西安交通大学14春学期《高等数学(上)》离线作业

《高等数学》（上）

- 71 - 第一章 函数与极限

本章要点：

1.函数极限的概念（对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求。）

2.极限四则运算法则。

3.两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

4.无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

5.函数在一点连续的概念。

6.间断点的概念，并会判别间断点的类型。

7.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理.） 本章目标：

1.理解函数的概念的理解复合函数的概念，了解反函数的概念。

2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.掌握基本初等函数的性质及其图形。

4.会建立简单实际问题中的函数关系式。

5.理解极限的概念（对于给出ε求N 或δ不作过高要求。）

6.掌握极限的四则运算法则。

7.了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

8.了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

9.理解函数在一点连续的概念。

10.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

11.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理。） 本章重点：

1.函数极限的概念，会求一些简单函数的极限。

2.函数在一点连续的概念，会判断一些简单函数间断点的类型。

本章难点

1.两个极限存在准则；

2.判别间断点的类型。

《高等数学》（上）

第一章总结

本章主要介绍了极限的概念、极限存在的判定准则，极限的求法以及连续函数的定义与性质.

利用极限的定义证明函数（或数列）以某确定常数为极限，是本章的难点之一。

极限存在性问题是本章的重点，也是难点.一般地，常用以下方法判定一个极限是否存在：

(1)利用单调有界准则；

(2)利用夹逼准则；

(3)利用柯西准则；

(4)利用左右极限是否存在且相等；

(5)利用子数列或部分极限。

掌握好求极限的方法是学好高等数学所必须的，这是本章的重点内容。目前为止，我们可以

(1)利用定义验证极限；

(2)利用极限四则运算法则求极限；

(3)利用重要极限求极限；

(4)利用无穷小量等价代换求极限；

(5)利用夹逼准则求极限；

(6)利用单调有界数列必有极限准则求极限；

(7)利用函数连续性求极限等等.在后面的章节中，我们还会陆续介绍其它一些求极限的方法。

函数连续性的概念是本章的又一重点，如何判定函数的连续性和间断点，怎样确定间断点的类型，闭区间上连续函数有哪些性质，都是需要同学们深刻理解，牢固掌握的。

- 72 -

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- 73 - 第一节 函数（作业一）

一、单项选择题

1.设函数arcsin(2)y x =-，它的定义域是【 】. A.1x <； B.12x <≤； C.13x ≤≤； D.3x ≤.

2.设3(),()sin 2,f x x x x x ?=-=那么[()]4f π

?-=【 】.

A.0；

B.-2；

C.

D.3.开区间(1,3)是【 】. A.3的邻区； B.以2为中心，1为半径的邻区；

C.1的邻区；

D.以2为中心，1.5为半径的邻区.

4.函数lg(1)y x =-的反函数是【 】.

A.1x y e =+；

B.101x y =+；

C.101y x =-；

D.101y x -=+.

5.函数ln()(0)a x y a a x

-=>+是【 】. A.奇函数； B.偶函数； C.非奇非偶函数； D.奇、偶性取决于a 的取值情况.

6.设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则[()]f g x 是【 】.

A.即不是奇函数，又不是偶函数；

B.偶函数；

C.有可能是奇函数，也可能是偶函数；

D.奇函数.

7.满足不等式x A ε-<（,A ε为常数，0ε>）的所有x 的区间表示为【 】.

A.(,)A A εε-+；

B.[,]A A εε-+；

C.(,)εε-；

D.[,]εε-.

8.若2

()cos f x x x =-，则有【 】.

A.()()f x f x -=-；

B.()()f x f x -=；

C.2()()f x f x =；

D.2()()f x f x -=-. 9.设sin 1()3

1x x x g x e x ?

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- 74 - A.43e π

-+；

C.-；

10.使等式arcsin(sin )x x =成立的所有x 构成的区间为【 】.

A.(),-∞+∞；

B.[]1,1-；

C.(),ππ-；

D.,22ππ??-???

?. 二、填空题

11.3()a b += .

12.(2)x x a a += .

13.sin()x y += .

14.22cosh sinh x x -= .

15.2tan 1x += .

16.33a b -= . 17.21n k k

==∑ .

三、计算题

18.求下列函数定义域 (1) 1||y x x

=-；

(2) y =；

(3) y x =

；

(4) y =

19.作下列函数的图形

(1) |sin cos |y x x =+； (2) 22,||11,||1x x y x x ?-≤?=?>??

.

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- 75 - 第一节 函数（作业二）

一、单项选择题

1.当函数)(x f y =的自变量x 的增量0>?x 时，相应的函数的增量y ?【 】.

A.一定大于零；

B.一定小于零；

C.一定不大于零；

D.不一定大于零.

2.下列函数中满足关系)()()(y f x f y x f +=+的函数是【 】.

A.2)(x x f =；

B.x x f ln )(=；

C.ax x f =)(；

D.b ax x f +=)(.

3.设函数)(x f y =的定义域[]1,0，则)2(+x f 的定义域是【 】.

A.[]1,0；

B.[]1,1-；

C.[]1,2-；

D.[]1,2--.

4.在同一坐标系下，方程x y 2=与y x 2log =代表的图形【 】.

A.是同一条曲线；

B.关于x 轴对称；

C.关于y 轴对称；

D.关于直线x y =对称.

5.要使x x a x f -+=22)(是奇函数，则=a 【 】.

A.1-；

B.1；

C.0；

D.2-.

6.设)(x f y =的定义域是??

????21,0，则)(arcsin x f 的定义域是【 】. A.[]1,0； B.??????21,0； C.??????6,0π； D.??

????21sin ,0. 7.设)(x f 是奇函数，)(x g 是奇函数，则[()]g f x 是【 】.

A.既不是奇函数，又不是偶函数；

B.偶函数；

C.有可能是奇函数，也可能是偶函数；

D.奇函数.

8.曲线t y t x 2cos ,sin ==上对应于6π=

t 的点是【 】. A.???? ??23,21； B.??? ??21,21； C.???? ??21,23； D.???

? ??21,22. 9.函数x y 1ln

=在()1,0内【 】. A.是无界的； B.是有界的； C.是常数； D.小于零.

10.下列各对函数中，互为反函数的是【 】.

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- 76 - A.12sin ,cos y x y x ==； B.12,x x y e y e -==；

C.12tan ,cot y x y x ==；

D.122,2

x y x y ==. 二、填空题

11.=y x sin sin

. 12.=y x cos cos .

13.=)2sin(x .

14.=)2cos(x . 15.=2

sin

x . 16.=2cos x . 17.设1)(2+=x x f ，那么=+)1(x f

. 18.设函数2

arcsin x y =那么函数的值域是 . 19.设函数2

arccos x y =它的反函数是 . 20.开区间()b a ,中每个点都是它的 点.

三、计算题

21.设)(x f y =是定义在(,)-∞+∞上以π2为周期的函数，当ππ<≤-x 时，x x f =)(，写出)(x f 的表达式．

22.设)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0>x 时，2()f x x x =+，写出)(x f 的表达式．

23.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的？ (1) x

y 1sin 3=； (2) 2arcsin 2x y =； (3) x y lg lg lg =； (4) x e y cos arctan =.

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- 77 - 第二节 数列的极限（作业一 ）

一、单项选择题

1.数列)sin(12πn n

的极限为【 】 A.2π； B.1； C.不存在； D.0.

2.数列 ,4

3,32,21的一般项n a 为【 】 A.n 11+； B.n 211+； C.1+n n ； D.n

n 1+. 3.极限=??????

-+-+-

∞→n n

n 21)1(8141211lim 【 】 A.1； B.0； C.32； D.2

3. 4.极限1111lim 122334(1)n n n →∞??++++=??????+?

?【 】 A.1； B.0； C.32； D.2

3. 5.极限=???

??++++∞→2222321lim n n n

n n n 【

】 A.41； B.2

1； C.1； D.0. 二、填空题 6.n →∞＝

. 7.1lim n n n

→∞-＝ . 8.221lim 21

n n n →∞+-＝ . 9.2lim 3

n

n n →∞ ＝ . 10.1lim(1)2n n →∞+＝ .

11.1(1)lim n

n n

→∞+-＝ .

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- 78 - 12.=??

? ??∞→n n 109lim . 13.=++-+∞→3

4132lim 22n n n n n . 14.=∞→n n n lim . 15.221lim 22)

n n n n n →∞+-=-+ . 三、计算题

16.用数列极限的N -ε定义验证数列n x n 12+

=的极限是2．

17.求下列数列极限．

(1) )n n →∞； (2)111lim 123234(1)(1)n n n n →∞??+++??????-+??

；

(3) 01lim 2k

n n k →∞=?? ???∑； (4)231lim n n k k n →∞=∑.

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- 79 - 第二节 数列的极限（作业二 ）

一、单项选择题

1.设数列n z 满足：对任意的1,22+≤≤+n n

z n n n

n n ，则=∞

→n n z lim 【 】 A.1； B.2； C.e ； D.∞.

2.极限=??????++++++++∞→22211

211

21lim n n n n n 【 】 A.1； B.2； C.2

1； D.∞. 3.极限=??

????++++++∞→n n n n n 22212111lim 【 】 A.1； B.2； C.

21； D.0. 4.极限=??

? ??--∞→2123lim n n n 【 】 A.e ； B.2e ； C.41； D.2

1. 5.=??? ??++∞→5211lim n n n 【 】

A.e ；

B.5e ；

C.2e ；

D.e .

6.因为e n n

n =??? ??+∞→11lim ，那么=x e 【 】 A.lim 1n x n x n →∞??+ ??? ； B.n n n x ??? ??+∞→1lim ； C.nx n n x ??? ??+∞→1lim ； D.1lim 1n

x n n →∞??+ ???. 二、填空题 8.=??

? ??-∞→n n n 211lim . 9.()[]{}=-+∞→n n n n ln 1ln lim .

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- 80 - 10.=??

? ??+-+-+++∞→2121)12(31lim n n n n .

11.n →∞= . 12.11lim 1n n n +→∞??+ ???

＝ .

三、计算题 13.求下列函数的极限。

(1) 2lim n n →∞??++++； (2)2lim 2n n n x x →∞-+ .

14.下列结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例

（1）若,lim A a n n =∞→则;lim A a n n =∞

→

（2）若A a n n =∞→lim ，则)0(lim ≠=∞

→A A a n n ；

（3）若0lim =∞→n n a ，则0lim =∞

→n n a ；

（4）若,lim A a n n =∞→则A a n n =+∞

→1lim ；

（5）若,lim A a n n =∞→则1lim 1=+∞→n

n n a a ;

（6）若对任何实数α，,lim A a n n αα=∞→则.lim A a n n =∞

→.

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- 81 - 第三节 函数的极限（作业一）

一、单项选择题

1.下列各函数的极限存在的是【 】. A.1

lim 22

-∞→x x x ； B.121lim 0-→x x ； C.x x sin lim ∞→； D.x x e 10lim →. 2.极限=--∞→)1(lim 2x x x 【 】.

A.0；

B.2

3； C.3； D.∞. 3.若32lim 2332=--→a

x x x ，则=a 【 】. A.1； B.2； C.3； D.4.

4.设函数201()213x

x f x x x ?<<=?-<≤?,那么=-→)(lim 1

x f x 【 】. A.1； B.2； C.3； D.4.

5.设函数???>≤-=001)(2x x x

x x f ，则=→)(lim 0x f x 【 】. A.1； B.1-； C.0； D.不存在.

6.设0lim ()2x f x →=-，又1arctan 0()cos 02x x g x x x π?>??=??≤??则)()(lim 0

x g x f x →＝【 】. A.π- ； B.π； C.1- ； D.1.

二、填空题 7.=--→3

3lim 333x x x . 8.=--→22lim 2x x x . 9.=--+∞→482lim 22x x x x .

《高等数学》（上）

- 82 - 10.=--+→482lim 222x x x x .

11.21t +→= . 12.=--+-→2

23lim 222x x x x x . 13.sin lim x x x →∞= . 14.2232sin lim 2cos x x x x x x x

→∞-+=-- . 三、计算题

15.设3()313

x x f x x x

-≥?，作()f x 的图形，并求()f x 在3x =处的左、右极限．

16.设20()0

0(1)0x x f x x x x ?

，试求()f x 在3x =处的左、右极限．

17. 已知216lim 51

x x ax x →-+=--，求a 的值.

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- 83 - 第三节 函数的极限（作业二）

一、单项选择题

1.若42sin sin lim 0=→x

bx x ，则=b 【 】. A.4； B.8； C.2； D.6. 2.若20

()lim 2x f x x →=，则0()lim 1cos x f x x →=-【 】. A.2； B.4； C.1； D.0.

3.极限03lim tan 4x x x

→=【 】. A.0； B.3； C.

43； D.4. 4.极限=→x

x n 4arctan 3lim 0【 】. A.0； B.3； C.34； D.4.

5.若函数)(x f 在点0x 处的极限存在，则【 】.

A.)(0x f 必存在且等于极限值 ；

B.)(0x f 存在但不等于极限值；

C.)(x f 在0x 处的函数值可以不存在；

D.如果)(0x f 存在，则必等于极限值.

二、填空题 6.=→x

x x 23sin lim 0 . 7.=→2

20sin lim x x x . 8.201cos3lim 2x x x

→-= . 9.2sin 2021lim x x x →-= . 10.201cos lim arcsin (1)

x x x x e →-=- . 11.求21lim 1n x x x x n x →+++-=- .

《高等数学》（上）

- 84 - 12.01cos lim (1)ln(1)x x x e x →-=-+ . 13.0arcsin 2lim

tan x x x

→= . 14.0arctan 3lim sin x x x →= . 15.sin 01lim x x e x

→-= . 16.101lim 1x x x x →+??=

?-??

. 17.01cos 2lim sin x x x x →-= . 18.0tan sin lim (1cos )

x x x x x →-=- . 19.2223lim()1x x x x x x →∞-+=+- .

三、求解下列各题

20.用函数极限定义说明下列极限成立。 (1) 1lim

sin 0x x x π→∞=； (2) 02lim 21x x x →+=+.

21.

设()f x =0()()lim h f x h f x h →+-.

22.设|1|()1

x f x x -=

-，证明1lim ()x f x →不存在性.

《高等数学》（上）

- 85 - 第四节 无穷小量与无穷大量

一、单项选择题

1.当+∞→x 时，下列变量中为无穷大的是【 】. A.x

1； B.)1ln(x +； C.x sin ； D.x -8. 2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是【 】.

A.)0(12→-x x ；

B.)0(sin →x x x ；

C.)1()

1(12→-x x ； D.)1(12→--x x . 3.当0→x 时，2

3x 是【 】.

A.x 的同阶无穷小量；

B.x 的等价无穷小量；

C.比x 高阶的无穷小量；

D.比x 低阶的无穷小量.

4.若a A x f +=)(其中A 为常量，a 为一当x →∞时的无穷小量，则=∞→)(lim x f x 【 】. A.∞； B.0； C.A ； D.不存在.

5.当1→x 时，21()1

f x x =-【 】. A.极限不存在； B.是无穷大量； C.是无穷小量； D.是未定式.

6.无穷大量减去无穷大量是【 】.

A.无穷小量；

B.零；

C.常量；

D.未定式.

7.极限=∞→x

x x arctan lim 【 】. A.0； B.1； C.∞； D.

2

π. 8.当0→x 时，2323x x +是【 】. A.比x 低阶的无穷小量； B.比x 高阶的无穷小量；

C.与x 的同阶无穷小量；

D.与x 的等价无穷小量. 9.=-+-→x

x x x x 32112lim 【 】. A.∞ B.0 C.2

1 D.1

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- 86 -

二、填空题

10.=→x

x x 2

sin

lim 0

. 11.=∞

→x

x x 1

sin

lim . 12.=-→x x

x 3sin 2cos 1lim 20

. 13.=+→x x x arcsin )

sin 1ln(lim

0 . 14.=--→a

x e e a

x a x lim

.

15.=-+→x

x x 1

1lim

.

16.=-+-+→x x x

x x 2cos 2sin 1cos sin 1lim

. 17.=→x

x x arctan lim 0

. 18.=-+→x

a

x a x sin )sin(lim

0 . 19.0ln()ln lim x a x a

x

→+-=

. 20.1

lim sin sin

2x x x

→∞=

.

三、完成下列各题

21. 证明：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；有限个无穷小量的积仍是无穷小量．

22.函数2

1

()(3)f x x =-当自变量x 在什么变化过程中是无穷小量？在什么变化过程中是无穷大

量？

23.当0x →时，下列变量中哪些是等价无穷小量.

x ，sin x ，2tan x ，2

x

，1)

24.当0x +

→时，下列哪些函数是与x 同阶的无穷小量？哪些是比x 更高阶的无穷小量？

1x

e -，ln(1)x +，cos 1x -, 2

sin x ，2

(sin )x

1．

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- 87 - 第五节 函数的连续性与间断点（作业一）

一、单项选择题

1.函数)2)(1(3

++-=x x x y 的连续区间是【 】.

A.),1(),1,2(),2,(+∞-----∞；

B.),3[+∞；

C.),2(),2,(+∞---∞；

D.),1(),1,(+∞---∞.

2.为使函数???≥<=11

2)(x x a x x f 在1=x 处连续，应取=a 【 】.

A.2；

B.1；

C.0；

D.1-；

3.设sin ,0(),0

x

x f x x a x ?≠?=??=?处连续，则=a 【 】.

A.1；

B.0；

C.1-；

D.41

.

4.设函数?????>≤≤--<++-=1

111

11

)(2x x x b ax x x f ，函数)(x f 在),(+∞-∞在连续，则,a b 分别为【 】. A.1,1； B.1,1-； C.1,1-； D.0,0.

二、填空题 5.=???

??→x x x 2sin sin lim 0 . 6.=???

??∞→x x x 1sin ln lim . 7.()

=+→x x x sin arcsin 1ln lim 0 . 8.=??

? ??--+-

∞→223ln lim 22x x x x x . 9.=→1

0)(cos lim x x x .

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- 88 - 三、完成下列各题

10.设函数21,0(),0

x x f x x x -≤?=?>? (1) 函数()f x 在定义域内是否连续？(2) 画出函数()f x 的图形．

11.设sin 0()01sin 10

x x x f x k

x x x x ??

，问常数k 为何值时，函数)(x f 在其定义域内连续？为什么？

12.某水果站在水果大量到货时规定， 50kg 以下标价0.80元/kg ，满50kg 的标价0.70元/kg ，满150公斤时标价0.60元/kg. 试列出收费金额y 与购买量x 的函数关系.问该函数是否为连续函数？

13.将100元按6%作连续复利计算，问20年后本利和应是多少？（已知3201.32.1=e

）

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- 89 - 第五节 函数的连续性与间断点（作业二）

一、单项选择题

1.设)(x f 在),(b a 内连续，[lim ()][lim ()]0x a x b

f x f x +-→→<，则在),(b a 内)(x f 必有【 】. A.最小值 B.零值 C.最大值 D.极值

2.函数1

4)(2--=x x x f 的间断点为=x 【 】. A.1- B.2 C.2- D.1

3.设函数2

3)2sin()(2+-+=x x x x f ，那么函数的所有间断点是【 】. A.0 B.1和2 C.2- D.1-和3

4.如果)(x f 在0=x 处连续，且1)0(-=f ，那么=→)(lim sin 0

x f e x x 【 】. A.0 B.1 C.2 D.1-

二、填空题 5.=???

? ??-+→πx x x 11cos lim 0 . 6.=-→x x x 3sin 2cos 1lim 20 . 7.3113lim 11t t t →??-= ?--??

. 8.=??

? ??-+∞→1211lim x x x . 9.=-→2tan )1(lim 1x x x π .

三、完成下列各题

10.求下列函数的间断点，并说明类型． (1) 21()(2)

f x x =-； (2) 221()32x f x x x -=-+.

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- 90 -

(3) sin ()x f x x =

； (4) 1()(1)(2)

f x x x =++.

11.证明方程5310x x -+=在1与2之间至少存在一个实根.

12.已知21lim ()01x x ax b x →∞??+-+=??+??

，求常数a ，b .

《高等数学》（上）

- 91 -

13.判定0x =是12sin ()||1x x f x x e =

++的什么类型间断点.

14.函数()cos f x x x =在(,)-∞+∞上是否有界？当x →+∞时，)(x f 是否为无穷大？为什么？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kozq.html