分式精选练习题

15.1.1 从分数到分式

【新知要点测评】 知识点一:分式的概念

1．（2015春东台市月考）下列各式：A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：故选B

2.（2015春醴陵市校级期中）下列各式

，

，

，，，+m，其中分式共有（ B ）

，+m，其中分式共有：，+m共有2个．

、、（x+y）、、﹣3x、0、

2

中，

是分式的有 、 ，是整式的有 、（x+y）、﹣3x、0． ．

2

解析：、（x+y）、﹣3x、0的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．

2

、分母中含有字母，因此是分式．

3.列式表示下列数量关系（自创）

（1）若m个人完成某项工程需要a天，求（m+n）个人完成此项工程需要的天数.

（2）有游客m人，如果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，客房的间数是多少？ （3）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，江水的流速为v km/h，则轮船沿江逆流航行60km所用的时间是多少？

解：（1）；

1

（2）

；

（3）

.

知识点二: 分式有（无）意义、值为零（正或负）的条件

4.（2015南宁模拟）要使分式有意义，x的取值范围为（D ）

D．x≥0

A．x≠﹣5 B．x＞0 C．x≠﹣5且x＞0 解析：由题意得：x+5≠0，且x≥0， 解得：x≥0， 故选D

5．（2016龙岩模拟）若分式

的值为0，则x的值为﹣2

解析：根据题意得：，

解得：x=﹣2．

6. 当x取何值时，下列分式?没有意义？?有意义？?值为零？

； （2）

（1）

解：（1）?∵分式

没意义，

∴x﹣1=0，解得x=1；

?∵分式

有意义，

∴x﹣1≠0，即x≠1； ?∵分式

的值为0，

∴

，解得x=﹣2．

2

（2）?∵

2

没意义，

∴x﹣9=0，即x=±3时分式无意义；

?根据题意，得 x2﹣9≠0， 解得，x≠±3， 即当x≠±3时，分式

有意义；

?根据题意，得（x+3）（x﹣2）=0，且x﹣9≠0，

2

解得，x=2， 即当x=2时，分式

的值为零．

【课时层级训练】 【基础巩固练】 测控导航表

知识点 题目 1，6，8 2，3，4，5，7，9，10 分式的概念 分式有（无）意义、值为零（正或负）的条件 1．下列各式中，是分式的有（ B ） ，（x+3）÷（x﹣5），﹣a2，0，

，，

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3

解析：（x+3）÷（x﹣5），这2个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选B．

2．（2016武汉）若代数式（ C ） A．x＜3

B．x＞3

C．x≠3

D．x=3

在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

解析：依题意得：x﹣3≠0， 解得x≠3， 故选C

3．（2016天水）已知分式

的值为0，那么x的值是（ B ）

A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2 解析：∵分式

的值为0，

∴（x﹣1）（x+2）=0且x2﹣1≠0， 解得：x=﹣2． 故选B．

4．（2015春瑶海区期末）若分式的值是正值，则x的取值范围是（ C ）

A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2

解析：因为分式的值是正值，

可得：2﹣x＞0，

4

解得：x＜2． 故选C．

5．（2016秋莒南县期末）下列关于分式的判断，正确的是（ B ） A．当x=2时，

的值为零

B．无论x为何值，的值总为正数

C．无论x为何值，不可能得整数值

D．当x≠3时，有意义

解析：A、当x=2时，分母x﹣2=0，分式无意义，故A错误； B、分母中x2+1≥1，因而第二个式子一定成立，故B正确； C、当x+1=1或﹣1时，

的值是整数，故C错误；

D、当x=0时，分母x=0，分式无意义，故D错误． 故选B． 6．下列各式①

，②（x+y），③

，④

，⑤中，是分式的有

①③④ ，是整式的有 ②⑤ ． 解析：①

，②（x+y），③

，④

，⑤中，

是分式的有：①③④，是整式的有②⑤． 7．（2015春福田区期末）当x=1时，分式则（m+n）2012的值是 1 ．

5

无意义；当x=4时分式的值为0，

解析：分式无意义时，n=1，

分式为0时，m=﹣2，

当m=﹣2，n=1时，（m+n）2012=1.

8.已知分式：，﹣

分别是 ﹣

解析：∵，﹣

，

，，﹣，…，请根据规律，猜想第10个分式与第n个分式

， ，（﹣1）n+1

．

，﹣，…，

∴第10个分式是﹣，

第n个分式为（﹣1）n+1

．

9．当x取什么数时，分式的值为零？

解：由题意得：1﹣|x|=0， 解之得x=±1，

当x=1时，分母（x﹣1）（x+2）=0， 当x=﹣1时，分母（x﹣1）（x+2）≠0， 所以，当x=﹣1时，分式的值等于零． 10.对于分式试求a、b的值．

，当x=1时，分式的值为零，当x=﹣2时，分式无意义，

6

解：∵分式，当x=1时，分式的值为零，

∴1+a+b=0且a﹣2b+3≠0， 当x=﹣2时，分式无意义， ∴a﹣2b﹣6=0，

联立可得，

解得．

故a的值是、b的值是﹣．

【能力提升练】

11.若分式

不论x取任何实数总有意义，则m的取值范围是___m＞1___．

解析：由题意得x2-2x+m≠0， x2-2x+1+m-1≠0， ∴（x-1）2+（m-1）≠0， ∵（x-1）2≥0， ∴m-1＞0，

∴m＞1时，分式

不论x取任何实数总有意义．

12.母本74页12题，答案见母本172页12题.

7

15.1.2 分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质

【新知要点测评】 知识点一:分式的基本性质

1．（2016秋崆峒区期末）下列各式变形正确的是（ C ）

A．= B．=

C．=（a≠0） D．=

解析：A、，故本选项错误；

B、，故本选项错误；

C、（a≠0），正确；

D、，故本选项错误；

故选C．

2．不改变分式的值，使分式的分子与分母中最高次项的系数都是正的． （1）

= ﹣

；

（2）= ；

（3）= ﹣ ；

8

（4）= ．

解：（1）原式==﹣．

（2）原式==．

（3）原式==﹣．

（4）原式==

3．（2016春宜宾校级月考）在括号里填上适当的整式： （1）

=

；

（2）=

；

（3）

=

．

解：（1）分子分母都乘以5a，得=，

（2）分子分母都除以x，得=，

（3）分子分母都乘以2a，得=，

知识点二:分式的基本性质的应用

4．（2016秋尚志市期末）根据分式的基本性质，分式

可变形为（

9

C ）

A． B． C． D．

解析：依题意得：=，故选C．

5．（2016天津二模）把分式大2倍，那么分式的值（ D ） A．扩大2倍

B．缩小2倍

中的分子、分母的x、y同时扩

C．改变原来的 D．不改变

解析：分子、分母的x、y同时扩大2倍，即分式的值不变． 故选D．

，根据分式的基本性质，则

6．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．

（1）

，

解：（1）

=

（2）．

=．

（2）==

．

【课时层级训练】 【基础巩固练】 测控导航表

10

知识点 题目 4，5，6，8 1，2，3，7，9，10 分式的基本性质 分式的基本性质的应用 1．（2015丽水）分式﹣可变形为（ D ）

A．﹣ B． C．﹣ D．

解析：﹣=﹣=.

故选D．

2．（2016秋鼓楼区期中）不改变分式的值，把分子、分母中各项系数

化为整数，结果是（ D ） A．

B．

C．

D．

解析：分式的分子和分母乘以6，原式=．故选D．

3．（2016路北区二模）若分式分式的值（ B ）

中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则

A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的0.1倍 解析：分式

.

11

D．不变

=

中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，得

故选B．

4．（2016眉山）已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式

的值是（ D ）

A．3 B．2 C． D．

解析：已知等式整理得：x2﹣4=3x

xx1??3x?x2x2 则原式=

故选D.

5．（2016春沂源县期末）不改变分式项的系数为正数，正确的是（ D ） A．

B．

的值，使分子、分母最高次

C． D．

解析：分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数， 所以分子，分母同乘-1，可得

，故选D．

6．（2016春邗江区期中）如果成立，则a的取值范围是 a≠ ．

解析：成立，

得2a﹣1≠0， 解得a≠.

12

7．若=3，求的值为

解析：由=3得a=3b，

把a=3b代入得，

===

.

8．在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：

2?x（）??x?3x?3. （3）

（1）=； （2）=

；

解；（1）；

（2）

；

2?xx?2?（3）?x?3x?3.

9．已知==﹣，求分式的值.

解：设=

=

﹣

=a，

∴则x=3a，y=2a，z=﹣5a，

=

所以

10．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．

=

=33．

13

0.1x?2（1）o.5x?0.2 ； （2）

.

x?20解：（1）原式=5x?2；

（2）原式=．

【能力提升练】

11．（教材拓展题）已知

，则

的值为．

解析：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，

===．

12.（阅读理解题）母本76页12题，答案173页.

15.1.2 分式的基本性质 第2课时 约分与通分

【新知要点测评】 知识点一:约分

1．（2016滨州）下列分式中，最简分式是（ A ）

A． B．

14

C． D．

解：A、原式为最简分式，符合题意； B、原式=

=

，不合题意；

C、原式==，不合题意；

D、原式=故选A

2．（2016淄博）计算

=，不合题意.

的结果是 1﹣2a ．

解：原式==1﹣2a．

3．将下列分式约分 （1）

；

（2）；

（3）；

（4）．

解：（1）=﹣；

15

（2）=﹣；

（3）==；

（4）==．

4.从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，一共可以构成多少个?请从中选取一个并化简该分式.

x2-4xy+4y2， x2-4y2， x-2y

解：六个.

.

知识点二:通分

5．把

，

，

通分过程中，不正确的是（ D ）

A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B．=

C．= D．=

解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确； B、

=

，通分正确；

C、=，通分正确；

D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）=2x﹣4.

16

故选D．

6．（2014秋白云区期末）对分式为 6a2b3 ． 解：

和

的最简公分母为6a2b3．

和

进行通分，则它们的最简公分母

7．（2016高邑县月考）通分： （1）

，

，

；

（2）

，

．

解：（1）=，

=，

=﹣；

（2）=，

=﹣

．

【课时层级训练】 【基础巩固练】 测控导航表

知识点

17

题目 约分 通分 1,3,4,5，6,8 2,7,9,10 1．（2016钦州期末）下列运算正确的是（ B ） A．

B．

C． D．

解：A、不能再计算，故A错误； B、

=﹣

=﹣1，故B正确；

C、，故C错误；

D、==a+b，故D错误；

故选B．

2．（2015秋沙河市月考）若将分式

与分式

通分后，分式

的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（ ）

A．6x2（x﹣y）2 解析：因为分式

B．2（x﹣y） C．6x2 D．6x2（x+y）

与分式

的公分母是2（x+y）（x﹣y），

所以分式6x2． 故选C．

的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为

18

3．（2016秋抚宁县期末）下列各分式中，最简分式是（ C ）

A． B．

C． D．

解：（A）原式=，故A不是最简分式；

（B）原式== y-x ，故B不是最简分式；

（C）原式=，故C是最简分式；

（D）原式==，故D不是最简分式.

故选C

4．（2016台州）化简的结果是（ D ）

A．﹣1 B．1 C． D．

解：==；

故选D．

5．下列约分正确的是（ C ） A．

B．

C． D．

解析：A、

，错误；

19

B、C、

，错误；

，正确；

D、故选C．

，错误．

6．（2016白云区一模）化简= ．

解：原式=

=

.

的最简公分母是 12x3yz ．

7.

解析：

故答案为12xyz．

3

的分母分别是xy、4x、6xyz，故最简公分母是12xyz．

33

8．约分： （1）

； （2）

；

（3）

； （4） =

；

．

解：（1）

（2）==3a+b；

（3）

==

；

20

=

（4） 9．通分： （1）

，

，

=．

；

（2）

, .

解：（1）最简公分母为30abc，

=

，

232

=﹣，

=；

（2）最简公分母为3（a﹣3）（a﹣2）（a+1），

=﹣

=﹣

，

=，

=

.

10.化简求值母本10题.

【能力提升练】

21

11.教材拓展题（2016秋槐荫区期末）若方程

B的值分别为（ C ） A．2，1

B．1，2

C．1，1

D．﹣1，﹣1

+=，则A、

解析：通分，得

=

得（A+B）x+（4A﹣3B）=2x+1 由相等项的系数相等，得

解得

故选C．

12.母本78页12题，答案174页.

15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除

【新知要点测评】 知识点一:分式的乘除

1．（2016长春模拟）计算的结果是（

22

D ）

A． B． C． D．

解析：原式=

.

故选D．

2．（2016通州区二模改编）计算：÷，其结果是

解：原式=?=.

3.（1）计算：；

（2）（2015甘南州）已知x﹣3y=0，求?（x﹣y）的值．

解：（1）原式=

=-2 ；

（2）=

=

,

．

当x﹣3y=0时，x=3y；原式=

知识点二:分式的乘方及其乘除混合运算

4．（2016建邺区一模）计算a5?（﹣）2的结果是（ B ） A．﹣a3 B．a3 解析：原式=a5?

C．a7 D．a10 =a3 .

23

故选B．

5．（2016新疆）计算：

=

．

6．解析：=?=．

6．（2016北京校级期中）计算 （1）

；

（2）

．

解：（1）原式=?÷（4a2b2）

=??

=．

（2）原式=??=．

【课时层级训练】 【基础巩固练】 测控导航表

知识点 题目 1,2,6,7,8,10 分式的乘除

24

分式的乘方及其乘除混合运 3,4,5,9 算 1．（2016济南）化简

÷

的结果是（ A ）

A． B． C． D．2（x+1）

解析：原式=?（x﹣1）=，

故选A.

2.（2016秋江汉区校级月考）化简a2

÷b?的结果是（ B ）

A．a B． C． D．a2

解析：原式=a2

??=

.

故选B．

3．（2015秋沙河市月考）下列各式中，结果不是整式的是（ A A．? B．÷

C．?（ab﹣b2） D.（6x2y）2

÷（

）

解析：A、原式=?=，结果不是整式；

B、原式=?=x，结果是整式；

25

）

C、原式=?a（a﹣b）=ab，结果是整式；

2

D、原式=36xy?

42

=9x，结果是整式；

5

故选A．

4．（自创题）现有A、B两个圆，A圆的半径为面积是B圆面积的（ B ）

（a＞6），B圆的半径为，则A圆的

A．倍 B．倍 C． D．

解析：由题意得π（）÷[π（

2

）]=

2

．

故选B．

5．若（）÷（

2

）=3，则ab的值是（ B ）

244

A．6 B．9 C．12 D．81

解析：∵（）÷（

2

）=

2

=ab=3，

22

∴ab=（ab）=3=9． 故选B．

442222

6．（2016永州）化简：÷= ．

解析：原式=?

.

7．（2016江西模拟）化简：÷= a+1 ．

26

解：原式=?（a﹣1）=a+1 .

8．（2015秋娄底期中）a÷b×÷c×÷d×等于

解析：原式=a××××××=.

9．计算：

（1）?（﹣）；

（2）（）÷（x+y）?（

22

）3 ；

（3）（）÷（﹣）?（）；

32

（4）（9﹣x）÷

2

．

解：（1）原式=﹣；

（2）原式=??=；

（3）原式=﹣?（﹣）?=；

（4）原式=﹣（x+3）（x﹣3）?=﹣x﹣3．

10.（2016峄城区一模）化简求值÷?

，其中a=1

解：原式=÷?

27

=??

=﹣．

当a=1时，原式 =

23【能力提升练】

11．（2016澧县期末）已知a≠0，S1=﹣3a，S2=则S2015= ﹣3a ． 解：S1=﹣3a，S2=

=﹣，S3=

=﹣3a，S4=

=﹣，?， ，S3=

，S4=

，?S2015=﹣

，

∵2005÷2=1002?1， ∴S2015=﹣3a，

12．（教材拓展题）在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道题，计算：

，同学们都感到无从下手，小明将a2﹣

1变形为a（a﹣），然后用平方差公式很轻松地得出结论．知道他是怎么做得吗？

解：原式=a（a﹣）（a+）（a2+

）（a4+）（a8+

）

=a（a2﹣）（a2+

）（a4+）（a8+

）

=a（a4﹣）（a4+

）（a8+

）

=a（a8﹣）（a8+

）

=a（a16﹣

）

28

=a17﹣．

13．（阅读理解题）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用） 【例】已知实数x满足x+=4，求分式

的值．

解：观察所求式子的特征，因为x≠0，我们可以先求出的倒数的值，

因为=x+3+=x++3=4+3=7

所以=

【活学活用】

（1）已知实数a满足a+=﹣5，求分式的值；

（2）已知实数x满足x+=9，求分式的值．

解：（1）∵a+=﹣5，

∴=3a+5+=3（a+）+5=﹣15+5=﹣10；

（2）∵x+=9，

∴x+1≠0，即x≠﹣1， ∴x+1+

=10，

∵==x+1++3=10+3=13，

∴

=．

29

15.2 分式的运算 15.2.1 分式的加减

【新知要点测评】 知识点一:分式的加减

1．（2016天津）计算

﹣的结果为（ A ）

A．1 B．x C． D．

解析：﹣

=

=1．故选A．

2．（2016福田区二模）化简的结果是（A．x﹣2 B． C． D．x+2

解析：原式=﹣

=

=

=x+2．故选D

30

D ）

3．（2015百色改编）化简﹣的结果为x-2

解析：原式=﹣

=

=

=

=x-2 . 4.（1）计算

+

+

﹣

（2）先化简，再求值 解：（1）原式=

，其中 -2≤a≤2,且a为整数，

=

=；

﹣

（2）=

﹣

=

=．

31

因为-2≤a≤2,且a为整数， 所以a=-2,-1,0,1,2， 而a=-1,1时分式无意义，a只能取-2或0或2.

当a=2时，原式=

13知识点二:分式的混合运算

5．（2015春萧山区期末）下列分式运算或化简错误的是（ C ）

A．= B．=﹣

C．（x2

﹣xy）÷

=（x﹣y）2

D．

+=﹣1

解：A、原式==，正确；

B、原式=﹣，正确；

C、原式=x（x﹣y）?=x2

，错误；

D、原式=﹣===﹣1，正确.

故选C

6．（2016泰安）化简：÷﹣的结果为（A． B． C． D．a

解：原式=×﹣

32

C ）

=﹣

=.

故选C．

7．（2016荆门）化简

的结果

解：原式=÷=?=.

8.（2016广东）先化简，再求值：?+，其中a=2．

解：原式=?+=+==，

当a=2时，原式=1．

【课时层级训练】 【基础巩固练】 测控导航表

知识点 题目 3，4,6,8,10 1,2,5,7,9 分式的加减 分式的混合运算 1．（2016河北）下列运算结果为x﹣1的是（ B ）

A．1﹣ B．? C．÷ D．

33

解析：A、1﹣=，故此选项错误；

B、原式=?=x﹣1，故此选项正确；

C、原式=?（x﹣1）=，故此选项错误；

D、原式==x+1，故此选项错误；

故选B．

2．（2016故城县校级月考）下列各式的运算结果中，正确的是（ B ） A．÷=

B．（

）?（x﹣3）=

C．（）?=4 D．（）?=ab

解析：A、÷=?=，故此选项错误；

B、（）?（x﹣3）

=×（x﹣3）﹣×（x﹣3）

=1﹣×（x﹣3）

=，故此选项正确；

C、（）?

=﹣（a+2）﹣（2﹣a） =﹣4，故此选项错误；

34

D、（）?

=?

=﹣ab，故此选项错误；故选B.

3．（2016绥化）化简﹣（a+1）的结果是（ A ）

A． B．﹣ C． D．﹣

解析：原式=﹣

=

.

故选A．

4．（2016春常州期中）一件工作甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是（ A ） A．

B．

C．+

D．

解析：∵一件工作甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率，

∴甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是：=．

故选A．

5．（2016春沂源县期末）已知两个分式：A=面三个结论：

①A=B；②A?B=1；③A+B=0． 其中正确的有（ B ）

35

，B=+，其中x≠±2，有下

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：①∵A=

，B=

+

，

∴B=﹣==，

∴A≠B，故本小题错误；

②∵A?B=?（﹣）=?=﹣，

∴A?B≠1，故本小题错误；

③∵A+B=+=0，

∴A+B=0，故本小题正确． 故选B．

6．（2016临沂）化简= a+1 ．

解析：原式=﹣=a+1．

7．（2016内江）化简：（+）= a ．

解析：原式=?

=（a+3）?

=a．

8．（2016毕节市）若a+5ab﹣b=0，则

2

2

的值为 5 ．

解析：∵a+5ab﹣b=0，

36

22

∴a﹣b=-5ab

22

∴﹣===5．

9．化简

（1）（2016资阳）（1+

）÷

．

（2）（2017青浦区一模）÷（a﹣1）+．

解：（1）原式=÷

=?

=a﹣1．

（2）原式=×+

=+

=+

=．

10．（2015凉山州）先化简：（+1）++，然后从﹣2≤x≤2的范围

内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． （

+1）+

+

=

37

=

=,

因为﹣2≤x≤2且X为整数，所以x可以取0或者?2， 把x=0代入得：原式=﹣2.

（2）（2016安顺）先化简，再求值：（1﹣的数作为x值代入． 解：原式=

?

,

）÷

，从﹣1，2，3中选择一个适当

=，

当x=3时，原式==3．

【能力提升练】

11．（2016秋乳山市期末）设n=的个数是（ B ） A．5

B．4

+

C．3

D．2

+

，若n的值为整数，则x可以取的值

解析：n=

=﹣+

38

=

2(x?3)2?(x?3)(x?3)x?3 =

当x-3=±1、±2，即x=2、4、1、5时,

2分式x?3的值为整数．

故选B．

12．（2015绵阳模拟）若a1=1﹣，a2=1﹣

，3=1﹣a

，则a2015的值为（ ）

A．1﹣ B．﹣ C．m D．

解析：a1=1﹣，a2=1﹣=1﹣=1﹣=﹣，

a3=1﹣=1+=m，a4=1﹣，

依此类推， ∵2015÷3=671?2， ∴a2015的值为﹣

，

故选B.

13．（2016博野县校级自主招生）观察下面的变形规律：=﹣；?

=1﹣；

=

﹣；

解答下面的问题：

39

（1）若n为正整数，请你猜想= ﹣ ；

（2）证明你猜想的结论； （3）求和：

+

+

+?+

．

解：（1）由=﹣；=﹣；=﹣，?则：=；

（2）﹣=﹣==；

（3）+++?+

=1﹣+﹣+﹣+?+﹣

=1﹣=．

15.2.3整数指数幂 第一课时 整数指数幂

【新知要点测评】

知识点一:零指数幂和负整数指数幂

1．（2016潍坊）计算：20

?2﹣3

=（ ） A．﹣ B．

C．0

D．8

解：20?2﹣3

=1×=．

故选B．

2．（2016秋西青区校级期末）下列计算正确的是（ ）

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