2016-2017学年高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数

§5 简单的幂函数

课后训巩固提 练案 升 A组

1.下列函数为幂函数的是( )

①y=k·x5(k≠0);②y=x2+x-2;③y=x2;④y=(x-2)3.

A.①③ C.①③④

α

B.①② D.③

2

解析:形如y=x(α是常数)才是幂函数,根据这一定义可知,只有y=x是幂函数,故选D. 答案:D

2.对定义在R上的任意奇函数f(x),都有( ) A.f(x)-f(-x)>0(x∈R) B.f(x)f(-x)≤0(x∈R) C.f(x)-f(-x)≤0(x∈R) D.f(x)f(-x)>0(x∈R)

解析:由奇函数的定义知,f(-x)=-f(x),当x=0时f(-x)=-f(x)=0,当x≠0时,f(-x)与f(x)互为相反数,所以f(x)·f(-x)≤0,故选B. 答案:B

3.函数y=(k-k-5)x是幂函数,则实数k的值是( ) A.k=3 C.k=3或k=-2 答案:C

4.已知函数f(x)是[-5,5]上的偶函数,f(x)在[0,5]上具有单调性,且f(-3)

B.f(2)f(1) B.k=-2 D.k≠3且k≠-2

2

2

2

2

解析:由题意,得k-k-5=1,即k-k-6=0,解得k=-2或k=3,故选C.

解析:由于函数f(x)是[-5,5]上的偶函数,

因此f(x)=f(|x|),于是f(-3)=f(3),

f(-1)=f(1),则f(3)

又f(x)在[0,5]上具有单调性,从而函数f(x)在[0,5]上是减少的,观察各选项,并注意到

f(x)=f(|x|),只有D正确.

答案:D

5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且f(3)=0,则使f(x)<0的x的取值范围为( )

1

A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,3)∪(3,+∞)

B.(3,+∞) D.(-3,3)

解析:由已知可得f(-3)=f(3)=0,结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图所示).

由图像可知f(x)<0时,x的取值范围是(-3,3). 答案:D

6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2

+x+1,则f(1)= . 解析:∵f(x)是R上的奇函数,

∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2+(-1)+1]=-2.

答案:-2

7.若函数f(x)=4x2

+bx-1是偶函数,则实数b= .

解析:由已知得f(-x)=f(x)对任意x∈R恒成立,即4(-x)2

-bx-1=4x2

+bx-1,于是bx=-bx,故b=0.答案:0

8.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x>0时,f(x)=x2

+x,则当x<0时,f(x)= . 解析:设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2

-x=x2

-x.∵f(x)是定义域为R的偶函数,

∴f(x)=f(-x)=x2-x, ∴当x<0时,f(x)=x2-x.

答案:x2

-x

9.导学号91000079已知函数f(x)=(2m-3)xm+1

是幂函数. (1)求m的值;(2)判断f(x)的奇偶性.

解:(1)因为f(x)是幂函数,所以2m-3=1,即m=2.

(2)由(1)得f(x)=x3

,其定义域为R,且f(-x)=(-x)3

=-x3

=-f(x),故f(x)是奇函数. 10.导学号91000080(拓展探究)已知函数f(x)=x+,且f(1)=2. (1)求m;

(2)判断f(x)的奇偶性;

(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并说明. 解:(1)因为f(1)=2,所以1+m=2,即m=1.

(2)由(1)知f(x)=x+,显然函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又f(-x)=(-x)+=-x-=-=-f(x), 所以,函数f(x)=x+是奇函数.

(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,设x1,x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x1

=x1-x2+

=x1-x2-=(x1-x2),

2

当11,x1x2-1>0, 从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

B组

1.已知f(x)=ax-bx+cx+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( )

7

5

3

A.4 C.2m

7

B.0 D.-m+4

5

3

解析:设g(x)=ax-bx+cx,

则g(x)在R上为奇函数,f(-5)=g(-5)+2=m,

∴g(-5)=m-2. ∴g(5)=2-m. ∴f(5)=g(5)+2=4-m. ∴f(5)+f(-5)=4-m+m=4.

答案:A

2.若函数f(x)=为奇函数,则a=( ) A.

B.

C.

D.1

2

解析:由已知得f(x)=定义域关于原点对称,其定义域为,由f(-x)+f(x)=0化简得(2a-1)x=0,所以

a=,故选A.

答案:A

3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且f(-2)=0,如图所示,则使得f(x)<0的x的取值范围是( )

A.(-∞,2)

B.(2,+∞)

D.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析:由图可得在(-∞,0)上,f(x)<0的解集为(-2,0].

因为f(x)为偶函数,所以x的取值范围为(-2,2). 答案:D

4.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足f(2x-1)

B. D.

解析:作出示意图如图所示.

3

由图可知,f(2x-1)

5.导学号91000081已知幂函数f(x)=(t-t+1)(t∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增加的,则函数的解析式为 .

解析:∵f(x)是幂函数,∴t-t+1=1,解得t=-1或t=0或t=1.

当t=0时,f(x)=是非奇非偶函数,不满足题意;

当t=1时,f(x)=是偶函数,但在(0,+∞)上是减少的,不满足题意; 当t=-1时,f(x)=x,满足题意.

综上所述,实数t的值为-1,所求解析式为f(x)=x. 答案:f(x)=x

6.(创新题)已知f(x),g(x)均为奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上的最大值是5,则F(x)在(-∞,0)上的最小值为 .

解析:∵F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上的最大值是5,且f(x),g(x)均为奇函数,

2

2

2

3

3

∴F(x)-2=af(x)+bg(x)在(0,+∞)上的最大值是3.

根据函数的性质可知F(x)-2=af(x)+bg(x)在(-∞,0)上的最小值是-3,∴F(x)=af(x)+bg(x)+2在(-∞,0)上的最小值为-1. 答案:-1

7.导学号91000082已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x+x-2,求f(x),g(x)的解析式.

解:由f(x)+g(x)=x+x-2,①

得f(-x)+g(-x)=x-x-2.

22

2

∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(x)-g(x)=x2-x-2.②

①+②得2f(x)=2x2-4,∴f(x)=x2-2. ①-②得2g(x)=2x,∴g(x)=x.

8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x-2x+m. (1)求m及f(-3)的值;

(2)求f(x)的解析式,并画出简图; (3)写出f(x)的单调区间(不用证明).

解:(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴m=0,

2

∴当x≥0时,f(x)=x2-2x, ∴f(-3)=-f(3)=-3.

4

故m=0,f(-3)=-3. (2)当x<0时,-x>0,

∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),

∴-f(x)=x2+2x,即f(x)=-x2-2x(x<0). ∴f(x)=

画出f(x)的图像如图所示.

由f(x)的图像,可知f(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)上是增加的,在[-1,1]上是减少的.5

(3)

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