高中数学探究性试题探究性试题有助于数学思维的提高

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高中数学探究性试题

课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。

探究性试题有助于数学思维的提高。

1．已知集合M是满足下列性质的函数f?x?的全体：在定义域内存在x0，使得

f?x0?1??f?x0??f?1?成立。

1是否属于集合M？说明理由； xa （2）设函数f?x??lg2?M，求a的取值范围；

x?1 （1）函数f?x?? （3）设函数y?2图象与函数y??x的图象有交点，证明：函数f?x??2?x?M。

xx2解：（1）若f?x??21112 ??1?x0?x0?1?0，?M，在定义域内存在x0，则

x0?1x0x ∵方程x0?x0?1?0无解，∴f?x?? （

2

1?M。 x）

f?x??lg，

aaaa?M?lg?lg?lg??a?2?x2?2ax?2?a?1??02222x?1x?1?x?1??11由??0，得a2?6a?4?0?a?3?5,2?2,3?5。 a?2时，x??；a?2时，

2 ∴a?3?5,3?5。 （

3

22??????）∵

f?x0?1??f?x0??f?1??2x0?1??x0?1??2x0?x0?3?2x0?2(x0?1)?22x0?1??x0?1?，

又∵函数y?2图象与函数y??x的图象有交点，设交点的横坐标为a，

x??1

1

则2a?a?0?2x0?1??x0?1??0，其中x0?a?1。

x2∴f?x0?1??f?x0??f?1?，即f?x??2?x?M。

2．已知等差数列?an?中，公差d?0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3?45,a1?a4?14， （1）求数列?an?的通项公式； （2）通过bn?数列； （3）求f(n)?Sn构造一个新的数列?bn?，是否存在一个非零常数c，使?bn?也为等差n?cbn(n?N*)的最大值。

(n?2005)?bn?1 解：（1）∵等差数列?an?中，公差d?0，

?a2?a3?45?a2?a3?45?a2?5?????d?4?an?4n?3。 ∴?a?9a?a?14a?a?1434?1?3?21??2n?n??Sn?1?4n?3?1?12?? （2）Sn?，令c??，即得?2n?n??，bn?n??22?n?cn?c2?bn?2n，

数列?bn?为等差数列，∴存在一个非零常数c?? （

3

1，使?bn?也为等差数列。 2）

f(n)?bnn??(n?2005)?bn?1?n?2005??n?1?11?，

2005n??200622005?2006n ∵45?2005?即45?2005?

?2005?44?89?22005?7921?8020?0，

?2005?44， ∴n?45时，f?n?有最大值

459。 ?2050?46188603．已知数列?an?中，a1?1,且点P?an,an?1?n?N?在直线x?y?1?0上. （1）求数列?an?的通项公式；

??1

1

（2）若函数f(n)?的最小值； （3）设bn?123n?n?N,且n?2?,求函数f(n)?????n?a1n?a2n?a3n?an出g?n?的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

1,Sn表示数列?bn?的前项和。试问：是否存在关于n的整式g?n?，使得 anS1?S2?S3???Sn?1??Sn?1??g?n?对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写

解:（）1?点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，即an?1?an?1,且a1?1?数列?an?是以1为首项，1为公差的等差数列。?an?1?(n?1)?1?n(n?2),a1?1也满足?an?n.?3分（2）?f(n)?111111111????,f(n?1)????????，n?1n?22nn?2n?3n?42n2n?12n?2111111?f(n?1)?f(n)???????0,??6分2n?12n?2n?12n?22n?2n?17?f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)?。??8分12

（3）?bn?11111?Sn?1?????,?Sn?Sn?1?(n?2),?10分n23nn即nSn?(n?1)Sn?1?Sn?1?1,?(n?1)Sn?1?(n?2)Sn?2?Sn?2?1,?，S2?S1?S1?1，?nSn?S1?S1?S2???Sn?1?n?1,?S1?S2???Sn?1?nSn?n?(Sn?1)?n(n?2)?g(n)?n.?13分 故存在关于n的整式g(n)?n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立??14分

4．设函数g?x??x?1，函数h?x??1,x???3,a?，其中a为常数且a?0，令函数x?3f?x?为函数g?x?和h?x? 的积函数。

（1）求函数f?x?的表达式，并求其定义域； （2）当a?1时，求函数f?x?的值域； 4（3）是否存在自然数a，使得函数f?x?的值域恰为?,?？若存在，试写出所有满足条

32件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由。 解：（1）f?x???11???x?1，x??0,a??a?0?。 x?3 （2）∵a?1?1??3?2，∴函数f?x?的定义域为?0,?，令x?1?t，则x??t?1?，t??1,?， 4?4??2? ∴f?x??F?t??t?t2?2t?41， 4t??2t1

1

∵t?44?3??3?时，t??2??1,?，又t??1,?时，t?递减，∴F?t?单调递增，

tt?2??2??16??16???fx，即函数的值域为??3,13?。 313???? ∴F?t???,（3）假设存在这样的自然数a满足条件，令x?1?t，则

f?x??F?t??t?2t?2t?41， 4t??2t∵x??0,a??a?0?，则t?1.a?1，要满足值域为?,?，则要满足F?t?max?，

2?32?由于当且仅当t????11?1414有t??4中的等号成立，且此时F?t??恰为最大值， ?t?2时，

t2t∴2?1,a?1?a?1，

又F?t?在?1,2?上是增函数，在2,a?1上是减函数，∴F?????a?1??a?11?a?33?0?a?9，

综上，得 1?a?9 。

13x,x???2,2?,a为正常数。 2a?b（1）可以证明：定理“若a、b?R?，则”?ab（当且仅当a?b时取等号）

25．已知

f?x??a2x?推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

（2）若f?x??0在?0,2?上恒成立，且函数f?x?的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y?f?x?的单调性（无需证明）；

（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x?x1时，f?x?取得最大值。试构造一个定义在

D??xx??2,且x?4k?2,k?N?上的函数g?x?，使当x???2,2?时，g?x??f?x?，

当x?D时，g?x?取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列。 解：（1）若a、b、c?R?，则

a?b?c3。 ?abc（当且仅当a?b?c时取等号）

31

1

（2）f?x??a2x?成立， ∵又

3131?1?x?x?a2?x2??0在?0,2?上恒成立，即a2?x2在?0,2?上恒22?2?12x??0,2?，∴a2?2，即a?2， 2∵

?f?x??2?2?212??212??x??a?x???a?x??23??1??1?2a?2??2???? ??x2?a2?x2??a2?x2???????2??2??3???3?????∴

x2?a2?12x2，即

3x?6a3时，

fm263936?6?63??， ?a?1?a????a?ax??942226??6a??0,2?，∴a?0,6。 综上，得a?3又∵x????2,6 。

? 易知，f?x?是奇函数，∵x?值。

66a时，函数有最大值，∴x??a时，函数有最小33???6??666?a???a,2?故猜测：x???2,???时，f?x?单调递减；x???3a,3a?时，f?x?33??????单调递增。

（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。

如对x??4k?2,4k?2?,k?N，x?4k???2,2?，此时g?x??g?x?4k??f?x?4k?， 即 g?x??a2?x?4k??

226．已知函数f?x??ax?24?2b?bx，g?x???1??x?a?，?a,b?R?

1?x?4k?3,x??4k?2,4k?2?,k?N 。 22（1）当b?0时，若f?x?在?2,???上单调递增，求a的取值范围；

（2）求满足下列条件的所有实数对?a,b?：当a是整数时，存在x0，使得f?x0?是f?x?的最大值，g?x0?是g?x? 的最小值；

（3）对满足（2）的条件的一个实数对?a,b?，试构造一个定义在D??x|x??2，且

1

1

x?2k?2,k?N?上的函数h?x?，使当x???2,0?时，h?x??f?x?，当x?D时，h?x?取得最大值的自变量的值构成以x0为首项的等差数列。

解：（1）当b?0时，f?x??ax?4x，

2若a?0，f?x???4x，则f?x?在?2,???上单调递减，不符题意。

?0??a故a?0，要使f?x?在?2,???上单调递增，必须满足?4 ，∴a?1 。

?2??2a（2）若a?0，f?x???24?2b?bx，则f?x?无最大值，故a?0，∴f?x?为二

2次函数，

要使f?x?有最大值，必须满足??a?02?4?2b?b?0，即a?0且1?5?b?1?5，

此时，x?x0?4?2b?b2时，f?x?有最大值。

a4?2b?b2?a?Z，则

a又g?x?取最小值时，x?x0?a，依题意，有

a2?4?2b?b2?5??b?1?，

2∵a?0且1?5?b?1?5，∴0?a2?或b?3。

5?a?Z?，得a??1，此时b??1∴满足条件的实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?。

（3）当实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?时，f?x???x?2x

2依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。 如对x??2k?2,2k?，k?N,x?2k???2,0?，

此时，h?x??h?x?2k??f?x?2k????x?2k??2?x?2k?，

2故h?x????x?2k??2?x?2k?,x??2k?2,2k?,k?N。

2

7. 已知等差数列?an?的首项为p，公差为d(d?0).对于不同 的

1自然数n，直线x?an与x轴和指数函数f(x)?()x的图像分别交于点

2，记Bn的坐标为(an,bn)，直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2An与Bn（如图所示）

1

y B1 B2 B3 A1 A2 O A3 x 1

的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn?1Bn?1Bn的面积为sn. (1)求证数列?sn?是公比绝对值小于1的等比数列；

(2)设?an?的公差d?1，是否存在这样的正整数n，构成以bn,bn?1,bn?2为边长的三角形？并请说明理由；

(3)（理）设?an?的公差d(d?0)为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列?sn?各项的和s?2010？并请说明理由.

（文）设?an?的公差d?1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列?sn?各项的和

s?2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.

1p?(n?1)d解．（1）an?p?(n?1)d，bn?() ??2分

2sn?d1p?(n?1)d1d111[()?()p?nd]??()p?[()(n?1)d?()nd]， 2222222sn?1sn111()nd?()(n?1)d1?()d12?2=d2?()d，所以数列?sn?是等比数列且公

1122?1()(n?1)d?()nd22对于任意自然数n，

1比q?()d，因为d?0，所以q?1 4分

2（写成sn?d1a1?nd1111[()?()a1?(n?1)d]?d?(1?2d)?()a1?1?()nd，得公比q?()d也可） 2222221（2）an??1?(n?1)?n?2，bn?()n?2，对每个正整数n，bn?bn?1?bn?2 ??6分

2111以bn,bn?1,bn?2为边长能构成一个三角形，则bn?2?bn?1?bn，即()n?()n?1?()n?2，1+2>4，

222这是不可能的?9分

所以对每一个正整数n，以bn,bn?1,bn?2为边长不能构成三角形?10分 （3）（理）由（1）知，0?q?1，s1?所

以

s1d(2d?1)S??1?q2p?1(2d?1)d(1?2d)2p?1?2d ??11分

??14分 若

S?d(2d?1)2p?1(2d?1)?2010，则2?pd(2d?1)2?2010?(2d?1) ??16分

d(2d?1)两边取对数，知只要a1?p取值为小于log2的实数，就有S>2010??18分

2?2010?(2d?1)说明：如果分别给出a1与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。

1

1

（文）s1?322?p，q?3s31 ??11分 所以S?1?p?1 ??14分

1?q22如果存在p使得S?2p?1两边取对数得：p??log21340，

?2010，即2p?31 ??16分 ?40201340因此符合条件的p值存在，log21340?10.4，可取p= ?11等 ??18分 说明：通过具体的p值，验证S?

8．函数f(x)?解。

(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程0，

若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a= (2)f(x)=

32p?1?2010也可。

x(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个ax?bx1=x的解，所以=1无解或有解为

ax?bax?b1。 22x，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立， x?22m取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)

m?22x2(?4?x)又m= –4时，f(x)+f(–4–x)==??=4成立(充分性) ?x?2?4?x?2所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

x?22

)，设x+2=t，t≠0， x?2t?42281616442222

则|AP|=(t+1)+()=t+2t+2–+2=(t+2)+2(t–)+2=(t–)+2(t–tttttt442

)+10=( t–+1)+9， tt (3)|AP|=(x+3)+(

2

2

所以当t–

?1?17?5?174+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3

22t9.已知元素为实数的集合S满足下列条件：①1、0?S；②若a?S，则

1?S 1?a

?1?若?2,?2??S，求使元素个数最少的集合S；

?2?在上一小题求得的集合S中，任取3个不同元素a,b,c，求使abc??1的概率。

1

1

?3?（理）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜

测正确。 解 ?1?2?S?1111??1?S???S??2?S；

11?21???1?21?211131?2?S???S???S???2?S

1231???2?31?1?32113???使?2,?2??S的元素个数最少的集合S为?2,?1,,?2,,?

232???2?设a,b,c是S???2,?1,?113?,?2,,?中三个不同元素，且使abc??1，由于S中仅有2232?个负数，故只有如下两种可能：2???1??113??1,??2?????1?所相对的概率为232P?21 ?3C610?3?非空有限集S的元素个数是3的倍数 证明如下：

设a?S,则a?0,1且 a?S?11a?11?S???S??a?S1a?11?aa1?1?1?aa?*?

由于a?故 a?1?a2?a?1?0?a?1?，但a2?a?1?0无实数根 1?a1a?1?11a?1a?1?同理,?,?a??a,??S 1?a1?aaa?1?aa?在

若存

b?S，而

1a?1??b??a,,?1?aa??，则

1b?1??,?b,??S1?bb??且

1a?1??1b?1??a,,?b,,?????? ?1?aa??1?bb?（若?b,1b?1?1a?1???,,?中有元素??a,?，则利用前述的?*?式可知b?1?bb1?aa????1a?1??a,,??） ?1?aa?1

1

于是?a,1a?11b?1??,,b,,??S

1?bb??1?aa上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止?S的元素个数为3的倍

数。

10.已知二次函数f(x)?ax?bx(a、b为常数且a?0)满足条件：f(?x?5)=f(x?3)，且方程f(x)=x有等根。 (1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在实数m,n(m?n)，使f(x)的定义域和值域分别是?m,n?和?3m,3n??如果存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由。

21?b??112???a??解: (1)由条件易得?2a??2,∴f(x)??x?x??7分

2???(b?1)2?0??b?1? (2)假设存在这样的m、n满足条件,由于f(x)??1211x?x??(x?1)2? 22211

所以3n≤即n≤<1,故二次函数f (x)在区间[m,n]上是增函数, 从而有

26

?f(m)?3m?m??4,0???m?n?m??4,n?0 ??f(n)?3n?n??4,0

11．已知函数f(t)?at2?bt?14a(t?R,a?0)的最大值为正实数，集合

A?{x|x?a?0}， x集合B?{x|x2?b2}。

（1）求A和B； （2）定义A与B的差集：A?B?{x|x?A且x?B}。设a，b，x均为整数，且x?A。P(E)为x取自A?B的概率，P(F)为x取自A?B的概率，写出a与b的二组值，使P(E)?2，3P(F)?1。 3（3）若函数f(t)中，a,b是（2）中a较大的一组，试写出f(t)在区间?n???2?,n?上的8?最大值函数g(n)的表达式。

1

1

2（1）∵f(t)?at?bt?1?b4a14a(t?R)，配方得f(t)?a(t?b2)2a?b?14a，由

a?0得最大值

?0?b?1。

23 ∴A?{x|a?x?0}，B?{x|?b?x?b}。 （2）要使P(E)?，P(F)?1。可以使①A中有3个元素，A?B中有2个元素，A?B中有31个元素。则a??4,b?2。

②A中有6个元素，A?B中有4个元素，A?B中有2个元素。则a??7,b?3

1??4n2?2n?16,n????1（3）由（2）知f(t)??4t2?2t?1(t?[n?2,n])g(n)??,?82?n?016168?1?4n2?16,n?0??28

12．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0,都有函数值f(x0)?D,则称函数y?f(x)在D上封闭。

(1)若定义域D1?(0,1),判断下列函数中哪些在D1上封闭，

121x?x?1,f3(x)?2x?1,f4(x)?cosx. 225x?a(2)若定义域D2?(1,2),是否存在实数a使函数f(x)?在D2上封闭,若存在,求出

x?2且给出推理过程.f1(x)?2x?1,f2(x)??a的值，并给出证明，若不存在，说明理由。

12解：（1）∵f1(∵f2(x)=-(x+

12)=0?(0,1)，∴f(x)在D1上不封闭；(2?)

2

)+

98在(0,1)上是减函数，∴0＜f2(1)＜f2(x)＜f2(0)=1，

∴f2(x)?(0,1)?f2(x)在D1上封闭；(4?)

x

∵f3(x)=2-1在(0,1)上是增函数，∴0=f3(0)＜f3(x)＜f3(1)=1， ∴f3(x)?(0,1)?f3(x)在D1上封闭；(6?)

∵f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数，∴cos1=f4(1)＜f4(x)＜f4(0)=1， ∴f4(x)?(cos1,1)?(0,1)?f4(x)在D1上封闭；(8?)

10（2）f(x)=5-ax??2，假设f(x)在D2上封闭，对a+10讨论如下：

f(1)?1?a?2?a=2 (10?) 若a+10＞0,则f(x)在(1,2)上为增函数，故应有?????f(2)?2?a?2若a+10＝0，则f(x)=5，此与f(x)?(1,2)不合，(12?)

f(1)?2?a??1,无解,(14?) 若a+10＜0，则f(x)在(1,2)上为减函数，故应有?????f(2)?1?a??6 综上可得，a=2时f(x)在D2上封闭.

2?3n?2(n?N)，试求{an}最大项的值； 13．（1）已知数列{an}的通项公式：an?3n?11an?p（2）记bn?，且满足（1），若{(bn)3}成等比数列，求p的值；

an?2C?p,C1??1,C1?2，且p是满足（2）的正常数，试证：（3）（理）如果Cn?1?nCn?11

1

对于任意

自然数n，或者都满足C2n?1?2,C2n?2；或者都满足C2n?1?2,C2n?2。 （文）若{bn}是满足（2）的数列，且{(bn)}成等比数列，

试求满足不等式：?b1?b2?b3???(?1)n?bn?2004的自然数n的最小值。 解 （1）an?的值为4。

（2）欲使{(bn)3}成等比数列，只需{bn}成等比数列。

∵bn?an?pan?21132(3n?1)?43?1n?2?43?1n，∴an?2?43?1n?43?11?2，则an?4。即{an}的最大项

?2?p4?3n?2?p4Cn?2Cn?1 （3）（理）p?2，Cn?1?C2?2,?,Cn?2。

?0或4?0即可。，∴只需解得p?2或p??2。

?1?C1?1，∵C1??1，∴Cn??1。又C1?2，∴

n2?p42?p ∵

(C2n?2)(C2n?1?2)?(1?2)(C2n?1?2)C2n?1?1?0，∴

C2n?1?2,C2n?2；或

C2n?1?2,C2n?2。

n （文）∵p??2不合题意，∴p?2?bn?3，

据题意，

?3[1?(?3)n]1?(?3)?2004?(?3)n?1??4019，nmin?8。

14、已知数列?an?中，a1?1,a2n?qa2n?1,a2n?1?a2n?d（q,d?R） (1)若q?2,d??1，求a3,a4,并猜测a2006；

(2)若?a2n?1?成等比数列，?a2n?成等差数列，求q, d满足得条件；

(3)一个质点从原点出发，依次安向右，向上，向左，向下的方向交替运动，第n次运动的

位移是an，质点到达点Pn，设点P4n的横坐标为x4n，若d?0,limx4n?x??2，求q。 3解：(1) a3?1,a4?2,a2006?2

(2)a2n?1?qa2n?1?d, 当d＝0，显然成立；

当d?0，a1?1,a2n?1?1，则q?d?1；a2n?q?a2n?2?d? 当q?1，显然成立； 当q?1，只有an?q,则q?d?1

232n?3?q2n?1limx4n?(3)xn?1?q?q?q?……?qx??211??q? 31?q2

15．若函数f(x)对定义域中任一x均满足f(x)?f(2a?x)?2b，则函数y?f(x)的图像关于点(a,b)对称。

x2?mx?m（1）已知函数f(x)?的图像关于点(0,1)对称，求实数m的值；

x1

1

（2）已知函数g(x)在(??,0)?(0,??)上的图像关于点(0,1)对称，且当x?(0,??) 时，

g(x)?x2?ax?1，求函数g(x)在x?(??,0)上的解析式；

（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x?0及t?0，恒有g(x)?f(t)，求实数a的取值范围。

解：（1）由题设可得f(x)?f(?x)?2，解得m?1； （2）当x?0时，g(x)?2?g(?x)??x?ax?1； （3）由（1）得

2f(t)?1?tt?1(t?，0 )其最小值为f(1?)，3a2a2g(x)??x?ax?1??(x?)?1?，

242a2a当?0，即a?0时，g(x)max?1??3，得a?(?22,0)，

42① ②当

16. 已知函数f(x)?log1(x?1)，当点P(x0，y0)在y?f(x)的图像上移动时，

2ag(x)max?1?3，即a?0时，得a?0[,??)?0，

2，由①、②得a?(?22,??)。

点Q(x0?t?1在函数y?g(x)的图像上移动． ， y0（)t?R）2（1） 若点P坐标为（1，，点Q也在y?f(x)的图像上，求t的值； ?1）（2） 求函数y?g(x)的解析式；

（3） 当t?0时，试探求一个函数h(x)使得f(x)?g(x)?h(x)在限定定义域为[0， 1)时有最小值而没有最大值．

解：（1）当点P坐标为（1，，点Q的坐标为(1?t?1，?1） ?1)，????2分

2∵点Q也在y?f(x)的图像上，∴?1?log1(1?t?1)，即t?0．??5分

22（根据函数y?f(x)的单调性求得t?0，请相应给分）

??x?x0?t?1x0?2x?t?1（2）设Q(x，，即 ??8 y)在y?g(x)的图像上 则?2y?y0??y?y0?分

而P(x0，y0)在y?f(x)的图像上，∴y0?log1(x0?1) 代入得，

21

1

y?g(x)?log(2x?t)为所求．?11分

12xo?lg（3）或h()h(x)?log11?x；

22x?t123?x2 等． ??15分 如：当h(x)?log11?x22x?t2x?t时，

f(x)?g(x)?h(x)?log1(x?1)?log1(2x?t)?log11?x?log(1?x2)

2222x?t12∵1?x2在[0， 1)单调递减， ∴0?1?x2?1 故 log1(1?x2)?0，

2即f(x)?g(x)?h(x)有最小值0，但没有最大值．??18分 （其他答案请相应给分）

（参考思路）在探求h(x)时，要考虑以下因素：①h(x)在[0， 1)上必须有意义（否则不能参加与f(x)?g(x)的和运算）；②由于f(x)和g(x)都是以1为底的对数，所以构造的函数

2这样与f(x)和g(x)进行的运算转化为真数的乘积运算；③以h(x)可以是以1为底的对数，

21为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起2见，可以考虑通过乘积消去g(x)；⑤乘积的结果可以是x的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线x?1的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二

2次函数的图像与x轴已有了一个公共点(?1 0)，，故对称轴又应该是y轴或在y轴的右侧（否则该二次函数的值在[0，，即若抛物线与x轴的另一个公共点 1)上的值不能恒为正数）是(a， 0)，则1?a?2，且抛物线开口向下．

17．已知函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，当x?[?2,0)时，f(x)?tx?常数）。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t?[2,6]时，求f(x)在??2,0?上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在

13x（t为2?0,2?上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t?9时，证明：函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。

1

1

11(?x)3??tx?x3 221 ∵函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，即f??x???f?x?, ∴?f?x???tx?x3，

211即 f(x)?tx?x3，又可知 f?0??0, ∴函数f(x)的解析式为 f(x)?tx?x3 ，

22解：（1）x??0,2?时，?x???2,0?， 则 f(?x)?t(?x)?x???2,2?

（2）f?x??x?t???112?x?，∵t?[2,6]，x???2,0?，∴t?x2?0 2?2∵ ?f?x??211?22x?t?x2?t?x2??1?22?x2?t?x2???3??2?????38t?? 27???3∴x2?t?2t6t6t2612(????2,0?)时，fmin??tt 。 x，即 x2?,x??33392??6t??。 3?任

取

猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间为?0,（

3

）

t?9时，

?2?x1?x2?2，∵

?122?f?x1??f?x2???x1?x2??t?x1?x1x2?x2??0

?2?∴f?x?在??2,2?上单调递增，即f?x???f??2?,f?2??，即f?x???4?2t,2t?4? ∵t?9，∴4?2t??14,2t?4?14，∴14??4?2t,2t?4?

∴当t?9时，函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。

18．对数列?an?，规定??an?为数列?an?的一阶差分数列，其中?an?an?1?an(n?N)。 对自然数k，规定

????a?kn为

?an?的k阶差分数列，其中

?kan??k?1an?1??k?1an??(?k?1an)。

22 （1）已知数列?an?的通项公式an?n?n(n?N),，试判断??an?，?an是否为等

??差或等比数列，为什么？

2n （2）若数列?an?首项a1?1，且满足?an??an?1?an??2(n?N)，求数列?an?的

1

1

通项公式。

12n （3）对（2）中数列?an?，是否存在等差数列?bn?，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成立？若存在，求数列?bn?的通项公式；若不存在，则请说明理由。

解：（1）?an?an?1?an??n?1???n?1??n?n?2n?2，∴??an?是首项为4，

22??公差为2的等差数列。

公差为0的等差数列；也是首项为?2an?2?n?1??2??2n?2??2∴?2an是首项为2，

2，公比为1的等比数列。

（2）?2an??an?1?an??2n，即?an?1??an??an?1?an??2n，即?an?an?2n，∴an?1?2an?2n

∵a1?1，∴a2?4?2?2，a3?12?3?22，a4?32?4?2，猜想：an?n?2n?1 证明：ⅰ）当n?1时，a1?1?1?2； ⅱ）假设n?k时，ak?k?2k?1

013??n?k?1时，ak?1?2ak?2k?k?2k?2k??k?1??2?k?1??1 结论也成立

∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an?n?2n?1

12n12n?b2Cn???bnCn?an，即 b1Cn?b2Cn???bnCn?n?2n?1 （3）b1Cn123n012n?1n?1?2Cn?3Cn???nCn?nCn?C?C???C?n?2∵1Cn ?1n?1n?1n?112n?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成∴存在等差数列?bn?，bn?n，使得b1Cn??立。

yx219．如图，过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，

ab若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．

A x22?y?1的“左特征点”M的坐标； (1)求椭圆5 (2)试根据(1)中的结论猜测： F M B y2x2椭圆2?2?1(a?b?0)的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论． ab

2y O 1

1

x2解：设M(m，0)为椭圆?y2?1的左特征点，椭圆的左焦点为F(?2,0)，

5 设直线AB的方程为x?ky?2(k?0)

x2 将它代入?y2?1得：(ky?2)2?5y2?5，即(k2?5)y2?4ky?1?0

54k1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1?y2?2，y1y2??2

k?5k?5 ∵∠AMB被x轴平分，∴kAM?kBM?0

y1y2即，??y1(x2?m)?y2(x1?m)?0??0x1?mx2?my1(ky2?2)?y2(ky1?2)?(y1?y2)m?0

14k∴2ky1y2?(y1?y2)(m?2)?0， 于是2k?(?2)?2(m?2)?0

k?5k?555 ∵k?0，∴1?2(m?2)?0，即m?? ∴M(?，0)

22x2a252 (2)解：对于椭圆?y?1，a?5，b = 1，c = 2，∴??．

5c2y2x2 于是猜想：椭圆2?2?1的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点．

ab证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为C、D

AFBFAFAC?? 据椭圆第二定义：，即 ∵AC//FM//BD，∴ACBDBFBDAFBF?CMDM

于是

ACBD?CMDM，即

ACCM?BDDM

∴tan?AMC?tan?BMD，又?AMC与?BMD均为锐角，∴?AMC??BMD，∴

?AMF??BMF

∴MF为∠AMB的平分线，故M为椭圆的“左特征点”．

20．数列{an}中，a1?3a?416,当n≥2时，an?n?1.

7?an?13

（1）求a8,a9,a10的值；

（2）是否存在自然数m,当n>m时，an<2;当n≤m时，an>2?若存在，求出m的值；若不存在，

说明理由。

（3）当n≥10时，证明解（1）a8?an?1?an?1?an. 23a7?43a?43a?44?12, a9?8??8, a10?9??.

7?a77?a87?a931

1

(2)an-2=

3an?1?45(an?1?2)?2?,∴当an-2＜2时，an＜2, 又a9=-8＜2,

7?an?17?an?1故当n＞8时an＜2。 由an=

3an?1?47a?45(an?2)得an-1=n, an-1-2=.∴当an＞2时，an-1＞2。

7?an?13?an3?an又a8=12＞2，∴当n≤8时，an＞2。

综上所述，满足条件的m存在，且m=8. (3)an-1+an+1-2an

=(

7an?43?an-an)+(

3an?4?an7?an)=

?(an?2)2(an?2)22(an?2)3??.

an?37?an(7?an)(an?3)a10=-

4∈（-3，2）。 3下面证明，当n≥10时，-3＜an＜2，其中当n≥10时，an＜2已证，只需证当n≥10时， an＞-3。 an+3=

3an?1?425+3=

7?an?17?an?125＞0，即an＞-3.∴当n≥10时，-3＜an＜2。

7?an?1当an-1∈（-3，2）时，

a?an?12(an?2)3因此，当n≥10时，an-1+an+1-2an?＜0，即n?1＜an.

(7?an)(an?3)2

21．设数列｛an｝的首项为1，前n项和为Sn，且对任意大于或等于2的自然数n，等式3tSn－(2t+3)Sn-1=3t成立。

(1）若t为正常数，证明数列{an}成等比数列，并求数列的公比q及前n项和；

3

（2）对（1）中求得的q，若t为变量，令f(t)=q,设函数g(t)=3tf(t),且设t∈R，求g(t)的单调区间和极值；

（3）研究g(t)－k=0的解的个数. 2t+3a22t+3解：(1)由题可知，当n＝2时，3tS2-(2t+3)S1=3ta2=,又a1=1,所以=,

3ta13t当n≥2时。由3tSn-(2t+3)Sn-1=3t

an2t+3

与3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t两式相减可得3tan-(2t+3)an-1=0=, an-13t由上可知，对于自然数n都有若t=3时，q=1,此时Sn=n

an2t+32t+3=式子成立，故｛an｝成等比数列，且公比q= an-13t3t

1

1

2t+3n1(1- () )nn

3t(3t)-(2t+3)

若t>0,t≠3时，则Sn= = . n2t+3(3t)-1(t-3)1-3t

2t+332t+3322

(2)由题可知：q=f(t)=,?g(t)=3t?g(t)=2t+3t,?g'(t)=6t+6t=6t(t+1)；所

3t3t以

t g(t) g(t) （-∞，1） －1 （－1,0） 0 （0，＋∞） + 增 1 - 减 0 + 增 当t=-1时，g(t)有极大值1 当t=0时，g(t)有极小值0 (3)画出y=g(t)及y=k的图象可得：

当k>1或k<0时，有一解当k=1或k=0时，有二解当0

22、已知各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,且2Sn?an(an?1)(n?N*) （1）求数列?an?的通项； （

2

）

是

否

存

在

正

整

数

p,q，使不等式

1a1?1a2?????1an?2(pn?q?1)(n?N*)对所有正整数n均成立，并证明你

的结论。

1 2Sn?an(an?1)????○2 解：（1）2Sn?1?an?1(an?1?1)?????○

22(1)?(2)得2an?1?an?1?an?1?an?an,整理得(an?1?an)(an?1?an?1)?0??（2分）

?an?1?an?0?an?1?an?1??（4分）又?2S1?a1(a1?1)?a1?1?an?n??

（6分）

(2)假设存在正整数p,q使该不等式对所有正整数n均成立,则取n?1,有19?2(p?q?1)即p?q?4a1?p,q?N*?p?q?1???（8分） 下面用数学归纳证明不等式

1

1

111?????2(n?1?1)成立 (1)当n?1时,1?2(2?1)成立a1a2an(2)假设当n?k时,不等式成立,即111?????2(k?1?1)成立12k111111将该不等式两端同时加上,不等式仍然成立,即??????2(k?1?1)?k?112kk?1k?1欲证上面不等式成立只需证2(k?1?1)??2(k?2?1)成立即可。k?11欲证该式成立,只需证?2(k?2?k?1)成立，k?11即2k?1??2k?1?k?2?k?1?k?1?k?2k?2?k?1

该不等式显然成立 ?当n=k+1时不等式也成立。 综上（1）、（2）对任意n?N?命题都成立。

23．已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l:x?1,P为该平面上一动点，作PQ?l，垂足为Q，且（PC?2PQ)?(PC?2PQ)?0. （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

（2）设直线l:y?kx?1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在， 说明理由. 解：（1）设P的坐标为(x,y)，由(PC?2PQ)?(PC?2PQ)?0得

|PC|2?4|PQ|2?0（2分） ∴（x?4)2?y2?4(x?1)2?0,

x2y2x2y2化简得??1. ∴P点在双曲线上，其方程为??1.

412412（2）设A、B点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

由

?y?kx?1?2?xy2?1???412 得

(3?k2)x2?2kx?13?0,?x1?x2?2k13， ,xx??123?k23?k222∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即4k?4(3?k)(?13)?0,解得?13?k?13.221

1

（9分）

∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴kAD?kBD??1，即

y1?2y2?2???1， x1x2∴(y1?2)(y2?2)?x1x2?0?(kx1?3)(kx2?3)?x1x2?0,(11分)

132k)?3k??9?0.(12分) 223?k3?k14解得k2?7,?k??14?(?13,13)，故存在k值??，所求k值为?.

48422∴(k2?1)x1x2?3k(x1?x2)?9?0?(k2?1)(?

24．已知数列an}的前n项和Sn满足Sn?1?kSn?2,又a1?2,a2?1. （1）求k的值；

（2）求Sn；

（3）是否存在正整数m,n,使

说明理由

解

：

（

1

）

Sn?m1?成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，

Sn?1?m2?S2?kS1?21??2分 2?a1?a2?ka1?2 又

a1?2,a2?1,2?1?2k?2?k?（2）由（I）知Sn?1?11Sn?2 ① 当n?2时，Sn?Sn?1?2 ② ①－②，得22an?1?1an(n?2)?4分 2又a2?1a1，易见an?0(n?N*)2?an?11?(n?N*) an212?[1?(?)n]112于是{an}是等比数列，公比为，所以Sn??4(1?n)??6分

1221?214(1?n)?mS?m112?，即? 整理得2?2n(4?m)?6??8分 （3）不等式n1Sn?1?m224(1?n?1)?m2n

假设存在正整数m,n使得上面的不等式成立，由于2为偶数，4?m为整数，则只能

是2(4?m)?4

n1

1

?2n?2,?2n?4,??或??10分 ?4?m?2;?4?m?1因此，存在正整数m?2,n?1;或m?3,n?2,使Sn?m1??12

Sn?1?m2

25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M(1,?3)、N(5,1)，若点C满足

2OC?tOM?(1?t)ON（t?R），点C的轨迹与抛物线：y?4x交于A、B两点.

（1）求证：OA⊥OB；

（2）在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P直线交抛物线于D、E两点，并以该弦

DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 解：1）解：由OC?tOM?(1?t)ON（t?R）知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y?3?1?(?3)?(x?1)即y?x?4?.2分 4?y?x?4?(x?4)2?4x?x2?12x?16?0 ∴x1x2?16x1?x2?12 由?2?y?4x∴yy?(x1?4)(x2?4)?x1x2?4(x1?x2)?16??16∴x1x2?y1y2?0故OA⊥

OB. ??6分

2）解：存在点P(4,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 ????7分

故设弦所在的直线方程为：x?ky?4代入y?x得y?4ky?16?0 ∴y1?y2?4ky1y2??16kOA?kOB?22y1y2yy1616??12?22????1 x1x2y1y2?16y1y244∴OA?OB故以AB为直径的圆都过原点 ??..10分 设弦AB的中点为M(x,y)则x?11(x1?x2)y?(y1?y2) 22x1?x2?ky1?4?ky2?4?k(y1?y2)?8?k?(4k)?8?4k2?8∴弦AB的中点M的轨迹方程为：

?x?2k2?42消去k得y?2x?8. ???14分 ??y?2k26．设函数f(x)?ex?m?x,其中m?R.

1

1

（1）求函数f(x)的最值；

（2）给出定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上连续，并且有f(a)?f(b)?0，那么，函数y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在x0?(a,b),使得f(x0)?0.

运用上述定理判断，当m?1时，函数f(x)在区间(m,2m)内是否存在零点.

x?m解：（1）?f(x)在(??,??)上连续,f?(x)?e?1, 令f?(x)?0,得x?m.???2

分

当x?(??,m)时,ex?m?1,f?(x)?0;当x?(m,??)时,ex?m?1,f?(x)?0.(1)所以,当x?m时,f(x)取极小值也是最小值.?f(x)min?f(m)?1?m;由（1）知f（x）无最大值.???6分 （2）函数f（x）在[m，2m]上连续.

而f(2m)?em?2m,令g(m)?em?2m,则g?(m)?em?2,?m?1,?g?(m)?e?2?0,

?g(m)在(1,??)上递增.??8分

由

g(1)?e?2?0得g(m)?g(1)?0,即f(2m)?0,??10分

又f(m)?1?m?0,?f(m)?f(2m)?0,根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点. ?12分

27．已知函数f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3???anxn(n?N?), 且y?f(x)

的图象经过点(1, n), 数列{an}为等差数列. (1) 求数列{an}的通项公式 (2) 当n为奇数时, 设g(x)?21[f(x)?f(?x)], 问: 是否存在自然数m和M, 使得不2等式m?g()?M恒成立? 若存在, 求出M?m的最小值; 若不存在, 请说明理由.

2解: (1)由题意得f(1)?n,即a0?a1?a2???an?n. 令n?1, 则a0?a1?1,令

122n?2,

22则a0?a1?a2?2,a2?4?(a0?a1)?3.令n?3, 则a0?a1?a2?a3?3, a3?9?(a0?a1?a2)?5.??(3分)

设等差数列{an}的公差为d, 则d?a3?a2?2,a1?a2?d?1,a0?0,??(5分) ∴an?1?(n?1)?2?2n?1.??(6分)

23n(2)由(1)知: f(x)?a1x?a2x?a3x???anx. n为奇数时,

1

1

f(?x)??a1x?a2x2?a3x3???an?1xn?1?anxn.??(7分)

11∴g(x)?[f(x)?f(?x)]?a1x?a3x3?a5x5???an?2xn?2?anxn?g()

2211111?1??5?()3?9?()5???(2n?5)?()n?2?(2n?1)?()n.??①

22222111111?g()?1?()3?5?()5???(2n?5)?()n?(2n?1)?()n?2,??②(9分) 4222223111111由①－②得: ?g()?1??4[()3?()5???()n]?(2n?1)?()n?2,

4222222114131n21∴g()???()?()n()n.??(10分)

2992322111设Cn?n()n, ∵Cn?1?Cn?(1?n)?()n?0,(n?N?),

32321311∴Cn随n的增加而减小.又?()n随n的增大而减小, ∴g()为n的增函数. ??(12

922分) 当

n?1时,

11g()?22,而

114131n2114g()???()?()n()n?,2992329∴

1114?g()?.??(13分) 2291由此易知: 使m?g()?M恒成立的m的最大值为0,

2M的最小值为2, M－m的最小值为2. ??(14分)

28．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn＝

1*

（n∈N），Sn＝b1＋b2＋?＋bn，是否存在最大的整数t，使得任意

n(an?3)的n均有Sn＞

t总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由． 362

解：（Ⅰ）由题意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）， ??2 分

2

整理得2a1d＝d．

*

∵a1＝1，解得（d＝0舍），d＝2． ???4 分 ∴an＝2n－1（n∈N）． ??6 分

n1111111nbn???(?),?sn??bi?(1?)?（Ⅱ），?

n(an?3)2n(n?1)2nn?12n?12(n?1)i?110 分

假设存在整数t满足Sn＞

tn?1n总成立. 又Sn+1－Sn＝－＝

2(n?2)2(n?1)361＞0，

2(n?2)(n?1)1

1

∴数列{Sn}是单调递增的． ???12 分 ∴S1＝

t11为Sn的最小值，故＜，即4364t＜9．

又∵t∈N，∴适合条件的t的最大值为8． ??? 14 分

29．已知数列{an}满足：a1?2，a2?3，2an?1?3an?an?1(n≥2)． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求使不等式

*

an?m2＜成立的所有正整数m、n的值．

an?1?m3解 （1）由2 an+1 = 3an－an－1（n≥2），得 2（an+1－an）= an－an－1，

11，因此数列{ an－an－1 }是以a2－a1 = 1为首项，为公比的等比数列，

an?an?1221∴an?an?1?()n?2，????4分

2∴

an?1?an?于是 an =（an－an－1）+（an－1－an－2）+ ? +（a2－a1）+ a1

11?()n?141112 =()n?2?()n?3????1?a1=?2?4?n． ???6分

122221?244?n?ma?m222?，得 ?， （2）由不等式n4an?1?m334?n?1?m2(4?m)?2n?42(4?m)?2n?8??0，即 ?0，?? 8分 ∴

(4?m)?2n?233[(4?m)?2n?2]所以 2＜（4－m）· 2＜8． ∵ 2为正偶数，4－m为整数，

n n

∴ （4－m）· 2= 4，或 （4－m）· 2= 6，

n

n

?2n?2,?2n?4,?2n?2,?2n?6,∴ ? 或 ? 或 ? 或 ?

4?m?2,4?m?1,4?m?3,4?m?1.?????n?log26,?n?1,?n?2,?n?1,解得 ? 或 ? 或 ? 或 ?

?m?3.?m?2,?m?1,?m?3,经检验使不等式

an?m2?成立的所有正整数m、n的值为

an?1?m3（m，n）=（1，1）或（2，1）或（3，2）．??12分

1(3an?an?1)， 21723?1171524?1?∴ a3?(3?3?2)??，a4?(3??3)?， 222222425n1157312?12?14a5?(4??)??a??4?，??，于是 ． n3n?2n2428222说明 问题（1）的归纳做法是：由已知可得an?1?

1

1

30．已知圆M:(x?5)2?y2?36,定点N(5,0),点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，

且满足NP?2NQ,GQ?NP?0. （1）求点G的轨迹C的方程；

（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设OS?OA?OB, 是否存在这样的

直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不

存在，试说明理由.

NP?2NQ??解：（1）??Q为PN的中点且GQ⊥PN?GQ为PN的中垂线?|PG|=|GN|

GQ?PN?0?? ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a?3，半

x2y2焦距c?5，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是??1

94 （2）因为OS?OA?OB，所以四边形OASB为平行四边形

若存在l使得|OS|=|AB|，则四边形OASB为矩形?OA?OB?0 ?x?2?x?2?若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由? 得??x2y225?1?y????4?93?

?OA?OB?16?0,与OA?OB?0矛盾，故l的斜率存在. 9设l的方程为y?k(x?2),A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?k(x?2)?由?x2y2?(9k2?4)x2?36k2x?36(k2?1)?0

?1??4?9

36k236(k2?1)?x1?x2?2,x1x2? ① 29k?49k?420k2y1y2?[k(x1?2)][k(x2?2)]?k[x1x2?2(x1?x2)?4]??2 ②

9k?42

把①、②代入x1x2?y1y2?0得k??3 2∴存在直线l:3x?2y?6?0或3x?2y?6?0使得四边形OASB的对角线相等.

1

1

731. 已知抛物线c:y?x?4x?，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M

22的法线。

⑴若C在点M的法线的斜率为?1，求点M的坐标（x0,y0）； 2⑵设

p(?2,a)为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？

若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。

解（1)函数y?7x2?4x?的导数y'?2x?4上点(x0,y0)处切线的斜率k0?2x0?4，因为过

2111??(2x?4)??1x??1,y?点(x0,y0)的法线斜率为，所以，解得0，故点M的坐标00222为(?1,1)。 2（2）设M(x0,y0)为C上一点，

11M(?2,?)M(?2,?)的法线方程为x??2①若0，则C上点处的切线斜率k?0，过点

22x??2，此法线过点p(?2,a)；

②若x0??2，则过点M(x0,y0)的法线方程为：y?y0??1(x?x0)?? ①

2x0?4若法线过p(?2,a)，则a?y0??1(?2?x0)，即 (x0?2)2?a?? ②

2x0?42a?1若a?0，则x0??2?a，从而y0?，将上式代入①，

2化简得：x?2若a?0与x0ay?2?2aa?0,x?2ay?2?2aa?0，

??2矛盾，若a?0，则②式无解。

2a?12a?11),(?2?a,)及(?2,?)， 综上，当a?0时，在C上有三点(?2?a,2221

1

在这三点的法线过

p(?2,a)，其方程分别是：x?2ay?2?2aa?0,x?2ay?2?2aa?0,x??2。

当a?0时，在C上有一点(?2,?

32．已知函数f(x)?ln(x?)?1)，在这点的法线过点p(?2,a)，其方程为：x??2。 2322,g(x)?lnx. x1x?m有实数根，求实数m的取值集合； 2 （1）求函数f(x)是单调区间； （2）如果关于x的方程g(x)? （3）是否存在正数k，使得关于x的方程f(x)?kg(x)有两个不相等的实数根？如果

存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.

3,0)?(0,??). 212(x?1)(x?3)对f(x)求导得f?(x)? ?（2分） ?2?3x3x?x2(x?)223由 f?(x)?0，得??x??1或x?32解：（1）函数f(x)的定义域是(? 由

f?(x)?0，得?1?x?0或0?x?3.

因此 (?3（－1，0）和（0，3）是函数f(x),?1)和（3，??)是函数f(x)的增区间；

2的减区间 ??（5分）

111x?m?lnx?x?m?m?lnx?x. 2221所以实数m的取值范围就是函数?(x)?lnx?x的值域 ?（6分）

211对?(x)求导得??(x)??.x2（2）[解法一]：因为g(x)?令

??(x)?0，得x?2，并且当x?2时，??(x)?0;当0?x?2时，??(x)?0

∴当x=2时?(x)取得最大值，且?(x)max??(2)?ln2?1. 又当x无限趋近于0时，lnx无限趋近于??,?进而有?(x)?lnx?1x无限趋近于0， 21x无限趋近于－∞. 21因此函数?(x)?lnx?x的值域是 (??,ln2?1] 即实数m的取值范围是

21

1

(??,ln2?1]?（9分）

11x?m有实数根等价于直线g(x)?x?m与曲线y=lnx有221公共点，并且当直线g(x)?x?m与曲线y=lnx相切时，m取得最大值. ??（6分）

21设直线y?x?t与曲线y?lnx相切，切点为T(x0,y0).则对y?lnx求导得

2?11?2?x0?1? 解得 y??，根据相切关系得?y0?lnx0x?1?y0?x0?t?2?[解法二]：方程g(x)?x0?2,y0?ln2，进而t?ln2?1.

所以m的最大值是ln2?1。而且易知当m?ln2?1时，直线y?总有公共点。

因此实数m的取值集合是(??,ln2?1].?（9分）

（3）结论：这样的正数k不存在。?（10分）

下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程

1x?m与曲线y=lnx2f(x)?kg(x)有两个

x1和x2，则

① ??（11分）

32?ln(x?)??klnx1,1?2x?f(x1)?kg(x1)?1????f(x2)?kg(x2)?ln(x?3)?2?klnx.22?2x2?根据对数函数定义域知x1和x2都是正数。

②又由（1）可知，当 x?0时，f(x)min?f(x)?ln(3?)?∴f(x1)=ln(x1?)?322?0 332232,f(x2)?ln(x2?)??0. x1?02x2再由k>0，可得g(x1)?lnx1?0,g(x2)?lnx2?0?x1?1,x2?1. 由于 x1?x2,所以不妨设 1?x1?x2

3232ln(x1?)?ln(x2?)?2x12x2?由①和②可得

lnx1lnx21

1

3232ln(x1?)??lnx1ln(x2?)??lnx22x12x2?利用比例性质得

lnx1lnx2ln(1?即

3232)?ln(1?)?2x1x12x2x2?.(*) ?（13分）

lnx1lnx2由于lnx是区间(1,??)上的恒正增函数，且 1?x1?x2,?又由于 ln(1?lnx1?1. lnx232)?是区间(1,??)上的恒正减函数，且 1?x1?x2. ∴2xx3)?2x13ln(1?)?2x2ln(1?2x1?1. 2x2ln(1?23232ln(1?)?ln(1?)?x12x1x12x2x2?? 2lnx1lnx2x23)?lnx12x1?∴

3lnx2ln(1?)?2x2这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在 ?（14分）

33．数列?an?，a1?1,an?1?2an?n2?3n(n?N?)

（1）是否存在常数?、?，使得数列an??n2??n是等比数列，若存在，求出?、?的值，若不存在，说明理由。 （2）设bn?1，San?n?2n?1n???b1?b2?b3???bn，证明：当n?2时，

6n5?Sn?.

(n?1)(2n?1)3⑴解:设 an?1?2an?n2?3n可化为an?1??(n?1)2??(n?1)?2(an??n2??n)， 即an?1?2an??n2?(??2?)n???? ?(2分)

????1????1?解得? 故???2??3 ??(4分)

??1???????0?222∴an?1?2an?n?3n可化为an?1?(n?1)?(n?1)?2(an?n?n)?(5分)

又a1?12?1?0???(6分) 故存在???1,??1使得数列an??n2??n?是等比数列?(7分)

?22n?1⑵证明：由⑴得 an?n?n?(a1?1?1)?2 ∴an?2n?1?n2?n，

故 bn?∵ bn?11? ? (8分)

an?n?2n?1n214422 ? (9分) ????222n4n4n?12n?12n?11

1

∴n?2时,Sn?b1?b2?b3???bn?1?(?)?(?)???(2325252722?) 2n?12n?1225?1??? ?（11分）

32n?13现证Sn?6n(n?1)(2n?1)(n?2).

当n?2时Sn?b1?b2?1?6n1245415??,?， ?,而(n?1)(2n?1)3?554544故n?2时不等式成立 ??（12分）

1111当n?3时,由bn?2?得 ??n(n?1)nn?1n1111111Sn?b1?b2?b3???bn?(1?)?(?)?(?)???(?)

22334nn?11n6，且由2n?1?6， ?1??得1?n?1n?12n?1∴Sn?

34．已知函数f(x)?x2?(a?3)x?a2?3a（a为常数）.

（1）如果对任意x?[1,2],f(x)?a2恒成立，求实数a的取值范围；

（2）设实数p,q,r满足：p,q,r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f(x)?0

的两实根，判断①p?q?r，②p2?q2?r2，③p3?q3?r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g(a)，并求g(a)的最小值； （3）对于（2）中的g(a)，设H(a)??[g(a)?27]，数列{an}满足an?1?H(an)(n?N*)，

且a1?(0,1)，试判断an?1与an的大小，并证明.

解：（1）?f(x)?a2?x2?(a?3)x?3a?0?(x?3)(x?a)?0对x?[1,2]恒成立， 又?x?3?0恒成立，?a??x,又?x?[?2,?1]，?x?a?0对x?[1,2]恒成立，?a??2. （2）由??(a?3)2?4(a2?3a)?0得：?1?a?3，不妨设a?p，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：

①

n6n ?? （14分） ?n?1(n?1)(2n?1)16p?q?r?3,qr?a2?3a,?②

p2?q2?r2?a2?(q?r)2?2pr?a2?(3?a)2?2(a2?3a)?9

③而p3?q3?r3?a3?(q3?r3)?a3?(q?r)[q2?qr?r2]?3a3?9a2?27. 设g(a)?3a3?9a2?27，求导得：g(a)?9a2?18a?9a(a?2)

1

1

当a?[2,3]时，g(a)?0,g(a)递增；当a?[0,2]时，g(a)?0,g(a)递减； 当a?[?1,0]时，g(a)递增，?g(a)在[?1,3]上的最小值为?0g,a(min{g(?1),g(2)}?min{15,15}?15

1631如果a?(0,1)，则H?(a)?3a?a2?3a(1?a)?0?H(a)在(0,1)为递增函数，

221?H(a)?(H(0),H(1))?(0,1),?an?1?H(an)??(3an3?9an2)6（3）H(a)??[g(a)?27]??(3a3?9a2),

16?a1?(0,1)?a2?(0,1)???an?(0,1)??

又?an?1?an??an3?an2?an??an(an?2)(an?1)?0?an?1?an.

3333235．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N，都有a1，记?a2?a3???an?Sn+

123212Sn为数列{an}的前n项和.

2 （1）求证：an=2Sn－an； （2）求数列{an}的通项公式；

（3）若bn?3n?(?1)n?1??2n（?为非零常数，n∈N），问是否存在整数?，使得对

+

a任意 n∈N，都有bn+1>bn.

解：（1）在已知式中，当n=1时，a1?a1 ∵a1>0 ∴a1=1??1分

3333233332?a2?a3???an?Sn?a2?a3???an 当n≥2时，a1 ① a1?1?Sn?1

+

32②

3?an(2a1?2a2???2an?1?an)??3分 ①－②得，an222 ∵an>0 ∴an=2a1+2a2+?+2an－1+an， 即an=2Sn－an ∵a1=1适合上式 ∴an=2Sn

－an(n∈N+)??5分

22 （2）由（1）知an=2Sn－an(∈N+) ③ 当n≥2时， an?1=2Sn－1－an－1 ④ 22 ③－④得an－an?1=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1

∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1??8分 ∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可

得an=n?9分 （3）∵an?n?bn?3n?(?1)n?1??2an?3n?(?1)n?1??2n

?bn?1?bn?[3n?1?(?1)n??2n?1]?[3n?(?1)n?1??2n]?2?3n?3?(?1)n?1?2n?0

∴(?1)n?1???()n?1 ⑤?11分

321

1

当n=2k－1，k=1，2，3，??时，⑤式即为??()2k?2 ⑥ 依题意，⑥式对k=1，2，3??都成立，∴λ<1??????12分

323233依题意，⑦式对k=1，2，3，??都成立，∴?????13分∴????1,又??0

22当n=2k，k=1，2，3，?时，⑤式即为???()2k?1 ⑦

∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn

36．设关于x的方程x2?mx?1?0有两个实根?、?，且???.定义函数f(x)?（1）求?f(?)??f(?)的值；

（2）判断f(x)在区间(?,?)上的单调性，并加以证明； （3）若?,?为正实数，证明不等式：|f(2x?m. 2x?1??????????)?f()|?|???|.

???????????m（1）解：∵?,?是方程x2?mx?1?0的两个实根 ∴?

?????1?2??(???)??? ∴f(?)?2?2?m???1 同理f(?)?1 ∴2?(???)????1?????f(?)??f(?)?2 ?3分

2(x2?1)?(2x?m)?2x2(x2?mx?1)2x?m??（2）∵f(x)?2 ∴f?(x)? ?4分

(x2?1)2(x2?1)2x?1 当x?(?,?)时，x?mx?1?(x??)(x??)?0 ?5分 而f?(x)?0

∴f(x)在(?,?)上为增函数?7分

2??????(???)??(???)??????????0

???????????????(???)??(???)?????????????9分 ?????0 ∴??????????????????? 由（2）可知f(??)f(??)f ( ) 同理可得

????????f(?)?f()?f(?) ?10分

?????????????)?f()?f(?)?f(?) ∴f(?)?f(?)?f(???????????????? ∴f()?f()?f(?)?f(?) ?12分

??????（3）∵?,??R?且??? ∴ 又

由

（

1

）

知

f(?)?1,f(?)?1,????1?? ∴

1

1

???f(?)?f(?)?|1?1|??|???|

???? 所以 |f(

37. 已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn?2n(1?n)。

①求a1；

②求证：数列{an}是等比数列；

③是否存在常数a，使得?Sn?1?a???Sn?2?a??Sn?a?对n?N?都成立？ 若存在，求出a，若不存在，说明理由。 解、①a1?1；③a?

38．已知集合M?{f(x)|f(x)?f(x?2)?f(x?1),x?R}，g(x)?sin （1）判断g(x)与M的关系，并说明理由；

（2）M中的元素是否都是周期函数，证明你的结论； （3）M中的元素是否都是奇函数，证明你的结论。 解（1）∵g(x)?g(x?2)?sin=sin2??????????)?f()|?|???|.

??????4 3?x3。

?x3?sin(?x3?2???)?2sin(x?1)cos 333?3(x?1)?g(x?1) ∴g(x)?M??6分

（2）因g(x)是周期为6的周期函数，猜测f(x)也是周期为6的周期函数 由f(x)?f(x?2)?f(x?1)，得f(x?1)?f(x?3)?f(x?2)， ∴f(x)?f(x?2)?f(x?1)?f(x?3)?f(x?1)?f(x?2) ∴f(x)?f(x?3)?0， ∴f(x?3)??f(x)，

∴f(x?6)??f(x?3)?f(x)，得证f(x)是周期为6的周期函数， 故M中的元素都是周期为6的周期函数。??12分 （3）令h(x)?cos?x3，可证得h(x)?h(x?2)?h(x?1)??16分

∴h(x)?M，但h(x)是偶函数，不是奇函数， ∴M中的元素不都是奇函数。?

1

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39．已知函数f(x)?x?22?alnx(x?0), x(1) 若f(x)在[1,??)上单调递增，求a的取值范围；

(2) 若定义在区间D上的函数y?f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式

x?x1[f(x1)?f(x2)]?f(12)成立，则称函数y?f(x)为区间D上的“凹函数”. 22试判断当a?0时，f(x)是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.

22a解：（1）由f?x??x2??alnx，得f'?x??2x?2???2分

xxx欲使函数为[1,??)上单调增函数，则f'?x??0在[1,??)上恒成立，即不等式2x?在[1,??)上恒成立.也即a?令?(x)?2a??0x2x2?2x2在[1,??)上恒成立.??4分 x22?2x2，上述问题等价于a??(x)max，而?(x)??2x2为在[1,??)上的减函xx数，则?(x)max??(1)?0，于是a?0为所求.?6分

2（2）证明：由f?x??x2??alnx 得

x?11?a122x?x??12??x?x??2?lnx1?lnx2?22?12?x?x1??x12?x22??12?alnx1x2 ??7分 2x1x2?x?x4?x?x??x?x?f?12???12???aln12??8分

2?2??2?x1?x22x1?x2?11 而?x12?x22????x12?x22??2x1x2??? ① ??10分 ???2?24??2f?x1??f?x2?2又?x1?x2??x1?x222?2??2xx12?4x1x2， ∴

x1?x24 ②?11分 ?x1x2x1?x2∵

x1x2?x?x2x1?x2x?x2 ∴lnx1x2?ln1，∵a?0 ∴alnx1x2?aln1

2222③ ?13分

x?x214?x?x?由①、②、③得?x12?x22??1?alnx1x2??12???alnx1x2 即

2x1x2?2?x1?x2f?x1??f?x2??x?x??f?12?，

2?2?从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. ??14分

x2y240．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右准线l1:x?2与x轴相交于点D，右焦点F到

ab上顶点的距离为2，点C(m,0)是线段OF上的一个动点.

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(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得

(CA?CB)?BA,并说明理由.

?a2??2解 (1)由题意可知?c，又a2?b2?c2，解得a?2,b?c?1，?椭圆

?b2?c2?2?x2的方程为?y2?1；

2（2）由（1）得F(1,0)，所以0?m?1.假设存在满足题意的直线l，设l的方程为

x2?y2?1，得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0， y?k(x?1)，代入24k22k2?2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2? ① ,x1x2?2k2?12k2?1?y1?y2?k(x1?x2?2)??2k2k2?1，

4k2?2k?CA?CB?(x1?m,y1)?(x2?m,y2)?(2?2m,2)，

2k?12k?1?(CA?CB)?AB,而AB的方向向量为(1,k),

4k2?2k?2?2m?2?k?0?(1?2m)k2?m; 2k?12k?1?当0?m?m11时,k??,即存在这样的直线l; 当?m?1时,k不存在,即

1?2m22不存在这样的直线l .

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