概率的应用论文

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上饶师范学院数学与计算机科学学院

本科毕业论文

论文题目：概率统计方法应用的探究

专班学

业：信息管理与信息系统级： 09数计6班号： 09010609

学生姓名：黄汉兴指导教师姓名：徐健

上饶师范学院数学与计算机科学学院

2013年 05 月

内容摘要

本文先介绍概率的发展过程，了解概率的起源，认识一些在概率方面做出过

杰出贡献的数学家，其次论述概率在经济领域方面的应用，比如：在经济管理决策，投资风险，经济损失估计，盈利状况等，从而帮助投资商、企业家在投资效益、管理企业等方面做出正确的决策，然后介绍了概率思想在贯穿生活中的现象，用概率思想来处理保险业务，怎样看待生活中的各种抽奖问题，说明赌博的一些弊端。

关键字

概率统计；决策；经济；企业管理；生活应用

Abstract

This article first introduced the development of the probab- blity

understand the origin of probability, know some made mat- hematicians outstanding contributions in terms of probability of secondly disc- uses the probability of application in economic field, such as: in the economic management decisions, investment risk and economic loss estimation, profitability, etc., to help investors and entrepreneurs in their investment benefit,manage- ment companies make the right decisions, and then introduces the probability thought in throughout life phenomenon, to handle insurance business with probability thought, what about the life of all kinds of lottery issue, explain some of the problems of gambling.

The keyword

Probability and statistics； Decision； Economic； Business

management； Lifestyle

绪论

1 概率统计的起源.............................................4 2 概率统计在经济领域的应用...................................5 2.1 概率统计在经济决策中的应用.........................5 2.2 概率统计在经济损失估计中的应用.....................7 2.3 概率统计在企业用工中的应用.........................8 3 概率统计思想在生活上的应用.................................9 3.1 应用概率统计思想处理保险业务......................9 3.2 应用概率统计思想看待抽奖..........................12 3.3 应用概率统计思想说明赌博的弊端....................14 4 总结.......................................................15 5 参考文献...................................................16

绪论

概率是研究随机变量的一门学科，在现实生活中，随机现象广

泛的存在，随着人类社会的发展，科学技术的进步，在世界经济全球的进程中，概率统计各领域的应用也越来越广泛，在工业生产、产品抽样抽查天气预报等众多领域中扮演着越来越重要的角色。本文首先简要说明概率的发展过程，认识概率的发展过程，从而更能深刻的体会概率的重要性，其次列举了概率在经济活动、企业管理、日常生活中的一些应用。体会如何应用概率解决现实生活中的实际问题，从而较好的掌握概率知识。

1 概率统计的起源

概率统计发展的历史悠久，在

14世纪时期，由于工业革命的萌

芽，科技技术的进步，商品经济的迅速发展，经济的发展逐渐蔓延到全世界，它们都向数学提出新的要求，要求运用新的数学知识来研究，随处可遇的随机变量的规律，估计一个事件发生的大小，这些为概率的兴起奠定了现实的基础。让数学家思考概率问题却是来自掷骰子游戏。17世纪中叶，欧洲地区的贵族们盛行掷骰子的游戏，法国的德梅·尔（De Mere）在掷骰子的游戏中遇到一个问题。他发现掷一枚骰子4次至少出现一次6点是有利的，而掷一双骰子24次至少出现2个6是不利的，他带着这个疑问向当时的法国数学家帕斯卡（Pascal）请教，帕斯卡接受他的问题，并与费马（Fermat）一起研究讨论。当时荷兰的科学家惠更斯（Huygens）经过独立的

研究，并与1657年写成一篇《论掷骰子游戏中的计算》，被当时认为最早的有关概率的论著。

从18世纪到19世纪，人们不断地从实际问题研究中构造概率的方法，使概率统计的方法与理论丰富起来。古典概型就是在解决类似赌博游戏等实际问题中形成的，也是概率发展初期的主要研究对象，在概率论中占有着很重要的地位，应用也很广泛，随后从一维变量到多维变量，研究问题也越来越广泛。伯努利（Bernoulli）发现了大数定律，隶莫弗（De Moivre）拉普拉斯（Laplace）等众多的数学家对中心极限定律的研究，使概率的应用更广泛。概率统计的发展自始自终离不开实际的应用。

2 概率统计在经济领域的应用

当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的，几乎任何一

次经济活动决策都离不开它的应用。例如，实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等，都要用到概率统计知识。实践证明，概率统计是对经济问题进行量的研究有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段。 2.1 概率统计在经济决策中的应用

进行经济决策之前，往往存在不确定的随机因素，从而所作

的决策有一定的风险，只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获的最大的安全保障的总目标。对带有随机因素的决策问题，往往可以用概率的思想方法加以解决，如用数学期望与方差比较获利大小和风险大小是决策的一种方法科学。

例如 1：某人有一笔资金，可投入三个项目：房产X，地产Y和商业Z，其收益和市场状态有关，若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为?1=0.2，?2 =0.7，?3 =0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益（万元），见表1：房产地产商业好中差 ?1=0.2 11 6 10 ?2=0.7 3 4 2 ?3=0.1 -3 -1 -2 请问：该投资者如何投资好？解：我们先考察数学期望，可知 E(X)=11?0.2+3?0.7+（-3）?0.1=4.0; E(Y)=6?0.2+4?0.7+(-1)?0.1=3.9; E(Z)=10?0.2+2?0.7+(-2)?0.1=3.2; 根据数学期望可知，投资房产的平均收益最大，可能选择房产，但是投资也要考虑风险，我们再来考虑它们的方差： D(X)=(11-4)2?0.2+(3-4)2?0.7+(-3-4)2?0.1=15.4； D(Y)=(6-3.9)2?0.2+(4-3.9)2?0.7+(-1-3.9)2?0.1=3.29； D(Z)=(10-3.2)2?0.2+(2-3.2)2?0.7+(-2-3.2)2?0.1=12.96；由于方差越大，则收益的波动大，从而风险也大，所以从

方差看，投资房产的风险比投资地产的风险大的多，若收益与

风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资地产为好，虽然平均收益少0.1万元，但风险要小一半以上。

2.2 概率统计在经济损害估计中的应用

随着经济建设的高速发展，火灾，车祸等各种意外所造成

的经济损失呈明显上升的趋势，买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法，利用统计方法知识可以估计各种意外事故发生的可能性，以及发生后导致的经济损失大小，从而可以有效地规避风险，降低损失。

例2. 已知某仓库货物在储藏中，仓库中货物因火灾而损失

的金额服从从正太分布N（u, ?2）。今随机抽取8次货损资料，得到如下仓库货物金额表。

表2：仓库货物损失金额表

货物损失金额1000 2000 3000 5000 （元）次数 2 1 4 1 求仓库货物大概的损失？

解：利用矩估计法或最大似然估计法可知：u,?2的矩估计量分别为：

1n1n2 ???Xi?X, ???(Xi?X)2,

ni?1ni?1 7

从而根据表2中的数据可计算出：

??(1000?2?2000?1?3000?4?5000?1)?2625

18?2?1(1000?2625)2?2?(2000?2625)2?(3000?2625)2?4?(5000?2625)28?? =1101562.5； ??1049.55

从而得到产库货物损失的平均估计值为2625，标准差的估计值为1049.55. 通过概率统计方法的运算，可以粗略估算经济损失，为企业的运作，企业的成本预算做出合适的规划。

2.3

概率统计在企业用工中的应用

企业为了取得理想的经济效益，需要对未来的经营活动状况

及结果进行估计、判断和推测，即需要进行经营预测。在经营预测中，企业对人才活动，用工状况及用工的调配要进行科学化得预测，从而在尽可能节约成本的同时，确保企业合理化得运行。

例3：某场有同类型设备300台，如果各台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生概率小于0.01，一台设备的故障可以有一个人处理，为保持设备发生的故障而不能及时的修理的概率小于0.01，那么配备多少维修工最合适？解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X～b(n,p), n=300,p=0.01

设需配备N个维修人员，所求的是满足

P(X>N)<0.01的

最小的N。

P(X>N)=

k?N?1?C300k300(0.01)k(0.99)300?k

3ke?3 ??

k!k?N?13003ke?3 ??

k!k?N?1?e?33k 我们求满足??0.01的最小N。

k!k?N?1? 查书末的泊松分布表的

N+1?9

即至少需配备8个个维修员。

概率统计是对财务管理中进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提了新手段，我们知道要利用概率知识来指导我们最初科学推论，就必须考虑概率的统计特性，在理性的基础上进行综合分析，概率只是在其他领域都有广泛应用，实在是一门应该好好掌握的科目.

3. 概率统计思想在生活上的应用 3.1 应用概率统计思想处理保险业务

概率论是研究风险的不确定性在大数中所呈现的规律性，而

保险学是利用风险的不确定性在大数中消失来化解风险的，概率论的研究对象正是保险学建立和发展的基础，由此可见，保险学和概率论是密不可分的，概率论是保险技术的数理基础。

1．随机变量及其分布与保险

随机变量即用数量来描述随机试验的不同结果，概率分

布是描述随机变量取值及其对应概率的方式，在保险经营上，随机变量及其分布指各种损失的数量及其损失可能性的大小。

例4：某单位有5辆汽车投保，发生事故的车辆就是一

个随机变量，可能取值是0、1、2、3、4、5六种结果，根据保险公司的统计资料，每种结果发生的概率为：

发生事故车辆数对应概率

0 1 2 3 4 5 0.95 0.04 0.01 0 0 0 以上表达方式即为车辆事故次数的概率分布，在风险估

计中，经常采用理论概率分布，理论概率分布是根据某些随机现象的性质和大量实际统计数据用数学方法抽象出来的概率分布规律，它可用数学公式对随机现象进行精确的描述。保险经营理论中遇到的随机现象符合于一定形式的理论概率分布，并用它来解决实际问题。例如：确保保险、赔偿金、保险公司盈利的多少及所但风险的大小等。在保险理论中常用到的理论概率分布有二项分布和正态分布。二项分布常用来计算在n个投保体中，正好有k个需要赔偿的概率；正态分布常用于当信息不足时的近似估计，还可以对二项分布进行近似计算。更和重要的是正态分布是大数规律的一般表现

形态，是大量社会经济现象的典型分布，无论保险业务经营，还是保险探讨都离不开正太分布

2．大数定律在保险中的应用

大数法则不仅适用于保险标的数量方面，也适用于时间

方面，特别适于保险人数足够大时的情况，例如，在机动车辆事故保险中，共有一万辆车投保，其中一小部分将发生事故，可在“数量大数”中求出损失的近似值。又如，某公司承保卫星发射业务，保险金额巨大，责任集中，标的仅一个，不能认为是大数，无法通过标的分摊风险，但是可通过再保险，将责任分摊到多个保险公司，应用大数法则，则损失的不确定性降低，风险减少，这说明，再保险使大数法则的作用得到了充分，有了新的意义。 3．应用概率进行保险计算

例5：某保险公司有m人参加人身意外伤害保险，每人每年交保险a元，如发生意外事故，可得到b元的赔偿，根据统计资料，已知意外事故概率为p，试分析保险公司盈利情况。解：根据随机变量分布理论，投保人发生意外事故的人数X

符合二项分布，

则m人中正好有k个人发生意外事故的概率为：

km?k P(x-k)=Ck mP(1-p)

根据数学期望的计算方法，保险公司在每个被保险人身上的期望损失：

o(1-p)+bp=bp

保险公司的总期望损失是一定的，即mbp,方差是ｍP(1-p),由此看出，当赔偿金b越大时，方差越大，保险公司风险也就越大。

要使保险公司盈利，应使保险总收入ma大于期望损失

mbp，要使保险公司盈利超过c元。

应使： ma-mbp?c

即期望损失： mbp?ma?c

于是要求赔偿金： b?

或投保人发生意外的人数：k

nn 其可能性是： p(x?k)??CmP(1?P)m?n

n?0kma?c mpma?c b

通过计算保险公司盈利的情况，对问题做出论断，保险业、金融业的风险预测便是与概率论休戚相关。概率是投资决策中分散风险的一种策略。 3.2 应用概率统计思想看待抽奖

在抽奖摸奖过程中，如果后摸得人不知道先摸的人摸奖结

果，那么每人中的中奖概率是相同的，如果后摸得人知道先摸的人的摸奖结果，中奖概率似乎会有所不同，这是否会影响抽奖的公平性呢？

如果有5张可以兑奖的彩票，其中二张是有奖的，由甲、

乙、丙、丁、戊五人依次各抽出一张彩票。甲中奖的概率为2/5，当已知甲中奖，乙再去抽奖，则乙中奖的概率是1/4,乙似乎吃亏了；当已知甲没有中奖，乙再去抽奖的中奖概率是2/4，乙似乎又占了便宜了。事实上，这里1/4和2/4分别是乙已知中奖的情况下乙中奖的条件概率，都不能算是乙在这个抽奖方案中的中奖概率，因为乙中奖有二种可能：“甲中奖前提下乙中奖”和“甲没中奖而乙中奖”，故乙中奖的概率应是如下计算：

设甲、乙、丙、丁、戊五人中中奖分别用A、B、C、D、

E表示，并且按照甲、乙、丙、丁、戊的次序先后抽取彩票，则

P(A)=

2 5 由于B?B?A?A??BA?BA P?B??P?BA?BA? ?P?BA??P?BA?

?P?A?P?B/A??P?A?P?B/A? ?????

对于丙得概率也是如此；

2154252425 13

C?C?B?B??CB?CB ??C?B?A?A?????C?B?A?A??? ?CBA?CBA?CBA?CBA

其中CBA表示甲、乙、丙三人同时得奖，这是不可能的

事件，CBA表示甲没得奖而乙和丙都得奖，CBA表示甲和丙得奖而乙没得奖，CBA表示甲、乙、丙三人中只有丙得奖。 P?C??P?CBA?CBA?CBA?CBA? ?P?CBA??P(CBA)?P?CBA??P?CBA? 其中：P?CBA??0 P?CBA??P?A?P?B/A?P?C/BA? =???3531431 10 P?CBA??P?A?P?B/A?P?C/BA? ????2531431 10 P?CBA??P?A?P?B/A?P?C/BA? =??? P?C??

同理可得P?D??,P?E??

概率问题的计算往往比较复杂，我们在解题之前一定要

理解问题的实质，对涉及到的基本事件作必要的阐述和假设说明，看清楚问题的先后，认清出条件和结论，这样我们才能透过现象看本质。

3.3 应用概率统计思想说明赌博的弊端

3254232 10252525赌博令人忧虑，又令人关注，一些赌徒巧立名目，设立

陷阱，把一些小概率事件作为获奖事件，而把大概率事件作为不获奖事件，让受骗的人不断“押注”，不断输钱。

例4：有个赌博活动规则如下：每次投入2元，在一副

52张扑克牌（除掉大皇小皇）中任意抽取4张，设立：（1） A=｛奖金100元｝={4张牌同号不同花}；（2） B={奖金30元}={4张牌同花连号}；（3） C={奖金10元}={4张牌完全不同花}；（4） D={奖金5元}={4张牌完全同花}；

若抽不到规定的4张牌，则投入的2元进入庄家的腰包容

易算的：

P(A)=0.000002, P(B)=0.000006, P(C)=0.004395, P(D)=0.010564225, 抽牌人每次赢钱的概率为：

P=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.01496738, 而庄家赢钱的概率就是P=0.98503262,这就说明了一个道