新人教A版高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题（一）课时作业练习含答案解析

3．3.2 简单的线性规划问题(一)

课时目标

1．了解线性规划的意义． 2．会求一些简单的线性规划问题．

线性规划中的基本概念

名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量x，y组成的不等式或方程 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

一、选择题

x＋3y－3≥0，??

1．若实数x，y满足不等式组?2x－y－3≤0，则x＋y的最大值为( )

??x－y＋1≥0，157

A．9 B.7 C．1 D.15 答案 A

解析 画出可行域如图：

当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．

??2x－y－3＝0，由?得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9. ??x－y＋1＝0

x＋y≤4，??

2．已知点P(x，y)的坐标满足条件?y≥x，则x2＋y2的最大值为( )

??x≥1，A.10 B．8 C．16 D．10

答案 D

解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A(1,1)，|OA|＝2，B(2,2)， |OB|＝22， C(1,3)，|OC|＝10.

∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝(10)2＝10.

??

3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝?

??

1

A．－t2＋t＋2 B．－2t2＋2t 11

C．1－2t2 D.2(t－2)2 答案 A 解析

y≥0??

x，y|?y≤x

??y≤2－x

??

?，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t??

＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )

y≥0??

作出不等式组?y≤x所表示的平面区域．

??y≤2－x由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得 f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC 11

＝1－2t2－2(1－t)2

1

＝－t2＋t＋2.

x－y＋2≥0，??

4．设变量x，y满足约束条件?x－5y＋10≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )

??x＋y－8≤0，A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3 D．11,3 答案 A

解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.

x≥1，??

5设不等式组?x－2y＋3≥0，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0

??y≥x对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为( )

2812

A.5 B．4 C.5 D．2 答案 B

解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．

要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求． |3×1－4×1－9|

经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min＝4. 5

二、填空题

x＋y≥3，??

6．设变量x，y满足约束条件?x－y≥－1，则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．

??2x－y≤3.

答案 7

解析 作出可行域如图所示．

由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.

7．已知－1

??－1

解析 由?得平面区域如图阴影部分所示．

?2

???x＋y＝－1，?x＝1，

由?得? ?x－y＝3???y＝－2.???x＋y＝4，?x＝3，?由得? ?x－y＝2???y＝1.

∴2×3－3×1

??x≥1，

8．已知实数x，y满足?y≥0，

??x＋2y－3≥0，答案 2

y

则x的最大值为________．

??x≥1，

解析 画出不等式组?y≥0，

??x＋2y－3≥0

与原点的连线的斜率．

x＋2y－5≤0，

yy－0

对应的平面区域Ω，x＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)

x－0

y

A(1,2)，B(3,0)，∴0≤x≤2.

三、解答题

x＋3y≥12??

9．线性约束条件?x＋y≤10下，求z＝2x－y的最大值和最小值．

??3x＋y≥12解 如图作出线性约束条件

x＋3y≥12??

?x＋y≤10下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)， ??3x＋y≥12

x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)， x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，

作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，

即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.

∴zmax＝17，zmin＝－7.

2x＋y－5≥0??

10．已知?3x－y－5≤0，求x2＋y2的最小值和最大值．

??x－2y＋5≥0解 作出不等式组

2x＋y－5≥0??

?3x－y－5≤0的可行域如图所示， ??x－2y＋5≥0

??x－2y＋5＝0由?，得A(1,3)， ?2x＋y－5＝0???x－2y＋5＝0由?，得B(3,4)， ?3x－y－5＝0???3x－y－5＝0由?，得C(2,1)， ??2x＋y－5＝0

设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．

故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5. 能力提升

??x－y＋6

11．已知实数x，y满足?

?1≤x≤4?

x＋y－60

，求x2＋y2－2的取值范围．

解 作出可行域如图，

由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，

可以看作区域内的点与原点的距离的平方， 最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方， 即|OP|2，最大值为|OA|2，

|0＋0－6|6

其中A(4,10)，|OP|＝＝＝32，

212＋12|OA|＝42＋102＝116，

∴(x2＋y2－2)min＝(32)2－2＝18－2＝16， (x2＋y2－2)max＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x2＋y2－2≤114.

即x2＋y2－2的取值范围为16≤x2＋y2－2≤114.

2x＋y－2≥0??y＋1

12．已知实数x、y满足?x－2y＋4≥0，试求z＝的最大值和最小值．

x＋1

??3x－y－3≤0y＋1y－－1

解 由于z＝＝，

x＋1x－－1

所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率， y＋1因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，

x＋1结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即 zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2； 1

zmin＝kMC＝2，此时x＝1，y＝0. 1

∴z的最大值为3，最小值为2.

1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．

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