2014年高考高三第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形1.3.6

3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及简单三角函数模型的应用

考纲点击 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能画出函数 y= Asin(ωx+φ)的图象，了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影 响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会 用三角函数解决一些简单实际问题.

说基础课前预习读教材

考点梳理 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 振幅 周期 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0), T=① x∈[0, +∞)表示 A ____ 一个振动量时

频率

相位

初相 φ

f=② ______ ωx+φ =③ ______

2π 1 ω ① ω ②T ③2π

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五 个特征点.如下表所示.π 3π φ π-φ 2π-φ 2-φ 2 -φ x -ω ω ω ω ω ωx+φ ④____ ⑤____ ⑥____ ⑦____ ⑧____ 0 0 0 A y=Asin(ωx+φ) -A

π 3 ④0 ⑤2 ⑥π ⑦2π ⑧2π

3.函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的图象的步骤

⑨|φ|

1 1 φ ⑩ω A ω |ω|

A

考点自测 1.已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如 下：那么 ω=( )

A.1 1 C.2

B.2 1 D.3

2π 解析：由图象可知，函数周期 T=π,ω= T =2,故选 B. 答案：B

2.要得到函数 图象( )

π y=sin 2x-3 的图象，只需将

y=sin2x 的

π π A.向右平移6个单位 B.向左平移6个单位 π π C.向右平移3个单位 D.向左平移3个单位 π π 解析：∵y=sin 2x-3 =sin2 x-6 π ∴向右平移6个单位.故选 A. 答案：A

3.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象 分别交于 M、N 两点，则|MN|的最大值为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

解析：|MN|=|sinα-cosα|=| ∴|MN|max= 2,故选 B. 答案：B

π 2sin a-4 |,

4.把函数

π π 2x+ 的图象向右平移 个单位，再把所 y=sin 4 8

1 得图象上各点的横坐标缩短到原来的2,则所得图象的解析式 为__________.

π π 2x+ 的图象向右平移 个单位，得：y= 解析：将 y=sin 4 8 π π sin 2 x-8 +4 ,即 y=sin2x 的图象，再将 y=sin2x 的图象上

1 各点的横坐标缩短到原来的2,就得到函数 y=sin4x 的图象. 答案：y=sin4x

5.将函数

π 4π <φ<π 的图象，仅向右平移 . y=sin(ωx+φ) 2 3

2π 或仅向左平移 3 ,所得到的函数图象均关于原点对称，则 ω= __________.

解析：注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半， 2π 1 T 4π 2π 即有2 = 3 - - 3 =2π,T=4π,即 ω =4π,ω=2. 1 答案：2

说考点拓展延伸串知识

疑点清源 1.作图时

应注意的两点 (1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域. (2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要 作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.

2.图象变换的两种方法的区别 由 y=sinx 的图象，利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ) +B(A>0,ω>0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和 相位变换的先后顺序不同时原图象沿 x 轴的伸缩量的区别.先 平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位，而先 |φ| 周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是 ω 个单位. 为什么会有这个区别呢？其原因是，我们所说的平移多少 (即平移量)是相对于 x 来说的，与 x 的系数 ω 无关，因而应写 φ |φ| ω x+ +B 的形式.故平移量为 个单位. 成 y=Asin ω ω

题型探究 题型一 作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 π 例 1 已知函数 y=2sin 2x+3 , (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； π (3)说明 y=2sin 2x+3 的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样 的变换而得到.

解析： π (1)y=2sin 2x+3 的振幅

A=2,

2π π 周期 T= 2 =π,初相 φ=3.

π π (2)令 x′=2x+3,则 y=2sin 2x+3 =2sinx′. 列表： π π π 7π 5π x -6 12 3 12 6 π 3π 0 π 2π x′ 2 2 0 1 0 -1 0 y=sinx′ π 2 0 -2 0 y=2sin 2x+3 0

描点连线得函数图象：

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