第5章 离散信号与系统的时域分析

第五章 离散信号与系统的时域分析5.1 离散时间基本信号 5.2 卷 积 和 5.3 离散系统的描述 5.4 离散系统零状态响应 5.5 离散系统零状态响应 5.6 差分方程的经典解法

5.1 离散时间基本信号5.1.1 离散时间信号 1.定义 连续信号 是连续时间变量t的函数，记为f (t)。 离散信号 是离散时间变量tk(k为任意整数)的函数， 记为f (tk)。 序列 2.表示 (a)图形表示f (tk) f (kT)

序列 值

f (k)

… t-3 t-2 t-1 o (a) t1 t2 t3

… tk

… -3T -2T -T o T 2T 3T (b)

… kT

… -3 -2 -1 o 1 2 3 (c)

…

序号k

(tk-t(k-1))图a中为变数；在图b,c中为常数。

(b)解析表示

(k )

1 (k) 0

k 0 k 0 1 0 1 2 3 4 5 k

k 1 e k f (k ) 其余 0 (c)集合表示 ,1 2 3 4 0 0, , , , , ,5.1.2 离散基本信号 1. 单位脉冲序列 k=0 (k )1

1 (k) 0

k 0 k 0-2 -1

o

1

2

k

位移单位脉冲序列

2.正弦序列

1 (k k0 ) 0

k k0 k k0

f (k ) A cos( 0 k )A : 振幅 0:数字角频率(rad) : (rad或度) 相位连续正弦信号是周期信号，但正弦序列不一定是周期序列。

f (k ) A cos( 0 k ) A cos( 0 k 2m ) A cos[ 0 (k N ) ] 2m 为整数，或者 式中，m、N 均为整数，只有满足 N 0

2m A cos 0 k 0

当

2 N 0 m

为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则 为非周期序列。

如果正弦序列是由连续正弦信号通过抽样得到，设正弦cos 0 t的周期为T0,抽样周期为Ts。则

f (k ) cos( 0 t ) t kTs

2 2 N 2 Ts 式中： 0 得： 代入式 T0 0 0 m T0 要求 为有理数时f (t )才为周期序列。 Ts 3.复指数序列

2 cos T kTs cos( 0 k ) 0

T0 N Ts m

设复数A A e j , j 0,且e r,则有：

f (k ) Ae k A e j e ( j 0 ) k A e k e j ( 0 ) Ar ek k j ( 0 k )

A r [cos( 0 k ) j sin( 0 k )可见，复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数规律变化

的正弦序列。

如下页图所示

r >1时，f (t)的实虚部 均为指数增长的正弦 序列。r <1时，f (t)的实虚部 均为指数减小的正弦 序列。

r =1时，f (t)的实虚部 均为正弦序列。

4.Z序列

f (k ) z

k

z为复数

连续、离散基本信号对应关系 单位冲激信号

正弦信号虚指数信号 复指数函数

(t ) (k ) A cos( t ) A cos( 0 k ) Ae j t Ae j k e st e k (或z k )0

单位脉冲序列

正弦序列虚指

数序列 复指数序列

5.2 卷 积 和5.2.1 卷积和的定义 连续信号卷积积分 离散信号卷积和

f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d

f (k ) f1 (k ) f 2 (k ) 显然，按定义有 因 果 序 列

i

f (i ) f (k i )1 2

f1 (k ) (k ) f 2 (k ) f1 (i ) f 2 (k i ) f1 (k ) f 2 (k ) (k )

i

f

i 0 k

1

(i ) f 2 (k i )k

f1 (k ) (k ) f 2 (k ) (k ) f1 (i ) f 2 (k i )i 0

5.2.2 图解机理

y (k ) f1 (k ) f 2 (k )

i

f (i ) f1

2

(k i )

步骤：翻转、平移、相乘、求和。

step 1. 画出f1 (i )、f 2 (i )的图形。 step 2. f 2 (i )翻转180 得f 2 ( i )。 - step 3. 将f 2 ( i )平移 k 得f 2 (k-i )。 - step 4. 相乘、求和得序号 k的卷和值。 step 5. 令k由- 到+ 变化，重复 3、步得卷积序列y (k )。 4例：

*

有限长序列的卷和计算 *中间累加结果不进位。 *任一乘积项结果序号 等于 f1(i)中i与f2(k-i)中(k-i)两序 号之和。 1. 代数性质：交换律、结合律、分配律。 2. f (k ) (k ) (k ) f (k ) f (k ) 3. 若f1 (k ) f 2 (k ) f (k ),则

卷 积 和 性 质

f1 (k ) f 2 (k k0 ) f 1 (k k0 ) f 2 (k ) f (k k0 ) f 1 ( k k 0 ) f 2 ( k k 0 ) f ( k 2k 0 ) f 1 (k k1 ) f 2 (k k 2 ) f 1 (k k 2 ) f 2 (k k1 ) f (k k1 k 2 )

5.2.3 常用序列卷积和公式卷积积分 卷积和

1。 f (t ) (t ) f (t )

f ( k ) (k ) f ( k )t 0

2。 f (t ) (t ) (t ) f ( x)dx

f (k ) (k ) (k ) f (i )

k

3。 (t ) (t ) t (t ) e t

(k ) (k )

i 0

(t ) e

t

(t ) t

( k 1) ( k ) e k ( k ) e k ( k ) ( k 1)e k (k ) a k (k ) a k (k ) ( k 1)a k ( k )

te

(t )

e 1k (k ) e 2k (k ) 1 1 ( k 1) 2 ( k 1) 4。e t (t ) e t (t ) (k ) e 1 2 e e e 1 k (e t e t ) (t ) e (k ) (k ) 1 2 1 ( k 1) e 1 (k ) e 11 2 1 2

e t (t ) (t ) 1 t (e 1) (t ) 0

k k a1 (k ) a 2 (k ) 1 k 1 k 1 (a1 a 2 ) (k ) a1 a 2 a k (k ) (k ) 1 (a k 1 1) (k ) a 1

5.3 离散系统的描述一.LTI离散时间系统1.输入输出模型f (k ) 离散系统 y(k )

设k0为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分， 称k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输 入信号或简称输入信号。

根据引起系统响应的原因不同，可将输出响应区分为零输入响应yx(k)零状态响应yx(k)和完全响应y(k)。

2.状态和状态变量 系统在 k0 时刻的状态是一组最少数目的数据：

x( k0 ) x1 ( k0 ),x2 ( k0 ), ,xn ( k0 ) 同时满足：数据x( k0 ) 区间 k0,k 上的输入f ( k ) 唯一确定k时刻 的输出y( k )

而不必具体知道k0以前的输入情况。 系统阶数=独立数据数目n 状态变量是描述系统状态变化的变量，记为：

x( k ) x1 ( k ),x2 ( k ), ,xn ( k )

t

初始观察时刻(通常设k0=0)的状态称为初始状态，记为x(0), 代表全部历史输入信号对系统的作用效果。

3.线性和线性系统齐次性：系统对任意激励f和常数 ,响应y满足 f y 且

f y

叠加性：系统对任意激励f1、f 2,响应y满足 f1 y f2 yf 1单 独 激 励

=y1 =y 2f 1、f 2 共 同 激 励

f 2单 独 激 励

并且：f1,f 2 yf1 y f2 y

=y1 y2

线 性：系统对任意激励f1、f 2和常数 1、 2,响应y满足f 1单 独 激 励

=y1 =y 2f 1、f 2 共 同 激 励

f 2单 独 激 励

并且： 1 f 1, 2 f 2 y

= 1 y1 2 y2

线性系统/非线性系统，满足以下三个条件的系统是线性 系统，否则是非线性系统。 (1)响应的可分解性： y( k ) y x ( k ) y f ( k ) (2)零输入线性： y x (k )对于历史输入或初始状态呈线性 (3)零状态线性： y f ( k )对于激励f ( k )满足线性 4.时不变性和时不变系统 时不变性：若f ( k ) y f ( k ),且f ( k k0 ) y f ( k k0 )

时不变系统：具有时不变性或参数不随时间改变的系统。5.因果性和因果系统 因 果 性：响应不会出现在激励作业之前。 因果系统：满足因果性的系统。

二.差分方程描述LTI连续系统：N阶线性常系数微分方程； LTI离散系统：N阶线性常系数差分方程(后向)。

y( k ) an 1 y( k 1) a n 2 y( k 2) a0 y( k n) bm f ( k ) bm 1 f ( k 1) b1 f ( k m 1) b0 f ( k m )初始条件 历史条件：y(-1)、y(-2)、… 、y(-n) 当前条件：y(0)、y(1)、… 、y(n-1)超前算子E:Ef ( k ) f ( k 1);E n f ( k ) f (k n) 滞后算子E-1:E-1 f ( k ) f ( k- );E-n f ( k ) f ( k-n) 1

三.算子方程描述1.差分 算子 2.算子 方程

(1 a n 1 E 1 a n 2 E 2 a0 E n ) y( k ) (bm bm 1 E 1 bm 2 E 2 b0 E m ) f ( k )

bm bm 1 E 1 b0 E m B( E ) f (k ) f (k ) 或写成：y( k ) 1 n 1 a n 1 E a 0 E A( E )

式中

B( E ) H ( E ) 称为系统传输算子。 A( E )

H ( E )中应用滞后算子E 1,相应差分

方程为后向差分方程。

四.框图、信号流图表示例1:LTI离散系统差分方程

y(k ) 2 y(k 1) 3 y(k 2) f (k )或

(二阶系统)

解：算子方程： (1 2 E 1 3 E 2 ) y( k ) f ( k )

y( k ) f ( k ) 2 E 1 y( k ) 3 E 2 y( k )1 1 2 E 1 3 E 2

传输算子： H ( E )

方框图、信号流图见下页

方框图

信号流图

例2:LTI二阶 离散系统：

y( k ) 2 y( k 1) 3 y( k 2) 4 f ( k ) 5 f ( k 1) 6 f ( k 2)

算子方程： (1 2 E 1 3 E 2 ) y( k ) (4 5 E 1 6 E 2 ) f ( k ) A(E) B( E ) f ( k ) B( E ) x ( k ) 或写成： y( k ) A( E ) 等效方程： 由(1)式得： A( E ) x ( k ) f ( k ) y( k ) B( E ) x ( k ) (1) ( 2)

B(E)1 x( k ) f (k ) A( E )

(1 2 E 1 3 E 2 ) x ( k ) f ( k ) x ( k ) f ( k ) 2 E 1 x ( k ) 3 E 2 x ( k )

由(2)式得：y( k ) (4 5 E 1 6 E 2 ) x( k )

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