物理竞赛辅导一运动学（高考难度） - 图文

第一章 运动学

第一节 质点运动的位移和路程

1．质点

运动学只是客观地描述物体的运动，它并不考虑物体运动状态改变的原因，若在所研究的问题中，物体的形状、大小可以忽略时，我们就可以把物体近似地看成是一个有同等质量的点，称为质点。质点突出了“物体具有质量”和“物体占有的位置”这两个根本性质。

2．参照物

宇宙间的一切物体卖都在永恒不停的运动中，绝对静止的物体是不存在的，因此物体在空间的位置只能相对于另一个物体来确定。要正确地确定质点的位置及其变化，必须事先选取另外一个假定为不动的物体作为参照才有意义。这个选来作为参照的物体，就叫做参照物。为了能准确地、定量地来表示物体相对于参照物的位置和位置的变化，我们就需要建立一个坐标系，参照系是参照物的数学抽象，固结于参照物上的坐标系叫做参照系。

在参照物中引入坐标系，质点P的位置就可以用坐标系中一组坐标来确定。以直角坐标系为例，质点P的位置可用一组直角坐标x、y、z 确定，如图1-1-1所示。质点运动时，它可分别表示为时刻t的函数

x?x(t) y?y(t) z?z(t)

这就是用坐标表示的运动学方程。如果在方程中消去t，就可得到质点的轨道方程。 图1-1-1 为了更简捷地表示质点的位置，人们还常引入位置矢量（简称位矢）的概

?念，在直角坐标系中，位矢r定义为自坐标原点到质点位置P（x、y、z）所引的有向线段，故有

????r?x(t)i?y(t)j?z(t)k

r?x2?y2?z2

?r的方向为原点O指向质点P。

3、位移和路程

位移是指质点运动过程中，在一段时间△t内位置的变化，即是位矢的增量，如图1-1-2所示。

??????r?rB?rA?r(t??t)?r(t)

其中

????r(t??t)?x(t??t)i?y(t??t)j?z(t??t)k

?????r??xi??yj??zk

?x?x(t??t)?x(t) ?y?y(t??t)?y(t) ?z?z(t??t)?z(t)

图1-1-2

从中我们不难看出，在计算位移时，通常先求出x轴、y轴、z轴三个方面向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。

路程?S是指质点在?t时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量。

例题1．在草地上一位晨练者，第一次先向北移动了12m，然后向东南移动6.0m，又向西南移动3.0m。试求：（1）晨练者的位移；（2）晨练者走过的路程。

例题1解析：（1）晨练者的运动过程如图1-1-3所示，位移是

????r?r1?r2?r3 rx?r1x?r2x?r3x

?0?6.0cos450?3.0cos450?2.12m

ry?r1y?r2y?r3y

?12?6.0sin450?3.0sin450?5.64m

故

图1-1-3 r?r2x?r2y?6.0m

??arctan?0即r方向为东偏北69.4。

（2）晨练者的路程是

ryrx?69.40

s?(12.0?6.0?3.0)m?21.0m

点评：本题考查位移和路程等概念，要求学生学会运用矢量进行运算，区分位移和路程两个基本概念。

第二节 速度 加速度

1．平均速度

在一段时间t内，质点的位移为?r，那么，位移?r与时间?t的比值叫做平均速度。平均速度可以粗略描述一段时间内物体运动的快慢和运动方向。

v平均?2．即时速度

我们把?t趋近于零时，平均速度即

v??r ?t?r所趋近的极限值，叫做运动质点在t时刻的即时速度（也称为瞬时速度）。?t?rlim?t

?t?0即时速度可以精确、如实地描述质点在任一时刻的邻近时间内变速直线运动的快慢，平均速度、即时速度都是矢量，具有大小和方向。

描述质点的运动，有时也采用一个叫做“速率”的物理量。速率是标量，等于运动质点所经过的路程与经过该路程所用时间的比值，而不考虑质点运动的方向。所以平均速率可定义为

v?s t一般情况下平均速率与平均速度的大小是不相等的。例如，在某一时间内，原点沿闭合曲线环行一周，虽然质点的位移等于零，平均速度也为零，而质点的平均速率是不等于零的。而即时速率就是即时速度的大小，而不考虑方向。

3．加速度

在变速运动中，速度改变的快慢一般是不同，为了研究速度随时间而改变的特征，物理学中引入了加速度的

?v概念，它等于速度对时间的变化率，即a?。

?t从上式求得的实际上是质点运动的平均加速度，依平均速度和瞬时速度知识可得即时加速度为

a?lim?t?0?v?t

例题2．已知某质点的运动学方程为x=（t2+4）m，试求第1秒到第2秒这段时间内的平均速度及即时速度、加速度。

例题2解析：平均速度为

2?4)?(t12?4)?xx2?x1(t2 v????tt2?t1t2?t1?方向沿x轴的正方向。

即时速度为

8?5?3m/s 2?1v?lim?t?0?x?t?lim?t?0(t??t)2?4?(t2?4)?t?2tm/s

?lim?t?02t?t??t2?t因此，1秒末和2秒末的速度分别为2m/s、4m/s。

加速度为

a?limvt?0?v?t?lim?t?02(t??t)?2t?t?2m/s2

点评：该题主要是练习如何运用数学中的极限来求瞬时速度和瞬时加速度，从而加深物理量对时间的变化率的理解。如位移对时间的变化率就是瞬时速度，速度对是时间的变化率就是加速度等。

例题3．蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心l1=1m的A点处时，速度是v1?2cm/s,试问蚂蚁从A点爬到距巢中心l2=2m的B点所需的时间为多少？

例题3解法一：蚂蚁爬行作变速运动，为了求解，可将AB间距拆分成很小的n等份，则在任一等份内蚂蚁的运动可看成是匀速运动，但在各等份中运动的速度并不相等，将蚂蚁经过各等份所需时间加起来即是所求的时间。

将蚁巢中心定为坐标原点O，OA连线即为x轴正向，则坐标x处蚂蚁的速度可表示为

v?k/x?l1v1/x

图1-2-1

即

11x?? vl1v1将A、B连线分成n等份，如图1-2-1所示，每份长?x?(l2?l1)/n，对应的速度为v1、v1′、v2′??vn-1′、v2，当n很大时，每小段运动可看成匀速运动，由A到B所需的总时间为

T??x?x?x?x

??????

v1v1'v2'vn?1'1111） ??????v1v1'v2'vn?1'??x(11?)?nl2?l1v1v'n?1l?l11???21(?)

n22v1v'n?1(当n??时，v'n?1?v2，则上式可变为

2l2?l1v1?v2l2?l12T????75s

2v1v22l1v1例题3解法二：蚂蚊爬完每一段路程?x所用的时间?t为：?t?其中阴影区的面积恰为?t。又因为

?x11???x可见，如果作?x图像时，vvv11?x，所以做出的?x图像是一条过原点vv的直线，如图1-2-2所示。从图中不难看出，当n??时，梯形abcd的面积即

为蚂蚁从A到B的时间，

11?)(l2?l1)v1v2T?

2(2l2?l12??75s 2l1v1图1-2-2 点评：比较两种解法，显然解法二比解法一简便清晰得多，可见图像法解题在物理问题中十分有用。另外还需注意两种解法中都用到了分割求和的处理手法，这种方法在解决一些物理问题时是非常有效的，以后会经常遇到，学生们一定要熟练掌握。

第三节 匀变速直线运动及其图像

1、匀变速直线运动

若在任意相等时间内速度的变化（增加或减少）均相等，这种运动称为匀变速直线运动。质点作匀变速直线运动时的加速度a的大小和方向恒定不变。由匀变速运动的两个基本概念，平均速度v?可推导出匀变速直线运动的即时速度公式、位移公式、速度平方公式。即

v?v0s和加速度a?t，tt

vt?v0?at

s?v0t?12at 22vt2?v0?2as

在运用上述公式时，一定要写注意速度v、位移s和加速度a的矢量性。此外运用这些公式还可以得出匀变

速直线运动的一些特殊规律。

（1）在某个运动过程中，中间时刻的即时速度等于这个过程的平均速度，即

vt/2?v?（2）在某个运动过程，中点的即时速度为

1(v0?vt) 2vs/22v0?vt2 ?2且无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都有vs/2?vt/2。

（3）在任意连续相邻相等的时间间隔T内的位移之差?s都相等，且有?s?aT。

（4）初速为零的加速直线运动，从运动开始计时，在连续相等的时间间隔内的位移之比为奇数比，即

2s1:s2:s3:??1:3:5:?

（5）初速为零的加速直线运动，从运动开始计时，经过连续相同的位移所用时间之比为

t1:t2:t3:??1:(2?1):(3?2):?

2、图像

物理图像能形象地表述物理规律，直观地描述物理过程，鲜明地表示物理量图1-3-1 之间的相互关系及变化趋势。因此努力培养自己作图、识图、分析图像的能力，对于理解物理概念，认识物理规律，分析和解答物理问题都是十分必要的。

质点的运动图像主要有：速度－时间图像（v?t图像），位移－时间图像（s?t图像）等。对速度图线应着重理解两点：

（1）速度图线的斜率，等于加速度，如图1-3-1所示，即

tan??

?v?a ?t（2）速度图线下梯形的面积在数值上等于对应时间内质点位移的大小。

例题1．有一长度为s，被分成几个相等部分，在每一部分的末端，质点的加速度增加为a，由这一长度s的始端从静止出发，求它通过这段距离后的速度多大？

a，若质点以加速度n1)、n解析：设每一等分段末端的速度分别为v1、v2、v3??vn；每一等分段的加速度分别为a、a(1?2n?1sa(1?)??a(1?)。每一等分段的位移为。

nnn2根据vt2?v0?2as得

sv12?0?2a

n1s2v2?v12?2a(1?)

nn1s22v3?v2?2a(1?)

nn???

22vn?vn?1?2a(1?n?1s) nn以上各式相加得

s12n?1sn(n?1)12vn?2a(n?????)?2a[n?]?as(3?)

nnnnn2nn所以 vn?1as(3?)

n点评：能从所给的物理情境中迅速正确地选择公式进行求解，是学生能力的一种表现。本题考查对匀变速运动的公式掌握的熟练情况，并用到数学上的求和知识，所以有较好的数学基础，将有助于学好物理知识。

例题2．一列火车由等长的车厢连接而成。一人站在月台上与第一节车厢的前端相齐平，当列车做初速度为零的匀加速直线运动时，测得第一节车厢通过的时间为2s，问他测到的从第5节（第4节车尾）至第16节（第16节车尾）车厢通过的时间为多少？

解析：设n节车厢通过的时间为tn，每节车厢长度为s，列车运动的加速度为a，则由s?车厢通过的时间为t1?12at可得第一节22s。由匀变速运动的特殊规律，知第n节车厢通过时所用的时间是atn?(n?n?1)t1，所以车厢由第5节至第16节车厢通过的时间为

t?t5?t6???t16?(16?4)t1?4s

点评：应用特殊规律，简化解题过程。

例题3．一物体作加速直线运动，依次经A、B、C三点，B为AC中点。在AB段加速度恒为a1，在BC段加速度恒为a2。已知vB?vA?vC，比较a1和a2的大小。 2解法一：设AB、BC段位移分别为s1、s2，因为B为AC的中点，因此s1?s2。物体在AB和BC段分别作匀加速直线运动，所以有

2a1s1?vB2?vA2 2a2s2?vC2?vB2

把以上两式相比得

a1(vB?vA)(vB?vA) ?a2(vC?vB)(vC?vB)由已知vB?

vA?vC，可得：vC?vB?vB?vA。将此关系代入上述结果可得 2

a1vB?vA ?a2vC?vB物体一直在作加速运动，显见vB?vA?vC?vB，所以a1?a2。

解法二：利用v?t图像求解，做出过程的v?t图像，如图1-3-2所示，在v轴上标出三点：vA、vB、vC，使vC?vB?vB?vA，要满足SAB?SBC，必须满足a1?a2。

点评：在处理某一类物理问题时，显然用图像法更为快捷和方便。 例题4．摩托车以速度v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方s处，

图1-3-2 有一辆汽车正以v2?v1的速度开始减速，加速度大小为a2。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，求其加速度至少需要多少？

解析：本题我们将用图像法的方法进行各种情况的讨论。

（1）当汽车经t2?v2停下时，摩托车正好经过同样的时间靠着汽车停下。如图1-3-3所示，其相对位移为 a2v11?s?(v1?v2)t2?(v1?v2)2

22a2a1?v1v1?a2 t2v2图1-3-3 所以满足a1?v1a2即可。 v2（2）如图1-3-4所示，当两车间距较小时，即s??s，两车不发生碰撞的条件是其相对速度为零，即二者

(v1?v2)2(v1?v2)2有共同速度v。因为?s?，所以s?。由此可得可得摩托

2(a1?a2)2(a1?a2)车的加速度为

(v1?v2)2a1??a2

2s（3）如图1-3-5所示，两车间距较大时，即s??s，汽车经过时间t2?v2a2图1-3-4 先停下，摩托车经过t1?

v1

后停下，这种情况下两车不发生碰撞的条件为a1

图1-3-5 ?s?s。有

v12v2211 s?v1t1?v2t2??222a12a2这时摩托车的加速度为

v12a2 a1?2v2?2a2s点评：像这种没有给出具体数值的物理试题，就有可能出现多种情况，在解类似的题目时，一定要注意讨论，避免漏解。

赛题2．（1997年第十四届全国物理预赛试题）一个质点沿x轴做直线运动，其速度v随时间t变化关系如图1-3-6所示。设t?0时，质点位于坐标原点处。试根据v?t图分别在图1-3-7及1-3-8中尽可能准确地画出：

（1）表示质点运动的加速度a随时间t变化关系的a?t图； （2）表示质点运动的位移x随时间t变化关系的x?t图。

图1-3-6

图1-3-7 图1-3-8 解析：由图1-3-6知，质点在0~2s内加速度保持不变，其值a?2?v?20m/s，做匀变速直线运动，这段时?t间内位移满足s??20t?10t；在2~3s内，物体做匀速运动，位移

s?20(t?2)，在3~8s内，物体的加速度和

前2s方向相反，a??5m/s， 位移s?20(t?3)?2.5(t?3)?20。

据此可分别画出a?t图和x?t图。 如图1-3-9和1-3-10所示。 图1-3-10

图1-3-9

点评：图像转换的主要依据是根据速度随时间变化的v?t图像，找出加速度、位移随时间变化的函数关系，从而描绘出它们的图像来。

第四节 相对速度与运动的合成和分解

1．相对速度 运动是相对的，质点相对不同的参照物有不同的运动状态，这些不同的运动状态又通过参照物之间的相对运

22

动联系起来。

通常，将相对观察者静止的参照系称为静止参照系，将相对于观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，速度称为绝对速度。物体相对运动参照系的运动称为相对运动，速度称为相对速度。运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，速度称为牵连速度。绝对速度、相对速度和牵连速度的关系是

v绝?v相?v牵

上式也可写成便于记忆的以下两个基本关系

vA对C?vA对B?vB对C

vA对B??vB对A

其中vA对C表示A物体相对C物体的速度，即绝对速度。vA对B表示物体相对于B物体速度，即相对速度，vB对C表示B物体相对于C物体的速度，即牵连速度。

以上关于相对速度的关系式也同样适用于求相对位移和相对加速度。在运用时一定要注意它们都是矢量式，．．．．．．．．．．应按照平行四边形定则进行运算。 2．运动的合成和分解

质点运动时，若同时受到几个相互独立因素的作用，而这几个因素独立作用用于质点时都可以使质点产生一个相应的运动，则此质点的运动可以看成是由这几个独立进行运动叠加而成的，这就是运动的独立性原理。在用运动的独立性原理分析一个物体同时参与两个或多个运动时，可以对每一个运动进行单独的分析，在分析的时候好像是其它运动根本不存在一样。

运动的独立性原理又叫叠加原理，是同一概念的两个方面。如果已知两个分运动，求解跟它等效的一个合运动叫做运动的合成，反之叫做运动的分解，合成和分解互为逆运算。

3．物系相关速度

正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可以充分利用物系相关之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用，切记。

（1） 刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度。 ．（2） 接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时也是相同的。 （3） 线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动的矢量和。

例题1．某人以2.5米/秒的速度向正西方向跑时，感到风来自正北。如他将速度增加一倍，则感到风从正西北方向吹来。求风速和风向。

解析：根据相对速度的矢量关系，即v?v?v人，做出如图1-4-1所示的风风对人速度矢量图，易得

???v风?2v人?3.54m/s

方向是正东北风

点评：正确作出速度的矢量图，可以帮助我们迅速解答问题。这种方法有时在解题时是十分有效的。请同学们要多加练习。

例题2．一条河宽为d，河水的速度为v1，船以对静水的速度是v2。试问：

（1）为了使船到达对岸的时间最短，船头与河岸应成多少度角？最短时间是多少？到达对岸时，船在下游何处？

（2）当的船航行方向怎样时，小船所经过的路程最短？

图1-4-1

解析：（1）由于河宽是一定的。设船头与河岸成θ角，如图1-4-2所示，则船沿河宽方向的分速度为

v2sin?

过河时间为 t?显然，当θ=90°时，船过河的时间最短，为

d

v2?sin?图1-4-2 tmin船到达对岸时，船在正对岸的下游

d? v2s?v1tmin?dv1/v2

（2）当v2?v1时，显然，最短的路程即为河宽d。航向方向为偏向上游一个

v角度，其角度大小为??arcsin1。

v2图1-4-3 当v2?v1时，垂直河岸的航行方向驶向对岸是不可能的。但总可以找到一个这样的方向，使得航行的路程最短：如图1-4-3所示，设船实际航行速度为v?，与河岸夹角为?，实际路程为L，则有L?dsin?，要求L最小，即要求sin?的有最大值。在速度合成的矢量三角形Ov?v1中，设?Ov?v1??，运用正弦定理可得

v2v?1 sin?sin?sin??v2sin? v1即sin?min??v2。此时??，即速度的方向与船速垂直时，船才有最短路程。此时船的航行方向是：偏向上游，

2v1与水流的夹角为(?2?arcsinv2)，其所经过的最短路程为 v1Lmin?dvd?1 sin?v2点评：船过河的问题是典型的速度合成问题，解此题时要注意船渡河的过程中水和船都在同时运动，（等时性）；其次是船从此岸到彼岸，真正起作用的是船速，与水的流速无关（互不相干性）。水的流速只影响船登陆的地点。 2例小球A从高H处自由下落,与此同时,在小球A正下方的地面上,B小球以初速度V0竖直上抛,不计空气阻力,设

2

V0=40m/s,g=10m/s.求:⑴若要在B小球上升时两球相遇,则H的取值范围各是多少?⑵若要两小球在空中相遇,则H的取值范围又是多少?

【方法一】先来看看B能上升多久，也就是在多少时间之内它的速度变为0，很显然：v=V0-gt，v=0，V0=40m/s，∴t=4s。也就是，超过4s后B就要开始下落了。

在上升过程中相遇，可以看看B的速度随时间变化v=V0-gt，而A呢？A的速度是gt。看出什么没？呵呵，其实在这种情况下选取A做参考物，那么，就相当于是B以恒定的速度V0向A靠近！根据刚刚算到的4s时间限制，可以知道，H的取值范围是H≤V0×t=40×4=160m

小球在空中相遇，相当于一个追及问题，不计空气阻力，则B机械能守恒，也就是说它在4s内上升到最大高度，在下一个4s内，它又落回地面；以B为参照物，也就是说A必须在4s之内碰到B，否则，它们不能相遇。而A的速度在第一个4s后的速度v=gt=40m/s，以B为参照物后，A是以40m/s的恒定速度接近B的，4s的时间，它能够移动40×4=160m，加上之前的160m，所以，此时H≤320m。

【方法二】同样的道理，B以初速度40m/s竖直上升，速度降为0需要耗时t=v/g=4s，上升最大高度

h=vt-0.5gt2=40×4-0.5×10×42=80m，上升过程中相遇，极限情况就是速度为0的时候AB相遇，那么，以地面为参照物，A自由落体的位移h=0.5gt2=0.5×10×42=80m，即H≤80+80=160m。 在空中相遇，亦即可以在下落过程中相遇，B球上升到最大高度后做自由落体运动，耗时t=(v-v′)/g=[40-(-40)]/10=8s，也就是说，A从H落下，8s的时间内必须落地，则Hmax=0.5gt2=0.5×10×82=320m。H≤320m。

其实，无论以地面还是以球为参照物，计算过程都相当简单，之所以需要叙述，只是为了更易理解而已。特别是【方法一】，此法最主要就是避免了平方运算，虽然此题中体现不了多少优势，不过，这种变换参考系的方法可以记住，某些时候可以是计算简化很多很多。

6．匀变速直线运动

①、描述：若在任意相等时间内速度的变化（增加或减少）均相等，这种运动称为匀变速直线运动。也就是质点的加速度恒定（既大小和方向不变）；在相等的时间速度的变化量?v的大小和方向都相同。?v为正，具体表示匀加速直线运动，?v为正，具体表示匀减速直线运动。

②、匀变速直线运动的三个基本公式

由匀变速直线运动的描述，平均速度v?v?v0?vS?和加速度a?t，可以推倒出瞬时速度公式、位移

ttt?v?v0?at?12?公式、速度平方公式即：?s?v0t?at

2?2?v?v2?2as0?t注意：A、各式的物理意义和各量的矢量性；B、上述公式成立的条件：匀变速直线运动以及计时的起点（to=0）时，质点经过坐标原点O（其瞬时速度为，坐标原点O也作为位移的起点。C、vo）

在这套公式的基础上，附加一定条件，能导

出许多有用的公式。例如：初速度为零的匀加速直线运动公式，自由落体运动，竖直上抛运动以及平抛运动、斜抛运动等有关的公式。

③、图象

A：速度和位移都是时间的函数，因此描述物体运动的规律常用v?t图象、s?t图象，如图所示。

对于图象要注意理解它的物理意义，既对图象的纵、横轴表示的是什么物理量，图象的斜率、截距代

表什么意义都要搞清楚，形状完全相同的图线，在不同图象（坐标轴的物理量不同）中意义会完全不同。下表是对形状一样的v?t图、s?t图意义的比较。

B：匀变速直线运动的a?t图象是一平行于时间轴的直线，如左下图所示。

C：匀变速直线运动的s?t图象是一抛物线。对于匀加速

直线运动，抛物线“开口”向上，若是匀减速直线运动抛物线“开口”向下；抛物线的顶点由初速度大小和加速度大小决定。如右上图所示。

④、初速度为零的匀加速直线运动的五个基本规律

A：瞬时速率与时间成正比：v1:v2:v3......:vn?t1:t2:t3......:tn B：位移大小与时间平方成正比：s1:s2:s3......:sn?t1:t2:t3......:tn C：在连续相等的时间（T）内的平均速率之比为连续奇数之比：

2222v1:v2:v3......vn?1:3:5......:(2N?1)

D：在连续相等的时间（T）内的位移大小之比为连续奇数之比：

s1:s2:s3......sn?1:3:5......:(2N?1)

E：通过连续相等的位移（S0）所用时间之比：

t1:t2:t3......:tn?1:(2?1):3?2.......:n?n?1

特别提醒：初速度为零的匀加速直线运动的五个基本规律对于其逆运动——末速度为零的匀减速直线运动（二者加速度大小相等）也适用！

⑤、任意匀变速直线运动的两个基本规律

A、任意一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度：v?vt

2推广：v?vt?21s(v0?vt)? 2tB、在任意连续相等时间（T）内的位移之差等于恒量：?s?SN?SN?1?aT2 推广：?s?SN?SN?n?naT2 6、竖直上抛运动

①、定义：将物体以一定的初速度（v0）竖直向上抛出后物体只在重力作用下的运动叫竖直上抛运动。 ②、特点：初速度不为零，且约定初速度方向为正方向；做竖直上抛运动的物体的加速度（a）：a??g ③、讨论：

A、上升到最高点的时间（t上）：t上2v0v0：H? ? B、上升的最大高度（H）

g2gC、上升阶段与下降阶段做竖直上抛运动的物体通过同一段做竖直距离所用的时间相等（时间对称性：

t上?t下）

D、上升阶段与下降阶段做竖直上抛运动的物体经过同一位置的速度大小相等、方向相反（速度对称性：

v上??v下）

④、竖直上抛运动的公式：s?v0t?12gt;vt?v0?gt 2在以上两个公式中，vo，t，g是算术符号（即它们总是正值），但s和vt在不同的时间范围内取不同的符号。竖直上抛运动的处理最好是全过程看作匀减速直线运动。分两个过程会复杂一些！

推广：竖直下抛运动是一种初速度不为零的，加速度为g的匀加速直线运动。其公式为：

s?v0t?12gt;vt?v0?gt 2提高题

1．汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动．当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车．根据上述的已知条件：

A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程 C．可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间 D．不能求出上述三者中任何一个

2．火车以54km/h的速度沿平直轨道运行，进站刹车时的加速度是?0.3m/s，在车站停1min，启动后的加速度是0.5m/s。求火车由于暂停而延误的时间。

3．客车以速率v1前进，司机发现同一轨道正前方有一列货车以速率v2同向行驶，v2

①、客车加速度至少多大才能避免相撞？

②、若s0=200m，v1=30m/s，v2=10m/s，客车加速度大小a=1 m/s2，两车是否相撞？③、若s0=200m，

22v1=30m/s，v2=10m/s，客车加速度大小a=0.2m/s2，要求两车不相撞，则v2应为多大？

提高题 1．A

2． 100s

(v?v2)3．①、1；②、略；③、v2>(30?45)m/s

2s022

四、典型例题分析

[例题1]火车紧急刹车后经7s停止，设火车作的是匀减速直线运动，它在最后1s内的位移是2m，则火车在刹车过程中通过的位移和开始刹车时的速度各是多少？（请用四种以上方法）

这些方法在其它内容上也有用，希望大家用心体会．

[例题2]甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标，从此时开始甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下个路标时速度又相同．则： ( )

A．甲车先通过下一个路标 B．乙车先通过下一个路标C．丙车先通过下一个路标 D．条件不足，无法判断

点拨：直接分析难以得出答案，能否借助图像来分析？

解答：作出三辆汽车的速度-时间图像：

甲、乙、丙三辆汽车的路程相同，即速度图线与t轴所围的面积相等，则由图像分析直接得出答案B．

处理直线运动的科学思维方法

一、图像法

分析和解答物理问题，除了物理公式和数学方法外，还可以利用物理图像（函数图、矢量图、几何图、光路图等）这里先介绍如何利用v?t图象、s?t图象解答直线运动的各种问题步骤如下：

1、根据物理规律中各个物理量的函数关系，在直角坐标系上定性地或者定量地画出相应地函数图像。 2、根据图像的斜率、截距、与坐标轴所包围的面积，以及图像交点的坐标等的物理意义，进行分析、推理和计算。

例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地。AB两地相距x，火车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，由此可可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为 。

解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图像法来解。根据题意作v—t图，如图所示。由图可得

a1?vt1a2?

vt211x?v(t1?t2)?vt22

解得t?2x(a1?a2)a1a2

V另解：设质点的最大速度为V，前、后两段运动过程及全过程的平均速度相等，均为。

2V 全过程： S=t ??（1）

2 匀加速过程：V = a1t1 ??（2） 匀减速过程：V = a2t2 ??（3）

由（2）（3）得：t1=

VV t2? 代入（1）得： a1a2S =

2Sa1a2VVV (?) V=

a1?a22a1a2将V代入（1）得：

t =

2S?V2S2Sa1a2a1?a2?2S(a1?a2)

a1a2例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为：（ ）

A．s B．2s C．3s D．4s

例3：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2为多少？老鼠从A点到达B点所用的时间t为多少？

二、微元法

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

例1：如图所示，一个身高为h的人在灯以速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。

解析：该题不能用速度分解求解，

考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB

处，再经过一微小过程△t（△t→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端 C点到达C′点，由于△SAA′=v△t则人影顶端的移动速度

H?SAA??SCC?HvvC?lim?limH?h??t?0?t?t?0?tH?h直线运动。（本题也可用相似三角形的知识解）。 三、等效法

可见vc与所取时间△t的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速

在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。

等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。

例1：质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v0，加速度为a，如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度。

解析 从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直

线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解.

因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为

a平?a初?a末2(n?1)aa?a?3an?a(3n?1)an???

22n2n22?vB?v0

由匀变速运动的导出公式得2a平L解得

2vB?v0?(3n?1)aL

n四、递推法

递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。

例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；?；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求： （1）、nt时刻质点的速度； （2）、nt时间内通过的总路程.

解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻t末的速度为vt2t末的速度为v2t3t末的速度为v2t?at

?vt?2at,所以v2t?at?2at

?v2t?3at?at?2at?3at ??

则nt末的速度为vnt?v(n?1)t?nat

?at?2at?3at???(n?1)at?nat?at(1?2?3???n)11?at?(n?1)n?n(n?1)at

2212s?n(n?1)(2n?1)at. （2）同理：可推得nt内通过的总路程

121例2：小球从高h0?180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小(n?2)，

n求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2）

解析 小球从h0高处落地时，速率v0?2gh0?60m/s

第一次跳起时和又落地时的速率v1?v0/2 第二次跳起时和又落地时的速率v2?v0/22

…

第m次跳起时和又落地时的速率vm?v0/2m

2hv12h0v2每次跳起的高度依次h1?， ?2,h2??042gn2gn

…通过的总路程?s?h0?2h1?2h2???2hm??

2h0111(1?????)??n2n2n4n2m?2 22hn?15?h0?20?h0?2?h0?300mn?1n?13?h0?经过的总时间为?t?t0?t1?t2???tm??

v02v12v????m??gggv11?0[1?2????2?()m??]gnn

v0n?1?()gn?13v?0?18sg?六、对称法

由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。

例：如图所示，竖直上抛一个小球，小球两次经过高度为h处经历的时间为?t，球小球抛出的初速度大小和在空中运动的总时间？（忽略空气阻力）

解析：根据竖直上抛运动的对称性特点，设上升最大高度为H，则：H2h?t2故小球在空中运动的时间为：T=2tm?2 ?g4小球上抛的初速度大小，就等于下落的末速度大小：

v0?gtm?g

?h?1?t212g()?gtm 2222h?t2 ?g4

各地模拟练习

例1 气球上吊一重物，以速度v0从地面匀速竖直上升，经过时间t重物落回地面。不计空气对物体的阻力，重力离开气球时离地面的高度为多少。

解 方法1：设重物离开气球时的高度为hx，对于离开气球后的运动过程，可列下面方程：

?hx?v0(t?hxh12，其中（-hx表示）向下的位移hx，x为匀速运动的时间，tx为竖直上抛过程的时间，)?gtxv02v0解方程得：tx?2v0t，于是，离开气球时的离地高度可在匀速上升过程中求得，为：g2v0t) ghx?v0(t?tx)?v0(t?方法2：将重物的运动看成全程做匀速直线运动与离开气球后做自由落体运动的合运动。显然总位移等于零，所以：

v0t?h1g(t?x)2?0 2v0解得：hx?v0(t?2v0t) g评析 通过以上两种方法的比较，更深入理解位移规律及灵活运用运动的合成可以使解题过程更简捷。 例2 两小球以95m长的细线相连。两球从同一地点自由下落，其中一球先下落1s另一球才开始下落。问后一球下落几秒线才被拉直？

解 方法1：“线被拉直”指的是两球发生的相对位移大小等于线长，应将两球的运动联系起来解，设后球下落时间为ts，则先下落小球运动时间为(t+1)s，根据位移关系有：

11g(t?1)2?gt2?95m 22解得：t=9s

方法2：若以后球为参照物，当后球出发时前球的运动速度为v0?gt?10m/s。以后两球速度发生相同的改变，即前一球相对后一球的速度始终为v0?10m/s，此时线已被拉长：?l?线被拉直可看成前一球相对后一球做匀速直线运动发生了位移：

121gt??10?12?5(m) 22s?l??l?95?5?90(m)

∴t?s90??9(s) v010评析 解决双体或多体问题要善于寻找对象之间的运动联系。解决问题要会从不同的角度来进行研究，如本题变换参照系进行求解。

8、一质点由A点出发沿直线AB运动，先作加速度为a1的匀加速直线运动，紧接着作加速度大小为a2的减速直线运动，抵达B点时恰好静止。如果AB的总长度是x，试求质点走完AB所用的时间t.

解析：设质点的最大速度匀为v，

前、后两段运动过程及全过程的平均速度相等，均为全过程：x=

v。 2vt 2

匀加速过程：v = a1t1 匀减速过程：v = a2t2 得：t1=

vv，t2? 代入得： a1a2x=

2sa1a2vvv (?)，v=

a1?a22a1a2将v代入得： t =

2s?v2s2sa1a2a1?a2?2s(a1?a2)

a1a29、在光滑的水平面上静止一物体，现以水平恒力甲推此物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力乙推物体，当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的速度为v2，若撤去恒力甲的瞬间物体的速度为v1，则v2∶v1=?

解析：解决此题的关键是：弄清过程中两力的位移关系，因此画出过程草图（如图），标明位移，对解题有很大帮助。

通过上图，很容易得到以下信息：

s??s?，而s?v1v?(?v2)t，?s??1t 22得v2∶v1=2∶1

思考：在例1中，F1、F2大小之比为多少？（答案：1∶3） 10、物块以v0=4米/秒的速度滑上光滑的斜面，途经A、B两点，已知在A点时的速度是B点时的速度的2倍，由B点再经0.5秒物块滑到斜面顶点C速度变为零，A、B相距0.75米，求斜面的长度及物体由底端D点运动到B点的时间？

解析：物块作匀减速直线运动。设A点速度为VA、B点速度VB，加速度为a，斜面长为S。 A到B：vB2 ? vA2 =2asAB vA = 2vB

B到C：0=vB + at0

解得：vB=1m/s a= ?2m/s2

2

D到C：0 ? v0=2as s= 4m

从D运动到B的时间： D到B：vB =v0+ at1，t1=1.5s

D到C再回到B：t2 = t1+2t0=1.5+2?0.5=2.5(s)

12、将粉笔头A轻放在以2 m/s的恒定速度运动的足够长的水平传送带上后，传送带上留下一条长度为4 m的划线.若使该传送带改做初速度不变、加速度大小为1.5 m/s2的匀减速运动直至速度为零，并且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一粉笔头B轻放在传送带上，则粉笔头B停止在传送带上的位置与划线起点间的距离为多少？(g取10 m/s2)

【解析】粉笔头A在传送带上运动，设其加速度为a，加速时间为t，则vt－＝0.5 m/s2

12

at＝4 m，at＝2 m/s，所以a2v2s＝1 s ?a?a?0.5?1.5若传送带做匀减速运动，设粉笔头B的加速度时间为t1，有v1＝at1＝v－a′t1.所以t1＝

1212此时粉笔头B在传送带上留下的划线长为l1＝x传送带－x粉笔＝(vt1－a?t1 )?at1＝2×

22111 m－×1.5×12 m－×0.5×12 m＝1 m

22因传送带提供给粉笔的加速度大小为0.5 m/s2，小于1.5 m/s2.故粉笔相对传送带向前滑，到传送带速度减为

222v1?v2v11??m 零时，有v1＝a′t2，v2＝v1－at2，l2＝x粉笔－x传送带＝

2a2a?182v215? m，所以Δl＝l1－l2－l3＝ 传送带停止运动后，粉笔继续在传送带上做匀减速运动直至停止.则l3＝

2a96m

t3．已知一物体做匀变速直线运动，加速度为a，试证明在任意一段时间 t 内的平均速度等于该段时间中点时

2刻的瞬时速度。

解：物体在匀变速直线运动中，设任意一段时间 t 的初速度为V0，位移为S。

1 t 时间内的位移为： S=V0t+at2 ??（1）

2 t 时间内的平均速度为： V =

由（1）、（2）得： V=V0+时间中点

t时刻的速度为： 2t ??（4） 2t时刻的即时速度。 2S ??（2） t1at ??（3） 2 Vt/2=V0+a

由（3）（4）得：V=Vt/2

即：在匀变速直线运动中，任意一段时间 t 内的平均速度等于该段时间中点

4．证明：物体做匀变速直线运动，在任意两个连续相等的时间内的位移之差等于一个常数。

证明：设物体在匀变速直线运动中，加速度为a，经过任意一点A的速度为V0，从A点开始，经两个连续相等的时间T的位移分别是S1和S2，

V0 V1

A ? T ? T ? S1 S2

根据运动学公式： S1=V0T+ S2=V1T+

12

aT ??（1） 212 ???aT（2） 22

V1=V0 + aT ??（3）

两个连续相等的时间内的位移之差： △S = S2?S1 =（V1?V0）T= aT

因为T是个恒量，小车的加速度也是个恒量，因此△S也是个恒量。即：只要物体做匀变速直线运动，它在任意两个连续相等的时间内的位移之差等于一个常数。

7．物块以V0=4m/s的速度滑上光滑的斜面，途经A、B两点，已知在A点时的速度是B点时的速度的2倍，由B点再经0.5s物块滑到斜面顶点C速度变为零，A、B相距0.75m，求斜面的长度及物体由D运动到B的时间？ 解：物块作匀减速直线运动。设A点速度为VA、B点速度VB，加速度为a，斜面长为S。 A到B： VB? VA=2asAB ??(1) C VA = 2VB ??(2) B到C： 0=VB + at0 ??..(3)

解（1）（2）（3）得：VB=1m/s D a= ?2m/s2

D到C： 0 ? V=2aS

??(4) 0 S = 4m

从D运动到B的时间：

D到B： VB =V0+ at1 t1=1.5s

D到C再回到B：t2 = t1+2t0=1.5+2?0.5=2.5(s)

8．A、B两物体在同一直线下运动，当它们相距 S0=7m时，A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以VA= 4m/s的速度向右做匀速运动，而物体B此时速度VB=10m/s向右，它在摩擦力作用下以a= ?2m/s2匀减速运动，则经过多长时间A追上B？ 若VA=8m/s ，则又经多长时间A追上B？ （匀速追匀减速） 解：先判断A追上B时，是在B停止运动前还是后？ A B

B匀减速到停止的时间为：t0=

2

2

2

?10s?5s S0 SB ?212

at0=10?5 ?25=25（m） 2

在5秒内A运动的位移：SA = VAt0=4?5m=20m SA 在5秒内B运动的位移：SB = VBt0 +

因为：SA

SB?S0?SA?5?3?8（s）

VA 若VA=8m/s，则A在5秒内运动的位移为：SA= VAt0=8?5m=40m 因为：SA>SB+S0 ，即：B停止运动前，A已经追上B。 则：VAt =VBt+

t

/ 2

/

/

/

1/ 2

at +S0 2? 2t? 7 = 0

t= 1+22s

/

10． 一个做匀加速直线运动的物体，连续通过两段长为S的位移所用的时间分别为t1、t2，求物体 的加速度？ 解：方法（1）：设前段位移的初速度为V0，加速度为a，则：

12at1 ??（1） 212全过程2S： 2S=V0（t1+t2）+a(t1?t2) ??（2）

2前一段S： S=V0t1 + 消去V0得：a =

2S(t1?t2)

t1t2(t1?t2)方法（2）：设前一段时间t1的中间时刻的瞬时速度为V1,后一段时间t2的中间时刻的瞬时速度为V2。所以： V1=

SS ??（1） V2= ??（2） t1t2t1t2?） ??（3） 解（1）（2）（3）得相同结果。 2212at1 ??（1） 2 V2=V1+a（

方法（3）：设前一段位移的初速度为V0，末速度为V，加速度为a。 前一段S： S=V0t1 + 后一段S： S=Vt2 +

12at2 ??（2） 2 V = V0 + at ??（3） 解（1）（2）（3）得相同结果。

8．( 湖北省2013届高三第一轮复习单元测试.物理 .15)物体甲从离地面高度h处自由下落，同时在它正下方的地面上有一物体乙以初速度v0竖直向上抛。重力加速度为g，不计空气阻力，两物体均看作质点。 （1）要使两物体在空中相碰，乙的初速度v0应满足什么条件？ （2）要使乙在下落过程中与甲相碰，v0应满足什么条件？

8．【解析】（１）设经过时间t甲乙在空中相碰，甲做自由落体运动的位移 h1?12gt ① 2t ②乙做竖直上抛运动的位移 h 2?vt0?g由几何关系 h=h1+h2 ③ 联立①②③解得 t?122h ④ v0设乙抛出后经过时间tmax落地，根据速度—时间关系有 tmax?2v0 ⑤ g甲乙在空中相遇应满足 0

gh 2（２）在乙下落过程中，甲乙相遇应满足

v02v

联立④⑦解得

ghgh

10.【解析】由题意知道，两车距离有极值的临界条件是当两车速度相等的时候． 对于甲车做匀减速运动：当vt?v乙时,由vt?v0?at得t?2vt2?v0125 s甲??2?(?a)2a

vt?v010?155?? a?aa对于乙车做匀速直线运动:s乙?v乙t?10?两车间的位移差?s?s甲?s乙?（1）两车不相遇,则L??s550? aa25 2a25?L, 2a25?L, （2）两车只能相遇一次,则L??s,即2a25?L, （3）两车能两次相遇,则L??s,即2a,即

【答案】（1）

252525?L,不相遇 （2）?L,相遇一次（3）?L,相遇两次

2a2a2a11．（广东省华南师大附中2013届高三综合测试卷．物理．14）利用水滴下落可以测出重力加速度ｇ，调节水龙头，让水一滴一滴地流出．在水龙头的正下方放一个盘子．调整盘子的高度，使一个水滴碰到盘子时，恰好有另一个水滴从水龙头开始下落，而空中还有一个正在下落的水滴．测出水龙头到盘子间的距离为ｈ．再用秒表测时间，从第一个水滴离开水龙头开始计时，到第n个水滴落到盘中，共用时间为t．求第一个水滴落到盘子时，第二个水滴离开水龙头的距离为多少？测得的重力加速度ｇ是多少

11.【【解析】由于水龙头滴水的时间间隔是恒定的，因此，题中所提到的某一时刻恰好滴到盘子的和正在空中下落的这两个水滴，可以看做是同一个水滴离开水龙头作自由落体运动经两个相等的时间间隔分别运动到了空中某点处和盘子处．据此，可以利用比例关系求解．设第一个水滴落到盘子时，第二个水滴距水龙头ｈ1，距盘子

t1每相邻两滴水滴落下的时间间隔为n?1,所以

ｈ2，则ｈ1：ｈ2＝1：3，ｈ1+ｈ2＝ｈ，故ｈ1=h．由题意可知，

411t2(n?1)2h有4h＝2g(n?1)，即g?22t．

9(上海第26题).如图，为测量作匀加速直线运动小车的加速度，将宽度

均为b的挡光片A、B固定在小车上，测得二者间距为d。 (1)当小车匀加速经过光电门时，测得两挡光片先后经过的时间?t1和

?t2，则小车加速度a? 。

(2)(多选题)为减小实验误差，可采取的方法是( )

(A)增大两挡光片宽度b (B)减小两挡光片宽度b

(C)增大两挡光片间距d (D)减小两挡光片间距d 12(新课标理综第24题).（13分）

甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。 解析：设汽车甲在第一段时间间隔末（时间t0）的速度为v,第一段时间间隔内行驶的路程为

s1,加速度为a,在第二段时间间隔内行驶的路程为s2。由运动学公式得

v?at0 ① s1?1212at0 ② s2?vt0?(2a)t0 ③ 22?设乙车在时间t0的速度为v?，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1、s2。同样有v??(2a)t0 ④

?12?1?2s1?(2a)t0 ⑤ s2?v?t0?at0 ⑥

22设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s?，则有s?s1?s2 ⑦ s??s1?s2 ⑧ 联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之比为

??s5? ⑨ s?76.(08四川理综23)A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶,当B车在A车前84 m 处时,B车速度为4 m/s,且 以2 m/s的加速度做匀加速运动；经过一段时间后,B车加速度突然变为零.A车一直以20 m/s的速度做匀速运动,经过12 s后两车相遇.问B车加速行驶的时间是多少? 答案 6 s

解析 设A车的速度为vA,B车加速行驶时间为t,两车在t0时相遇.则有

2

sA?vAt0 ①

1sB?vBt?at2?(vB?at)(t0?t) ②

2式中,t0 =12 s,sA、sB分别为 A、B两车相遇前行驶的路程.依题意有

sA?sB?s ③

式中 s＝84 m,由①②③式得

t2?2t0t?2?(vB?vA)t0?s??0 ④

a代入题给数据得

vA=20 m/s,vB=4 m/s,a=2 m/s

2

2

有t-24t+108=0 ⑤ 式中t的单位为s.解得

t1=6 s,t2=18 s ⑥

t2＝18 s不合题意,舍去.因此,B车加速行驶的时间为6 s

11.(06上海20)要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道,然后驶入一段半圆形的弯道,但在弯道上行驶时车速不能太快,以免因离心作用而偏出车道.求摩托车在直道上行驶所用的最短时间.有关数据见表格.

启动加速度a1 制动加速度a2 直道最大速度v1 弯道最大速度v2 直道长度 s 4 m/s2 8 m/s2 40 m/s 20 m/s 218 m 某同学是这样解的:要使摩托车所用时间最短,应先由静止加速到最大速度v1=40 m/s,然后再减速到 v2=20 m/s,t1=

v1v?v2=?;t2=1=?;t=t1+t2 a1a2你认为这位同学的解法是否合理?若合理,请完成计算;若不合理,请说明理由,并用你自己的方法算出正确结果. 答案 不合理 11 s

解析 上述解法不合理,因为加速时间t1=

v1v?v?10s,减速时间t2=12?2.5s,所以加速距离

a2a1s1=

v1v?v2t1?200m,减速距离s2=1t2?75m,又因s1+s2>s,故解法不合理. 222

2

摩托车先以a1=4 m/s加速到最大速度vm,又以加速度a2=8 m/s减速到v 2=20 m/s,恰完成直道s=218 m的距

vv?v2离,这样用时最短.则:加速距离s1=m,减速距离s2=m

2a12a2vv?v2所以:m?m?s

2a12a2

222222

代入数据得:vm =36 m/s 加速时间t1=

vm36?s?9s a14vm?v236?20?s?2s a28减速时间t2=

故最短时间t=t1+t2=9 s+2 s=11 s

12.如右图所示，A、B两同学在直跑道上练习4×100 m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度．B从静止

开始全力奔跑需25 m才能达到最大速度，这一过程可看做匀变速运动，现在A持棒以最大速度向B奔来，B在接力区伺机全力奔出．若要求B接棒时速度达到最大速度的80%，则：

(1)B在接力区需跑出的距离x1为多少？ (2)B应在离A的距离x2为多少时起跑？

解析： (1)对B：设其加速度为a，跑出的距离为x时速度达到最大值v. 由2ax＝v2，有2ax1＝(0.8v)2， 解得x1＝0.64x＝16 m.

(2)设B接棒时跑出时间为t，

0.8v

x1＝vt＝t，

2

在t时间内，对A有xA＝vt， 解得xA＝40 m.

所以B起跑时，应距离A为Δx＝xA－x1， 得Δx＝x2＝24 m. 12．（07全国卷Ⅰ23）甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s 的速度跑完全 程;乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的.为了确定乙起跑的时机,需在接力区前适当的位置设置标记.在某 次练习中,甲在接力区前s0=13.5 m 处作了标记,并以v=9 m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令.乙在 接力区的前端听到口令时起跑,并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上,完成交接棒.已知接力区的长度为 L=20 m.求：

(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a. (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离.

解析 (1)在甲发出口令后,甲、乙达到共同速度所用时间为t?设在这段时间内甲、乙的位移分别为s1和s2,则s2?v ① a12at ② 2s1=vt ③ s1=s2+s0 ④

v2联立①、②、③、④式解得:a??3m/s2

2s0v2?13.5m (2)在这段时间内,乙在接力区的位移为s2?2a完成交接棒时,乙与接力区末端的距离为L-s2=20 m-13.5 m=6.5 m

26．湖北省襄樊四中2013届高三摸底考试一辆长为L1=5m的汽车以v1=15m/s的速度在公路上匀速行驶，在离铁路与公路的交叉点s1=175m处，汽车司机突然发现离交叉点s2=200m处有一列长为L2=300m的列车以v2=20m/s的速度行驶过来，为了避免事故的发生，汽车司机立刻使汽车减速，让火车先通过交叉点，求汽车减速的加速度至少多大？（不计汽车司机的反应时间，结果保留3位有效数字） 解析：列车驶过交叉点用时间：t =

L2?s2??①（1分） v2解得：t=25s??????②（1分） 若汽车在25s内的位移为s1=175m，则：v1t－

12

at= s1??????③ （1分） 2a=0.64 m/s2??????④ （1分）

此时由v=v1-at，得v=－1m/s，因此汽车已经在25s前冲过了交叉点，发生了事故，不合题意．?⑤（1分） 要使汽车安全减速，必须在小于25s的时间内汽车速度减小为零，这样才能使它的位移小于175m．由v12=2as1??????⑥（1分）

得：a=

9m/s2，汽车减速的加速度至少为0.643m/s2．??????⑦（2分） 1429. 江苏省马塘中学2013届高三阶段测试一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h 以内．问：

（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ （2）警车发动后要多长时间才能追上货车？

解：（l）当两车速度相等时.它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则：

2

t1?v110??4s a2.51212 s货=v1(t0+t1)==10(5.5+4)m = 95m

s警=at12=?2.5?42m=20m

所以两车间的最大距离△s=s货-s警=75m

(2)警车刚达到最大速度v=90km/h=25m/s的时间： t = t内两车的位移

v?10s av2252????v(t0?t1)?10?(5.5?10)?150m s警??125m s货2a2?2.5??s警??30m t时刻两车距离?s?s货警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间追赶上货车．

则：?t??s?2s (2分）

v?v1所以警车发动后要经过t=t2+?t=12s才能追上货车

4．在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动；而B车同时做初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足的条件。

解析： 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等。设A、B两从相距s到A车追上B车时，A车的位移为xA，末速度为vA，所用时间为t；B车的位移为xB，末速度为vB，运动过程如图2－37所示。

现用四种方法求解。

解法一（利用位移公式和速度公式求解）：

对A车有 xA?v0t?对B车有 xB?1(?2a)t2，va?v0?(?2a)t。 212at，vB?at。 2两车有 s?sA?sB，追上时，两车刚好不相撞的条件是 vA?vB， 由以上各式联立解得 v0?6as。

故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0≤6as。

解法二（利用速度公式和速度—位移关系式求解）：

两车刚好不相撞的临界条件是：即将追上时两车速度相等。设此速度为v，A车追上B车前，A车运动的时间为 tA?vA?v0v?v0v0?v， ??aA?2a2av?vvvvBv?, 因为tA?tB，所以 0?，即 v?0 ① aa2aa3B车运动的时间为 tB?2222vBvA?v0v0?v2v2?A车的位移 xA?， B车的位移 xB?， ?2a2a?2aA4a22v0?v2v0?3v2v2?s?因为xA?s?xB，所以 。 即 s? ② 4a2a4a①②两式联立解得 v0?6as。

故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0≤6as。 解法三（利用判别式解）：

由解法一可知xA?s?xB，即 v0t?11(?2a)t2?s?at2， 22整理得 3at2?2v0t?as?0。

这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式??(2v0)2?4?3a?2s＜0时，t无实数解，即两车

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