金典艺术生高考数学复习资料--5 数列

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数列

等差数列知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)。

2、等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调

性：d?0为递增数列，d?0为常数列，d?0 为递减数列。

3、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其

a?ba?b中A? a，A，b成等差数列?A?。

22n(a1?an)n(n?1)?na1?d。 4、等差数列的前n和的求和公式：Sn?225、等差数列的性质：

（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是AP，

如：a1，a3，a5，a7，??；a3，a8，a13，a18，??； （3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?an?am(m?n)； n?m（4）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； 说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，

S奇a?n； S偶an?1Sn（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n?1项，则①S偶?S奇?an?a中；②奇?。

S偶n?1（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇?S偶?nd； ② 6、数列最值

（1）a1?0，d?0时，Sn有最大值；a1?0，d?0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（n?N?）；②若已知an，则Sn最

?an?0?an?0值时n的值（n?N?）可如下确定?或?。

a?0a?0?n?1?n?1课前预习 1．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是 数列

2．设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13?

3．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项

4．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若

1S3S＝，则6＝ 3S6S126．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛

Sn｝的前n项和，求Tn。 n大毛毛虫★倾情奉献★精品资料

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7．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 ．．8．（94全国）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 等比数列知识清单 1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这．．．．．．个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，即：

“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零） an?1：an?q(q?0)数列（注意：

2．等比数列通项公式为：an?a1?qn?1(a1?q?0)。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d?1时该数列既是等比数列也是等差数

a列；（2）等比数列的通项公式知：若{an}为等比数列，则m?qm?n。

an3．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。 4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列a1,a2,a3,?,an,?的前n项和是Sn?a1?a2?a3???an，当q?1时，

a1(1?qn)a?aq 或Sn?1n；当q=1时，Sn?na1（错位相减法）。 Sn?1?q1?q说明：（1）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是qn，通项公式中是qn?1不要混淆；（3）应用求和公式时q?1，必要时应讨论q?1的情况。 5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m?n，公比为q，则有an?amqn?m；

②对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av. ③若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列。 课前预习

1．在等比数列?an?中,a7?12,q?32,则a19?_____. 2．2?3和2?3的等比中项为 3． 在等比数列?an?中，a2??2，a5?54，求a8，

4．在等比数列?an?中,a1和a10是方程2x2?5x?1?0的两个根,则a4?a7? 5. 在等比数列?an?，已知a1?5，a9a10?100，求a18.

6．（2006年北京卷）设f(n)?2?24?27?210???23n?10(n?N)，则f(n)等于 7．（1996全国文）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

8．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝

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数列通项与求和知识清单 1．数列求通项与和

?sn?sn?1n?2（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=? 。

sn?1?1（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+?+(a2－a1)+a1； ③累商叠乘法。 ④倒序相加法 ⑤裂项求和 ⑥并项求和

⑦错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。an?bn?cn, 其中?bn?是等差数列， ?cn?是等比数列。 课前预习

1．已知数列?an?为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：?i?1n1。 aiai?12．求1?1111?????,(n?N*)。 1?21?2?31?2?3?41?2?3???n

3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，?，nan，?的前n项和。

4．已知a?0,a?1，数列?an?是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn?an?lgan(n?N)，求数列?bn?的前n项和Sn。

典型例题

一、有关通项问题 1、利用an??(n?1)?S1求通项．

?Sn?Sn?1(n?2)例：数列{an}的前n项和Sn?n2?1．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{an}是等差数列吗？（3）你能写出数列{an}的通项公式吗？

变式题1、（2005湖北卷）设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，求数列{an}的通项公式； 变式题2、（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an?1?a4的值及数列{an}的通项公式．

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1Sn，n=1，2，3，??，求a2，a3，3大毛毛虫★倾情奉献★精品资料

变式题3、（2005山东卷）已知数列?an?的首项a1?5,前n项和为Sn，且Sn?1?2Sn?n?5(n?N*)，证明数列?an?1?是等比数列． 2、解方程求通项：

例：在等差数列{an}中，（1）已知S8?48,S12?168,求a1和d；

（2）已知a6?10,S5?5,求a8和S8；16，44 (3)已知a3?a15?40,求S17.

变式题1、{an}是首项a1?1，公差d?3的等差数列，如果an?2005，则序号n等于 3、待定系数求通项：

例： （2006年福建卷）已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1.

二、有关等差、等比数列性质问题

例：一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为

变式1、一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 。

变式2、等比数列{an}的各项为正数，且a5a6?a4a7?18,则log3a1?log3a2???log3a10?

三、数列求和问题

例：已知{an}是等差数列，其中a1?31，公差d??8。（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}从哪一项开始小于0？4（3）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值． 变式题1、已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a1?0，公差d?0，若S10?0,求数列{an}前n项

和的最大值．

变式题2、在等差数列{an}中，a1?25，S17?S9，求Sn的最大值． 例：求和：Sn?1?2x?3x2???nxn?1

变式题1、已知数列an?4n?2和bn?求数列?an?的通项公式；

24n?1，设cn?an，求数列{cn}的前n项和Tn． bn大毛毛虫★倾情奉献★精品资料

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变式题2、（2007全国1文21）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，

?a?a3?b5?21，a5?b3?13（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列?n?的前n项和Sn．

?bn?

例：（1）已知数列{an}的通项公式为an?1，求前n项的和；

n(n?1)1，求前n项的和．

（2）已知数列{an}的通项公式为an?n?n?1实战训练A 1．（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为

2．（07重庆理）若等差数列{an}的前三项和S3?9且a1?1，则a2等于

3．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x2?8x?3?0的两根，则

a2006?a2007?__________.

4．（07天津理）设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k?

5．等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=

6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2?2,S4?10,则S6等于

7．已知?an?是等差数列，a10?10，其前10项和S10?70，则其公差d?

8．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y?x2?2x?3的顶点是(b，c)，则ad等于

9．（07辽宁理）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?

实战训练B

1．（07江西文）已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11?

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．

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2．（07湖南文）在等比数列{an}（n?N*）中，若a1?1，a4?

3．（07广东理）已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，第k项满足5?ak?8，则k?

4．（07广东文）已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，则其通项an? ；若它的第k项满足5?ak?8，则k? ．

5．等比数列?an?中，a4?4，则a2a6等于

6．若数列?an?的前n项和Sn?n2?10n(n?1，2，3，?)，则此数列的通项公式为

7．（07安徽文）等差数列?an?的前n项和为Sx若a2?1,a3?3,则S4＝

8．（07辽宁文）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?

2，3，?）9．数列?an?中，a1?2，an?1?an?cn（c是常数，n?1，，且a1，a2，a3成公比不为1的

1，则该数列的前10项和为 8 等比数列．

（I）求c的值；

（II）求?an?的通项公式．

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2．（07湖南文）在等比数列{an}（n?N*）中，若a1?1，a4?

3．（07广东理）已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，第k项满足5?ak?8，则k?

4．（07广东文）已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，则其通项an? ；若它的第k项满足5?ak?8，则k? ．

5．等比数列?an?中，a4?4，则a2a6等于

6．若数列?an?的前n项和Sn?n2?10n(n?1，2，3，?)，则此数列的通项公式为

7．（07安徽文）等差数列?an?的前n项和为Sx若a2?1,a3?3,则S4＝

8．（07辽宁文）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?

2，3，?）9．数列?an?中，a1?2，an?1?an?cn（c是常数，n?1，，且a1，a2，a3成公比不为1的

1，则该数列的前10项和为 8 等比数列．

（I）求c的值；

（II）求?an?的通项公式．

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