高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲双曲线知能训练轻松闯关

不应该以教师的分析来代替学生的阅读实践，应让学生在主动积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，受到情感的熏陶，获得思维启迪，享受审美乐趣。因此，把自主权交给学生，引导学生说发现，说理解，说体验，在学生之间的互动互补中，感悟诗句，走进诗人的情感世界，读书的过程变成了学生自主发现和探索的有趣经历。）

第7讲 双曲线

1．(2016·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的

方程为( )

A.x 24－y 212＝1

B.x 212－y 24＝1

C.x 210－y 26＝1

D.x 26－y 210

＝1 解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4， 0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，

双曲线方程为x 24－y 212

＝1，故选A. 2．(2015·高考福建卷)若双曲线E ：x 29－y 216

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )

A ．11

B ．9

C ．5

D ．3

解析：选B.由题意知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||

＝2a ＝6.所以|PF 2|＝9. 3．(2016·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( ) A ．±2

B ．± 2

C ．±12

D ．±22 解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的离心率为3， 所以e ＝

c a ＝1＋b 2a 2＝3，解得b a

＝2， 所以其渐近线的斜率为± 2.故选B. 4．(2015·高考湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53 解析：选D.由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43

， 所以b 2a 2＝169

. 又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169

， 即e 2－1＝169， 所以e 2＝259，所以e ＝53

. 5．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两

不应该以教师的分析来代替学生的阅读实践，应让学生在主动积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，受到情感的熏陶，获得思维启迪，享受审美乐趣。因此，把自主权交给学生，引导学生说发现，说理解，说体验，在学生之间的互动互补中，感悟诗句，走进诗人的情感世界，读书的过程变成了学生自主发现和探索的有趣经历。）

条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433

B ．2 3

C ．6

D ．4 3 解析：选D.由题意知，双曲线x 2－y 2

3＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 6．(2016·太原模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，且F 1P →·(OF 1→＋OP →)＝0(O 为坐标原点)，若|F 1P |＝2|F 2P |，则该双曲线的离心率为( ) A.6＋ 3 B.6＋32 C.6＋ 2 D.6＋22

解析：选A.设线段PF 1的中点为D ，则F 1P →·(OF 1→＋OP →)＝F 1P →·(2OD →)＝0，所以F 1P →⊥OD →，又因

为点O 为线段F 1F 2的中点，所以OD ∥PF 2，所以F 1P ⊥PF 2，所以|F 1P |2＋|PF 2|2＝4c 2，①

又因为点P 在双曲线的右支上，所以|F 1P |－|PF 2|＝2a ，②又因为|F 1P |＝2|PF 2|，③联立

①②③得e 2＝c 2a 2＝33－22，所以e ＝6＋3，故选A. 7．已知双曲线x 29－y 2

a

＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________． 解析：依题意知(13)2＝9＋a ，所以a ＝4，

故双曲线方程为x 29－y 24

＝1， 则渐近线方程为x 3±y

2

＝0.即2x ±3y ＝0. 答案：2x ＋3y ＝0或2x －3y ＝0 8．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2

m

＝1的焦距等于4，则n ＝________． 解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2

－m

＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2

n

＋x 2＝1，且n >0，又椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．

答案：5

9．(2015·高考湖南卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．

解析：不妨设F (－c ，0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c ，2b )．又点P 在

双曲线上，

则c 2a －4b 2b ＝1，故c 2a ＝5，即e ＝c a

＝ 5. 答案： 5

10．(2016·南昌模拟)过原点的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右两支分别相交于A ，B 两点，F (－3，0)是双曲线C 的左焦点，若|FA |＋|FB |＝4，FA →·FB →＝0，则双

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