湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学文试题

湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三第一次模拟考试

数学（文）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．纯虚数z满足z?2?3，则纯虚数z为 A．?5i B．5i C．?5i D．5或?1

2．命题甲：x?2或y?3；命题乙：x?y?5，则甲是乙的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

3．双曲线C的焦距为23，焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为

y2x2?1 B．?y2?1 A．x?222y2x2x2y222?1或y??1 D．?y?1或?x2?1 C．x?222224．直线l过点(A．3,2)与圆x2?y2?2y?0的圆心，则直线l在x轴上的截距为

3 B．?3 C．1 D． ?1

f(x)?sin(2x?)，则下面说法错误的是

35．已知函数

?A．

?f(x)在(0,)上是增函数 B．f(x)的最小正周期为?

4

?个单位得到曲线y?sin2x 6C．f(x)的图象向右平移

5?D．x??是f(x)图象的一条对称轴

126．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，方格边长为3(单位：cm)， 则游客获奖的概率为 A．

1111 B． C． D． 35797．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样

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本的众数、中位数分别为

A．2.25， 2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5， 2.25

频率/组距

0.50 2 0.44 1 0.30 4 2 正视图 侧视图

0.16 0.08

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量(吨)

第7题图

俯视图

第8题图

8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是

201610A．πB．6π C．π D．π

3 33

9．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系． 对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：

x y 15 102 16 98 18 115 19 115 22 120 由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点(a,b)与直线x?18y?100的位置关系是

A．点在直线左侧 B．点在直线右侧 C．点在直线上 D．无法确定 10．已知定义在(0,??)上的单调函数f(x)，对?x?(0,??)，都有f[f(x)?log2x]?3， 则方程f(x)?f'(x)?2的解所在的区间是 A．（0，

1） 2B．（

1,1） 2C．（1，2） D．（2，3）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分． 11．已知集合A=(-2,1)，B={y|y=log3(1-x),x A}，则A∩B=2 ．

b满足2a?b?1，则a?ab的最大值为 ． 12．已知实数a、313．已知cos(??)?，则sin2?的值为 ．

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?(x?1)2?(y?1)2?1?14．若点(x,y)满足?1?x?2，则目标函数z?x?y的最小值为 ．

?1?y?2开始 ?15．执行如图所示的程序框图，输出的k值是 ． n＝5，k＝0 D

n为偶数 否 是 A B nO 3n+1 n? n＝ 2

C

k＝k +1 第16题图

否 n =1? 是 输出k 第15题图

结束 D是圆O上的点， 16．如图，AB是圆O的直径，C、???????????????CBA?60，?ABD?45，CD?xOA?yBC，

则x?y的值为 ．

17．对于实数x，将满足“0?y?1且x?y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用

符号?x?表示．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：

?1???①a1??a?；②an?1??an?0?（Ⅰ）若a?（Ⅱ）当a?(an?0)(an?0)．

2时，数列{an}通项公式为 ；

1*时，对任意n?N都有an?a，则a的值为 ． 3三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）

??BC的对边分别为a、、bc，a?2，向量m?(?1,1)， 已知?ABC中，角A、、????2n?(cosBcosC,sinBsinC?)，且m?n．

2（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）当sinB?cos(7??C)取得最大值时，求角B的大小和?ABC的面积． 12文科数学试卷 第 3 页 共 10 页

19．（本小题满分12分）

已知?an?是首项为2的等比数列，a1,2a2,3a3依次成等差数列，且a1?2a2?3a3． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）记数列?an?的前n项和为Sn，若不等式的取值范围．

20．（本小题满分13分）

如图，棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，底面A1B1C1是边长为4的等边三角形，且

Sn?1求实数? ??对任意n?N*恒成立，

Sn?1?1B1C?A1B．

（Ⅰ）求证：平面AB1C?平面A1BC1；

（Ⅱ）设D是棱AC11上的点，且A1B∥平面B1CD，当B1BC1 1C?23时，求B1D与平面A所成的角的正切值．

D A1 C1

B1 A C

B

第20题图

21．（本小题满分14分）

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．

x2y22如图，“盾圆C”是由椭圆2?2?1(a?b?0)与抛物线y?4x中两段曲线弧合成，

ab5F1、F2为椭圆的左、右焦点，F2(1,0)，A为椭圆与抛物线的一个公共点，AF2?．

2（Ⅰ）求椭圆的方程；

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（Ⅱ）是否存在过F2的一条直线l，与“盾圆C”依次交于M、N、、GH四点，使得?FMH16:5？若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由． 与?F1NG的面积比为

y M

A N

F1 O F2 x

G

H

第21题图

22．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?x(a?lnx)有极小值?e． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若k?Z，且k??2f(x)对任意x?1恒成立，求k的最大值； x?1（Ⅲ）当n?m?1,(n,m?Z)时，证明：mnn????nm?．

mmn

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数学（文）试卷答案

ABCB ADBD BC 11答案：(?2,1) 12答案：

11 13答案： 14答案：3 15答案：5 4316答案：?35?1 17答案：（Ⅰ）an?2?1；（Ⅱ）2?1或 32b2?4?9?b??5，则z??5i．

1答案：A 【解析】设z?bi(b?R)，则2答案：B 【解析】甲??乙，例如，x?1,y?4；

乙?甲，“若x?y?5，则x?2或y?3”的逆否命题为“若x?2且y?3，则x?此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题． 3答案：C 【解析】由题知2c?24答案：B 【解析】直线方程为y? 3,b?2，故a?1，这样的双曲线标准方程有两个．

y?5”

3x?1． 35答案：A 【解析】A中，

f(x)在(0,)上不是单调函数．

4

3?221)?． 39?6答案：D 【解析】考查几何概型，游客获奖的概率为P?(7答案：B 【解析】样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，

由于(0.08?0.16?0.30?0.44)?0.5?0.49，故中位数为2?2?2.5?2.25 20.01?0.5?2.02． 0.258答案：D 【解析】此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积

1110V?[4??2?4??1]??．

2339答案：B

【解析】样本数据的中心点为(18,110)，在直线y=bx+a上，则a?18b?110?100 10答案：C 【解析】由题f(x)?log2x?C（C为常数），则故f[f(x)?log2x]?f(C)?log2C?C?3，得C?2，故

f(x)?log2x?C

f(x)?log2x?2，

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记g(x)?f(x)?f?(x)?2?log2x?1在(0,??)上为增函数 xln2且g(1)??112ln2?1?0,g(2)?1???0, ln22ln22ln2故方程f(x)?f'(x)?2的解所在的区间是（1，2）．

11答案：(?2,1) 12答案：

11 13答案： 432214答案：3 【解析】x2?y2?2x?2y?1?0即?x?1???y?1??1，表示以?1,1?为 圆心、以1为半径的圆周及其以外的区域，目标函数z在点(1,2)和点(2,1)处取到最小值3． 15答案：5 【解析】由题意，得：

n?5,k?0?n?16,k?1?n?8,k?2?n?4,k?3?n?2,k?4?n?1,k?5?终止

当n?2时，执行最后一次循环；当n?1时，循环终止，这是关键，输出k?5．

????????????????????????????????316答案：?【解析】CD?xOA?yBC?xOA?y(OC?OB)?(x?y)OA?yOC

3????13设OA?1，建立如图所示坐标系，则CD?(?,1?)， 22y D ????????133． OA?(?1,0)，OC?(,?)，故x?y??2235?117答案：（Ⅰ）an?2?1；（Ⅱ）2?1或 2【解析】（Ⅰ）若a?A O C 第16题图 B x 2时，a1?????2?1,则a2???????????2?1． ???（Ⅱ）当a?111时，由an?a知，a?1，所以a1??a??a，a2???，且?(1,3)．

aa3①当

11?15?1?5?1?(1,2)时，a2?????1，故?1?a?a?（a?舍去） aaaa2211???[2,3)时，a2?????2，故?2?a?a?2?1（a??2?1舍去） aaaa②当

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综上，a?2?1或

5?1 2???218解答：（1）因为m?n，所以?cosBcosC?sinBsinC??0

2即cos?B?C???2，因为A?B?C??，所以cos(B?C)??cosA 2所以 cosA?（2）由A?2?,A?． 4分 24,C?3??B， 4?4故sinB?cos(由B?(0,7??33??C)?sinB?cos(B?)?sinB?cosB?3sin(B?) 1262263???)，故3sinB?cos(C?)最大值时，B?． 8分 443ab??2，得b?3 由正弦定理，

sinAsinB故

16??3?3． 12分 absinC?sin(?)?2243419解答： (Ⅰ) 由题，设?an?的公比为q，则an?2qn?1， 由a1,2a2,3a3依次成等差数列，所以4a2?2?3a3．

11又a1?2a2?3a3，所以q?1，故q? 332所以数列?an?的通项公式为an?n?1． 6分

312(1?)n23?3(1?1) 8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得，an?n?1，所以Sn?n1331?312?n?123Sn?12?3n?32n3?1??[,1) ?2?3?1?5则，，???1?2?3n?15Sn?1?12?12?3n?12?3n?13n2即8q?2?6q，解得q?1或q?由

3Sn?1??恒成立，得??． 12分

5Sn?1?120解答：（1）证明：?侧面BCC1B1是菱形，?B1C?BC1，又B1C?A1B

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故BC?平面A1BC1，所以平面AB1C?平面A1BC1． 6分 1E，连结DE． （Ⅱ）记BC1与BC1的交点为

?BC?平面A1BC1，?B1D与平面A1BC1所成的角为?B1DE． 8分 1?D为AC?A1B∥平面B1CD，?A1B∥DE，?E为BC1的中点，11的中点．

因为底面A1B1C1是边长为4的等边三角形，?B1D?23 则Rt?DB1E中，B1D?23，B1E?3,?DE?3，?tan?B1DE?B1E3， ?DE3故B1D与平面A1BC1 所成的角的正切值为

3． 13分 353，故记A(,6) 22221解答：（Ⅰ）由y?4x的准线为x??1，?AF2?xA?1?75x2y2??1． 4分 又F1(?1,0)，所以2a?AF1?AF2???6，故椭圆为

2298（Ⅱ） 设直线l为x?my?1(m?0)， M(xM,yM)、N(xN,yN)、G(xG,yG)、H(xH,yH)

?16m??x?my?1y?y?MH2???28m?9222联立?x，得，则 ① (8m?9)y?16my?64?0?y?64?1?yy???MH8?9?8m2?9?联立??x?my?12?y?4x，得y2?4my?4?0，则??yN?yG?4m ②

yy??4?NG 8分

与?F?FMH11NG的面积比

S?F1MHS?F1NG?MHy?yH?M?NGyN?yG(16m)2?4?64(8m2?9)8m2?9

216m?16整理得

S?F1MHS?F1NG?12612 12分 ??m?8m2?958若m?12(,?2)，不在“盾圆C”上； G坐标为(2,22)、， 由②知N、24同理m??2也不满足，故符合题意的直线l不存在． 14分 4文科数学试卷 第 9 页 共 10 页

22答案：（Ⅰ）令故

f?(x)?a?1?lnx，

f?(x)?0?x?e?a?1，令f?(x)?0?0?x?e?a?1

f(x)的极小值为f(e?a?1)??e?a?1??e?2，得a?1． 4分

f(x)x?xlnxx?2?lnx?，?g'(x)? 2x?1x?1?x?1?（Ⅱ）当x?1时，令g(x)? 令h(x)?x?2?lnx，?h'(x)?1?1x?1??0，故y?h(x)在(1,??)上是增函数 xx由于h'(3)?1?ln3?0,h'(4)?2?ln4?0，? 存在x0??3,4?，使得h'(x0)?0． 则x??1,x0?,h'(x)?0，知g(x)为减函数；x??x0,???,h'(x)?0，知g(x)为增函数．

? g(x)min?g(x0)?x0?x0lnx0?x0

x0?1? k?x0,又x0??3,4? ，k?Z，所以kmax=3． 9分

（Ⅲ）要证mnn即证

????nm?mmn即证mlnm?nmlnn?nlnn?nmlnm

nlnnmlnmxlnxx?1?lnx???(x)?令得?(x)?2n?1m?1，x?1，?x?1?

令g(x)?x?1?lnx,g'(x)?1?1?0,(x?1)?g(x) 为增函数， x又g(1)?0,g(x)?x?1?lnx?0 ，所以?'(x)?0

? y??(x)是增函数，又 n?m?1=? mnn

????nm?． 14分

mmn文科数学试卷 第 10 页 共 10 页

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