吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试（数学文）

东北师大附中

2010—2011学年度上学期高三年级第三次摸底考试

数学试题（文科）

说明：

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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置． 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案． 参考公式：圆锥表面积公式：S??r?r?l?（r是圆锥底面半径，l是母线） 圆锥体积公式：V?13?rh（r是圆锥底面半径，h是高）

32 球体积公式：V?4?R3（R是球的半径）高考资源网yjw

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）． 1．已知集合M?xy?

高考资源网yjw?2?x?3x，N??x||x|?2?，则M?N?

?（ ）

A．?x|1?x?3? C．?x|2?x?3?

x0B．?x|0?x?3? D．?x2?x?3?

2．命题“存在x0?R，2

?0”的否定是 （ ）

xxA．不存在x0?R， 20>0 B．存在x0?R，20?0

C．对任意的x?R，2x?0 D．对任意的x?R， 2x>0

（ ）

0.93．已知：a?log0.70.9，b?log1.10.7，c?1.1，则a，b，c的大小关系为

A．a?b?c B．a?c?b

（ ）

C．b?a?c D．c?a?b 4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的体积为：

高考资源网yjw56正视图556侧视图56

俯视图

12?

A．12?cm3 B．15?cm3

sin35?2?C．36?cm3 D． 48?cm3

D．1

（ ） （ ）

5．化简

A．

12sin20? B．?12 C．?1

6．已知实数a、b，则“ab?2”是“a2?b2?4”的

A．充分不必要条件 C．充要条件

7．函数f?x??log2?x2?5x?6?的单调减区间为

A．??5?,??? B．?3,??? ?2?B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5?? 2?（ ）

C．???,??D． ???,2?

8．已知点P在曲线y?sinx上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?的取值范围是

A．?0,??

??4?

??3?? ,??44?

??（ ）

?B．?C． ?0,??3??3??[,?) D． ?,????44??4?9．已知数列?an?是正项等比数列，?bn?是等差数列，且a6?b8，则

A．a3?a9?b9?b7

B．a3?a9?b9?b7

（ ）

C．a3?a9?b9?b7 D．a3?a9?b9?b7

（ ）

????????10．已知向量a??cos75,sin75?，b??cos15,sin15?，那么a?b=

12 A． B．

222 C．

32 D．1

2?x2??x?2?11．定义两种运算：a?b?

a?b，a?b?22(a?b)，则函数f?x??

B．是偶函数

（ ）

A．是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

f(x)g(x)x?a，且f'(x)g(x)?12．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足，f(x)g'(x)

f(1)g(1)?f(?1)g(?1)?52，有穷数列??f(n)?31n?N*()的前项和等于, 则n等于（ ） n?32?g(n)?A．4 B．5

C．6 D．7

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．） 13．函数f?x??1log2?x?2?的定义域为____________________．

????121?，b??1?n，1?，/b，14．已知m>0,n>0,向量a??m，且a/则?的最小值是 .

mn15．对于函数f?x??x?2x，在使f?x??M成立的所有常数M中，我们把M的最大值

2－1叫做f?x??x?2x的下确界，则函数g?x??2x?12?x?1?2的下确界为 .

16．已知?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别为a、b、c,则下列条件中能推出?ABC为锐角三角形的条件是_________. （把正确答案的序号都写在横线上）

①sinA?cosA?15??????. ②AB?BC?0.

?③b?3,c?33,B?30. ④tanA?tanB?tanC?0.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本题满分10分)

设函数f?x??ax?2?a?0?，

（Ⅰ）不等式|f?x?|?6的解集为??1,2?，求a的值; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求不等式

18．(本题满分12分)

已知函数f(x)?2sin2?????x???4?3cos2x.

xf?x???12的解集.

（I）求函数f(x)的最小正周期；

????，?上恒成立，求实数m的取值范围． ?64?（II）若不等式f(x)?m?1在x??

19．(本题满分12分)

*设数列?an?的前n项和为Sn，对n?N，都有an?5Sn?2成立，

(Ⅰ) 求数列?an?的通项公式；

(Ⅱ)设数列bn?log2an，试求数列?bn?的前n项和Mn.

20．(本题满分12分)

如图，在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，直线AB的倾斜角为

??5??OB?1，设?AOB??，???,?.

26??5?6，

(Ⅰ)用?表示OA；

????????(Ⅱ)若tan???2，求OA?OB的值．

21．(本题满分12分)

yB xO

A 已知数列?an?的各项都为正数，a1?1，前n项和Sn满足Sn?Sn?1?（n?2）.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）令bn?1anan?1Sn?Sn?1

?（n?N），数列?bn?的前n项和为Tn，若an?1??Tn对任意正整

数n都成立，求实数?的取值范围.

22．(本题满分12分)

已知函数f(x)?x?1x?a(3?lnx)（a?0）.

（Ⅰ）若a?1，求f(x)在?0,1?上的最大值； （Ⅱ）若x?(0,1)，求f(x)的单调区间.

参考答案

一、选择题 DDCAB ADCBD AB 二、填空题

13．?xx?2且x?3? 14．3?22 15．

12

16．④ 三、解答题

17．解：（Ⅰ）?ax?2?6,??8?ax?4,

?4??1??a,?a??448??当a?0时, ?x??,. 8???2aa??a （Ⅱ）由（Ⅰ）知f?x???4x?2

?x?4x?2??12，变形得：

??(x?1)(2x?1)?01?0即?解得：x?1或x?.

22x?1?2x?1?0x?1∴原不等式的解集为?x|x?1或x???????1?? 2?3cos2x

18．解：（Ⅰ） ∵f(x)??1?cos????2x????2???1?sin2x?2????3cos2x?1?2sin?2x??，?T???.

23??（II）∵x??????，?， ?64?∴0≤2x??3≤?6，即1≤1?2sin?2x??????≤2， 3?∴f(x)max?2，f(x)min?1．

∵f(x)?m?1?f(x)?1?m?f(x)?1，

????∵x??，?

?64??m?f(x)max?1，∴1?m?2，即m的取值范围是(1，2)． ∴??m?f(x)min?119．解: (Ⅰ)当n?1时，a1?5S1?2?5a1?2，∴a1??当n?2时,an?Sn?Sn?1??an??14an?1,即

1512.

?an

?2??15?an?1?2?

anan?1??14∴数列?an?成等比数列，其首项a1??12，公比为?14

1?1??数列?an?的通项公式an??????2?4?n?1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知an???1??2n1?2n,?bn?log2an?1?2n.

?bn?1?bn??2,??bn?为等差数列,且首相为b1??1,公差为?2.

n??1?1?2n?22?Mn???n

20．解：(Ⅰ)在?AOB中，OB?1，?BAO?OBsinOA?5??sin?????6??6，?OBA?5?6??.

由正弦定理，得

?6?.

所以OA?2sin?(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得

?5????5?????(其中???,?). ?6??26??????????????????5?OA?OB?|OA|?|OB|cos??2sin????6?2?cos??cos???3sin?cos?

因为tan???2，?????5??,?， 26??13所以sin??23,cos???.

2?????????1?则OA?OB?????3??3?2?1?1?6. ?????33?3?21．解：（Ⅰ）∵Sn?Sn?1?∴(Sn?Sn?1)(Sn?Sn?Sn?1， Sn?Sn?1，

Sn?1)?又∵an?0，∴Sn?∴数列

Sn?1?0，∴Sn?， Sn?1?1（n?2）

?Sn是等差数列，首项为S1?1，公差为1，

?∴Sn?1?n?1?n，∴Sn?n2

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?(n?1)2?2n?1； 又a1?1，∴数列?an?的通项公式为an?2n?1. （Ⅱ）bn?121anan?113?13?1(2n?1)(2n?1)15???12n?1n2n?1??122n?11)?1(1?12n?1)，

n2n?1∴Tn?(1??2n?12(1?12n?1)?.

由an?1??Tn得 2n?1???∴(2n?1)2??n，

(2n?1)n2对任意正整数n都成立，

∴???1x4n?4n?1n2?4n?4?1n12.

?0，

令f(x)?4x?(x?1)，则f?(x)?4?x∴f(x)在?1,???上递增， ∴对任意正整数n，4n?1n的最小值为5，∴??9.

1x?3?lnx，

22．解：（Ⅰ）a?1时，f(x)?x?2则f?(x)?1?1x2?1x?x?x?1x2(x??122x)?234，

当0?x?1时，f?(x)?0，∴f(x)在?0,1?上单调递增， ∴f(x)在?0,1?上的最大值为f(1)?3.

（Ⅱ）f?(x)?1?1x2?ax?x?ax?1x22（0?x?1），判别式??a2?4.

∵0?x?1，a?0，∴当??0时，

即0?a?2时，x2?ax?1?0，因此，f?(x)?0， 此时，f(x)在?0,1?上单调递增，即f(x)只有增区间?0,1?. 当??0时，即a?2时，方程x2?ax?1?0有两个不等根，

a?a?42a?4222设x1?a?，

x2?，则0?x1?x2. 当x变化时，f?(x)，f(x)的变化如下：

(0,x1) x1 (x1,x2) x2 x f?(x) f(x) (x2,??) + 单调递增 a?4220 极大值 a?2?22— 单调递减 0 极小值 + 单调递增 x1?1?a??1?a?4.

∵a?2，∴a?2?0.

22而(a?2)?a?4a?4，(a2?4)2?a2?4，由a?2可得

a?4a?4?a?4，∴a?2?22a?4，∴x1?1?0，∴x1?1. a?4222x2?1?a?a?422?1?a?2?，由a?2可得x2?1?0，∴x2?1.

2?a?a?4??，减区间为??2????a?因此,当a?2时，f(x)的增区间为?0,??a?422?,1?. ??

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