2009年江苏高考数学试题及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据x1,x2,?,xn的方差s?21ni(x?ni?1?x),其中x?21nix?ni?1

一、填空题：本大题一共十四小题，每小题五分，共七十分。请把答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上. ．．．．

1.若复数z1?4?29i,z2?6?9i，其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i的实部为★. 【答案】?20

2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|??3，则向量a和向量b的数量积

a?b? ★ .

【答案】3 【解析】a?b?2?33?232?3。

3.函数f(x)?x?15x?33x?6的单调减区间为 ★ . 【答案】(?1,11)

【解析】f?(x)?3x?30x?33?3(x?11)(x?1)，由

2y 1 ??(x?11)(x1)?0?y?得单调减区间为(?1,11)。

4.函数

sAi?n?(x?)A?(为?常数，

A?0?,?★ . 【答案】3 【解析】

0在闭区间则?? [??,0]上的图象如图所示，

?2?3??3 O 1 x 32T??，T?23?，所以??3，

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ★ . 【答案】0.2

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 乙班 6 6 7 7 27 6 8 7 7 9 开始 则以上两组数据的方差中较小的一个为s? ★ . 【答案】

25

S?0 T?1 S?T?S 27.右图是一个算法的流程图，最后输出的W? ★ . 【答案】22

8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8

9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ★ . 【答案】(?2,15)

3T?T?2 S?10 Y N W?S?T 输出W ，函数f(x)?ax10.已知a?5?12，若实数m,n满足

结束 f(m)?f(n，则)m,n的大小关系为 ★ . 【答案】m?n

11.已知集合A??x|log2x?2?，B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是

(c,??)，其中c?★ . 【答案】4

【解析】由log2x?2得0?x?4，A?(0,4]；由A?B知a?4，所以c?4。 12.设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行；

（3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 ★ （写出所有真命题的序号）. ．．．【答案】（1）（2）

13．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的

四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ★ . 【答案】e?27?5

【解析】用a,b,c表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率. 14．设

B2 M y T ?an?是公比为q的等比数列，|q?|，令1A1 O A2 x bn?an?1(n?1,?2,若数列?bn?有连续四项在集合

??53,?23,19,37,82?中，则6q? ★ . 【答案】?9

【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.

二、解答题：本大题一共六小题，共计九十分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）

设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值;

（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.

【解析】由a与b?2c垂直，a?(b?2c)?a?b?2a?c?0，

即4sin(???)?8cos(???)?0，tan(???)?2；

b?c?(sin??cos?,4cos??4sin?)

|b?c|

?sin??2sin?cos??cos??16cos??32cos?sin??16sin?

22222?17?30sin?cos? ?17?15sin2?，

最大值为32，所以|b?c|的最大值为42。

由tan?tan??16得sin?sin??16cos?cos?， 即4cos??4cos??sin?sin??0，

所以a∥b.

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F分别是A1B,A1C的中点，点D在B1C1上，

A1D?B1C

求证：（1）EF∥平面ABC

（2）平面A1FD?平面BB1C1C

A

D

F

B1

C1

E

A

C

B

【解析】证明：（1）因为E,F分别是A1B,A1C的中点，所以EF//BC，又

EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥平面ABC；

（2）因为直三棱柱ABC?A1B1C1，所以BB，BB1?A1D，又?面ABC1111A1D?B1C，所以

1A1D?面BB。B C1C1B1又A1D?面A1FDC，C，所以

平面A1F?D平面17．（本小题满分14分）

设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2?a3?a4?a5,S7?7

2222（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得

2amam?1am?222为数列?an?中的项.

2解析：（1）设公差为d，则a2?a5?a4?a3，

由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)， 因为d?0， 所以a4?a3?0， 即2a1?5d?0，

又由S7?7得7a1?解得a1??5，

7?62d?7，

d?2

所以?an?的通项公式为an?2n?7，前n项和Sn?n?6n。

2（2）

amam?1am?2?(2m?7)(2m?5)(2m?3)?t?，令2m?3?t，

amam?1am?2?(t?4)(t?2)t8t?6，

因为t是奇数，所以t可取的值为?1， 当t?1，m?2时，t?8t8t?6?3，2?5?7?3，是数列?an?中的项； ?6??15，数列?an?中的最小项是?5，不符合。

t??1，m?1时，t?所以满足条件的正整数m?2。 18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)?(y?1)?4和圆

22C2:(x?4)?(y?5)?4

（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

【解析】(1) y?0或y??22y . . 1 O 1 x 724(x?4)，

(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得

点P坐标为(?31351,)或(,?)。 222219.(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单

价为m元，则他的满意度为

mm?a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为

nn?a.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的

综合满意度为

h1h2. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙 (1) 求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA?35mB时，求证：h甲=h乙；

(2) 设mA?35mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的

综合满意度为多少？

(3) 记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和

h乙?h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

(4) 求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA?35mB时，求证：h甲=h乙；

(5) 设mA?35mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的

综合满意度为多少？

(6) 记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和

h乙?h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

【解析】(1)h甲=mA?mB,h乙=mA?mB,(mA?[3,12],mB?[5,20])mA?12mB?5mA?3mB?20

当mA?mB时，

53h甲=535mB?23mBmB?5?mBmB?12(mB?20)(mB?5),

3h乙=535mB?mBmB?20?mB2mB?3(mB?5)(mB?20),

显然h甲=h乙

(2)当mA?35mB时，

mB2h甲=(mB?20)(mB?5)?(1?1120mB)(1?5mB)?100(11mB)?2521mB, ?1由mB?[5,20]得1mB?[1,]， 205105故当

1mB?120即mB?20,mA?12时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

20．(本小题满分16分)

设a为实数，函数f(x)?2x?(x?a)|x?a|. (1) 若f(0)?1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；

(3) 设函数h(x)?f(x),x?(a,??)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的．．．．

解集.

?a?0?a??1 【解析】（1）若f(0)?1，则?a|a|?1??2?a?12?f(a),a?0?2a,a?0?? ??a??2a2f(),a?0,a?0??3?3?222（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min当x?a时，

f(x)?x?2ax?a,f(x)min222?f(?a),a?0???2a,a?0 ????2??f(a),a?0?2a,a?0综上f(x)min??2a2,a?0???2a2

,a?0??322(3) x?(a,??)时，h(x)?1得3x?2ax?a?1?0，

222??4a?12(a?1)?12?8a

当a??62或a?62时，??0,x?(a,??)；

3?2a32?a?66?(x?当?时，??0,得??a?22?x?a?)(x?a?3?2a32)?0

1）a?(22,262,)时，x?(a,??) 22）a?[?22]时，x?[a?3?2a32,??)

3）a?(?62,?22]时，x?(a,a?3?2a32]?[a?3?2a32,??)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kpu6.html