第四章 练习题及参考答案

第四章 静态场的解 练习题

1、设点电荷q位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置

（2） 直角劈内任意一点(x,y,z)处的电位表达式 （3）

?q

?q图1

?q

图2

解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。 （2）如图2所示任一点(x,y,z)处的电位为

??q?1111?????? ??4??0?r1r2r3r4?r1?其中，

?x?1?2??y?2?2?z2?x?1?2??y?2?2?z2?x?1?2r2?r3?r4???y?2??z22

?x?1?2??y?2?2?z22、 两个点电荷?Q和?Q位于半径为a的接地导体球的直径延长线上，距球心均为

2a3Qd。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为2。

d证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q和－Q的镜像电荷Q?,Q??分别位于球内＋Q和－Q

a2a连线上大小分别为?Q，且分别距球心为（分别位于球心两侧）。可见Q?,Q??构

DD成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为：

aa22a3Q。结论得证。 p?ql?Q??2DDD3、已知一个半径为a的接地导体球，球外一个点电荷q位于距球心O为d处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。

解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷q?必定位于球内，且在q与球心0连线上，位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件?(球）=0可取球面上两个特殊点A,B讨论。A,B是q与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得：

?(A)?qq???0，

4??0(d?a)4??0(a?f)qq???0。

4??0(d?a)4??0(a?f)?(B)?aa2解此方程组得：q???q,f?。

dd所以任意场点P(x,y)处的电位为： ??q4??0r?q?4??0r?。

其中r,r?分别是点电荷q和q? 到场点P的距离。

2222值分别为r?[(x?d)?y]2,r??[(x?f)?y]112。

4、半径为a的不接地导体球附近距球心O为d（d?a）处有一点电荷q，用镜像法计算

球外任一点的电位。

解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷除了有q?（即导体球接地时对应的结果，

a2a），还在球心处有另外一个镜像电荷q??，以保证导体球面电q???q，其位置为f?dd势不为零的边界条件成立，且可知q????q?。 所以任意场点P处的电位为：

??q4??0r?q?4??0r??q??4??0r??

其中r,r?,r??分别是点电荷q、q?和q??到场点P的距离（可在具体坐标系中表示出来）。 5、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为1，距导体平面为h。 （1）导出电位函数满足的方程并应用镜像法求出位函数的解。 （2）求导体表面上感应面电荷密度，并证明总感应电荷为－1。

解：（1）由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即??0。故电位函数满足拉普拉斯方程 ???0。建立坐标系，令z?0为导体平面，已知点电荷位于z轴上，坐标为（0，0，h）。边界条件为： ?(?)?0,?(z?0)?0。则镜像电荷位于z轴上（0，0，?h）点，大小为-1.于是空间任意场点P【坐标为（x,y,z），】的电位为已知点电荷1与镜像电荷-1共同产生的，其值为??214??0r2?2?1。其中r,r?是场点分别到已知点电荷1与镜

4??0r/22222像电荷-1的距离，其值分别为r?x?y?(z?h),r??x?y?(z?h)。 （2）证明：由上题电位值可计算出P点的电场强度各分量的值份分别为

Ex?x4??0(11y111z?hz?h?),E?(?),E?(?3) yz4??0r3r?34??0r3r3r?3r?由静电场的边界条件Dn??s，可得导体表面的电荷面密度为：

?s??0EZ??h2?(x?y?h)22232

所以导体表面上总感应电荷为：

h q????sds??2?????????dxdy(x?y?h)22232??1 ，结论得证。

6、如题图（a）所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q。求 （1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；

（2）介质表面的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q?。

z q z q R1 z q?q?? ?0 h o ? ? h h P ? o ?0 ?0 h o R2

P R? 图 2.13q ? 题 4.24图（a） 题 4.24图（b） 题 4.24图（c） 解：（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b）、（c）所示）

q???q??????0q，位于 z??h ???0???0q， 位于 z?h ???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即

?1? ????0q?11?????2?2224??0????r?(z?h)?0?r?(z?h)?下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q??共同产生，即

qq??4??0R14??0R??2?q?q??q?4??R22?(???0)1r2?(z?h)2

（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为

?p?n??P1?P2???0(z?0??0(E1z?E2z)z?0z?0

??2??1?)?z?z??(???0)hq

2?(???0)(r2?h2)32极化电荷总电量为

(???0)hqrqP???PdS???P2?rdr??dr 2232????00(r?h)S0????(???0)q?q? ???07、如图示，一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。

（1）求点电荷q与导体球之间的静电力； （2）证明当q与Q同号，且

QRD3R?? 222q(D?R)DD d? Q?q?? o q? q z R 成立时，F表现为吸引力。

解：（1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷q?和q??的大小和位置分别为（如题图所示）

RR2q???q， d??

DDq????q??Rq，d???0 D导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为

F?Fq??q?Fq???q?FQ?q?qq?q(D?q??)

?4??0(D?d?)24??0D2??q?Q?(RD)qRq????2? 224??0?DD?D??RD???????（2）当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F?0时，则应有

Q?(RD)qRq?2D2DD??RD???2?0

由此可得出

QRD3R?? q(D2?R2)2D8、已知一点电荷q与无穷大导体平面相距为h，若把它移动到无穷远处需要作

多少功？

解：建立一维直角坐标系，坐标原点位于无穷大导体平面上。令已知点电荷q位于坐标轴上，距坐标原点为h。直接计算电场力做功为

??W??qE?dl

其中电场是已知点电荷q所在空间的电场（由q以外的电荷所激发），即镜像电荷q?在此空间产生的电场：

?E?q??q?? e?ey22y4??0(2y)4??0(2y)则要求的功为

???W??qE?dl??qEdy??h?qqq2dy?? 216??0h4??0(2y)q216??0h可见，电场力做负功，则外力克服电场力做功为 W?

9、无限大导体平面上方有一电荷线密度为?l的长直线电荷，电荷线与导体平面的距离为h，求此电荷线单位长度所受的力。

解：由于连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理可知，同样可以应用点电荷的平面镜像法求解。因此，长直线电荷?l的镜像电荷为线密度为?l????l，距离导体平面为h的电荷。已知线电荷?l所受的力即镜像电荷

??l?在此空间产生的电场E所施加。其电场为 ???l?r E?e2π?0 r则长度为L的线电荷?l（总电荷Q??lL）所受的电场力为

??l??lLF?QE??lL?

2π?0 (2h)4π?0 h??lF故单位长度所受的力为： f??

L4π?0 h2210、一导体长槽两侧壁向y方向无限延伸且电位为零，槽底面电位为U0，如图

所示。求槽横截面内的电位分布。

解：由于所求区域无源，且为二维场，电位函数

??x,y?满足的拉普拉斯方程为：

?2??x,y???2??2??x2??y2?0

边界条件为：

?x?0?0

?x?a?0

?y?0?U0 ?y???0

利用分离变量法，令：??x,y??f?x?g?y? 则得：

d2fdx2?k2xf?0d2gdy2?k2yg?0 k2?k2xy?0根据边界条件?x?0??x?a??y????0，

???x,y???A?n???n?nsin?x?ayn?1?a?e再由边界条件，可得

?

???A??n??y?0nsinn?1?ax???U0

利用三角函数的正交归一性，求得An为： A4U0n?n??n?1,3,5???? ?x,y?的通解可写为：

?

图2 则得槽内的电位分布为

4U0?n?????x,y??? sin?x?e?a?n?1,3,5...n??n?ya

11、如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。

解：根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为

,?)?a(y,?) ① ?(0y) 0 ② ?(x,0??U③ ?(x,b)0

根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为

?(x,y)??Ansinh(n?1?n?yn?x)sin() aa由条件③，有

U0??Ansinh(n?1?n?bn?x)sin() aa利用三角函数的正交归一性，两边同乘以sin(n?xa)，并从0到a对x积分，得到

2U0n?xAn?sin()dx

asinh(n?ba)?a0a?2U0(1?cosn?)n?sinh(n?ba)4U0?

,n?1,3,5,????n?sinh(n?ba)?0，n?2,4,6,??故得到槽内的电位分布

?(x,y)?4U01n?yn?xsinh()sin() ??n?1,3,5,?nsinh(n?ba)aa

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