希望杯初二第1试 - 图文

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题

一、选择题:（每题1分，共10分）

1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 A．45°. B．75°.C．55°. 2．2的平方的平方根是 A．2. B．10

9

( )

D．65° D．4

6

5

4

3

2

( )

8

7

2. C．±2.

3．当x=1时，a0x-a1x+a0x-a1x-a1x+a1x-a0x+a1x-a0x+a1x的值是( ) A．0

B．a0. C．a1 D．a0-a1

4. ΔABC,若AB=?,BC=1+2,CA=7,则下列式子成立的是( )

A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A．4个

B．5个. C．6个. D．7

6．52?7的立方根是[ ] （A）2?1. （B）1?2.（C）?(2?1). （D）2?1.

7．把二次根式a??1化为最简二次根式是[ ]

a(A) a. (B)?a. (C) ??a. (D) ?a

8．如图1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点．又AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A．2组

2B．3组.C．4组

x?12D．5组。

y?1229.已知 ( )

x?2xy?2y?1?2y?xy?y?x?1?y?1x?1 等于一个固定的值，则这个值是

A．0. B．1. C．2. D．4.

把f1990化简后，等于( ) A．

xx?11x. B.1-x. C.. D.x.

二、填空题（每题1分，共10分） 1.1302.

2?662?________.

?121?0.0196??9????625?33??1?????__________??125???.

1

3.8?98?50=________. 4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC的度数是______．

5．如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是____度．

6．△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线与∠B的平分线交于O点，则∠AOB的度数是______度． 7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x2+px+q=0，当p＞0，q＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x，y，z适合方程组

6x?zx?y?8x?2y?z???532?x?1y?1?x?y?z?? ?353??3x?4y?5z?1??

则1989x-y+25z=______．

10．已知3x2+4x-7=0，则6x4+11x3-7x2-3x-7=______．

2

答案与提示

一、选择题

提示：

1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)． 2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．

3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．

＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．

5．如图5，数一数即得．

又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．

7．∵a＜0，故选(C)．

8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．

9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，

得：

故选(B)．

故选(A)． 二、填空题

提示：

3

4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC的度数是120度． 5．∠COD度数的一半是30度．

8．∵Δ=p2-4q＞p2．

9．方程组可化简为：

解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．

10．∵6x+11x-7x-3x-7=(3x+4x-7)(2x+x+1)而3x+4x-7=0．

4

3

2

2

2

2

第二届（1991年）初中二年级

第一试试题

一、选择题:（每题1分，共15分）

1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ] A．2; B．3; C．4; D．5 2．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]

AOP(1)BA．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，6 3．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]

A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC

34?2?5(1?3)4,则a,b,c的大小关系是[ ] ,b?,c?4.a=211?3(?5)3?4A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c 5.若a≠b,则(b-a)a?b等于[ ]

A.3(a?b); B.?3?(a?b); C.?3(a?b); D.3?(b?a) 3333 4

6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ] A．3个 B．4个; C．5个 D．无数多个 7．两条直线相交所成的各角中， [ ]

A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角 8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ] A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角 9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．

A．4; B．2; C．1; D．0 10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ] A．26; B．28; C．36; D．38

11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．185 12.如果2x?3x?1,那么3(x?2)?3(x?3)等于[ ]

2A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．1

13．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是 A.5?3; B.5?2; C.3?[ ]

3 2; D.5?14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ] A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大

C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根

15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b公里的速度行走．若a≠b时，则[ ]到达N地． A． 二人同时; B．甲先;

C．乙先; D．若a＞b时，甲先到达，若a＜b时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）

1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母:3.方程

5?5?77=______________. x?1?x?0的解是x=________.

4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．

5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是______． 6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么7．方程x2-y2=1991有______个整数解．

8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．

9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于______度．

a?bc=__.

5

DECAFBAEBGDCACDBF

(2) (3) (4)

10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC等于__度． 12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为______．

13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______．

14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______． 15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程的根是______．

答案与提示

一、选择题

提示：

1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)． 2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．

3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)． 4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．

6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)． 7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)． 8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°, 即α=90°．故选(D)．

9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．

即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取

(A)．

11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，?，2n+21．则 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+?+(2n+21)=1991．

6

即 11(2n+11)=1991．

解得n=85．∴第六个数是2385+11=181．故选(B)．

∴选(A)．

13．原方程可化为

(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0． 即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．

即 x4-10x2+1=0．故取(C)．

14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有

15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有

∴t1＜t2，即甲先．

另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为

从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)． 二、填空题

提示：

1．设所求角为α，则有

7

(180°-α)-(90°-α)=90°．

4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2) =(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+y2)

5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)． 即k2-9=0．即k=±3．

又，要有实数根，必须有△≥0． 即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．

显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．

6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，

这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．

7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=113181可以是

9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有 ∠B=30°．

10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，?，从F出发可连

一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）． 另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，

11．如图28．

∠F=∠1+∠A+∠2． 又：△ADC≌△CEB．

∴ ∠1=∠3．

∴ ∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．

12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠

ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=

8

∠EAB=30°．

又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．

在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF． 而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．

13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2， AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7， 有AD＞2．∴2＜AD＜7．

14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．

15．设两根为x1，x2．则 x1+x2=-p① x1x2=q②

由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的． 若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2． ∴方程的根是-1和-2．

希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题

一、选择题:（每题1分，共10分） 1．已知a＞b＞0，则有 [ ] A.a+b>1; B.ab>1; C.

ab; D.a-b>1.

2．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最长边等于[ ] A.2; B.22; C.3; D.32. 3.若a? A.

7212(5?923),b?11212(5?3),那么a-ab+b的值为[ ]

2

2

; B.; C.; D.

152?1.

4. 3?22的值等于[ ]

A.3?2; B.3?1; C.3?2; D.2?1.

5．△ABC中，∠A=θ-α，∠B=θ，∠C=θ+α,0°＜α＜θ＜90°．若∠BAC与∠BCA的平分线相交于P点，则∠APC= [ ]

A．90° B．105°. C．120° D．150°

6．一个自然数的算术平方根为a(a＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 [ ]

22

A.a-1,a+1; B.a?1,a?1; C.a2?1,a2?1; D. a-1,a+1.

7.已知实数a满足丨1992-a丨+a?1993=0,那么a-19922的值为[ ] A．1991. B．1992. C．1993. D．1994.

8．正整数a被7除，得到余数4，则a3+5被7除，得到的余数是[ ]

9

A．0. B．2. C．4. 9.6?35?6?D．6.

35 的值为[ ]

12(7?5); D.1.

A.7?5; B.14; C.10．方程x2+667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 [ ] A.

1664; B.?1667; C.

11992; D.

13.

二、填空题:（每题1分，共10分）

1． 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数等于______． 2． 二次根式x?1x化为最简根式应是___________.

3． 若(x-1)6=a0x6+a1x5+a2x4-a3x3-a4x2-a5x-a6，则a6=______． 4． 若a、b、c为△ABC的三边的长,则(a?b?c)2?(b?c?a)2?(c?a?b)2=_______.

5．如图39，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离等于______．

6.2的小数部分我们记作m,则m+m+2=___________.

7．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中，较大的一个实根等于______． 8．如图40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______． 9．一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后

仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”， 则所有“无瑕质数”之和等于______．

10．若3x2+4y-10=0，则15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=______．

2

10

答案与提示

一、选择题

提示：

1．用特殊值法，不妨设a=0.4，b=0.2，则a+b=0.6＜1，可排除(A)；ab=0.08＜1，可排除(B)；

2．根据三角形内角和为180°及三个内角度数之比为1∶2∶3，容易得出三个内角为30°，60°，90°．30°角对边为最短边，由题设知，

5．由∠A+∠B+∠C=180°，即(θ-α)+θ+(θ+α)=3θ=180°，

11

∴应选(C)．

n-1=a-1，n+1=a+1，其算术平方根分别为

7．由题意知a-1993≥0，因而a≥1993． 于是|1992-a|=a-1992．

2

2

从而a-1993=1992，故a-1992=1993．∴应选(C)． 8．设a=7k+4(k为正整数)，则

2

2

a+5=(7k+4)+5 =(7k)3+33(7k)234+33(7k)342+43+5 =7(7k+337k34+3k34+9)+6 因此，a3+5被7除余6，故应选(D)．

2

3

2

2

33

x+667x+1992=0不能有非负根，所以x=667排除，剩下的-664，-1992，-3三个数中，最大者为-3，

2

以-3代入原方程，恰好满足方程，所以应选(D)．

注：此题也可由方程化为(x+664)(x+3)=0，可知方程较大的实根为

二、填空题

提示：

1．设所求角为α，则有180°-α=3(90°-α)，从而解得α=45°．

12

3．令x=0，得(-1)=-a6，∴a6=-1．

4．由条件可知a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b， ∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，

6

5．连结AD（如图41）． ∵AD=AB，

∴∠BDA=∠DBA=30°．

因此，在直角三角形DBC中，∠BDC的对边BC等于斜边BD之半，而BC=4，所以BD=8．

2

7．由观察知，x=1满足方程，所以，方程(a-b)x+(b-c)x+(c-a)=0有实根1． 又知a-b＞0，b-c＞0，若x＞1，则有

(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)＞(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，所以方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0没有大于1的实根，因此较大的一个实根等于1．

8．如图42，∠6=∠7+∠4，∠7=∠2+∠5，但∠1+∠3+∠6=180°， ∴∠1+∠3+∠4+∠7=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．

9．根据题意，容易检验，两位“无瑕质数”分别是11，13，17，31，37，71，73，79，97，共计9个，它们的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=429．

10．因为15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=(3x2+4y-10)(5x+y+1)+10=10． 注：用因式分解的方法，凑出3x2+4y-10这个因子即可．

希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题

一、选择题:（每题1分，共15分）

1．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是 [ ] A.a+b<-1; B.ab<1; C.

abab<1; D.>1.

2．已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根. ③无限小数不一定是无理数. ④?3a一

13

定没有意义.其中正确的命题的个数是[ ] A．1

B．2 C．3 D．4

1223.已知8个数:,3?8,0.236,(1??2,?2),3.1416,??,3?4?27?17?3?2??13???, 2?其中无理数的个数是[ ] A．3

B．4C．5

D．6

4.若A=(a2?9)4,则A的算术平方根是[ ] A．a2+3 B．(a2+3)2. C．(a2+9)2 D．a2+9 5．下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 [ ] A．1，2，3. B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0 C．a，b，c，其中a+b＞c. D．1，m，n，其中1m＜n 6．方程x2+|x|-6=0的最大根与最小根的差是[ ] A．6

B．5. C．4 D．3

[ ]

7．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是 A．50°,50°,80°. B．50°,50°,80°或130°,25°,25° C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65° 8.如果x+y=73?52,x-y=72?53,那么xy的值是[ ] A.33?32; B.33?32; C.73?52; D.72?53. 9．如图67，在△ABC中，AB=AC，D点在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F． ∠BDE=140°，那么∠DEF是 [ ] A．55° B．60°. C．65° 10.已知-12D．70°

(x?4)2

A．3-3x. B．3+3x. C．5+x D．5-x

11．如图68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心， 那么图中全等的三角形的对数是[ ] A．5

B．6. C．7

D．8． D．2．

12．若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根，则k的最大整数值是 [ ] A．1. B．0. C．1

13．对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是[ ] A．1

B．2. C．3

D．4．

14．若方程9x2-6(a+1)x+a2-3=0的两根之积等于1，则a的值是[ ] A.?23; B.23; C.?22; D.22. 15．有下列四个命题：

①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形． ②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形． ③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．

④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是[ ]

14

A．①，② B．②，③. C．③，④ D．④，①． 二、填空题（每题1分，共15分）

1． 某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是______． 2.实数x满足x+5x?16=0,则5x?16的值为________.

3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=______．

22

4.如果实数x、y满足2x-6xy+9y-4x+4=0,那么xy=_________.

5．设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有______个． 6.

12?112?2+3+13??2?4+┉┉+2199?100=__________.

7.当0

9．已知a，b，c，d满足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么a+b+c+d=______． 10．如图69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC______DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接＝．

11.如果x-y=2+1,y-z=2-1,那么x2+y2+z2-xy-yz-zx=____________. 12.若u、v满足v=2u?v4u?3v?v?2u4u?3v?32,则u2-uv+v2=__________.

13．如图70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=______． 14．设方程x-y=1993的整数解为α，β，则|αβ|=______．

1x2

2

x?31x1x3?715.若,x+=3, 则

x?4=__________. ?34

15

答案与提示

一、选择题

提示：

∴应选(D)．

2．命题①，③是正确的，②，④不正确．∴应选(B)．

16

∴应选(D)．

5．由(a+1)+(a+2)=2a+3＞a+3(∵a＞0)，所以a+1，a+2，a+3可以成为三角形的三边，而1+2=3，故排除(A)，另外可举反例否定(C)，(D)．∴应选(B)．

6．原方程化为(|x|+3)(|x|-2)=0，解得|x|=-3，或|x|=2．但应舍去|x|=-3，故由|x|=2得：x1,2=±2．则x1-x2=4．∴应选(C)．

7．由已知得等腰三角形的某个内角是50°．若它是底角，则三个内角是50°，50°，80°；若它是顶角，则三个内角是50°，65°，65°．∴应选(D)．

9．∵DE⊥AC，∠BDE=140°． ∴∠A=140°90°=50°， ∵AB=AC，

∵DE⊥AC，EF⊥BC，

∴∠DEF=90°∠CEF，∠C=90°∠CEF． ∴∠DEF=∠C=65°．∴应选(C)．

11．如图72，△AGD≌△AGE，△DGB≌△EGC，△BGF≌△CGF，△AGB≌△AGC，△AFB≌△AFC，△AEB≌△ADC，△DBC≌△ECB，共7对．∴应选(C)．

12．原方程整理为(2k-1)x2-8x+6=0．当Δ≥0时，方程有实数根，

13．设三个连续自然数为k，k+1，k+2，则k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)，故以k，k+1，k+2为三边的三角形的周长总可以被3整除．又以2，3，4为三边的三角形，其周长为9，可否定①，④；以3，4，5为三边的三角形，其周长为12，可否定②．∴应选(A)．

14．∵△≥0，∴36(a+1)2-36(a2-3)≥0，∴a≥-2．又∵x12x2=1， 15．命题①是正确的．如图73在△ABC与

△ABC1中，AB=AB，BC=BC1，AD⊥BC1．显然钝角△ABC与锐角△ABC1是不全等的．

命题②不正确．如图74，75，在锐角△ABC与锐角△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，且AD=A1D1．可先证得

△ADB≌△A1D1B1，△ADC≌△A1D1C1，即可证得△ABC≌△A1B1C1．

命题③不正确．举一反例说明．如图76，在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，AD⊥BC1，AD=AD．但△ABC与△ABC1显然是不全等的．

命题④是正确的．可举一例说明．如图77，在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，∠ABC=

17

∠ABC1，但△ABC与△ABC1显然是不全等的． ∴应选(D)． 二、填空题

提示：

1．由条件知，这个自然数只能是两位数，其个位数字必定是5，它的十位数字可能是6或7。经验算，752=5625，652=4225．所以，这个数为65．

3．经观察，这10个数都与199相近，把每个数减199所得的差，分别记作-3.5，-2.5，-1.5，-0.5，+0.5，+1，+1.5，+2，+2.5，+3.5，上述这10个差数的平均数为+0.3，A=199.3，所以10A=1993． 4．可把条件变成(x-6xy+9y)+(x-4x+4)=0，

5．由a+b+c=13可知a+b=13-c，又a+b＞c，所以13-c＞c，即

2

2

2

共可组成5个三角形．

由0＜x＜2知，x+2＞0，x2＜0，

8．因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即(2m+1)2-4(m2+m+1)＜0，经整理得-3＜0，故对任意数m，Δ＜0．

18

9．由题设条件知道：b-(-1)=-1a及d-1=1-c，即a+b=2，c+d=-2． ∴a+b+c+d=0．

10．在BA的延长线AF上，截取AG，使AG=AC，连接GD，则△ADG≌△ADC，于是AG=AC，DG=DC，从而，DB+DC=DB+DG，又DB+DG＞BG，而BG=BA+AG=BA+AC，∴AB+AC＜DB+DC．

经整理，得x+y+z-xy-yz-yx=7．

222

13．由条件知△ABC与△CDE都是等边三角形．

在△BCE与△ACD中，BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=120°，

∴△BCE≌△ACD．于是，∠BEC=∠ADC，从而，△CEM≌△CDN，∴CM=CN=r． 14．由方程可知(x+y)(x-y)=199331，可得

∴|αβ|=9973996=993012．

19

希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题

一、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x的值是[ ]

A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定

2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ]

A． 可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐角 3.如果a?b?23+(a+b-23)=0,那么 A.1; B.-1; C.5-26; D.26-5.

4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ ]

2

A．ca＜b B．2b＜a+c. C．cb＞a D．b＜ac 5．有如下命题：

①负数没有立方根．

②一个实数的立方根不是正数就是负数．

③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ]

A．①②③ B．①②④. C．②③④ 6.若实数x、y满足x+y-4x-2y+5=0,则 A.1; B.

32?2

2

2

ba的值是[ ]

D．①③④ x?y的值是[ ]

3y?2x2; C.3?22; D.3?22.

7．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30

22

8．已知方程x-x-1994=1994，那么它的两根是 [ ] A．1994,1995 B．1994,1995. C．1994,1995 D．1994,1995

9．如图16，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ] A．70° B．75°. C．80° D．85°

10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ ]

A．(n+1)2 B．(n+1)2-(n-1)2. C．(n+1)3 .D．(n+1)3-n3 二、 A组填空题（每小题3分，共30分） 1.设A=6?2,B=3?5,则A、B中数值较小的是_________.

33a=0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________

2．已知实数a满足a+a2?3.一个角的余角比它的补角的

17还多60,则这个角的度数是_________.

20

4.对354?3250?35.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的

16作化简,结果是__________.

15恰是数a,则这个自然数是_________.

6．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠BCE=______． 8.当x=5-3时,多项式x3+5x2-2x-5的值是_______________.

9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_______．

10.如果11的小数部分是a,而三、

1a的小数部分是b,那么b=________.

B组填空题（每小题4分） 11111.设M=+++┉+, 1?22?33?41993?1994NN=1-2+3-4+5-6+┉+1993-1994,则=_______. 2(M?1)2．在四边形ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度 分别为a和b，那么AB的长为______． 3.设x=

1?2?23,y=1?2?23?x2?y2?,则???xy=_________.

2??24．如图20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E，

若AB=5，则DE的长是______． 5.计算:7?15?16?215=______________. 6．设方程x2+1993x-1994=0和(1994x)2-199331995x-1=0的较小根次是α,β，则α2β=______． 7.若?23?x?12,则(3x?2)2?1?4x?4x2?5x化简为____________.

28=8.设M,x,y均为正整数,且M?x?y,则x+y+M的值是_______.

9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______． 10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以A,B为圆心,AD,BD为半径的圆的

14,则阴影部分面积为__________.

答案2提示

21

一、选择题

提示：

1．根式内x≥0，∴x≤0；又等式右端x≥0，所以使等式成立的x的值只能是0．∴选(C)． 2．由于三角形的三个内角最多只能有一个钝角或者直角，所以它的三个外角中，不可能有两个直角，可能有三个钝角（此时三角形的三个内角均为锐角）。否定了(A)，(B)，(C)．故应选(D)．

4．解一：可用特殊值法，不妨设a=2，b= 4，c=5，显然a＜b＜c，且组成三角形．分别代入(A)，(B)，(C)，(D)．则仅有A成立．所以选(A)．

解二：(A)满足“三角形两边之和大于第三边”．肯定成立，故选(A)．

5．负数有立方根，0的立方根是0，又-1的立方根也是-1，所以错误命题是①②④，应选(B)．

7．设另一条直角边的长度为x，斜边的长度

8．原方程可化为x2-x-1994(1+1994)=0，即x2-x-199431995=0，于是由韦达定理推知，方程的两根为1995，-1994，应选(B)． 9．解一：如图22，连接BC，设∠DBC=α，∠DCB=β，∠DBG=∠1，∠DCG=∠2，则α+β+∠BDC=180°． ∴α+β=180°-140°=40°

在△BGC中α+∠1+β+∠2+∠BGC=180°

∴∠1+∠2=180°-110°-(α+β)=30° 在△BAC中∠EAF+2(∠1+∠2)+α+β=180°

∴∠EAF=180°-2330°-40°=80°．∴应选(C)． 解二：如图23延长BD分别交FC，AC于H，K．

设∠GBD=∠1，∠DCG=∠2，∠BDC=α，∠BGC=β，∠DHC=r． ∵α=r+∠2，r=β+∠1

∴α=β+∠1+∠2得∠1+∠2=140°-110°=30°

同理可推得β=∠A+∠1+∠2∴∠A=80°．应选(C)．

22

二、A组填空题 提示：

2．由条件知a+|a|+a=0，即2a+|a|=0，当a≥0时，2a+a=0，所示a=0；当a＜0时，2a-a=0，得a=0，矛盾．综上知a=0，于是得|a-1|+|a+1|=2．

6．如图24,由题设条件可知,∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°，共计4对．

7．解一：如图25，设∠ACD=∠1，∠BCE=∠2，∠DCE=∠3．∵AC=AE，∴∠AEC=∠1+∠3． ∵BC=BD，∴∠BDC=∠2+∠3．

两式相加得∠AEC+∠BDC=(∠1+∠2+∠3)+∠3=90°+∠3．

又在△DCE中∠DEC+∠EDC+∠3=180°．∴90°+2∠3=180°,∠3=45°，∴∠1+∠2=45°． 解二：∵∠ACE是等腰△ACE的底角，∴

9．如图26，∠B=66°，∠C=54°可知

∠BAC=60°，因为AD是角A的平分线，所以 ∠BAD=30°,∠ADB=180°-66°-30°=84°,

23

三、B组填空题 提示：

2．如图27，自C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，AE=CD=b，EC=AD=a．又∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠ECB．

∴∠ECB=∠B，△ECB是等腰三角形．EB=EC=a，∴AB=AE+EB=a+b．

解二：由题设知x+y=1

∴x2-y2=(x+y)(x-y)=x-y代入得，

4．如图28，由题设可知：∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，AE=ED．又∠3+∠4=90°， ∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5，BE=DE．

6．∵前一个方程即(x+1994)(x-1)=0．

∴α=1994．又后一个方程可化为(1994x+1)(x1)=0．

2

24

7．由题设知3x+2＞0，2x-1＜0． ∴原式=|3x+2|-|2x-1|+|5x|或原式=3x+2+2x-1+5x

∴xy=7，又x＞y，

M=x+y=8，∴x+y+M=16．

9．根据绝对值的几何意义及对称性原理，当x=-3时，|x+3|=0，而|x+2|与|x+4|的值相等，|x+1|与|x+5|的值相等．当x=-3时，|x+2|=|x+4|=1，|x+1|+|x+5|=2，因而原式=232+231=6，当x≠-3时，原式＞6．因此，原式的最小值为6．

10．连接CD，图21CD的右侧不动，左侧部分绕着D点逆时针方向旋转180°，使A点与B

第六届(1995年)初中二年级第一试试题

一、选择题: 1.下列五个数:3.1416,

1,?,3.14,??1,其中是有理数的有[ ]

?A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.-18的平方的立方根是[ ]

18 A.4; B.; C.-

14; D.

14.

3．适合不等式2x-1＞-3x+14≥4x-21的x的值的范围是 [ ] A．x＞3. B．x≤5. C．3＜x≤5 4.已知a是非零实数,则

aa?aa22D．3≤x＜5 的值是[ ]

?aa33A．3或1 B．3或1. C．3或1 D．3或1

5．若a，b，c为三角形的三条边长，则(a+b+c)+│a-b-c│-│b-c-a│+│c-b-a│=[ ] A．2(a-b-c)

25

B．2(b-a-c). C．2(c-a-b) A．50° B．60°. C．70°

D．2(a+b-c) D．80°

6．如图19，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，∠D=40°，则∠A= [ ] 7．已知实数a、b满足条件a2+b2+a2b2=4ab-1，则 [ ]

?a?1?a?1?a??1?a??1?a?1?a?1 A.?; B.?或?; C.? 或?; D.?.

b?1b?1b??1b?1b??1b??1??????8．某项工程，甲单独做需a天，在甲做了c天(c＜a＝后，剩下工作由乙单独完成还需b天，若开始就由甲、乙两人共同合做，则完成任务需[ ]天 A.

ca?baba?b?ca?b?c2bca?b?c; B.; C.; D..

9．如图20，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点， 则PA2+PB2PC的值为[ ] A．m2. B．m2+1. C．2m2. D.(m+1)2.

10．如图21，△ABC的面积为18cm2，点D、E、F分别位于AB、BC、CA上．且AD=4cm，DB=5cm．如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积是 A．8cm2. B．9cm2. C．10cm2. D．12cm2 二、A组填空题: 1.化简:625?36169?0.25=_________.

22[ ]

11????2计算:?10??0.001???0.01??10?=__________.

1001000????3．化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+?+x(1+x)1995，得到_____．

4．若n满足(n-1994)2+(1995-n)2=1，则(1995-n)2(n-1994)_____． 5．如图22,已知△ABC中，∠ACB＞90°，∠B=25°，CD⊥BC于点C， BD=2AC，点E在BC的延长线上，则∠ACE的大小是______． 6．在一个凸n边形(n＞3)的n个外角中，其中最多有_____个钝角．

7．如图23，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB=12cm，BC=13cm，则FC的长度是______．

8．已知a，b，c，d是四个不相等的正数，其中a最大,d最小,且满足条件小关系为_____________. 9.若方程

x?ba?2?x?abab?cd,则a+d与b+c的大

有唯一解,则a与b应满足的条件是____________.

10．有5根木条，其中2根完全相同，长8cm，另外三根分别长4cm，10cm，12cm，用其中三根组成一个三角形，则选择的办法有______种． 三、B组填空题

1． 一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍 是一个完全平方数，则n=_____． 2．已知x是实数，并且x+2x+2x+1=0，则x

3

2

1994

+x

1997

+x

2000

的值是_____．

3．如图24，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，

26

且BC=18cm，则BE的长度是_____．

4．如图25，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D， DE⊥AB于E，且AB=10cm，则△DEB的周长是_____． 5.已知x=2-5,那么x4-8x3+16x2-x+1的值是_______.

11?a?a?a?2??3?6.化简:?2=___________. ?642?a?a?1a?1?(a?1)?(a?a?1)427.已知:

1x?2y?4y?x?32x?1,则

233(y-x)的值是_______.

8．已知a，b，c，d是四个两两不等的正整数，它们的乘积abcd=1995，则a+b+c+d的最大值是_____． 9．如图26，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB∶AD=2∶3，∠BAD=2∠ABC，则FC∶FD=_____． 10．如图27，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OC1的长度是_____．

答案2提示

一、选择题 提示：

∴3＜x≤5，选（C）．

4．当时a＞0，│a│=a，∴原式=1+1+1=3；当a＜0时，│a│=-a，原式=-1+1-1=-1，故选（A）． 5．a，b，c为三角形的三条边长，满足条件a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b∴原式=-(a+b+c)+(b+c-a)+(b-a-c)+(a+b-c)=2(b-c-a)，选（B）． 6．∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBC=2∠D=80°，故选（D）．

27

9．作AD⊥BC交BC于D，设PD=x，则BP=BD-x，PC=CD+x，BD=CD ∴BP2PC=(BD-x)(BD+x)=BDx 而PA2=AD2+x2

∴PA2+PB2PC=BD2-x2+AD2+x2=BD2+AD2=AB2=m2．故选(A)． 10．如图28，连接DE，DC． ∵SDBEF=S△ABE

即S△ABE=10cm2，故选(C)． 二、A组填空题 提示：

2．原式=(10+0.01+0.001)2-(0.01+0.001-10)2 =[10+(0.01+0.001)]2-[10-(0.01+0.001)]2 =43(0.01+0.001)310=0.44

3．原式=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)+?+x(1+x)=(1+x)(1+x)+x(1+x)2+?+x(1+x)1995 =(1+x)2(1+x)+x(1+x)3+?+x(1+x)1995 =?=(1+x)1996

4．由条件(n-1994)2+(1995-n)2=1

又[(1995-n)+(n-1994)]=1,即(1995-n)+2(1995-n)(n-1994)+(n-1994)=1 ∴2(1995-n)(n-1994)=0,则(1995-n)(n-1994)=0 5．如图29，取BD的中点G，连接CG，

2

2

2

2

1995

2

2

28

∠A=∠CGA=2∠B=50° ∴∠ACE=∠A+∠B=75°

6．凸n边形的n个外角的和是360°，所以最多只能有3个钝角．

7．沿AE折叠后，有△ADE≌△AFE，AF=AD=13cm，在Rt△ABF中，AF=13，AB=12，∴BF=5cm ∴FC=BCBF=8cm．

d-b-dk=(b-d)(k-1) ∵b＞d，k＞1，∴a+b＞b+c

bx-b2=2ab-ax+a2,整理后，得(b+a)x=a2+2ab+b2 因方程有唯一解，故a+b≠0

10．选择方法有(8，8，4)，(8，8，10)，(8，8，12)，(4，8，10)，(4，10，12)，(8，10，12)共6种． 三、B组填空题 提示：

②①得 b2a2=89 即(b+a)(ba)=89

∴n=442+59=1995

2．由x3+2x2+2x+1=0得(x+1)(x2+x+1)=0

(-1)1994+(-1)1997+(-1)2000=1-1+1=1

3．如图30，连接AE，∴△BED≌△AED≌AEC，∠B=30°

4．在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，AD=AD∴△ACD≌△AED，AC=AE，CD=DE ∴BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10cm．

29

8．abcd=1995=32527219=123252(7219) 令a=1，b=3，c=5，d=133 ∴a+b+c+d=142为最大．

9．在平行四边形ABCD中，∠BAD=2∠ABC

∴∠BAD=120°，∠ABC=60°，又AE⊥BD，AF⊥CD， ∴∠BAE=30°，∠DAF=30°

∴FC∶FD=1∶3

又两阴影部分面积相等，

30

希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题

一、

选择题:

?aa?b1.下列各式中与分式 A.

?a?a?b的值相等的是[ ]

ab?a; B.

aa?b; C.; D.

?ab?a.

[ ]

2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，那么这个角等于 A．58° B．59°. C．60° A．5对. B．6对. C．7对. 4.设a=d=

1996199519951996D．61° D．8对.

1995199619953．如图23，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有[ ]

199519961996,b=,c=,

19961995,则下列不等关系中成立的是[ ]

A．a＞b＞c＞d. B．c＞a＞d＞b . C．a＞d＞c＞b. D．a＞c ＞d＞b

5．如图24，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点，∠ADC=130°，那么∠CAB的大小是[ ]

A．80° B．50°. C．40°

D．20°

6．已知一个三角形中两条边的长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值范围是[ ] A． 3a＞l＞3b. B．2（a＋b）＞l＞2a. C．2a＋b＞l＞2b＋a . D．3a－b＞l＞a＋2b 7.若

1a1b1c：：=2：3：4,则a：b：c等于[ ]

B．6：4：3. C．3：4：2 . D．3：4：6

A．4：3：2.

8．如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9厘米， BC=8厘米，CD=7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N， 则BN的长等于 [ ]

A．1厘米. B．1.5厘米. C．2厘米. D．2.5厘米

9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[ ] A．28 B．27

C．26

D．25

xy?ab10.已知x,y,a,b都是正数,且a

aba?b如果x+y=c,则x与y中较大的一个是[ ]

bca?b; B.

abb?c; C.

aca?b; D. .

二、A组填空题

1．因式公解：9a2－4b2＋4bc－c2=______．

31

2．化简分式:

b(a?b)(b?c)?c(b?c)(c?a)?a(c?a)(a?b)=_______.

3．已知多项式3x3＋ax2＋3x＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1,那么a的值是______． 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，则a的取值范围是______．

5．如图26，凸四边形ABCD的四边AB、BC、CD、和DA的长分别是3，4，12，和13，∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积S=______．

6．如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中互为补角关系的角共有______对．

7．如果a＋b=6，a3＋b3=72，那么a2＋b2的值是______． 8.如果a-3a+1=0,那么

2

a

6

3

的值是___________.

a?1

9．如图28，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD=AC，则∠B：∠C的值是______．

10．如图29，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，则∠C的大小是______． 二、 1.若

2B组填空题:

4x?ax?2?bx?2x?4,则a2+b2的值是_________.

2．已知a≥b＞0且3a＋2b－6=ac＋4b－8=0，则c的取值范围是______．

3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是______．

4．如图30，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10厘米，则MD的长为______． 5．已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m＋n＋p=______．

答案2提示

一、选择题 提示：

2

2

2

32

∴选C．

2．设该角为x°．

3．在图23中有△ABC≌△DCB，△ACD≌△DBC，△AOB≌△DOC，△AOC≌△DOB，△AOE≌△DOF，△AEC≌△DFB，△AEB≌△DFC，共有7对三角形全等，选C．

∴a＞c＞d＞b，选D． 5．解法1：如图31，连接BD， 则BD也是∠ABC的角平分线． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∠ADB=∠ADC=130°．

∴∠BDC=360°－23130°=100°． ∴∠DCB=∠DBC=40°． ∴∠ABC=∠ACB=80°．

∴∠CAB=180°－2380°=20°，选D． 解法2：设∠CAB=x°，则∠B=∠ACB

∴∠ACD＋∠CAD=180°－∠ADC．

解得x=20°，∴选D．

6．三角形中两边长为a，b，且a＞b，则第三边为C，满足条件a－b＜c＜a＋b， ∴a+b+（a-b）＜a+b+c＜a+b+（a+b）．即 2a＜a+b+c＜2（a+b），∴选B

8．如图32，连接AN，DN． ∵M为AD中点，MN⊥AD，

33

∴AN=DN

设BN=x，则CN=8-x， ∵CD2+CN2=AB2+BN2． ∴72+（8-x）2=92+x2． 解得x=2，∴选C．

9．设三个人年龄分别是x，y，z．

①+②+③得2（x+y+z）=168．

∴38-10=28，选A．

10．∵x，y，a，b均为正数，且a＜b，∴x，y中较大的数是y．

得x＜y．

二、A组填空题 提示： 1．因式分解

9a2－4b2＋4bc－c2=9a2－（4b2－4bc＋c2）=9a2－（2b－c）2=（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）

3．由已知3x＋ax＋3x＋1=（x＋1）（3x＋1）,∴3x＋ax＋3x＋1=3x＋x＋3x＋1,∴a=1 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，

3

2

2

3

2

3

2

34

5．连接AC，△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理得AC=5．在△ACD中，AC=5，CD=12，AD=13． ∵132=122＋52

∴△ACD是直角三角形．∠ACD=90°． ∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD6．∵∠AOC=60°， ∴∠BOC=120°，

又OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线， ∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE=60°．

有∠AOD＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠COB=180°，∠AOE＋∠BOE=180°，∠COD＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠AOE=180°，∠COE＋∠AOE=180°，∠BOE＋∠BOC=180°，∠COE＋∠BOC=180°，共有8组角互为补角．

7．∵a＋b=6 ①,a＋b=（a＋b）（a－ab＋b）=72． ∴a2－ab＋b2=12 ② ①－② 3ab=24 ∴ab=8 ③

把③代入②得a2＋b2=20． 8．∵a2－3a＋1=0， ∴a2＋1=3a． ∵a≠0，

=3（7－1）=18．

2

3

3

2

2

9．如图33，在AC上取AE=AB．连接DE，

在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD ∴△ABD≌△AED． ∴BD=DE， ∠B=∠AED．

又AC=AB＋BD，AE=AB， ∴EC=BD=DE． ∴∠EDC=∠C，

35

∴∠B=∠AED=∠EDC＋∠C=2∠C．

10．由已知，∠ABO=∠CBO，∠ADO=∠CDO．比较△ABG和△OGD的角的关系得∠A＋∠ABG=∠O＋∠ODG，①

同理比较△OBH和△CDH得∠C＋∠CDH=∠O＋∠OBH．② ①＋②得 ∠A＋∠C=2∠O． ∴∠C=2333°－27°=39°． 三、B组填空题 提示：

∴a＋b=8．

①32－②得（6－c）a=4．

∵a≥b＞c． ∴6－c＞0，c＜6 且4≥12－3c＞0

3．设这个凸多边形的边数为n，其中4个内角为钝角，n－4个内角为直角或锐角． ∴（n－2）2180°＜42180°＋（n－4）290° ∴n＜8，取n=7．

当n=7时，可以作4个170°的内角，其余3个内角分别为80°，80°，60°． 4．如图34，取AB中点N，连接DN，MN．在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，

∠NDB=∠B，在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点．

∴MN∥AC，∠NMB=∠C． 又∠NDB是△NDM的外角， ∴∠NDB=∠NMD＋∠DNM．

即∠B=∠NMD＋∠DNM=∠C＋∠DNM． 又∠B=2∠C，

22

36

∴∠DNM=∠C=∠NMD．

又AB=10（厘米）， ∴DM=5（厘米）．

5．由已知，mnp=5（m＋n＋p）．

由于m，n，p均为质数，5（m＋n＋p）中含有因数5． ∴m，n，p中一定有一个是5．

不妨设m=5．则5np=5（5＋n＋p）．即np=5＋n＋p． ∴np－n－p＋1=6即（n－1）（p－1）=6 又n，p均为质数．

希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题

一、选择题:

1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是 ［ ］

A．（x＋1）（x－1）＝x2－1. B．（a－b）（m－n）＝（b－a）（n－m） C．ab－a－b＋1＝（a－1）（b－1）.

［ ］

2．关于x的方程（5－2a）x＝－2的根是负数，那么a所能取的最大整数是 A．3 B．2. C．1 D．0

3．直角三角形的两个锐角的外角平分线所夹的锐角的大小是 A．30° B．45°. C．60°. D．15°或75°

［ ］

4．P是线段AB上的一点，AB＝1，以AP和BP为边分别作两个正方形,当这两个正方形的面积的差的绝对值为 A.或411234时,AP的长是[ ] ; B.或3123; C.或5145; D.或7257.

a?425.若a使分式

1?11?3a没有意义,那么a的值应是[ ] 2a15 A.0; B.?或0; C.?2或0; D.?或0.

36．已知四个代数式：①m＋n；②m－n；③2m＋n；④2m－n．当用2mn乘以上述四个式中的两个时，便得到多项式4m4n－2m3n2－2m2n3，那么这两个式子的编号是 ［ ］

2

37

A．①与② B．①与③. C．②与③ A．1＜l＜4

D．③与④

7．△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的长l的取值范围是 ［ ］

B．3＜l＜5. C．2＜l＜3 D．0＜l＜5

8．A、B、C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则［ ］ A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆周上 B．可以画一个圆，使A、B在圆周上，C在圆内 C．可以画一个圆，使A、C在圆周上，B在圆外 D．可以画一个圆，使A、C在圆周上，B在圆内

9．已知：m、n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是［ ］ A．70 B．72. C．77

D．84

10．甲、乙两种茶叶，以x∶y（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元，乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10％，乙种茶叶的价格下调了10％，但混合茶的价格不变，则x∶y等于 A．1∶1 B．5∶4. C．4∶5 二、A组填空题: 11.已知x?0,化简

1x?12x?13x［ ］ D．5∶6

所得的结果是____________.

12．五个连续奇数的平均数是1997，那么其中最大数的平方减去最小数的平方等于___． 13．现有8根木棍，它们的长分别是1，2，3，4，5，6，7，8，若从8根木棍中抽取3根拼三角形，要求三角形的最长边为8，另两边之差大于2（以上单位：厘米）．那么可以拼成的不同的三角形的种数为______．

14．如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD＝15，AC＝30，则AB的长为______． 15.已知

x2?y3?z4222,那么

x?2y?3zxy?2yz?3zx的值是________.

2

2

2

16．已知：a＝－2000，b＝1997，c＝－1995，那么a＋b＋c＋ab＋bc－ac的值是______． 17．如图2，△ABC中，∠1＝∠2，∠EDC＝∠BAC，AE＝AF，∠B＝60°，则图中的线段AF、BF、AE、EC、AD、BD、DC、DF中与DE的长相等的线段有______条．

18．如图3，∠A＝60°，线段BP、BE把∠ABC三等分，线段CP、CE把∠ACB三等分，则∠BPE的大小是______． 19. 已知a?0,b?0,1a?1b?2(a?b)a?b22?0,那么

ab的值是______．

20．某仓库贮存水果a吨，为保证每天供应市场20吨，则需每天从外地调入b吨水果，现实际调入量每天多了2吨，而市场每天供应量不变，那么比原来多供应的天数是______（用a、b表示）． 三、B组填空题

21．若｜a｜－｜b｜＝1，且3｜a｜＝4｜b｜，则在数轴上表示a、b两数对应的点的距离是______

38

或______．

22．△ABC的周长为19，且满足a＝b－1，c＝b＋2，则a、b、c的长分别为a＝______，b＝______，c＝______． 23.x,y为实数,且x?22y2?4?xy?2y,则x=________,y=_____.

24．如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子： (1)?1?12(?2??3);(2)?1?2(?3??2);(3)?4?12(?3??2);(4)?4?12?1.

其中有两个式子是正确的，它们是______和______． 25.已知abc?0,且_________.

a?b?cc?a?b?cb??a?b?ca,则

(a?b)(b?c)(c?a)abc的值是_______或

39

答案2提示

一、选择题 提示：

1．根据因式分解的概念，选（C）． 2．由题意，方程的根为负，即

∴ a所能取的最大整数是2，选（B）．

3．两个外角分别等于其不相邻的锐角与直角之和，因此两个外角之和等于270°．

所以选（B）．

4．两正方形的面积差＝AP2－（1－AP）2＝2AP－1

6．对多项式做因式分解：

原式＝2m2n（2m2－mn－n2）＝2m2n（2m＋n）（m－n），故选（C）． 7．如图5，延长AD到E，使DE＝AD，连接EC，△DEC与△ABD全等， ∴ EC＝AB＝5．

在△AEC中，AC＋EC＞AE，也就是3＋5＞2l，即l＜4．AC＋AE＞EC，即3＋2l＞5， ∴ l＞1．因此有1＜l＜4．故选（A）．

8．由题意，A、B、C三点依次在同一直线上．排除（A），且（B）、（C）均不可能成立，选（D）．

如果选（A），只能n＝7，m＝10，与题中等式相驳． 如果选（B），72＝839或6312，与题中不等式相驳．

40

如果选（C），77＝1137，也与题中等式相驳，只有选（D）正确． 10．由题意有50x＋40y＝50(1＋10％)x＋40(1－10％)y

二、A组填空题 提示：

12：由题意可知这五个奇数是：1993，1995，1997，1999和2001． 2001－1993＝（2001＋1993）（2001－1993）＝399438＝31952．

13：三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形．因为，7＋4＝11＞8且满足7－4＝3＞2；7＋3＝10＞8且满足7－3＝4＞2； 7＋2＝9＞8且满足7－2＝5＞2；6＋3＝9＞8且满足6－3＝3＞2． 14．如图6,作DE⊥AB,则△ABC≌△DBE，

2

2

在直角△DBE中，BD2＝DE2＋BE2即（2y－15）2＝y2＋152

∴ y＝20．AB＝AE＋BE＝30＋20＝50．

化简得到 y（y－20）＝0，

16．(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a－c)2

＝a＋2ab＋b＋b＋2bc＋c＋a－2ac＋c＝2(a＋b＋c＋ab＋bc－ac) 将a、b、c的值代入

(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a－c)2＝(－3)2＋(2)2＋(－5)2＝38．

∴ 原式＝19．17．连接FE交AD于O，△AFE为等腰三角形．∵∠1＝∠2，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴AO⊥EF，且FO＝OE，得到DF＝DE．∵∠EDC＝∠BAC，

∴△ABC≌△EDC，

∵∠ABC＝60°，

∴∠DEC＝60°，∠AED＝120°，则∠AFD＝120°，

41

∴△FBD为等边三角形．

∴BF＝BD＝DF＝DE．因此，与DE的长相等的线段有3条．

（请注意：当∠BAC＝60°时，除了AD外的其他7条线段均与DE的长度相等．） 18．在△BPC中，

∵BE平分∠CBP，CE平分∠BCP， ∴PE是∠BPC的平分线． ∵∠A＝60°，

∴∠ABC＋∠ACB＝120°．

b(a2＋b2)＋a(a2＋b2)＋2(a＋b)ab＝0， ab＋b＋a＋ab＋2ab＋2ab＝0．

2

3

3

2

2

2

20．设原来供应x天，现在供应y天．

三、B组填空题 提示：

21．如图7，由题意｜a｜＝1＋｜b｜， ∴3｜a｜＝3＋3｜b｜＝4｜b｜， ∴｜b｜＝3，b＝±3． ｜a｜＝1＋｜b｜＝4， ∴a＝±4．

42

22．将a＝b－1，c＝b＋2代入a＋b＋c＝19，得b＝6，则a＝5，c＝8．

当b＋c＝-a,＋b＝-c,a＋c＝-b时,

当b＝c,a＝b,a＝c即a＝b＝c时，

43

第九届（1998年）初中二年级第一试试题

一、选择题（第小题6分，共60分）

1．将多项式x－4y－9z－12yz分解成因式的积，结果是 [ ] A．（x＋2y－3z）（x－2y－3z）. B．（x－2y－3z）（x－2y＋3z） C．（x＋2y＋3z）（x＋2y－3z）. D．（x＋2y＋3z）（x－2y－3z） 2．设实数m、n满足mn＋m＋n＋10mn＋16＝0，则有 [ ] A.??m?2?m??2?m?2?m?2或?或?; B.?;

?n?2?n??2?n?2?n??22

2

2

2

2

2

2

?m?2?m??2?m??2?m??2或?或? C.?; D.? n??2n?2n??2n?2????

3．如图1，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，则∠C的大小是[ ] A．20° B．25°. C．30°

D．大于30°

4．如图2，△ABC中，∠C＝90°，D、E为AB上的两点，若AE＝AC，∠DCE＝45°，则图中与BC等长的线段是[ ] A．CD. B．BD. C．CE. D．AE－BE

15.要使分式1?x有意义,则x的取值范围是[ ]

xA．x≠0. B．x≠1且x≠0. C．x≠0或x≠±1. D．x≠0且x≠±1 6．已知a－b＝3，那么a3－b3－9ab的值是 A．3. B．9. C．27

. D．81

[ ]

[ ]

7．如图3，∠MAN＝16°，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1＝AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2

＝A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止.那么作出的最后一点是 A．A5.

B．A6. C．A7

. D．A8

8．已知a、b、c、d为正实数，且a2＝2，b3＝3，c4＝4，d5＝5，则a、b、c、d中最大的数是[ ] A．a. B．b. C．c. D．d

9．已知三个整数a、b、c的和为奇数，那么，a2＋b2－c2＋2ab [ ]

A．一定是非零偶数. B．等于零. C．一定是奇数.D．可能是奇数，也可能是偶数

10．已知a1、a2、b1、b2均为正数，且a1≥a2，a1≤b1，a1a2≤b1b2，则a1＋a2与b1＋b2的大小关系是 [ ]

A．a1＋a2≤b1＋b2. B．a1＋a2≥b1＋b2. C．a1＋a2＝b1＋b2. D．无法确定的 二、A组填空题（每小题6分，共60分）

44

11．已知p与q互为相反数（p≠0），s与t互为倒数,那么

m?16m?4m?16424p?qp?q3333?s?tst?st22=______.

12.化简:

?m?4m?832?m?2m?4m?4m?422?(m?2)=__________.

3213．△ABC中，M为BC上一点，AM是∠BAC的平分线,若AB=2,AC=1,BM=,则CM的长是_____.

14．如图4，已知DO⊥AB，OA＝OD，OB＝OC，则∠OCE＋∠B的大小是__________. 15.已知a≠0,b≠0,且

1a?1b=4,那么

4a?3ab?4b?3a?2ab?3b=_________.

16.若m=

aba?b2,则化简

pm2am?b?pma应得到________.

17．如图5，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF＝BD，连接AF，则∠BAF的大小是_______.

18．已知平行四边形ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE＝5，DF＝8，则BE＋BF的长为___________.

19．已知0＜a＜b＜1，且a＋b＝1，那么a,b,a+b,20．已知n为正整数，且4＋4＋4

7

n

1998

2

2

12这四个数从小到大排列为__________.

是一个完全平方数，则n的一个值是____________.

三、B组填空题（每小题6分，共30分）

21．当x＝________且y＝________时，代数式－x2－2y2－2x＋8y－5有最大值，这个最大值是________.

22．已知A、B、C三点共线，且线段AB＝16，点D是BC的中点，AD＝12.5，则BC的长为___________或________.

23．若对于任意实数x，等式（2x－1）2－a（x－b）2＝px都成立（a、b、p为常数）.那么p的值是________或___________.

24．设A、B两地的距离为s，甲、乙两人同时从A地步行到B地,甲的速度为v,乙用一半的路程,再用

3443v的速度行走了

v的速度走完了另一半的路程,那么________先到达B地（填甲或乙）.甲与乙

所用的时间的比是________.

25．已知一个矩形的长、宽分别为正整数a、b，其面积的数值等于它的周长数值的2倍，则a＋b＝________或________.

45

答案2提示

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

D C A B D C B B C

答案

10 A 提示：

1．x2－4y2－9z2－12yz＝x2－（4y2＋12yz＋9z2）＝x2－（2y＋3z）2 ＝[x＋（2y＋3z）][x－（2y＋3z）]＝（x＋2y＋3z）（x－2y－3z）∴选D. 2．∵m2n2＋m2＋n2＋10mn＋16＝0

∴（m2n2＋8mn＋16）＋（m2＋2mn＋n2）＝0 ∴（mn＋4）2＋（m＋n）2＝0 又 ∵（mn＋4）2≥0，（m＋n）2≥0 ∴（mn＋4）2＝0，（m＋n）2＝0

3．如图6，在DC上取DE＝DB.连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD＝ED，AD＝AD. ∴△ABD≌△AED. ∴AB＝AE，∠B＝∠AED. 又 ∵AB＋BD＝CD

∴EC＝CD－DE＝CD－BD=（AB＋BD）－BD＝AB＝AE ∴∠C＝∠CAE ∴∠B＝∠AED＝2∠C

又 ∵∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°

46

∴∠C＝20°，选A.

4．如图7，由已知∠2＝45°， ∵AE＝AC

∴∠5＝∠2＋∠3＝45°＋∠3

又 ∵∠4是△ADC的外角．∠5是△BEC的外角. ∴∠4＝∠A＋∠3

∠1＝∠5－∠B＝（45°＋∠3）-（90°-∠A）=∠3＋∠A－45°=∠4－45° ∴∠4＝∠1＋45°=∠BCD ∴BC＝BD，选B.

即 x≠0且1－｜x｜≠0，

∴ x的取值范围是x≠0且x≠±1，选D. 6．∵ a－b＝3 ∴a－b－9ab

=（a－b）（a＋ab＋b）－9ab =（a－b）[（a－b）＋3ab]－9ab =（a－b）3＋9ab－9ab =（a－b）3＝27，选C.

7．如图8，在△AA1A2中，AA1＝A1A2 ∴ ∠AA2A1＝∠A 又 ∠1是△AA1A2的外角. ∴ ∠1＝2∠A ∵ A1A2＝A2A3

∴ ∠A2A3A＝∠1＝2∠A ∴ ∠2＝∠1＋∠A＝3∠A 同理∠3＝4∠A，∠4＝5∠A， ∠5＝6∠A＝96°

如果存在A7点，则△A5A6A7为等腰三角形且∠5是△A5A6A7的一个底角，而∠5＞90°，矛盾. ∴作出的最后一点为A6，选B. 8．∵ a＝2，c＝4 ∴ c2＝2＝a2，a＝c.

又 ∵ a6＝（a2）3＝8, b6＝（b3）2＝9 ∴ b＞a＝c,最后比较b与d的大小. ∵ b＝（b）＝243, ∴ b＞d

∴ a、b、c、d中b最大，选B.

9． a2＋b2－c2＋2ab=（a＋b）2－c2＝（a＋b＋c）（a＋b－c）

15

3

5

2

4

2

2

2

3

3

d＝（d）＝125

1553

47

∵a＋b＋c为奇数.

∴a、b、c三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数. 当a、b、c中有一个奇数、两个偶数时，则a＋b－c为奇数. 当a、b、c三个都是奇数时，也有a＋b－c为奇数. ∴（a＋b＋c）（a＋b－c）是奇数，选C. 10．∵a1、a2、b1、b2均为正数，且a1a2≤b1b2.

又当a1、a2、b1、b2均相等时，等号成立，所以选A. 二、A组填空题 题号 12 1 13

答案

11 －1

14 180° 15 16 p 17 45° 18 19

20 1003或3988

11．∵p与q互为相反数，s与t互为倒数 ∴ p＋q＝0，st＝1

48

13．如图9，过C作CD∥MA，交BA的延长线于D，则∠BAM＝∠ADC,∠MAC＝∠ACD ∵∠BAM＝∠MAC ∴∠ADC＝∠ACD ∴ AC＝AD，AD＝1 ∴ AM∥CD，

14．在Rt△AOC和Rt△DOB中，OA＝OD，OC＝OB. ∴ Rt△AOC≌Rt△DOB ∴ ∠A＝∠D

∵ ∠ECO是△AOC的外角

∴ ∠ECO＝∠A＋∠COA＝90°＋∠A 又 ∠B＝90°－∠D

∴∠ECO＋∠B＝90°＋∠A＋90°－∠D＝180°.

49

17．如图10，连接AC. ∵四边形ABCD是矩形. ∴AC＝BD.

在△ACF中，AC＝BD＝CF. ∴∠F＝∠2.

设AF与BD相交于G.在△ABG和△EFG中，∠AGB＝∠EGF.

∴∠3＋∠ABG＝90°＋∠F ＝90°＋∠2.又∠ABG＝90°－∠ADB ∴ ∠3＋90°－∠1＝90°＋∠2. ∴ ∠3＝∠1＋∠2. 又 ∠1＋∠2＋∠3＝90°. ∴ ∠BAF＝∠3＝45°.

18．对于平行四边形ABCD，有两种可能： （1）当∠A为锐角时，如图11. 设AB＝a，BC＝b，DE⊥AB，DF⊥BC. ∴AB2DE＝BC2DF即5a＝8b.又a＋b＝26. 解得 a＝16，b＝10.

在Rt△ADE中，AD＝BC＝10，DE＝5.

＝90°－∠1.

（2）当∠D为锐角时，如图12.

设AB＝a，BC＝b，DE⊥AB，DF⊥BC，同上可得

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