程 ，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者 。

本节课围绕教学重点，针对教学目标，以多媒体技术为依托，展现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣，并注重数学科学研究方法的学习，是顺应新课改要求的，是研究性教学的一次有益尝试。

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1.3.2《函数的奇偶性》

一、教材分析

1．教材所处的地位和作用

“奇偶性”是人教A版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。

奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的 及入手，从特殊

到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。

2．学情分析

从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． 3．教学目标

基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】

1．能判断一些简单函数的奇偶性。

2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】

经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】

通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 从课堂反应看，基本上达到了预期效果。 4、教学重点和难点

重点：函数奇偶性的概念和几何意义。

几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验

f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)成立即可，而忽视了考虑函

数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。

难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。

由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。

二、教法与学法分析 1、教法

根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。从课堂反应看，基本上达到了预期效果。

2、学法

让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，从而使学生掌握知识。 三、教学过程

具体的教学过程是师生互动交流的过程，共分六个环节：设疑导入、观图激趣；指导观察、形成概念；学生探索、领会

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定义；知识应用，巩固提高；总结反馈；分层作业，学以致用。下面我对这六个环节进行说明。

（一）设疑导入、观图激趣

由于本节内容相对独立，专题性较强，所以我采用了“开门见山”导入方式，直接点明要学的内容，使学生的思维迅速定向，达到开始就明确目标突出重点的效果。

用多媒体展示一组图片，使学生感受到生活中的对称美。再让学生观察几个特殊函数图象。通过让学生观察图片导入新课，既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为学习新知识作好铺垫。 （二）指导观察、形成概念

在这一环节中共设计了2个探究活动。

探究1 、2 数学中对称的形式也很多，这节课我们就以函数

1f(x)?x2和f(x)=︱x︱以及f(x)?x和f(x)?x为例展开探究。这个探究主要是通过学生的自主探究来实现的，由于有图片的铺垫，绝大多数学生很快就说出函数图象关于Y轴（原点）对称。接着学生填表，从数值角度研究图象的这种特征，体现在自变量与函数值之间有何规律? 引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示。借助课件演示（令

,得到

（

比较

得出等式

, 再令

） 让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性,

f(?x)?f(x)

f(?x)??f(x)）然后通过解析式给出严格证明，进一步说明这个特性对定义域内任意一个

都成立。 最后给出偶

函数(奇函数)定义(板书)。

在这个过程中，学生把对图形规律的感性认识，转化成数量的规律性，从而上升到了理性认识，切实经历了一次从特殊归纳出一般的过程体验。

（三） 学生探索、领会定义

探究3 下列函数图象具有奇偶性吗？

y?x3，yx?[?4，3]yy?x2，x?[?3，2]?4O3x?3O2x

设计意图：深化对奇偶性概念的理解。强调：函数具有奇偶性的前提条件是——定义域关于原点对称。（突破了本节课的难点）

（四）知识应用，巩固提高

在这一环节我设计了4道题 例1判断下列函数的奇偶性

45(1) f(x)?x 　　 (2) f(x)?x　　

11 　(3) f(x)?x? (4) f(x)?2　选例1的第（1）及（3）小题板书来示范解题步骤，其他小题让学生在下面完成。 xx例1设计意图是归纳出判断奇偶性的步骤： (1) 先求定义域，看是否关于原点对称； (2) 再判断f(-x)=-f(x) 还是 f(-x)=f(x)。

例2 判断下列函数的奇偶性：

f(x)?x2?x例3 判断下列函数的奇偶性：

9

f(x)?0

例2、3设计意图是探究一个函数奇偶性的可能情况有几种类型？ 例4（1）判断函数

f(x)?x3?x的奇偶性。

（2）如图给出函数图象的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？ 例4设计意图加强函数奇偶性的几何意义的应用。

在这个过程中，我重点关注了学生的推理过程的表述。通过这些问题的解决，学生对函数的奇偶性认识、理解和应用都能提升很大一个高度，达到当堂消化吸收的效果。 （五）总结反馈

在以上课堂实录中充分展示了教法、学法中的互动模式，“问题”贯穿于探究过程的始终，切实体现了启发式、问题式教学法的特色。

在本节课的最后对知识点进行了简单回顾，并引导学生总结出本节课应积累的解题经验。知识在于积累，而学习数学更在于知识的应用经验的积累。所以提高知识的应用能力、增强错误的预见能力是提高数学综合能力的很重要的策略。 （六）分层作业，学以致用

必做题：课本第36页练习第1-2题。

选做题：课本第39页习题1.3A组第6题。 思考题：课本第39页习题1.3B组第3题。

设计意图：面向全体学生，注重个人差异，加强作业的针对性，对学生进行分层作业，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，进一步达到不同的人在数学上得到不同的发展。

《指数函数及其性质》

一、指数函数及其性质教学设计说明

新课标指出： 学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。 数学本质：

探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过分类讨论，通过研究两个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。引导学生探究出指数函数的一般性质，从而对指数函数进行较为系统的研究。 二、教材的地位和作用：

本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修1》第二章2.1 .2节的内容，研究指数函数的定义，图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念，将指数扩充到实数范围之后学习的一个重要的基本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化，又是今后学习对数函数与幂函数 的基础。因此，在教材中占有极其重要的地位，起着承上启下的作用。 此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。 三、教学目标分析：

根据本节课的内容特点以及学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况，确定在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程。 为此，特制定以下的教学目标：

1）知识目标（直接性目标）：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用、能根据单调性解决基本的比较大小的问题.

2）能力目标（发展性目标）：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想，增强学生识图用图的能力 。

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3）情感目标（可持续性目标）： 通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，用联系的观点看问题。体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。引导学生发现数学中的对称美、简洁美。善于探索的思维品质。 教学问题诊断分析： 学生知识储备：

通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构。 学情分析：

由于我所教学生数学的理解能力、运算能力、思维能力等方面有一部分是较好的，但整体是水平参差不齐。高一这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，能够勇于表现自我，展现自我，愿意合作交流。但在思维习惯上与方法上还有待教师引导。 可能存在的问题与策略： 问题1.

学生能够从具体的问题中抽象出数学的模型但对于指数函数的定义中底数的取值范围和指数函数形式的判断有困难。 教学策略：

类比着二次函数，对于底数的范围的取值，引导学生回顾指数幂中当指数为全体实数时，底数怎样取值才能一直有意义，以问题的形式引发学生思考底数能否取负数、正数、0、1？从而得到底数的范围。 学生对： 1）ｙ=-3ｘ 2）ｙ=31/x 3) ｙ=31+x 4) ｙ=(-3)x 5) ｙ=3-x=(1/3) x

几种形式的函数的判断，加强对指数函数形解析式的理解和辨别： 问题2.

学生初中阶段就接触过函数，但对于学生而言，指数函数是完全陌生的函数。学生列表时，数值的选取上可能会少取或是数值的选取不能照顾到全体实数，画图时，又容易受以前学过的函数图像的影响，把指数函数的图像画成已经学过的图像的形象。

教学策略：在列表格时自变量的取值以及如何画出指数函数的图像的问题上，采用启发式教学法，类比学过的函数图形的画法，引导学生画图，画完图后，又利用实物投影仪展示一位同学的图像，由全班同学进行提出意见纠错来补充画图的不足。

另外为了让学生增强识图、用图的能力可以让学生根据观察到的指数函数的图像，来画出底数不同取值范围内的的草图，以便于探究性质。 问题3．

函数定义给出后，底数a如何分类讨论的情况学生难以做到，如果处理不好，这对于指数函数质探究时的分类讨论有很重要的意义。

教学策略：在定义中对于底数的取值范围的讨论后，得出了底数a>0且a≠1。此时，在数轴上把a的范围表示出来，这样学生很容易从数轴上的区间图看出底数分为两类情况进行讨论。这样为指数函数质探究时的分类讨论埋下了伏笔。 问题4 ．

通过两个具体的特殊的指数函数图像，来探究得出指数函数的性质。如何使学生能经历从特殊到一般的过程，这种由特殊到一般再到特殊的思想的领会，如何完成？

教学策略：教师利用几何画板分别画出了底数大于1的和底数在0到1之间的若干个不同的指数函数的图像，展现不同的底数的变化时图像的不同情况，从而让学生经历由特殊到一般的过程。 问题5．

指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，学生可能找不到研究问题的方法和方向. 教学策略：在这部分的安排上，我更注意学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数。 问题6.

学生得到的性质特点可能是杂乱的，如何梳理突出主要的性质？

教学策略：在学生识图、用图、合作探究的过程后，利用两个表格的填写，让学生感受由图象特征来得到函数的性质的过程。表格主要呈现五个方面的性质与特点。 五、教法分析：

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为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法。以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，以动手操作、合作交流，自主探究的方式来让学生始终处在教学活动的中心。 六、预期效果分析：

1、教学环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动手操作，动眼观察，动脑思考，亲身经历了知识的生成和发展过程，使学生对知识的理解逐步深入。

2、简单实例的引入，顺利完成了知识的迁移，从得出指数函数的模型，符合学生认知规律的最近发展区。

3、 而作业中完成指数函数性质的探究报告，弥补课堂时间有限探究和展示的局限性，带领学生进入对指数函数更进一步的思考和研究之中，从而达到知识在课堂以外的延伸。

4、在整个教学过程中，由于学生是自觉主动地发现结果，对所学知识应该能够较快接受。因此，我认为可以达到预定的教学目标。

2.8对数函数（第二课时）

一、 教材的本质、地位与作用

对数函数（第二课时）是2006人教版高一数学（上册）第二章第八节第二课时的内容，本小节涉及对数函数相关知识，分三个课时，这里是第二课时复习巩固对数函数图像及性质，并用此解决三类对数比大小问题，是对已学内容（指数函数、指数比大小、对数函数）的延续和发展，同时也体现了数学的实用性，为后续学习起到奠定知识基础、渗透方法的作用，因此本节内容起到了一种承上启下的作用. 二、 教学目标

根据教学大纲的要求以及本节课的地位与作用，结合高一学生的认知特点确定教学目标如下： 学习目标：

1、复习巩固对数函数的图像及性质 2、运用对数函数的性质比较两个数的大小 能力目标：

1、 培养学生运用图形解决问题的意识即数形结合能力 2、学生运用已学知识，已有经验解决新问题的能力 3、 探索出方法，有条理阐述自己观点的能力 德育目标：

培养学生勤于思考、独立思考、合作交流等良好的个性品质 三、 教材的重点及难点

对数比大小发挥的是承上启下的作用，对前一是复习巩固对数函数的图像和性质，二是对指数中比大小问题的数学

思想及方法的再次体现和应用，对后为解对数方程及对数不等式奠定基础。所以确定本节课重点：运用对数函数图像性质比较两数的大小

教学中将在以下2个环节中突出教学重点： ．．．．．．

1、

利用学生预习后的心得交流，资源共享，互补不足

2、 通过适当的练习，加强对解题方法的掌握及原理的理解

另一方面，学生在预习后上课的情况下，对于课本上知识有了一定的认识，但本节课教师要补充第三类比大小问题

———同真异底型，对于学生以小组为单位自主探究有一定的挑战性。 所以确定本节课难点：同真异底的对数比大小

．．．．．．

教学中会在以下3个方面突破教学难点：

1、 3、

教师调整角色，让学生成为学习的主人，教师在其中起引 导作用即可。 本节课采用多媒体辅助教学，节省时间，加快课程进度，增强了直观形象性。

2、 小组合作探索新问题时，注重生生合作、师生互动，适时用语言鼓励学生，增强学生参与讨论的自信。

四、 学生学情分析

长处：高一学生经过几年的数学学习，已具备一定的数学素养，对于已学知识或用过的数学思想、方法有一定的应

用能力及应用意识，对于本节课而言，从知识上说，对数函数的图像和性质刚刚学过，本节课是知识的应用，．．

从数学能力上说，指数比大小问题的解题思想和方法在这可借鉴，另外数形结合能力、小结概括能力、特殊到．．．．

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一般归纳能力已具备一点。

学生可能遇到的困难：本节课从教学内容上来看，第三类对数比大小是课本以外补充的内容，没有预习心得，让学．．．．

生在课堂中快速通过合作探究来完成解题思路的构建，有一定的挑战性，从学生能力上来看，探索出方法，有．．．．条理阐述自己观点的能力还需加强锻炼，知识之间的联系认识上还显不足。

五、 教法特点

新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，在教育方式上，以学生为中心，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可。基于此，本节课遵循此原则重点采用问题探究和启发引导式的教学方法。从预习交流心得出发，到探索新问题，再到题后的回顾总结，一切以学生为中心，处处体现学生的主体地位，让学生多说、多分析、多思考、多总结，引导学生运用自己的语言阐述观点，加强理解，在生生合作，师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题能力打下基础。本节课采用多媒体辅助教学，节省时间，加快课程进度，增强了直观形象性。 六、 教学过程分析

1、 2、 3、

课件展示本节课学习目标

温故知新（已填表形式复习对数函数的图像和性质） 预习后心得交流 1) 同底对数比大小

2) 既不同底数，也不同真数的对数比大小

以课本例题为例，交流解题思路，题后总结此类型比大小问题的一般方法，而后通过练习加强理解巩固

设计意图：通过学生的预习，自己总结方法及此方法适用的题型，有条理的阐述自己的学习心得，老师只需起引导作用，引导学生从题目表面上升到题目的实质，从而找到解决问题的有效方法。

4、

合作探究——同真异底型的对数比大小

以例3为例，学生分组合作探究解题方法，预计两种：一是利用换底公式将此类型转化为同底异真型，利用之前总结的方法解决此问题。二是利用具体对数的大小关系探究出不同底对数函数在同一直角坐标系中的图像，以此来解决此类型比大小问题。

设计意图：这一部分是本节课的难点，探究中充分发挥学生的主动性，培养主动学习的意识，同时也锻炼学生各方面能力的很好机会，为以后的探究学习积累经验和方法，充分体现“授之以鱼，不如授之以渔”的教学理念。另外数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾，即反思，如果没有了反思,他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。因此，本题解决后，让学生反思明白，要想利用性质解决问题，关键要做到“脑中有图”，以“形”促“数”。

5、 6、 7、

小结 思考题 作业

以学生自主小结的方式总结本节课得收获，教师可引导小结三个方面：所学内容、数学思想、数学方法 以2009高考题为例，让学生学以致用，增强数学学习兴趣。 包括两个方面：1、书写作业 2、下节课前的预习作业

七、 教学效果分析

通过本节课的教学实例来看，这种通过课本内容预习，而后课堂交流学习成果的方法效果不错，既能很好的完成教学任务，又能充分发挥学生学习的主动性。在自主探究时，学生分组讨论过程中，我参与小组讨论，对有能力的小组，在探究出一种方法后，可鼓励完成更多的方法探究，对于能力较弱的小组，可给予适当的提示，使学生都能动起来，课堂都有所收获，增强学生自信。另外，对于学生的总结回答，可能会比较慢，我一定会耐心听，及时鼓励，给予学生微笑和语言的鼓励，效果很好。在小结环节中，对于高一学生自己小结的方法，是我一直的教学尝试，由于只训练了半学期，学生只能达到小结知识的程度，在以后的训练中还会加入数学思想、数学方法的小结内容，使这些数学名词让学生不再觉得抽象，而是变成具体的，可操作的、具体的解题工具。

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设计意图：明确任务，激发兴趣

设计意图：复习已学知识和方法，为学生形成知识间的联系和框架建立平台，并为下一步的应用打下基础。

3.1.1方程的根与函数的零点 一、本课数学内容的本质、地位、作用分析

普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。

函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。 二、教学目标分析

本节内容包含三大知识点： 一、函数零点的定义；

二、方程的根与函数零点的等价关系； 三、零点存在性定理。

结合本节课引入三大知识点的方法，设定本节课的知识与技能目标如下： 1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系； 3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.

本节课是学生在学习了函数的性质，具备了初步的数形结合知识的基础上，通过对特殊函数图象的分析进行展开的，是培养学生“化归与转化思想”，“ 数形结合思想”， “函数与方程思想”的优质载体。

结合本节课教学主线的设计，设定本节课的过程与方法目标如下：

1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯； 2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；

3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法； 4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。

由于本节课将以教师引导，学生探究为主体形式，故设定本节课的情感、态度与价值观目标如下： 1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值； 2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。 3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。 三、教学问题诊断

学生具备的认知基础： 1.基本初等函数的图象和性质；

2.一元二次方程的根和相应函数图象与x轴的联系； 3.将数与形相结合转化的意识。 学生欠缺的实际能力：

1.主动应用数形结合思想解决问题的意识还不强； 2.将未知问题已知化，将复杂问题简单化的化归意识淡薄； 3.从直观到抽象的概括总结能力还不够； 4.概念的内涵与外延的探究意识有待提高。

对本节课的教学，教材是利用一组一元二次方程和二次函数的关系来引入函数零点的。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数零点，再来理解其他复杂的函数零点就会容易一些。但学生对如何解一元二次方程以及二次函数的图象早就熟练了，这样的引入过程使学生感到平淡，激发不起他们的兴趣，他们对零点的理解也只会浮于表面，也无法使其体会引入函数零点的必要性，理解不了方程根存在的本质原因是零点的存在。

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教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数y=f(x)在（a，b）内有零点的一种条件的，如果不能有效地对该过程进行引导，容易出现学生被动接受，盲目记忆的结果，而丧失了对学生应用数学思想方法的意识进行培养的机会。

教材中零点存在性定理只表述了存在零点的条件，但对存在零点的个数并未多做说明，这就要求教师对该定理的内涵和外延要有清晰的把握，引导学生探究出只存在一个零点的条件，否则学生对定理的内容很容易心存疑虑。 四、本节课的教法特点以及预期效果分析

本节课教法的几大特点总结如下： 1． 以问题为主线贯穿始终；

2． 精心设置引导性的语言放手让学生探究；

3． 注重在引导学生探究问题解法的过程中渗透数学思想；

4． 在探究过程中引入新知识点，在引入新知识点后适时归纳总结，进行探究阶段性成果的应用。

由于所设置的主线问题具有很高的探究价值，所以预期学生热情会很高，积极性调动起来，那整节课才能活起来； 由于为了更好地组织学生探究所设置的引导性语言，重在去挖掘学生内心真实的想法和他们最真实体会到的困难，所以通过学生活动会更多地暴露他们在基础知识掌握方面的缺憾，免不了要随时纠正对过往知识的错误理解；

因为在探究过程中不断渗透数学思想，学生对亲身经历的解题方法就会有更深的体会，主动应用数学思想的意识在上升，对于主线问题也应该可以迎刃而解；

因为在探究过程中引入新知识点，学生对新知识产生的必要性会有更深刻的体会和认识，同时在新知识产生后，又适时地加以应用，学生对新知识的应用能力不断提高。

用二分法求方程的近似解

一、本节课内容的数学本质

本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点。引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系。

所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。 二、本节课内容的地位、作用

“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、近似思想、逼近思想和算法思想等。

三、学生情况分析

学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。 四、教学目标定位

根据教材内容和学生的实际情况，本节课的教学目标设定如下：

通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想。

借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．

通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识。

通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

五、教学诊断分析

“二分法”的思想方法简便而又应用广泛，所需的数学知识较少，算法流程比较简洁，便于编写计算机程序；利用计算器和多媒体辅助教学，直观明了；学生在生活中也有相关体验，所以易于被学生理解和掌握。 但“二分法”不能用于求方程偶次重根的近似解，精确度概念不易理解。 六、教学方法和特点

本节课采用的是问题驱动、启发探究的教学方法。

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通过分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点的学习指导方法把问题逐步推进、拾级而上，并辅以多媒体教学手段，使学生自主探究二分法的原理。 本节课特点主要有以下几方面：

1、以问题驱动教学，激发学生的求知欲，体现了以学生为主的教学理念。

2、注重与现实生活中案例相结合，让学生体会数学来源于现实生活又可以解决现实生活中的问题。

以李咏主持的幸运52猜商品价格来创设情境，不仅激发学生学习兴趣，学生也在猜测的过程中体会二分法思想。 3、注重学生参与知识的形成过程，使他们“听”有所思，“学”有所获。

本节课中的每一个问题都是在师生交流中产生，在学生合作探究中解决，使学生经历了完整的学习过程，培养合作交流意识。

4、恰当地利用现代信息技术，帮助学生揭示数学本质。

本节课中利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性。整个课件都以PowerPoint为制作平台，演示Excel 程序求方程的近似解，界画活泼，充分体现了信息技术与数学课程有机整合。 七、预期效果分析

以方程的根与函数的零点知识作基础，通过对求方程近似解的探究讨论，使学生主动参与数学实践活动；采用多媒体技术，大容量信息的呈现和生动形象的演示，激发学生学习兴趣、激活学生思维，掌握二分法的本质，完成教学目标。

另外尽管使用了科学计算器，但求一个方程的近似解也是很费时的，学生容易出现计算错误和产生急躁情绪；况且问题探究式教学跟学生的学习程度有很大关系，各小组的探究时间存在差异，教师要适时指导。

几类不同增长的函数模型

一．内容和内容解析

本节是高中数学必修1（人教A版）第三章《函数的应用》的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法；感受数学建模的思想．

对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．

教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义．

在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，．因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.

本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想．

二．目标和目标解析

本节课的教学任务为：

（1）创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸；

（2）创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点；

（3）通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识.

根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为：

（1）通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；

（2）通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明；

（3）经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.

这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数

模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体．因此教学中应当注意贯

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彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法．

结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．

三．教学问题诊断

学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．因此本节课教学难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．

为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究．这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题．

四．教学支持条件分析

要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法．因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型， 利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

五．教学过程设计

一、创设情境，引入课题

1.介绍第三章章头图，提出问题．

问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只？ 澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长. 问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？

2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型． 3.揭示课题：几类不同增长的函数模型．

【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望．

二、分析问题，建立模型 （一）提出问题

例1．假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的 回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问：你会选择哪种投资方式？ （二）分析问题

1.引导审题，抓住关键词“回报”

问题3：你选择的是什么样的回报？怎样比较回报资金的大小？ 从解决问题的角度看：

（1）比较三种方案的每日回报；

（2）比较三种方案在若干天内的累计回报. 2.引导分析数量关系，建立函数模型

仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.

【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程．

【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择. 三、组织探究，感性体验

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1.教师提出问题

问题4：你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由． 2.学生分组操作，比较不同增长 从解决问题的方式上： （1）用列表方法来比较； （2）画出函数图象来分析.

【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法．

四、成果交流，阶段小结

（一）学生交流

让学生交流小组探究的成果（表格、图象、结论） （二）师生互动

1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象（突出散点图），引导学生关注增长量，感受增长差异． 2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异．

在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点．他们的增长不在同一个“档次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多．

（三）归纳小结

1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识． 常数函数（没有增长），直线上升（匀速增长），指数爆炸（急剧增长）．

2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的．

【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动；借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法． 五、深入探究，理性分析 （一）提出问题

例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：

y?0.25x y?log7x?1 y?1.002x．其中哪个模型能符合

公司的要求？

（二）引导分析

问题5：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？ 问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？

问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？ （三）解决问题

1.通过多媒体演示，发现增长差异； 2.结合限制条件，初步作出选择；

3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；

4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长； 5.揭示函数问题的研究方法（观察—归纳—猜想—证明）．

【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点． 【备注】对判断模型二

y?log7x?1是否满足限制条件“log7x?1?0.25x”，考虑到学生现在知识储备和接受水

平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决（因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决）．

六、拓展延伸，创新设计

这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.

问题8：我们的奖励方案有什么弊端？ 问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？

【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加,要求如下：

10万～ 50万，奖金不超过2万；50万～ 200万，奖金不超过4万；200万～ 1000万，奖金不超过20万．请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案．（四人一组，合作完成）

【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．

七、归纳总结，提炼升华

18

问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结．

1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（爆炸增长）；对数函数（平缓增长）．

2.方法：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法（观察—归纳—猜想—证明） 3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.

【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值． 八、布置作业，巩固提高

1.课本98页课后练习1，2；课本107页习题3.2（A组）第1题；

2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用．

【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.

中心投影与平行投影及空间几何体的三视图

人教版A版《必修2》第一章第二节第一课时

一．教材分析 1．教材的地位和作用

本节课是课标教材人教版A版《必修2》第一章“空间几何体”中第二节“空间几何体的三视图和直观图”的第一课时。是在上一节认识空间几何体结构特征的基础上学习空间几何体的表示形式。主要内容是：介绍两种不同的投影方法，画空间几何体的三视图。

通过本节的学习可以进一步提高学生对空间几何体结构特征的认识，培养空间想象能力、几何直观能力，运用图形语言进行交流的能力。是学好立体几何的基础之一，是本章的重点。 2．教学目标 知识目标：

（1）了解两种投影方法,中心投影法与平行投影法.

（2）能画出简单空间图形(长方体,球,圆柱,圆锥,棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型. 能力目标：

培养学生运用图形语言进行交流的能力,几何直观能力,空间想象能力. 德育目标：

培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神.让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想. 情感目标：

（1）形成主动探索的意识,丰富学生数学活动的成功体验. （2）通过学生之间的交流活动,发展学生与他人合作交流的意识. 3．教学重点、难点

教学重点：画出简单组合体的三视图 教学难点：识别三视图所表示的空间几何体 二．教法探讨

根据本节课的特点，主要采用探究发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳出三视图的投影规律和与物体方位的对应关系，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，利用多媒体形象动态的演示功能增强教学的直观性和趣味性，提高课堂效率。 三．学法指导

在学习本节内容时，学生在教师创设的问题情境中直观感知，动手操作，动脑思考，动口表达，注重多感官参与，多种心智能力的投入，使学生始终处于主动探索状态，同时向学生渗透探究发现的学习方法，培养他们在合作中共同探索新知识，解决新问题的能力。 四．教学程序 【课前准备】

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课前安排学生复习了九年级下册第29章第一、二节的内容。预习本节内容，准备长方体形状的墨水盒、六角螺栓等实物。

创 设 情 境引入新课 教 学 过 程 【图片演示】鸟巢、水立方的鸟瞰图，六角螺栓的三视图 【教师提问】奥运场馆美丽壮观，令人赞叹，下面是鸟巢和水立方里都要大量用到的一个零件，你能猜出它是什么吗？ 通过实例引出课题 设计意图 利用学生的求知好奇心理，以大家关注的建筑物提出问题，引出课题。便于激发学生的学习兴趣，调动学生思维的积极性。紧扣本节课教学内容的主题与重点， 便于知识的迁移，使学生明确知识的实际应用性。了解数学来源于实际。 自 主 探 究 合 作 学 习 问题1：请同学们观察下列投影现象， 它们的投影过程有何不同? （课件动画演示） 介绍概念 中心投影：光线由一点向外散射形成的投影。 平行投影：平行光线照射下形成的投影。 通过多媒体课件的演示，让学生区别两种投影方法。了解中心投影与平行投影的有关概念。认识正投影与斜投影的区别。为三视图的学习做好知识准备。 在初中，学生已经会画长方体的三视图，在这里从投影的角度让学生画出长方体三个方向的正投影图，目的是要用投影的方法给出三视图的定义。为进一步研究投影规律做好准备。通过课件的演示增强了直观性。 正投影：投影线与投影面垂直 平行投影 斜投影：投影线与投影面不垂直 问题2：画出光线从长方体形墨水盒的 a.前面向后面正投影的投影图 b.左面向右面正投影的投影图 c.上面向下面正投影的投影图 学生动手操作，教师动画演示，得到三视图概念. 光线从几何体的 a.前面向后面正投影得到的投影图称为正视图； b.左面向右面正投影得到的投影图称为侧视图； c.上面向下面正投影得到的投影图称为俯视图； 几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图． 侧视图画在正视图的右边， 俯视图画在正视图的下边 教 学 过 程 设计意图 20

自 主 探 究合作学习 信 息 交 流揭示规律 问题3：请观察长方体的三个视图在位置、形状、大小方面的关系。 学生可能不知道从何入手,教师提示学生在每个图中标出前后 、左右、上下的方位及长、宽、高对应的线段，进行观察，发现关系．. 引导学生发现三视图的投影规律及三视图与物体方位的对应关系，这是画图、识图的理论依据,是解决本节课的重点、难点的关键所在。 学生通过动手操作，独立思考，相互交流从画图过程中总结归纳出下列结论： 三视图与物体方位的对应关系： 正视图反映物体的上下和左右的相对位置关系； 俯视图反映物体的前后和左右的相对位置关系； 侧视图反映物体的前后和上下的相对位置关系。 三视图的投影规律：“长对正，高平齐，宽相等” 规定：能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示 用多媒体课件作演示生动直观，提高课堂效率． 通过这一过程使学生体会探究发现的学习方法. 运 用 规 律 解 决 问 题 画出圆柱、圆锥、三棱柱的三视图。 通过画圆柱、圆锥、三棱柱的三视图，体会投影规律和物体方位的对应关系。 先引导学生观察六角螺栓的几何特征，看是有哪些简单几何体 构成的，在画出每一个简单几何体的三视图，在按照他们的相对位置画出组合体的三视图。 通过例1总结出画空间几何体三视图的步骤：先分解、后组合。 例1：画出六角螺栓的三视图。 画空间组合体三视图的步骤： 1.先分解:分析几何体的结构，观察它是由哪些简单几何体组成的,会画每个简单几何体的三视图 2.后组合:按简单几何体的相对位置画出组合体的三视图. 教 学 过 程 设计意图 21

运 用 规 律 解 决 问 题 练习:请画出下列组合体的三视图。 为了更好的掌握本节课的重点给出以下三(1) (2) 个练习。 (3) (4) 例2：看三视图描述几何体特征。 为了培养学生的逆向思维能力，给出三视图让学生描述几何体特征。三个视图相结合，按照投影规律与物体方位的对应关系判断几何体的结构特征。 引导学生在识图后总结：与画组合体三视图一样，在识别组合体三视图时，也是先分解，后组合。循序渐进，突破本节课的难点。 这是一个开放性问题，每道题的答案都不唯一，通过此题可以让学生充分发挥自己的想象能力，应用所学的投影知识大胆探索，得到多种答案。也能深刻体会三视图能真实地反映出物体的形状和大小。 练习：看三视图描述组合体特征。 问题4:由已知两视图补画第三个视图。 (1) (2) 教 学 过 程 设计意图 22

提炼方法反 思 小结 本节课你学到了哪些知识？用这些知识能解决哪些问题？ 学生自己总结,教师补充完善: 有关概念: 1.中心投影与平行投影 2.正投影与斜投影 3.三视图 三视图的投影规律：长对正、高平齐、宽相等 简单组合体画图、识图步骤:先分解，后组合 通过这一活动使学生对本节课的知识脉络更加清晰,培养学生的归纳概括能力. 五．板书设计

课题:中心投影与平行投影 及空间几何体的三视图 一、中心投影与平行投影 1.中心投影 二、空间几何体的三视图 1.三视图的概念 2. 投影规律 3. 三视图与物体方位的对应关系 4．规定： 正投影 斜投影 2.平行投影 六．布置作业

练习：P15 2、3 ，P20 1、2 思考：P14 思考题

第一部分练习的目的是为了了解学生对本节课知识的掌握情况。第二部分思考不仅是本节课知识的应用，也为下一节介绍空间几何体的直观图做好铺垫。

直线与直线的位置关系”教学设计说明

（1） 本课数学内容的本质、地位、作用分析

本课数学内容是空间直线与直线的位置关系的分类，异面直线的定义、画法、成角定义，平行公理和等角定理。本课地位是体现公理化思想的基础，作用在空间线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的转化的基础。设计以长方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线成角的定义，用空间四边形的模型来应用平行公理。

（2） 教学目标分析

了解空间两直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理和等角定理，掌握两条异面直线成角的定义与垂直。

（3） 教学问题诊断，应在具体说明本课内容的认知准备基础上，分析学习新知识中可能存在的困难

异面直线画法与成角问题上学生的认知上存在误区，可以借长方体模型突破难点。

23

（4） 本节课的教法特点以及预期效果分析

借助长方体模型，发现和感知新知，也利用模型巩固新知，预期效果较好。

教学目标

［知识与技能］

通过学习能知道空间直线的三种位置关系；

初步理解异面直线的概念，会判断两直线的异面关系，初步理解异面直线的衬托画法，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角；

初步理解与运用公理4解决问题，初步了解等角定理． ［过程与方法］

通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质． ［情感、态度与价值观］

经历师生的教与学的互动活动，让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义，通过学习让学生获得对空间直线 的位置关系有一个清晰的认识，把问题交给学生解决，让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯． 重点、难点与关键点

重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用． 难点：异面直线概念的理解与求法．

关键点：异面直线的衬托画法，找异面直线的角．

教学准备：空间四边形模型、长方体模型，直线、平面教具，教学课件． 教学过程设计：

思考问题：空间直线与直线的位置关系有几种？

设计意图：由教科书第44页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯． 师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系．我们今天上课的内容是： 板书：空间中直线与直线的位置关系

观察：如图2．1-13，长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B1所在直线与线段BC所在直线的位置关系如何？ （虚拟）学生：既不相交，又不平行．教师：这种关系我们定义为异面直线．

板书：1．异面直线的定义： 把不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一．．．．．个平面内）．

概念辨析：

下列说法是否正确？请同学思考后回答： 如图，AD1?平面关系。

教师：同学们要理解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，虽然直线AD1，BC是不在同一底面上，但它们却在对角面A1BCD1内，因此，它们不是异面直线。

（虚拟）由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种： （幻灯片）：

2．空间直线的位置关系： 板书：

A1B1C1D1，BC?平面ABCD，问AD，BC是否是异面

1

?相交直线???共面 ?平行直线???异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线24

板书：

3．异面直线画法：（幻灯片给出图形及小标题）：

（1）．一个平面衬托画法： （2）．两个平面衬托画法：

动画设置：（教师与学生互动）（虚拟）把衬托平面移走，再看直线a与直线b的位置的异面关系是否直观？很显然，当把衬托平面移走后，异面直线很不明显，所以异面直线的平面衬托是很重要的，注意下列关键点： 强调关键点：1）．（一个平面衬托法）直线b与平面α交点在直线a外； 2）．（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合．

师生活动：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，那么AA1与CC1平行吗？ （虚拟互动）：由幻灯片闪烁AA1∥BB1，CC1∥BB1，再闪烁AA1∥CC1，由学生观察得到结论． 板书（幻灯片）：

4．公理4 平行于同一直线的两直线互相平行． 即 若AA1∥BB1，CC1∥BB1，则AA1∥CC1．

教师与学生共同探出：公理是判断空间直线平行的依据；平行线的性质是具有传递性． 学以致用（1）：

例2 如图2．1-17，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

师生互动：（虚拟）教师先给学生观察空间四边形的教具，分析与回顾平行四边形定义，三角形中位线的性质，平行线与等式的传递性，要证明四边形是平行四边形，需要什么条件？请学生口述，教师写板书． （板书）：证明：连结BD， ∵ EH是△ABD的中位线，

1BD， 21同理，FG∥BD，且FG=BD，

2∴ EH∥BD，且EH=∴ EH∥FG，且EH=FG， ∴ 四边形EFGH是平行四边形．

更上一层楼，变式探究：在例2中，若加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？

温故而知新：“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中，结论是否成立？教师提供图形，由学生在课后完成． 5．等角定理

25

完善体系：探究刻画异面直线的位置关系，引入异面直线所成的角的概念． 6．异面直线所成角的定义

引入：由幻灯片闪烁异面直线AA1和BC，B1D1和BC它们都是异面关系，但又有明显的区别，可以引入异面直线所成的角来刻画这种区别。

（幻灯片）：如图，已知两异面直线a，b，空间任取一点O，经过点O作直线a?∥a，b?∥b，把a?与b?所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或称夹角）．

特殊情形，若两异面直线成直角，则称两异面直线互相垂直，记作a⊥b．

教

师共得异所可平

把异面直线成角化归成相交直线成角．

学以致用（2）：（由幻灯给出） 例3 如图，已知正方体ABCD与学生同探讨，到结论：面直线成的角以通过移变换，

?A1B1C1D1中．

（1） 哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？ （2） 求棱（3） 求

AA1和BC所成角；

A1B和CC1所成的角。

（虚拟互动）先由学生独立思考，再让学生举手发言，教师作补充、订正和结论（按三维方向或三对面分类进行分析）． 课堂练习：

在例3中，直线A1B和AC所成的角是多少？ 课后思考：

1．若a??，b??，则直线a和b是异面直线；（ ） 2．如图，则直线a和b是异面直线；（ ）

26

3．若a（ ） ?b，a?c，则b∥c．

教科书第48页练习 课堂小结

1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线

?相交直线?2.空间两直线的位置关系?平行直线

?异面直线?3.异面直线的画法：平面衬托

4.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

5．等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么它们相等或互补 6．异面角的求法：一作（找）二说三求。 课后练习：

1． 举出你生活环境中异面直线的实例两例； 2． 完成教科书第48页上练习；

3．第47页探究问题：如图2．1-18，观察长方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？

（2）如果两条平行直线中的一条与另一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？

（3）垂直于同一直线的两条直线是否垂直？

设计意图：1．让学生养成借助长方体模型的判断问题的习惯；2．克服平面内两直线定势思维的影响． 课后研究：

（用泡沫纸做成教具）图2．1-15是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对．

（互动）：由一名学生上台把（教具）展开图还原成正方体，二名学生上台画还原图；教师与学生共同归纳规律：1．选取一个正对面，然后确定左右两侧面，上下底面，最后定对面；2．这些线段都是面对角线． 板书设计．

空间中直线与直线的位置关系

?相交直线???共面直线1．?平行直线?

??异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线 2．公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行 3．异面直线的画法 4．

例2 证明：连结BD， ∵ EH是△ABD的中位线，

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1BD， 21同理，FG∥BD，且FG=BD，

2∴ EH∥BD，且EH=∴ EH∥FG，且EH=FG， ∴ 四边形EFGH是平行四边形．

直线的倾斜角和斜率教学设计说明

一、教学内容分析

本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）教学第二册（上） 》（人教版）第七章第1节课《7.1直线的倾斜角和斜率》。根据实际情况，这是第一课时。

本节教学是高中解析几何内容的开始。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素和代数表示，是平面直角坐标系内以解析法的方式来研究直线及其几何性质的基础。

通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用意识。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用

二、教学目标分析

了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式。经厉几何问题代数化的过程，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良好品质

三、教学问题诊断分析

1、两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中，通过逐个给出的三个问题，让学生在讨论后形成倾斜角的概念。

2、斜率概念的学习是本节的难点，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的而倾斜角是唯一的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生也有一定的困难，教学中从计算具体的直线的倾斜角入手，通过师生对话探究，从学习斜率的必要性、合理性、完备性三个角度进行突破。

3、过两点的斜率概念的建立是本节又一难点，受思维定势影响，在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应重视这一方法，除此之外，要积极引导学生应用向量法，把几何要素用点的坐标来刻画描述，使几何问题代数化。 四、教法特点及预期效果分析

1、教学上应用新课标理念，以启发式为主。亚里士多德讲：“思维从问题，惊讶从开始”。通过问题驱动法，采用师生对话的方式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣和欲望，也可加深对得到概念的理解。

2、本节课采用学导式，改变了以往研究斜率的方法，让学生从数、形两个不同的角度对斜率公式进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到斜率的计算公式，更重要的预期是向学生渗透坐标法，体会向量法的优越性，教师可以真正做到“授之以渔”。

3、应用多媒体教具的电教手段弥补在直观感、立体感和动态感方面的不足，增大了教学内容，增强了学生的思维训练密度。

4、通过合作学习，上台展示，让学生在活动中感受数学思想方法之和谐优美。 五、教学过程及设计意图

（一）情境创设，引出课题（约3分钟） （二）师生互动，探究新知（约22分钟） 探究一：直线的方程和方程的直线

通过作、问、想三步曲，师生共同总结出直线的方程和方程的直线的概念。 探究二：直线的倾斜角

逐个明确问题：

（1）对于平面直角坐标系内的一条直线L，它的位置由哪些条件确定？ （2）一点能确定一条直线吗？再加一个什么条件就可以确定一条直线？ （3）什么是直线的倾斜角？如何定义？范围是什么？

28

后得出直线的倾斜角概念。

设计意图：让学生在讨论中得出倾斜角的概念，可激发兴趣，使学生有成就感，。

探究三：让学生讨论给出直线的斜率的定义

1你能求出下图中直线的倾斜角吗？

2同学们还能定义别的表示直线倾斜程度的量吗？ 3应用哪一个三角函数更能合理地表示直线的倾斜程度？

借住师生、生生间的辨析得出斜率的概念。

设计意图：要让学生在探究中明确，有了倾斜角的概念，为什么还用斜率来表示直线的倾斜程度，为什么采用正切函数而不是别的三角函数。将直线的倾斜度和实数之间建立对应关系，使几何问题的研究具有了普遍性，亦可增强函数的应用意识。

探究四：直线的斜率公式 第一步：提出两个问题 (1)如何求斜率K？

(2)计算tan?可以从什么角度计算？用什么方法？ 第二步：分组活动，合作学习 第三步：交流，总结

第四步：归纳向量法推导斜率公式的要点，定义直线的方向向量。

设计意图：引导学生从不同的角度计算斜率，经厉几何问题代数化的过程，并对学生进行数形结合、分类讨论、一般→特殊→一般等数学思想方法的有机渗透。同时让学生在探究中逐步意识到向量是处理直线方程中许多问题的重要工具。 （三）典例分析，能力提升（约6分钟）

1.求经过A（-2,0），B（-5,3）两点的直线的斜率和倾斜角。2.在平面直角坐标系中，画出经过原点，且斜率分别为1, -1，-2，-3的直线L1 ，L2 ，L3 ，L4 。

设计意图：通过本例，培养学生的逆向思维能力，增强“坐标法”与数形结合的意识。 （四）巩固练习，延伸探究（约7分钟）

练习P37 中4、P37页练习2，并进一步讨论斜率与倾斜角的关系。

设计意图：对练习的进一步思考，可以让学生深入的研究直线的倾斜角与斜率的内在联系，完善对直线的倾斜角和斜率认识的系统性和深刻性，为进一步学习直线的倾斜角与斜率做好准备。 （五）梳理归纳，拓展升华（约2分钟）

小结回顾：通过本节的学习，你学到了哪些知识？这些知识是从什么角度研究的？你又掌握了哪些学习数学的方法？ 设计意图：不仅仅小结本节学到的知识，更重要的是让学生感知研究数学问题的一般方法，将学生的思维引领向更高的层次，以便将其迁移到其他知识的研究中去。

§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

教学设计说明

一【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学必修2（B版）》第二章第二节第一课时，直线方程的概念与直线的斜率,教学内容有直线方程的概念、直线倾斜角、斜率以及直线倾斜角与直线斜率的关系等概念。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角从几何角度刻画了直线的倾斜程度，斜率是从数量关系上刻画了直线的倾斜程度。直线的倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；而斜率则是代数量,建立斜率公式的过程，体现了解析法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质,而且它在以后建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起到核心作用,是本节课的重点.同时，本节课是第一次用方程研究直线，为后续研究曲线起到一个示范作用.

二【目标分析】

（1）、理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的斜率.

（2）、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,

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使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力.

（3）、帮助学生进一步了解分类讨论思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣.

三.【教学问题诊断】

学情分析之知识储备：1.学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识也足以让学生理解直线的方程概念，教材是由一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的对应关系，转换成直线方程和直线的对应关系。这样引入比较自然，符合学生的认知特点。2.直线方程的学习安排在三角函数之前，因此，倾斜角的正切等于斜率，这一事实还不能直接引入。在研究斜率与倾斜角的关系时,由于没有三角函数的知识,学生接受起来比较困难,这是本节课的难点.在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系,学生充分利用特值验证，或斜率公式作出解释,教师再利用几何画板演示变化关系,给学生更加深刻的直观印象,从而突破难点.

学情分析之心理准备：对现在的高中生来说，他们的思维能力、阅读能力已基本成熟。其中相当一部分学生可以把握正确的阅读方法来理解材料内容的大意和结构，有目的的检索有关的阅读信息。而由于数学语言的特殊性，数学阅读要求学生在阅读中必须不断的同化和顺应新的数学概念、术语及符号，不断进行假设、预测、检验、推理和想象，不断的观察、比较、分析、综合、抽象和概括。所以教师要适时指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解，引导他们在阅读探究中主动获取知识，形成能力.

四.【教法分析】

综合以上分析, 教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用自学、阅读、问题探究式教学与学习方法。通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能力。同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率。 教学过程设计如下:

环节一 新课引入

展示数学教育家波利亚名言:学习任何东西,最好的途径是自己去探究发现.提出阅读是探究知识的重要手段.揭示本节课研究方式:自主阅读,探索研究!

【设计意图】通过声情并茂的激励语，鼓励学生认真阅读，自主探索,大胆尝试！

环节二 概念探究(一)

自学阅读:阅读课本74页内容,自主探究直线方程的概念. 概念形成: 教师提出问题1

问题1：本部分内容阐述了哪些概念?你是如何理解这些概念的? 学生活动：学生分析讨论，师生共同总结。

强调直线方程的概念: 1.直线上点的坐标都是方程的解，2.以方程的解为坐标的点都在直线上，两者缺一不可. 学生可能还会发现：有的方程不一定是函数，引导学生举例说明如全面

【设计意图】在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解。层层深入，与学生共同体会概念的严谨，感受学习的乐趣。 概念深化：思考：如图，（1）直线l的方程是（2）直线l的方程是x(x?学生讨论交流得出：（1）

x?2，教师指出，用函数表示直线不全面，用方程更

y?1吗？为什么？ xy)?0吗？为什么？

y?1不满足直线上所有点的坐标是方程的解（2）x30

x(x?y)?0不满足以方程的解为坐标的点都在直线上，所以均不是直线的方程.教师及时强调定义的两部分内容缺一不

可。

【设计意图】加深对直线方程的概念的理解,使学生明确直线方程的概念的两部分缺一不可.

环节三 概念探究(二)

自学阅读:如何通过方程研究直线的问题,我们需要哪些工具?请学生带着问题阅读课本第75页内容. 学生边读边思考，教师合理安排阅读时间，控制阅读进程

【设计意图】根据不同的阅读任务和性质，向学生提出阅读要求，让学生带着问题边阅读边思考，使阅读更有效.

概念形成 本部分内容主要涉及哪些概念?（斜率和倾斜角）. 问题2：能谈谈你对斜率的认识吗？

学生可能会回答直线斜率的定义，以及已知直线上两点

A(x1,y1),B(x2,y2),x1?x2，如何求斜率的公式。

教师进一步引导：两点间斜率公式有什么注意事项吗？

引导学生讨论，学生代表发言：（一）垂直于x 轴的直线无斜率 （二）斜率公式与直线上点的位置无关,学生一般会想到用相似三角形的相似比来证明该问题，此处渗透了数形结合的思想（三）斜率的几何意义.教师总结点评.

思考：关于斜率，你还有其它认识吗?

这是一个发散性问题，学生一般会联系物理学中s教师引导学生发现斜率与函数单调性的关系

学生活动:在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解。关于对斜率公式的注意事项,其他学生补充，教师完善总结。引导他们在交流中主动获取知识，形成能力.

问题3:反映直线倾斜程度的量,除了代数角度的斜率,还有别的量吗？请一名同学谈谈对倾斜角的认识. 学生不难回答出倾斜角的定义和范围.

【设计意图】以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化知识点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对斜率的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．思考题是发散性问题，鼓励学生注意学科间以及所学知识前后的联系.

环节四 概念探究(三)

问题4: 斜率与倾斜角分别从代数和几何的角度反映了直线的倾斜程度,两者之间有什么关系?

学生活动: 教师给学生提供一个交流、讨论的氛围，相互学习，相互补充.请小组代表到讲台讲解,教师及时点评补充,最后教师可借助动画展示,让学生有更直观深刻的印象. 思路一:

特值验证：已知A(1,0)B(3,1) C(2,1)，D(1,1) E(1,0)， F(?2,1)求直线AB,AC,AD,AE,AF的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角，直角还是钝角。并观察出倾斜角随斜率变化的情况. 思路二:

以斜率为正值的两条不平行的直线为例,分别取两点,使得⊿x相同，比较⊿y的大小关系，进而判断斜率大小，再观察倾斜角的大小，进而得出结论.

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?vt，速度就是斜率，

教师提供思路三 ：

教师演示几何画板做出的动画.

思考：斜率与倾斜角之间还有别的关系吗？

学生结合初中所学直角三角形知识回答：在倾斜角为锐角情况下，斜率等于倾斜角的正切值.

教师补充：钝角情况同样适用，但目前超出了我们的知识范围,关于斜率和倾斜角的关系，我们将在必修4中再次讨论。

【设计意图】斜率与倾斜角的关系是本节课的难点.学生在自主探索，自由想象和相互交流的过程中，充分感受到成功和失败的情感体验，深刻地领会到数形结合思想在解决问题中所起的作用. 第一种方法学生容易想到,第二种方法体现了斜率公式的应用,第三种动画演示可以使学生有更直观深刻的印象.通过讨论交流演示,层层深入,突破本节课难点.

环节五 知识应用

学生回答，教师对学生的回答进行评价。在整个练习过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生个别指导。

【设计意图】巩固所学知识，有助于保持学生自主学习的热情和信心。,第一题总结求直线斜率的方法,第二题总结已知斜率和一点可以确定一条直线,为下节研究直线的点斜式方程做好准备.第三题是概念辨析，第四题体现本节课难点,考察直线斜率与倾斜角的关系。

问题由学生解决，解题后的反思总结由学生自主完成，教师作出补充和总结。培养学生自主获取知识的能力 环节六 小结与作业

引导学生从知识和方法两方面总结本节课所学内容,教师补充完善.布置作业.

【设计意图】让学生大胆发言，归纳总结本节课的收获，教师及时点评。充分肯定学生的学习成果，鼓励学生阅读思考，进一步提高自主学习的能力.分层次布置作业,让各层次学生均得以发展 五.【设计特色】

本节课的教学设计始终本着这样的理念 “不但要教给学生知识,更重要的是教给学生获取知识的能力”,而阅读是自学的重要形式，自学能力的核心是阅读能力。因此，教会学生学习的重头戏就是教会学生阅读，培养其阅读能力。希望能做到授人以渔，而非授人以鱼。所以，这节课既是一堂新课又是一堂自学阅读课.整个教学过程, 鼓励学生自主阅读，探索研究学习，从激发学生学习的内驱力入手，把课堂还给学生。提倡在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点难点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解，引导他们在阅读探究中主动获取知识，形成能力，改变过去我们熟悉的“教师讲，学生听”，“教师问学生答”及大量演练习题的模式。符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透.整个教学设计中，特别注重以下几个方面：

（1）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“读”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。

（2）有效指导学生阅读的方法，鼓励学生做探究式阅读，而非被动接受式阅读。，使其养成“边阅读，边思考”的阅读习惯，有利于其数学能力的发展，进而促进其终身学习能力的提高。

（3）注重师生之间、同学之间的交流，使学生在充满合作机会的群体交往中，学会沟通、互助、分享和合作，实现知识、情感、态度和价值观的完善。

以上是我对本节课的一点认识，不足之处，敬请各位专家指正！！

4.2.2 直线与圆的方程的应用

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2. 课题：4.2.3直线与圆的方程的应用. 一、 教材分析

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（一）教材的地位和作用

―直线与圆问题研究‖是解析几何研究的一个重要问题之一。它是学生在学习了圆锥曲线之后的后续内容，又可贯穿于解析几何学习的始终。所以，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解解析几何的核心问题——圆锥曲线的概念，也能为学好圆锥曲线作好理论和方法上的准备，是解析几何中承上启下的关键内容。

（二）教学目标的确定及依据

基于对课程标准、教材的学习与分析和学生学情的分析，制定如下的教学目标和重难点： 知识与技能：（1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系，解决一些实际问题；

（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题．

能力目标：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力． 情感目标：在利用直线与圆的位置关系探究解决一些实际问题线面垂直性质的研究中，培养自主探索、合作交流的精神和辩证唯物主义观念。

（三）教学重点、难点及关键

教学重点：直线与圆的方程的应用，用坐标法解决平面几何． 教学难点：用坐标法解决平面几何。 教学关键：类比、转化数学思想的应用。 二、学法指导

在本节课的学习时，学生在前面已经学习了直线与方程、圆的方程的相关知识，并初步探索了运用解析法解决平面上一些与直线有关的实际问题。学生具备了一定的运用解析法解决问题的能力。

观察、概括、总结、归纳、类比、联想是学法指导的重点。让学生观察、思考后，总结、概括、归纳的知识更有利于学生掌握；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。这样，可以增进热爱数学的情感，应用数学的自信心和形成新的学习动力。

三、 教学方法与手段

建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。基于建构主义理论及对学生认知基础和认知规律的考虑，结合本节课的实际情况，我采用如下的教学方法和手段：

（一）教学方法

观察发现、问题引导、类比探索相结合的教学方法；以学生为主体，问题为主线，启发、引导学生积极的思考同时对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程。在课堂教学中积极渗透分层教学法，采用提问分层、评价分层、作业分层，让每名学生都能体会到成功的喜悦，充分调动不同层次学生的积极性。

（二）教学手段

利用多媒体技术，创设情境，为学生提供丰富、直观的材料，激发学生的学习兴趣，分解空间想象的难度，借此提高课堂教学效率。

四、教学过程分析

一、复习准备：

(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么? (2)圆的方程有几种形式?分别是哪些?

(3)求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?

(4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? 二、讲授新课：

出示例1.如右图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度

（精确到0.01）。

出示例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.(提示建立平面直

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拱

角坐标系)

小结:用坐标法解题的步骤:

1建立平面直角坐标系,将平南几何问题转化为代数问题; 2利用公式对点的坐标及对应方程进行运算,解决代数问题: 3根据我们计算的结果,作出相应的几何判断. .三、巩固练习：

1.赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程 2.用坐标法证明:三角形的三条高线交于一点 3.求出以曲线x2?y2?25与y?x2?13的交点为顶点的多边形的面积.

4.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

思考:(用坐标法)

1.圆心和半径能直接求出吗？ 2.怎样求出圆的方程？

3.怎样求出支柱A2P2的长度？

边的距离等

于这条边所对边长的一半.

练习:已知内接于圆的四边形的对距离等于这条边所对边长的一半.

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元

几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得的弦长.

2、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过?

4、点M在圆心为C1的方程：

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素，将平面

角线互相垂直，求证圆心到一边的

例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一

x2+y2+6x-2y+1=0，点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0，求|MN|的最大值.

三、教学设想

问 题 1．你能说出直线与圆的位置关系吗？ 设计意图 启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课． 2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？ 问 题 3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？ 理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想． 设计意图 指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择． 师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法． 生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法． 师生活动 师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解． 生：自学例4，并完成练习题1、2． 师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间． 4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？ 5．你能利用“坐标法”解决例5吗？ 使学生加深对圆的方程的认识． 巩固“坐标法”，培养学生分析问题教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值． 师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法． 6．完成教科书第140页的练习题2、3、4． 使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤． 7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？ 反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识． 8．小结： （1）利用“坐标法”解决问 问 题 题的需要准备什么工作？ （2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？ （3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？ （4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？ 35 对知识进行归纳概括，体会利 设计意图 用“坐标法”解决实际问题的作用． 师：指导学生完成练习题． 生：阅读教科书的例3，并完成第 师生活动 教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究． 学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流． 教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据． 师生活动 师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课． 生：回顾，说出自己的看法． 与解决问题的能力． 素，将平面几何问题转化为代数问题．

目 录

《算法的概念》说课稿 .........................................................................................................................................................................1

《程序框图》说课稿 .............................................................................................................................................................................2

《输入、输出语句和赋值语句》说课稿 ..............................................................................................................................................3

《条件语句》说课稿 .............................................................................................................................................................................5

《循环语句》说课稿 .............................................................................................................................................................................7

《辗转相除法与更相减损术》说课稿..................................................................................................................................................9

《秦九韶算法》说课稿 ....................................................................................................................................................................... 10

《排序》说课稿 ................................................................................................................................................................................... 12

《进位制》说课稿 ............................................................................................................................................................................... 13

《简单随机抽样》说课稿 ................................................................................................................................................................... 14

《系统抽样》说课稿 ........................................................................................................................................................................... 17

《分层抽样》说课稿 ........................................................................................................................................................................... 19

《用样本的频率分布估计总体分布》说课稿 .................................................................................................................................... 21

《用样本的数字特征估计总体的数字特征》说课稿 ........................................................................................................................ 24

《变量之间的相关关系》说课稿 ....................................................................................................................................................... 26

《随机事件的概率》说课稿 ............................................................................................................................................................... 29

《概率的意义》说课稿 ....................................................................................................................................................................... 32

《概率的基本性质》说课稿 ............................................................................................................................................................... 35

《古典概型》说课稿 ........................................................................................................................................................................... 38

《（整数值）随机数的产生》说课稿 ................................................................................................................................................. 41

《几何概型》说课稿 ........................................................................................................................................................................... 44

《均匀随机数的产生》说课稿 ........................................................................................................................................................... 47

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《算法的概念》说课稿

各位老师：

大家好!我叫***，来自**。我说课的题目是《算法的概念》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第一节，课时安排为两个课时，本节课内容为第一课时。下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法分析、学情分析、教学过程分析等五大方面来阐述我对这节课的分析和设计： 一、教材分析

1．教材所处的地位和作用

现代社会是一个信息技术发展很快的社会，算法进入高中数学正是反映了时代的需要，它是当今社会必备的基础知识，

算法的学习是使用计算机处理问题前的一个必要的步骤，它可以让学生们知道如何利用现代技术解决问题。又由于算法的具体实现上可以和信息技术相结合。因此，算法的学习十分有利于提高学生的逻辑思维能力，培养学生的理性精神和实践能力。 2．教学的重点和难点

重点：初步理解算法的定义，体会算法思想，能够用自然语言描述算法 难点：把自然语言转化为算法语言。 二、教学目标分析

1．知识目标：了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言描述解决具体问题的算法；理解正确的算法应满足的要

求。

2．能力目标：让学生感悟人们认识事物的一般规律：由具体到抽象，再有抽象到具体，培养学生的观察能力，表达能力和

逻辑思维能力。

3．情感目标：对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一有力工具，进

一步提高探索、认识世界的能力。

三、教学方法分析

采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力。 四、学情分析

算法这部分的使用性很强，与日常生活联系紧密，虽然是新引入的章节，但很容易激发学生的学习兴趣。在教师的引导

下，通过多媒体辅助教学，学生比较容易掌握本节课的内容。 五、教学过程分析

1．创设情景：我首先向学生们展示章头图，介绍图中的后景是取自宋朝数学家朱世杰的数学作品《四元玉鉴》，告诉学生们

章头图正是体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。

「设计意图」是为了充分挖掘章头图的教学价值，体现1）算法概念的由来；2）我们将要学习的算法与计算机有关；3）展

示中国古代数学的成就；4）激发学生学习算法的兴趣。从而顺其自然的过渡到本节课要讨论的话题。（约4分钟）

2．引入新课：在这一环节我首先和学生们一起回顾如何解二元一次方程组，并引导他们归纳二元一次方程组的求解步骤，

从而让学生经历算法分析的基本过程，培养思维的条理性，引导学生关注更具一般性解法，形成解法向算法过渡的准备，为建立算法概念打下基础。紧接着在此基础上进一步复习回顾解一般的二元一次方程组的步骤，引导学生分析解题过程的结构，写出求一般的二元一次方程组的解的算法，并把它编成程序，让学生输入数据，体验计算机直接给出方程组的解.目的是让学生明白算法是用来解决某一类问题的，从而提高学生对算法的普遍适用性的认识，为建立算法的概念做好铺垫。

之后，我就向学生们提出问题：到底什么是算法？如何用语言来表达算法的涵义？这里让学生们根据刚刚的探索交流、思考并回答，然后老师进行归纳，得出算法的基本概念，并帮助学生认识算法的概念，指出有穷性，确定性，可行性。这样可以让学生们真正参与到算法概念的形成过程中来，体会算法思想。（约8分钟）

3．例题讲解：在这一环节我安排了两道例题，以帮助学生们能更好地理解算法的基本概念，并应用到实际解决问题中去，

而不只是单纯的对数学思想的领悟。 这两道例题均选自课本的例1和例2。

1

例1是让我们设定一个程序以判断一个数是否为质数。质数是我们之前已经学习的内容，为了能更顺利地完成解题过程，这里有必要引导学生们回顾一下质数应满足的条件，然后再根据这个来探索解题步骤。通过例1让学生认识到求解结构中存在“重复”。为导出一般问题的算法创造条件，也为学习算法的自然语言表示提供前提。告诉学生们本算法就是用自然语言的形式描述的.并且设计算法一定要做到以下要求： （1）写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用. （2）要使算法尽量简单、步骤尽量少. （3）要保证算法正确，且计算机能够执行.

在例1的基础上我们继续研究例2，例2是要求我们设计一个利用二分法来求解方程的近似根的程序。我们首先要对算法作分析，回顾用二分法求解方程近似根的过程，然后设计出解题步骤。二分法是算法中的经典问题，具有明显的顺序和可操作的特点．因此通过例2可以让学生进一步了解算法的逻辑结构，领会算法的思想，体会算法的的特征。同时也可以巩固用自然语言描述算法，提高用自然语言描述算法的表达水平.另外，借助例题加强学生对算法概念的理解，体会算法具有程序性、有限性、构造性、精确性、指向性的特点，算法以问题为载体，泛泛而谈没有意义。（约20分钟）

4．课堂小结：（1）算法的概念和算法的基本特征

（2）算法的描述方法，算法可以用自然语言描述。

（3）能利用算法的思想和方法解决实际问题，并能写出一此简单问题的算法

[设计意图]课堂小结是一堂课内容的概括和总结，有利于学生把握本节课的重点，对所学知识有一个系统整体的认识。（约6分钟）

5．布置作业：课本练习1、2题

[设计意图]课后作业的布置是为了检验学生对本节课内容的理解和运用程度以及实际接受情况，并促使学生进一步巩固和掌握所学内容。对作业实施分层设置，分必做和选做，利于拓展学生的自主发展的空间。 6．板书设计：

《程序框图》说课稿

各位老师：

大家好!我叫***，来自**。我说课的题目是《程序框图》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第一节，课时安排为三个课时，本节课内容为第一课时。下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、教学过程分析等四大方面来阐述我对这节课的分析和设计： 一、教材分析

1．教材所处的地位和作用

通过上节学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利用计算机解决问题的时候，首先我们要设计计算机程序，在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的执行过程直观化，使抽象的问题十分清晰和具体。有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端，也是使用计算机处理问题前的一个必要的步骤。 2．教学的重点和难点

重点：程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构 难点：能综合运用这些知识正确地画出程序框图。 二、教学目标分析

1．知识与技能：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的

基本规则，能正确画出程序框图。

2．过程与方法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。 3．情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确

程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。

三、教学方法与手段分析

1．教学方法：采用“问题探究式”教学法，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维

2

能力以及实际解决问题的能力。

2．教学手段：利用多媒体辅助教学，体现在计算机和图形计算器的使用，利用它们来演示程序的设计过程，让学生们能很

清楚直观地看到整个经过，并激起他们学习程序设计的兴趣。

四、教学过程分析

1．复习回顾，导入新课（约5分钟）

回顾前面我们如何用自然语言来描述算法，然后向学生们提出问题：用自然语言描述算法有什么缺陷性？是不是不够直

观清楚地让我们看到整个算法的程序和步骤？我们平时一般为了能让一个过程呈现得更加直观，我们一般会选择如何解决？解决方法就是作图。通过这几个问题，然后引出我们今天所要学习的内容，那就是为了能更形象直观地让我们看到算法的整个程序和步骤，我们选择用一种新的描述方式来描述算法——程序框图。 2．启发诱导，探索新知（约20分钟）

⑴认识基本图形符号：认识程序框图里出现的基本图形符号，并且能很好地掌握他们，是接下来学习程序框图的前提，所以在学习用程序框图来描述算法之前，我们必须先了解这些符号所代表的意义，那样才能让我们接下来的学习更加顺利。在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则。

⑵应用符号描述算法：根据刚刚学习的图形符号知识，尝试用程序框图来描述在第一节里我们已经学习过的判定一个数是否为质数的算法的程序。这部分内容主要是在老师的引导下，启发学生一步一步根据所学知识画出程序框图。这样可以使学生们对前面知识的理解有着一定的促进作用，同时培养他们的逻辑思维能力以及动手能力，同时为程序框图的定义的得出打下基础。

⑶概括定义加深理解：根据刚刚的作图步骤，让学生们积极思考并回答，然后在老师的引导下归纳得出程序框图的定义。在得出定义之后，要引导学生注意定义里的关键字，然后通过举例进一步向学生们解释这些关键字，以达到更好的掌握效果。 ⑷初步认识逻辑结构：根据刚刚所作的判定一个数是否为质数的算法的程序框图总结出程序框图的三种不同的逻辑结构，初步向学生们介绍在程序框图里存在的三种不同的基本逻辑结构。由于这部分知识是学生新接触到的内容，所以主要由老师引导学生一同找出图中存在的三种不同的逻辑结构，根据它们各自所呈现的不同特点总结出它们的特征，之后由老师说出它们的名称。这里对逻辑结构的初步认识，也是为后面对它们的深入探究打下基础。 3．结合例题，深入认识（约10分钟）

在这一环节我只为学生们准备了1道例题，由于一节课的时间有限，所以这里我只能就上面学习的三种基本逻辑结构里面的最简单的顺序结构，结合例题作更深层次的理解，剩下的两种逻辑结构将是我们下节课学习的主要内容。

例题选自课本的例3它针对的就是顺序结构，在题目里涉及到一个学生不熟悉的概念，那就是海伦公式，所以首先要让学生们了解那是什么，否则将无从解题。之后就引导学生分析算法，这个过程可以培养学生积极思考的能力。然后由学生们自己作出这道题的程序框图，锻炼学生的动手能力，加深理解。 4．课堂小结

⑴程序框图的基本概念

⑵程序框图的几种常用的图形符号（要明确它们的形状、作用及使用规则） ⑶程序框图的三种基本逻辑结构（要初步认识它们的基本特征） 5．布置作业

⑴已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。（这是一道要求作出具有顺序结构的程序框图题，很基础，一般的学生都能独立完成）

⑵由于这节课我们已经初步接触了另外两种逻辑结构，所以我要求学生们能在课后将书上的例4和例5好好思考一下，为下节课的学习做好准备。

[设计意图]课后作业的布置是为了检验学生对本节课内容的理解和运用程度以及实际接受情况，并促使学生进一步巩固和掌握所学内容。 6．板书设计

《输入、输出语句和赋值语句》说课稿

各位老师：

大家好!我叫***，来自**。我说课的题目是《输入、输出语句和赋值语句》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第二节，课时安排为一个课时。下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、教学过程分析等四大方面来阐

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述我对这节课的分析和设计： 一、教材分析

1．教材所处的地位和作用

我们用自然语言或程序框图描述的算法，但是计算机是无法“看得懂，听得见”的。因此还需要将算法用计算机能够理

解的程序设计语言翻译成计算机程序。程序设计语言有很多种。为了实现算法中的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，各种程序设计语言中都包含下列基本的算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句.。而我们今天所要学习的是前三种算法语句，它们基本上是对应于算法中的顺序结构的。 2．教学的重点和难点

重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。

难点：准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。 二、教学目标分析 1．知识与技能目标：

（1）正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。 （2）会写一些简单的程序。

（3）掌握赋值语句中的“=”的作用。 2．过程与方法目标：

（1）让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿。

（2）通过模仿,操作,探索的过程,体会算法的基本思想和基本语句的用途,提高学生应用数学软件的能力. 3．情感,态度和价值观目标

(1) 通过对三种语句的了解和实现,发展有条理的思考,表达的能力,提高逻辑思维能力. (2) 学习算法语句,帮助学生利用计算机软件实现算法,活跃思维,提高学生的数学素养. (3) 结合计算机软件的应用, 增强应用数学的意识,在计算机上实现算法让学生体会成功喜悦. 三、教学方法与手段分析

1．教学方法：引导与合作交流相结合,学生在体会三种语句结构格式的过程中,让学生积极参与,讨论交流,充分挖掘三种算法

语句的格式特点及意义,在分析具体问题的过程中总结三种算法语句的思想与特征.

2．教学手段：运用计算机、图形计算器辅助教学 四、教学过程分析 1. 创设情境（约5分钟）

在课的开始，我要求学生们举出一些在日常生活中所应用到的有关计算机的例子，如：听MP3，看电影，玩游戏，打字

排版，画卡通画，处理数据等等，并告诉他们在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，然后接着问他们知不知道计算机到底是怎样工作的？通过这个问题引出我们今天所要学习的内容。（板出课题）

在这个过程中，我让学生们将课本学习的内容与现实生活联系在了一起，这样能够激起他们对接下来的所要学习内容的兴趣，为整节课的学习打下一个良好的基础。 2．探究新知（约15分钟）

32y?x?3x?24x?30的图象，用描点法作函数的图象时，需要先求出

这里我先给出一个题目：用描点法作出函数

自变量与函数的对应值。编写程序，分别计算当前准备好，教学中直接调用运行)

x??5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5时的函数值。(程序由我在课

程序：INPUT“x＝”；x 输入语句 y＝x^3＋3*x^2－24*x＋30 赋值语句 PRINT x 输出语句 PRINT y 输出语句 END

（学生们先看，再跟着做,先不必深究该程序如何得来，只要模仿编写程序，通过运行自己编写的程序发现问题所在，进一

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