数学竞赛专题 函数3

函数( 函数(三)

六、幂函数、指数函数与对数函数 幂函数、例1 已知函数 上是减函数，则实数 a 上是减函数， ___________.

f ( x) = a

lg 3 ax) (

(a >0 且a ≠1) 在其定义域 [-1, 1] 的取值范围是

【 讲解 】 由 a > 0 且 a≠1 知 t = 3 - ax 讲解】 是减函数，从而l 是减函数 ， 从而 lg(3 - ax) 也是减函数 ， ax) 也是减函数， 故只有a 故只有a>1时，f (x)才是减函数； 才是减函数； 另外， x∈ [-1 ,1] 时， 要保证 另外， 3-ax>0,为此只须考虑最小值： ax> 为此只须考虑最小值： x=1时, tmin=3-a,要3-a>0, =3- 则a<3,综上知1<a<3. 综上知1

例2 如果不等式 x2- loga x <0

1 上恒成立， 在区间( 0, ] 上恒成立，那么实数 2a的取值范围是___________. 的取值范围是___________.

1 1 loga ≥ 2 4 0< a <1

【讲解】 设y=x2 讲解】 y=loga x

① ②

1 函数② 上取负值， 当a>1时，函数②在 ( 0, ]上取负值， 2

因此 不可能有x2< loga x成立. 不可能有x 成立.

1 1 上函数① 在 ( 0, ]上函数①的最大值是 ， 2 4 1 在 ( 0, ]上，当0<a<1时，②的最小 2 1 值是 loga , 2

1 在 ( 0, ]上，x2<loga 2

x恒成立

1 1 < log a 4 21 1 1 当0<a<1时，由 < log a ,得 1 < a 4 4 2 2 1 ∴ < a <1 16

例3.化简 (1) a b c a b+c b c a b c+a c a b c a+b

x

x

x

(2)

(x

a 1 a b c a

)

(x

b 1 b c a b

)

(x

c 1 c a b c

)

1 2 1 lg 2 1 (3) (lg 2){[log 1 ( 2) ] + (lg 5 ) } 2

略解：(1)x的指数是0,所以原式=1 (2)x的指数是=0所以原式=1

1 lg 5 1 2 1 lg 2 1 1 2 (lg 2){[log 1 ( ) ] + ( ) } = (lg 2){ + } 2 lg 2 lg 5 2 2 1 1 1 1 = (lg 2){ + }= 2 2lg 2 2 2

(3)原式=

ax 例4.若f (x) = x ,求 a + a

1000

i ∑ f (1001) i=1

ax ax + a a a = =1 x 解：因为 f (x) = x x a + a a + a a + a a a1 x =1 =1 =1 f (1 x) x 1 x aa + a a +a

所以f(x)+f(1-x)=11000

i 1 i i ∑ f (1001) = 2[ f (1001) + f (1 1001)] i=1 1 = ×1000 2 = 500

12 +1 12 +1 例 .试 较 1995 与 1996 的 小 5 比 大 12 +1 12 +11994 1995

解：令121995=a>0则

a +1 1994 1995 12 +1 12 +1 12 12a +1 ÷ 1996 = 1995 12 +1 12 +1 a +1 a +1 2 (a +12)(12a +1) 12a +145a +12 = >1 2 2 12(a +1) 12a + 24a +12121994 +1 121995 +1 > 1996 1995 12 +1 12 +1¸

所以

例6.已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1,x∈R+)若 1 x1 + x2 x1,x2∈R+,试比较 2[ f (x1) + f (x2 )] 与 f ( 2 ) 的大小 例7.已知y1= 3 当x为何值时 (1)y1=y22x2 3x+1

,y2= 3

x2 +2x+5

(2)y1>y2

(3)y1<y2

例8.对于自然数a,b,c (a≤b≤c)和实数x,y,z,w若 (1)ax=by=cz=70w 求证：a·b=c (2)

1 1 1 + = x y z

9.已知 已知A=6lg 为素数， 例9.已知A=6lgp+lgq,其中p,q为素数， =29,求证： 且满足q-p=29,求证：3<A<4 为素数， =29为 证明： 证明：由于p、q为

素数，其差q-p=29为 奇数， 奇数，∴p=2,q=31 A=6lg2+lg31=lg(64× A=6lg2+lg31=lg(64×31)=lg1984 1000<1984<10000 故3<A<4

例10.设f(x)=logax (a>0,a≠1)且18 25 f ( ) = sinθ, f ( ) = cosθ 5 6

(θ为锐角),求证：1<a<15

18 = sin θ > 0 证明：∵θ是锐角，∴ log a 518 25 18 25 从而a>1 f(15)= f ( × ) = f ( ) + f ( ) 5 6 5 6 =sinθ+cosθ

= (sin θ + cosθ) = 1+ 2sin θ cosθ >12

故a<15

综合得：1<a<15

例11.已知0<a<1,x2+y=0,求证： 1 x y loga (a + a ) ≤ log a 2 + 8 证：因为0<a<1,所以ax>0,ay>0由平均值不等式

ax + ay ≥ 2 axay = 2a故loga (a + a ) ≤ loga (2ax y

x+ y 2

x+ y 2

1 ) = loga 2 + (x + y) 2

1 = loga 2 + (x x2 ) 2 1 12 1 1 = loga 2 (x ) + ≤ loga 2 + 2 2 8 8

例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和 12.设 分别是方程log 3=0和 3=0的根 的根， 2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b 解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x 的图象， +3, 的图象，再作直线y=x和y= -x+3,由于y=2x和 y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对 互为反函数， 方程log 3=0的根 +3与对 称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对 的交点A的横坐标，方程2 3=0的 数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的 +3与指数曲线 的交点B 根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横 坐标 设y= -x+3与y=x的交点为M,则点M的横坐标为 +3与 的交点为M 则点M (1.5,1.5), (1.5,1.5),所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3

例13 已知函数 f (x)=|2x -1 -1 |, a<b<c 且 f (a)>f (c)>f (b) ,则必 有 (A) a<b,b<1,c<1 (B) a<1,b≥1,c>1 ≥1, (C) 2-a< 2c (D) 2a+2c<4.

【 解 】 函数 y=2x 的图像右移 1 个 函数y 的图像右移1 单位得 y = 2x-1 ,再下移1个单位得 再下移1 y = 2x-1 -1,再把 x 轴下方的部分 翻折到x 轴上方得y 翻折到x 轴上方得y =| 2x-1-1|,图 像如下图

由于在 ( ∞ 1] 上，f (x) 是 ， 减函数，所 以 a, b,c 不能同时 减函数， 在 ( ∞ 1]上；同理，a,b,c 也 同理， , 不能同时在 [1, ∞ )上. +

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