线性代数习题册(答案)

x1 2x2 x3 x4 1

2．已知线性方程组 2x2 2x3 6x4 2，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变

2x 3x 2x 9

24 1

换化为阶梯形、行最简形。

2 10

3．已知A ，将A化成标准形。并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。

132

021

4．已知A 2 13 ，利用矩阵的初等变换，求A 1。

33 4

5117 A 1 132

3 6 4

1 10

1 1 ，AX 2X A，求X。

5．已知A 0

101

练习 二

班级 学号 姓名 1.选择题：

1）Am n的行阶梯形中只有前r（r＜m 且r＜n）行为非零行，则R(A)为 （ C ） （A）0； （B）m； （C）r； （D）n.

2）非零矩阵Am n（m＜n）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为 （ D ）

Em

（A）

00 00 00 10

；（B）；（C）；（D）

0E00000 m n m n m nm m n

3）方阵An的秩R(A)= n，则An必定不满足 （ D ） （A）An可逆； （B）An与E等价； （C）R(A) n； （D）存在B O,使AB O

4）An为奇异矩阵，下列的错误的是 （ C ）

T

（A）R(A) R(A)；（B）R(A) n； （C）A 0； （D）An不与单位阵E等价

3102

2. 已知矩阵A 1 12 1 ，求R(A)。

13 44

R(A)=2

1 23k

3.设A 12k 3 ，问k为何值时，可分别使（1）（2）（3）R(A)=1；R(A)=2；R(A)=3？

k 23

4.已知n阶方阵A，使A 2E为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。

练习 三

班级 学号 姓名 1．选择题：

1）当（ D ）时，齐次线性方程组Am nx 0一定有非零解。

（A）m≠n； （B）m＝n； （C）m＞n； （D）m＜n . 2）设A为n（≥2）阶方阵，且R(A)=n-1， 1, 2是Ax 0的两个不同的解向量，k为任意常数，则Ax O的通解为（ C ）

（A）k 1； （B）k 2； （C）k( 1 2)； （D）k( 1 2). 2．填空题:

1）设4阶方阵A ( 1 2 3 4)，且 1 2 3 4，则方程组Ax 的一个解

向量为(1 11 1)。

2）设方程组A(n 1) nx b有解，则其增广矩阵的行列式Ab

x1 x2 a1 x x a 232

3）若 有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件x x a3 34 x4 x1 a4

a

i 1

4

i

0

1 x1 1 12

4）已知方程组 23a 2 x2 3 无解，则a= -1 。

1a 2 x 0 3

11 1211 12

23a 23 0 1a1 1a 20

00(a 3)(a 1)a 3 x1 x2 x5 0

3．求齐次线性方程组 x1 x2 x3 0的解。

x x x 0 345

4．解矩阵方程：

123 10

X

231 01

x1 x2 x3 1

5． 取何值时，非齐次线性方程组 x1 x2 x3 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有

2 x1 x2 x3

无穷多解？并在有解时，求解。 解：

11 2 111

r1 r3

A 1 1 1 1

11 2 111

11 r2 r1

r3 r1 0 11

01 1 2 2

2 1 3

1 1 2

r3 r2

0 11 2

002 2 1 3 2 1 1 2

0 11 (1 )

2 00(2 )(1 )(1 )(1 )

11 2

（1）当 2, 1时，有唯一解；A 01 1

2 (1 ) 001

2

x 1 (1 )2(1 )32 2

100 1 110 2 2 2

x 1(1 )2(1 )2

010 010 2

2 2 2

(1 )2(1 )2(1 )2 x3 001 001 2 2 2

（2）当 2时，无解；

1111

（3）当 1时，有无穷多解。A 0000 ，

0000

x1 1 1 1

x c1 c（其中c1,c2是任意实数） 2 1 2 0 0 ， x 0 1 0 3

自测题

1．选择题：

1）设A为n（≥2）阶奇异方阵，A中有一元素aij的代数余子式Aij 0，则方程组Ax O 的基础解系所含向量个数为（ B ）

（A）i； （B）1； （C）j； （D）n.

x1 x2 2x3 0

2）方程组 x1 x2 x3 0的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵B O，

x x x 0

3 12

使得AB O，则（ A ）

（A） 1，B 0；（B） 1，B 0；（C） 1，B 0；（D） 1，B 0. 3）设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组Ax O，Bx O有相同的基础解系 1, 2, 3，则以下方程组以 1, 2, 3为基础解系的是（ D ）

（A）(A B)x O；（B）ABx O；（C）BAx O；（D）

A

x O. B

2．判断题:

1）初等矩阵与初等变换是一一对应的 （ √ ）

Er

2）任一秩为r的矩阵A必与

O

T

O

等价 （ √ ） O

3）Ax O与AAx O为同解方程组 （ √ ） 4）方程组Ax b有无穷多个解的充分必要条件是Ax b有两个不同的解（ √ ） 3．设n阶方阵A的列向量为 i（i=1，2，3，…，n），n阶方阵B的列向量为

1 2, 2 3, , n 1 n, n 1，试问：当R(A) n时，Bx O是否有非零解？

试证明你的结论。

4．若齐次线性方程组Am nx O的解均为齐次线性方程组Bl nx O的解， 试证明R(A) R(B)。

5．求方程组

x1 x2 0 x1 x2 x3 0

与 的非零公共解。

x2 x4 0 x2 x3 x4 0

解：

1100 1100 1 010 1010 1r3 r1r3 2r2 0A 1 110 0 210 r4 r2 0 01 1101 11 0 1 0r4 r3

0 0

10

0 1

10 1 r1 r2 0

001 2

000 0

1

10 1

01 2

000 00

1

0

10 1 01 2

0 12

1 x1

非零公共解为 x2 c1（c 0,c是任意实数） 2 x3

x 4

6．设非齐次线性方程组Am nx b的系数矩阵Am n的秩为r， 1, 2, , n r是Am nx 0的一个基础解系， 是Am nx b的一个解。证明：Am nx b的任一解可表示为

x k1( 1 ) k2( 2 ) kn r( n r ) kn r 1 ,(k1 k2 kn r 1 1)

7．设 1, 2, 3, 4, 为四维列向量，A ( 1, 2, 3, 4)，已知Ax 的通解为

1 1 1 1 1 12112

x k1 k2 ，其中 ， 为对应的齐次方程组的基础解系，k1,k2为

2 0 1 0 1 1 1 0 1 0

任意常数，令B ( 1, 2, 3)，试求By 的通解。

第四章 向量组的线性相关性

练习 一

班级 学号 姓名

1．已知向量 1,1,0, 1 , 2,1,1,2 , 1,2,0,1 ，试求向量 3 2 . 解： 3 2 3 1,1,0, 1 2 2,1,1,2 1,2,0,1 (6,3, 2, 6) 2．已知向量组A: 1 0,1,2,3 , 2 3,0,1,2 , 3 2,3,0,1 ,

T

T

T

B: 1 2,1,1,2 , 2 0, 2,1,1 , 3 4,4,1,3 ,证明B组能由A组线性表示，但A

组不能由B组线性表示。 解：

TTT

0 1 AB 2 34 1

031 24 0

010111

21213 0

322003

32

12

2057

1 6 12 8 1

4

4 7 9

1 0

0 04 1

1 6 15 7 0

00205 1525

041 35 0

031 2

4

1 6 15 7

041 35

00000

031 2

R(A) 3 R(AB)，所以B组能由A组线性表示。 20

1 2BA

11

21 1 0

0 0

1

1

4032 11

4103 0 3

0 21210

3321 0 12

1

1

0

3 1 13 2 412

1 101 1

2

1

1

2

1

0 1

1 110 1 0

000 210

002 10 00

1 110 1

002 10

00000

R(B) 2,R(BA) 3，所以A组不能由B组线性表示。

3．设 可由 1, 2, , m线性表示，但不能由 1, 2, , m 1线性表示，证明： m可由

1, 2, , m 1, 线性表示，而不能由 1, 2, , m 1线性表示。

4．已知 1 1,4,0,2 , 2 2,7,1,3 , 3 0,1, 1,a , 3,10,b,4 ，问： （1）a,b取何值时， 不能由 1, 2, 3线性表示？

（2）a,b取何值时， 可由 1, 2, 3线性表示？并写出此表达式。 解：

T

T

T

T

1 4

A 1, 2, 3,

0 23 1203

7110 0 11 2

01 1b 1 1b

3a4 0 1a 2

20

1

0

0 03 1

1 12 0

000b 2

0a 10 0

20

3

1 12 0a 10

00b 2

20

（1）当a 1,b 2或a 1,b 2时，R(A) R(A )， 不能由 1, 2, 3线性表示。

1 0

（2）当a 1,b 2时， A

0 03 1

1 12 0

00a 10

000 0

20

00 1

102

010

000

R(A) R(A ) 3， 可由 1, 2, 3线性表示， 1 2 2 0 3

1 0

当a 1,b 2时， A

0 0

3 1

1 12 0

0000

000 02

1

1 12

， 000

000 0

2

R(A) R(A ) 2， 可由 1, 2, 3线性表示。

( 1 2k) 1 (2 k) 2 k 3（k R）

练习 二

班级 学号 姓名

1．判断向量组 1 1,1,0,0 , 2 0,1,1,0 , 3 0,0,1,1 , 4 1,0,0,1 的线性相关性。

T

T

T

T

2．讨论向量组 1 1,1,0 , 2 1,3, 1 , 3 5,3,t 的线性相关性？即t取何值时，向量组线性无关？t又取何值时，向量组线性相关？

T

T

T

3．已知向量组 1, 2, 3线性无关，判断2 1 3 2, 2 3 3, 1 2 3的线性相关性。

4．如果向量 可以用向量组 1, 2, , r线性表示，试证表示方法是唯一的充要条件是

1, 2, , r线性无关。

练习 三

班级 学号 姓名

1．已知向量组 1 1,2,3,4 , 2 2,3,4,5 , 3 3,4,5,6 , 4 4,5,6,7 ，求该向量组的秩。

2．求向量组 1 1, 1,2,4 , 2 0,3,1,2 , 3 3,0,7,14 , 4 1, 2,2,0 的秩和最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。

1

3

3．利用初等行变换求矩阵

2 4

324

142

的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量 342

139

用最大无关组线性表示。

4．设A为n阶矩阵（n≥2），A 为A的伴随矩阵，证明：

n,当R(A) n

R(A ) 1,当R(A) n 1

0,当

R(A) n 2

练习 四

班级 学号 姓名

x1 x2 3x4 x5 0

x1 x2 2x3 x4 x5 0

1．求齐次线性方程组 的基础解系。

4x 2x 6x 5x x 012345 2x1 4x2 2x3 4x4 16x5 0

x1 3x2 3x3 2x4 x5 3 2x 6x x 3x 2 1234

2．求非齐次线性方程组 的通解。

x1 3x2 2x3 x4 x5 1 3x1 9x2 4x3 5x4 x5 5

3．已知 1, 2, 3是四元非齐次线性方程组Ax b的解，R(A) 2，且

1 1 2 201

1 2 , 2 3 , 3 1 ,求该方程组的通解。

0 1 2 1 2 3

4．设 是齐次线性方程组Ax b的一个解， 1, 2, , n r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1） , 1, 2, , n r线行无关；（2） , 1, 2, , n r线行无关。

练习 五

班级 学号 姓名 1．试判定集合V (x1,x2, ,xn)x1 x2 xn 1,xi R是否构成向量空间？

2．求向量空间R4的基 1 1,2, 1,0 , 2 1, 1,1,1 , 3 1,2,1,1 , 4 1, 1,0,1

,2 0,1,2,到基 1 2,1,0,1 2 ,3

坐标变换公式。

2,1,1, 4, 2

1,3,1,2 的过渡矩阵和向量的

自测题

一、选择题：

1．设向量组（1）： 1, ： 1, 2等价，则（ A ）。 2,3 与向量组（2）（A）向量组（1）线性相关； （B）向量组（2）线性无关； （C）向量组（1）线性无关； （D）向量组（2）线性相关。 2．设n维向量组 1, 2, , m线性无关，则（ B ）。

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关； （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关； （C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关； （D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。 3．设三阶行列式D aij 0，则（ A ）。

（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合； （B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；

（C）D中至少有两行向量线性相关； （D）D中每一行向量都线性相关。 4．设A: 1, 2, , 4是一组n维向量，且 1, 2, 3线性相关，则（ D ）。 （A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。 5．设 不能由非零向量 1, 2, , s线性表示，则（ D ）。

（A） 1, 2, , s线性相关； （B） 1, 2, , s, 线性相关；

（C） 与某个 i线性相关； （D） 与任一 i都线性无关。 二、填空题：

1．设n维向量 1, 2, 3线性相关，则向量组 1 2, 2 3, 3 1的秩。 2． 向量组 , , 线性相关的充分必要条件为。

3．设 1, 2线性无关，而 1, 2, 3线性相关，则向量组 1,2 2,3 3的极大无关组为 1, 2。

4．已知 1 1,3,2,4 , 2 2,6,k,8 线性相关，则

5． 已知向量组 , , 线性相关，而向量组 , , 线性无关，则向量组 , , 的秩为。

1 1 2 3

三、已知 2 1 2 2 3，证明 1, 2, 3与 1, 2, 3等价。

2 3

123 3

a 2 1 1

四、设有向量组A: 1 2 , 2 1 , 2 1 ，又向量 b ，试问当a,b,c满

10 5 4 c

足什么条件时，则：

（1） 可由 1, 2, 3线性表示，且表示式唯一； （2） 不能由 1, 2, 3线性表示；

（3） 可由 1, 2, 3线性表示，但不唯一，并求一般表达式。

（1）

（2）

（3）

五、已知 1, 2, , s及 都是n维向量，且 1 2 s，证明向量组

1, 2, , s线性无关的充分必要条件是向量组 1, 2, , s线性无关。

六、设n维向量组（1）： 1, 2, , s的秩为r1；（2） 1, 2, , s的秩为r2；（3）

1 1, 2 2, , s s的秩为r3。证明：r1 r2 r3。

(2 1)x1 x2 ( 1)x3 1

七、 取何值时，线性方程组 ( 2)x1 ( 1)x2 ( 2)x3 有惟一解、无解、无

(2 1)x ( 1)x (2 1)x

123

穷多解？在有无穷多解时求通解。

八、已知a1,a2,a3为三维向量空间R的一个基，设

3

b1 2a1 3a2 3a3,b2 2a1 a2 2a3,b3 a1 5a2 3a3,

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