四边形解答题801-1000

801、

顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．如图，矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），（1）、（2）、（3）是三种不同内接菱形的方式．

①图（1）中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；

②图（2）中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；

③图（3）中，若EF垂直平分对角线AC，交BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．

（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；

（2）在图（1）、（2）、（3）中，证明图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的；

（3）比较（1）、（2）中矩形ABCD的内接菱形ABGH与EFGH的面积大小；

（4）在矩形ABCD中，你还能画出第4种矩形内接菱形吗？若能，请在（4）中画出；若不能，则说明理由．

考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．

分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明，

②根据三角形中位线定理得到四条边都相等，

③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；

（2）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积； （3）根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论；

（4）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．

解答：解：（1）①∵AH=BG，AH∥BG，

∴四边形ABGH是平行四边形，

又∵BG=AB，∴平行四边形ABGH是菱形， 即四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；（2分）

②连接AC、BD，则EF= AC，EF∥AC；GH= AC，GH∥AC

∴EF=GH，EF∥GH，

∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵BD=AC，

∴平行四边形EFGH是菱形，

即四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；（3分） ③∵∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE，

∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF垂直平分对角线AC， ∴FA=FC

∴平行四边形AECF是菱形，

即四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．（4分）

（2）∵S菱形ABGH=a2＜a?AE=S菱形AECF

S菱形EFGH= EG?FH＜ AC?FE=S菱形AECF，

∴图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的．（7分）

（3）∵S菱形ABGH=a2，S菱形EFGH= EG?FH= ab 当a

b时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH；

当a= b时，S菱形ABGH=S菱形EFGH； 当a

b时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH．（9分）

（4）在矩形ABCD中，还能画出第4种矩形内接菱形

（答案不唯一）．如图，AH=CF，EG垂直平分对角线FH．（10分）

点评：本题综合性较强，主要考查菱形的判定和面积，对学生要求较高，需要在平时的学习中不断努力．

答题：shenzigang老师；审题：Linaliu老师．

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802、

如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF为等边三角形． （1）求∠A的度数； （2）求菱形ABCD的面积．

考点：菱形的性质；等边三角形的性质．

分析：（1）过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．易得△BGE∽△AHG，若设BG=x，

GE=y，则EH=5y，AH=5x，

在△FGE和△DEH中根据勾股定理可以用x，y表示出EF，ED．此时得到一个方程组，解出x，y的值就不难得到∠A的度数；

（2）在直角△AHE中根据三角函数可以求出高EH．则得到菱形的高GH的长，根据菱形的面积公式就可以求出．

解答：解：（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线

于H，G． ∵AD∥CB， ∴△BGE∽△AHE， ∵AB=AD=6，

∴AE=BF=5，CF-BE=1， 令BG=x，GE=y， 则EH=5y，AH=5x， 在△FGE中， 在△DEH中，

根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2， 即有 ， 解得

，

，

，

，

∴tan∠A= ，

∴∠A=60°；

（2）由以上求得知，EH=AEsin60°= 故

， ．

，

点评：在解直角三角形的一个角的度数时，可以转化为求三角函数的值，已知三角函数值就可以求出角的

度数．

答题：zhjh老师；审题：路斐斐老师．

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803、

已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F． （1）求证：AD2= DE?DB；

（2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE＜DE）的长是方程x2-3mx+2m2=0（m＞0）的两个根，且菱形ABCD的面积为

，求EG的长．

考点：菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 专题：代数几何综合题；压轴题．

分析：（1）连接AC交BD于O，根据菱形的性质可得到△AOD∽△EAD，根据相似三角形的对应边成比

例即可得到结果；

（2）先解二次方程，求出BE，DE的值，直接利用（1）的结果，可求出AD的值，再利用勾股定理及三角函数求得AE，EF，BF的值，根据比例线段求得EG的长，再根据菱形的面积可求出m的值，那么EG就求出来了．

解答：解法一：（1）证：连接AC交BD于点O（1分）

∵四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD，BO=OD（2分） ∵AE⊥AD

∴△AOD∽△EAD ∴

（3分）

∴AD2=OD×ED

∴AD2= DE×BD（4分）

（2）解：解方程x2-3mx+2m2=0得x1=m，x2=2m ∵BE＜DE

∴BE=m，DE=2m（5分） ∵AD2= DE×BD ∴AD=

m（6分）

m

在Rt△BEF中，DE=2m，AD= ∴AE=m，∠ADB=30°

在Rt△ADE中，∠EBF=30°，BE=m ∴EF= m，∴AF= m（7分） ∵SABCD=AD×AF= ∴m2=4

∴m=±2（负值舍去） ∴m=2（8分） ∵EG⊥AF，AD⊥AF ∴GE∥AD ∴ ∴GE=

（9分）

m× m=6

解法二：（1）证：取DE的中点G（1分）

在Rt△EAD中，AG=DG=EG ∴∠GAD=∠GDA（2分） ∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB

∴∠GAD=∠ABD，∠ADB=∠ADB ∴△ADG∽△BDA（3分） ∴

∴AD2=DG×BD= DE×BD（4分）

（2）解：∵x2-3mx+2m2=0 ∴x1=m，x2=2m ∵BE＜DE

∴BE=m，DE=2m（5分） ∵AD2= DE×BD

∴AD= m（6分）

m，OD= m，

Rt△AOD中，AD= ∴AO=

m，

∴AC= m（7分）

m×3m=6

∵SABCD= AC×BD= × ∴m2=4，∴m=±2（负值舍去） ∴m=2（8分） ∵EG⊥AE，AD⊥AF ∴GE∥AD

∴ ∴GE=

（9分）

点评：本题考查菱形的性质、勾股定理，解一元二次方程的理解及运用．

答题：wangcen老师；审题：ln_86老师．

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804、

（2010?遵义）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ABC=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H． （1）求证：CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质．

分析：（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得

∠B=∠E=45°，得出CF=CH；

（2）根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形．

解答：证明：（1）∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，在△BCF和△ECH中，

，

∴△BCF≌△ECH（ASA），

∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；

（2）四边形ACDM是菱形

∵∠ABC=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°，∴AC∥DE，∴∠ACD=∠AMN=135°， ∵∠A=∠D=45°，∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形）， ∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形

点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

答题：zhqd老师；审题：Linaliu老师．

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805、

（2010?镇江）如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时， 试解决下列问题： （1）填空：点D坐标为

．

；

（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简； （3）等式BO=BD能否成立？为什么？

（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．

考点：菱形的判定；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理．

分析：（1）在Rt△OCD中，根据勾股定理易求OC=CD= ．

（2）根据Rt△OAB的面积是 可求出B点的坐标，因为BD2=AC2+（AB-CD）2，所以把B点的坐标代入可得BD长，即可表示成关于t的函数关系式．

（3）假设OB=BD，在Rt△OAB中，用t把OB表示出来，根据题（2）中用t表示的BD．两者相等，可得一二次函数表达式，用根的判别式判断是否有解．

（4）两种情况，先假设∠EBD=90°时（如图2），此时F、根据已知条件此时四边形BDCFE、M三点重合，为直角梯形，然后假设∠EBD=90°时（如图3），根据已知条件，此时四边形BDCF为平行四边形，在

222

Rt△OCD中，OB=OD+BD，用t把各线段表示出来代入，可求出BD=CD=

，即此时四边形BDCF

为菱形．

解答：解：（1）（

， ）；（1分）

（2）由Rt△OAB的面积为 ，得B（t， ）， ∵BD2=AC2+（AB-CD）2， ∴BD2= ①（2分） =

．（3分）

∴BD= ．②（4分）（注：不去绝对值符号不扣分）

（3）解法一：若OB=BD，则OB2=BD2． 在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2= 由①得

．

（5分）

得： ，∴ ，

∵△= -4=-2＜0．，∴此方程无解．

∴OB≠BD．（6分）

解法二：若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上． ∵ ，

∴直线CM的函数关系式为 ．④

联立③，④得： ∵△=

∴OB≠BD．（6分）

解法三：若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图1 过点B作BG⊥y轴于G，CM交y轴于H， ∵

， ，

，∴此方程无解

，③（5分）

显然与S△HNO与S△OBG矛盾． ∴OB≠BD．（6分）

（4）如果△BDE为直角三角形，因为∠BED=45°， ①当∠EBD=90°时，此时F，E，M三点重合，如图2 ∵BF⊥x轴，DC⊥x轴，∴BF∥DC． ∴此时四边形BDCF为直角梯形．（7分）

②当∠EBD=90°时，如图3 ∵CF⊥OD，∴BD∥CF．

又AB⊥x轴，DC⊥x轴，∴BF∥DC． ∴此时四边形BDCF为平行四边形．（8分） 下证平行四边形BDCF为菱形：

解法一：在△BDO中，OB2=OD2+BD2， ∴ ， [方法①]

上方

（舍去）．

得

[方法②]由②得： 此时

，

，

，

∴此时四边形BDCF为菱形（9分）

解法二：在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中

∵ ∴ ∴

，

∴此时四边形BDCF为菱形．（9分）

，

，

，

点评：此题考察了一次函数解析式的确定、根的判别式、三角形面积的求法、菱形的判定以及勾股定理的

应用等知识，综合性强，难度较大．

答题：MMCH老师；审题：zhangchao老师．

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806、

（2010?徐州）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．

（1）求证：△BDF≌△CDE；

（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定．

分析：（1）由CE、BF的内错角相等，可得出△CED和△BFD的两组对应角相等；已知D是BC的中点，

即BD=DC，由AAS即可证得两三角形全等；

（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，而D是底边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易证得四边形BFCE的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形BFCE是菱形．

解答：证明：（1）∵CE∥BF，

∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；

又∵D是BC的中点，即BD=DC， ∴△BDF≌△EDC；（AAS） （2）∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； 又∵BD=DC， ∴AD⊥BC；

由（1）知：△BDF≌△EDC，则DE=DF，DB=DC； ∴BC、EF互相垂直平分； ∴四边形BFCE是菱形．

点评：此题主要考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及菱形的判定方法．

答题：MMCH老师；审题：Linaliu老师．

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807、

（2010?湘潭）Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．

（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；

（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A'B'C'位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想．

（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．

分析：（1）已知△ABC≌△FCB，根据全等三角形的性质可知AB=CF，AC=BF，根据两组对边分别相等

的四边形是平行四边形即可得到结论．

（2）根据已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根据全等三角形的性质即可得到OP=OQ． （3）根据对角线互相垂直的平行四边形的菱形进行分析即可．

解答：证明：（1）∵△ABC≌△FCB（1分）

∴AB=CF，AC=BF（2分）

∴四边形ABCF为平行四边形（3分） （用其它判定方法也可） 解：（2）OP=OQ（4分）

理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO ∴△COQ≌△BOP（6分） ∴OP=OQ（7分）

（用平行四边形对称性证明也可） （3）90o（8分）

点评：此题考查学生对平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，菱形的判定等知识的综合运用．

答题：ln_86老师；审题：Linaliu老师．

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808、

（2010?乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．

求证：（1）△ABE≌△CDF；

（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的性质．

分析：（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、

CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等；

（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE=∠CDF（2分），

∴△ABE≌△CDF（ASA）；（4分）

（2）由△ABE≌△CDF，得AE=CF（5分）， 在平行四边形ABCD中，AD平行BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF，

∴四边形EBFD是平行四边形（6分）， 若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．（8分）

点评：此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法．

答题：MMCH老师；审题：zhqd老师．

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809、

（2010?温州）如图，在?ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．

求证：（1）∠E=∠F；（2）?ABCD是菱形．

考点：菱形的判定；平行四边形的性质．

分析：（1）四边形ABCD是平行四边形，则BC∥AF，可得同位角∠BPE=∠F；在等腰△BEP中，∠E=

∠BPE，等量代换后即可证得所求的结论；

（2）由EF∥BD，可得同位角∠ABD=∠E，∠ADB=∠F；由（1）知∠E=∠F，等量代换后可证得∠ABD=∠ADB，即AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABCD是菱形．

解答：证明：（1）在?ABCD中，BC∥AD，

∴∠1=∠F， ∵BE=BP， ∴∠E=∠1， ∴∠E=∠F； （2）∵BD∠EF， ∴∠2=∠E，∠3=∠F， ∵∠E=∠F， ∴∠2=∠3， ∴AB=AD， ∴?ABCD是菱形．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质及菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

答题：MMCH老师；审题：zhqd老师．

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810、

（2010?铁岭）如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点． （1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；

（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？

（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；轴对称的性质． 专题：几何综合题．

分析：（1）根据“AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A”可以得到∠DOB+∠BDO=90°，∠AOE+∠AED=90°，

又OP是∠MON的平分线、∠BDO与∠ADE是对顶角，所以∠AED=∠ADE，所以AD=AE； （2）根据轴对称的性质AD=DF，AE=AF，又AD=AE，所以四边形ADFE是菱形；

（3）∠MON=45°，则∠ACO=45°所以△EFC是等腰直角三角形，EF=FC，再证明△OAE与△OFE全等可以得到OA=OF，结合菱形的四条边都相等，即可得到OC=AC+AD．

解答：（1）AE=AD（2分）

（2）菱形（3分） （法一）：连接DF、EF

∵点F与点A关于直线OP对称， E、D在OP上，

∴AE=FE，AD=FD．（5分）

由（1）得AE=AD ∴AE=FE=AD=FD

∴四边形ADFE是菱形（7分）

（法二）：连接AF交DE于点G，连接DF，EF．

点F与点A关于直线OP对称可知：AF⊥DE，AE=FE，（3分） ∴AG=FG， 又∵AE=AD ∴DG=EG

∴四边形ADFE是平行四边形（6分） ∵AF⊥DE

∴平行四边形ADFE是菱形（7分） （3）OC=AC+AD（8分） （法一）：证明：连接EF． ∵点F与点A关于直线OP对称， ∴AO=OF

∵AC⊥OM，∠MON=45° ∴∠OAC=90° ∴∠ACO=∠MON=45° ∴OF=AO=AC（10分） 由（2）知四边形ADFE是菱形 ∴EF∥ABAD=EF ∵AB⊥ON

∴∠ABC=90° ∴∠EFC=∠ABC=90° ∵∠ACO=45° ∴∠ACO=∠CEF ∴FC=EF=AD 又∵OC=OF+FC ∴OC=AC+AD（12分）

（法2）证明：连接EF． ∵AC⊥OM，∠MON=45° ∴∠OAC=90° ∴∠ACO=∠MON=45° ∴AO=AC

由（2）知四边形ADFE是菱形 ∴EF∥ABAD=EF ∵AB⊥ON ∴∠ABC=90° ∴∠EFC=∠ABC=90° ∵∠ACO=45°

∴∠FEC=∠ACO=45°（9分） ∴FC=FE=AD ∵∠AOE=∠FOE

∵OE=OE，∠OAC=∠OFE=90° ∵△OAE≌△OFE（11分） ∴OA=OF ∴OF=AC 又∵OF+FC=OC ∴AC+AD=OC（12分）

（法3）证明：延长EA到G点，使AG=AE ∵∠OAE=90° ∴OA⊥GE ∴OG=OE ∴∠AOG=∠EOA

∵∠AOC=45°，OP平分∠AOC ∴∠AOE=22.5°

∴∠AOG=22.5°∠G=67.5° ∴∠COG=∠G=67.5° ∴CG=OC（10分） 由（1）得AD=AE ∵AD=AE=AG

∴AC+AD=OC（12分）

点评：（1）利用角平分线的性质和等角的余角相等求出角相等，再根据等角对等边的性质解答；

（2）考查轴对称的性质和四条边都相等的四边形是菱形的判定方法； （3）利用菱形的性质和等腰直角三角形的性质证明．

811、

（2010?上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形； （2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．

考点：菱形的判定；勾股定理；梯形． 专题：作图题．

分析：（1）分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，连接AP，

则AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E；

可通过证△BOE≌△BOA，得AO=OE，则AD与BE平行且相等，由此证得四边形ABED是平行四边形，而AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得所求的结论；

（2）已知了EC、BE的比例关系，可用未知数表示出BE、EC的长；过D作DF⊥BC于F，在Rt△DEF中，易知∠DEF=∠ABC=60°，可用DE（即BE）的长表示出EF、DF，进而表示出FC的长；在Rt△CFD

中，根据DF、CF的长，可由勾股定理求出CD的长，进而可根据DE、EC、CD的长由勾股定理证得DE⊥DC．

解答：（1）解：如图；

∵AB=AD， ∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD ∵AD∥BC，

∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=OEB ∴△BOE≌△DOA ∴BE=AD（平行且相等）

∴四边形ABDE为平行四边形，另AB=AD， ∴四边形ADBE为菱形；

（2）设DE=2a，则CE=4a，过点D作DF⊥BC ∵∠ABC=60°，∴∠DEF=60°， ∴∠EDF=30°，∴EF= DE=a，

则DF= ∴

，CF=CE-EF=4a-a=3a，

，构成一组勾股数，

∴DE=2a，EC=4a，CD=

∴△EDC为直角三角形，则ED⊥DC．

点评：此题主要考查了梯形的性质、尺规作图-角平分线的作法、菱形的判定和性质、勾股定理的应用等知

识．

答题：MMCH老师；审题：Linaliu老师．

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812、

（2010?三明）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点． （1）求证：四边形DECF是平行四边形；

（2）若AC=BC，则四边形DECF是什么特殊四边形？请说明理由．

考点：菱形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定． 分析：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边进行证明；

（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明．

解答：证明：（1）方法一：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，

∴DE∥AC，DE= AC，CF= AC．（3）分

∴DE∥CF，DE=CF．

∴四边形DECF是平行四边形，5分）

方法二：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点， ∴DE∥AC，DF∥BC，（3分） ∴四边形DECF是平行四边形．（5分） 解：（2）四边形DECF是菱形（6分） 理由：∵E、F分别是边BC、CA的中点， ∴CE= BC，CF= AC，

又∵AC=BC， ∴CE=CF．（8分）

由（1）知，四边形DECF是平行四边形， ∴四边形DECF是菱形．（10分）

点评：考查了平行四边形和菱形的判定．

形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分．．

答题：bjy老师．

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813、

（2010?青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF． （1）求证：BE=DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；

（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，联立（1）的结论，可证得EC=CF，BC=CD；根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．

解答：证明：

（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠D=90° ∵AE=AF，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF ∴BE=DF；（4分） （2）四边形AEMF是菱形 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC ∵BE=DF，

∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF ∴OE=OF ∵OM=OA，

∴四边形AEMF是平行四边形 ∵AE=AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．（8分）

点评：此题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定．

答题：MMCH老师；审题：Linaliu老师．

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814、

（2010?钦州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．

考点：菱形的判定；梯形． 专题：证明题．

分析：首先证明四边形AECD是平行四边形，再由AB∥CD，得∠EAC=∠DCA，AC平分∠BAD，得∠

DAC=∠CAE，从而得到∠ACD=∠DAC，即AD=DC，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

解答：证明：

∵AB∥CD，CE∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形．（3分） ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC，（4分） 又∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC=∠DAC，（5分） ∴AD=DC，（6分）

∴四边形AECD是菱形．（8分）

点评：考查了平行四边形和菱形的判定，比较简单．

答题：bjy老师；审题：Linaliu老师．

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815、

（2010?眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质．

分析：（1）首先可根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩

形的对角线相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四边形OCED是菱形．

（2）连接OE，通过证四边形BOEC是平行四边形，得OE=BC；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形ODEC的面积．

解答：解：（1）四边形OCED是菱形．（2分）

∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形，（3分） 又在矩形ABCD中，OC=OD， ∴四边形OCED是菱形．（4分）

（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，（5分） ∴OE∥BC 又CE∥BD

∴四边形BCEO是平行四边形； ∴OE=BC=8（7分）

∴S四边形OCED= OE?CD= ×8×6=24．（8分）

点评：本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法；

菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分．

答题：MMCH老师；审题：Linaliu老师．

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816、

（2010?凉山彝族自治州）平行四边形中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系式①AB=BC，②AC=BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中，任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为

．

考点：菱形的判定；平行四边形的性质；概率公式．

分析：根据菱形的判定，要证平行四边形ABCD是菱形，可证一组邻边相等或对角线互相垂直即可． 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴①AB=BC，四边形ABCD是菱形； ②AC=BD，四边形ABCD是矩形； ③AC⊥BD，四边形ABCD是菱形； ④AB⊥BC，四边形ABCD是矩形．

只有①③可判定，所以可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为

．

点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

答题：lihongfang老师；审题：Linaliu老师．

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817、

（2010?荆门）将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．

分析：第一次折叠，AC落在AB边上，则折痕AD平分∠BAC，∠EAD=∠FAD；

第二次折叠，A、D重合，则∠EAF=∠EDF、∠EDA=∠FDA；AE=ED、AF=FD；

易证得△AED≌△AFD，得AE=AF、DE=DF，再根据第二次折叠所得到的AE=DE、AF=FD，可证得四边形AEDF的四边相等，由此可判定四边形AEDF是菱形．

解答：证明：

由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1=∠2（2分） 由第二次折叠可知：∠CAB=∠EDF，从而，∠3=∠4（4分）

∵AD是△AED和△AFD的公共边，∴△AED≌△AFD（ASA）（6分） ∴AE=AF，DE=DF

又由第二次折叠可知：AE=ED，AF=DF ∴AE=ED=DF=AF（8分） 故四边形AEDF是菱形．（9分）

点评：此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法．

答题：MMCH老师；审题：Linaliu老师．

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818、

（2010?河源）如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：PE=PF；

（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？说明理由； （3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且

．求此时∠A的大小．

考点：菱形的判定；平行线的性质；正方形的判定． 分析：（1）可证明PE=PC，PF=PC，从而得到PE=PF；

（2）由一对邻补角的平分线互相垂直，得出∠ECF=90°，故要使四边形AECF是矩形，只需四边形AECF是平行四边形即可．由（1）知PE=PF，则点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．

（3）由正方形的对角线相等且互相垂直，可知AC⊥EF，AC=2AP．又EF∥BC，得出AC⊥BC，在直角△ABC

中，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求出∠A的大小．

解答：解：（1）∵CE平分∠BCA，

∴∠BCE=∠ECP， 又∵MN∥BC， ∴∠BCE=∠CEP， ∴∠ECP=∠CEP，

∴PE=PC； 同理PF=PC， ∴PE=PF；

（2）当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 由（1）可知PE=PF， ∵P是AC中点， ∴AP=PC，

∴四边形AECF是平行四边形． ∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD， 且∠BCA+∠ACD=180°，

∴∠ECF=∠ECP+∠PCF= （∠BCA+∠ACD）= ×180°， =90°

∴平行四边形AECF是矩形；

（3）证明：若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，AC=2AP． ∵EF∥BC， ∴AC⊥BC，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， ∴cot∠A=

=

，

∴∠A=30°．

点评：此题综合考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的性质，锐角三角函数的

定义及特殊角的三角函数值等知识点，难度较大．

答题：huangling老师；审题：Linaliu老师．

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819、

（2010?赤峰）两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右C1=90°

滑动，图②是滑动过程中的一个位置．

（1）在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C．

（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定．

分析：利用全等三角形的性质得出一些条件，然后再进行证明．

解答：（1）证明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）是两块完全相同的三角板

∴AC=A1C1AB=A1B1∠A=∠A1 ∴在图②中A1B=AB1 ∴△A1BC1≌△AB1C

（2）点B1落在AB边的中点．

如图②所示，由已知条件知BC=B1C1，BC∥B1C1 ∴四边形BCB1C1是平行四边形 要使四边形BCB1C1是菱形 则BC=CB1

∵∠ABC=∠A1B1C1=60° ∴△BCB1为等边三角形 ∴BB1=B1C

∴点B1落在AB边的中点

点评：（1）灵活把握题中隐含的条件是解题的关键．

（2）菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分．

答题：答案老师．

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820、

（2010?鞍山）①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．

②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延长线与点F．求证：AB垂直平分DF．

考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定． 分析：①（1）由三角形中位线知识可得EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）要是菱形，只需增加相邻两边相等，如要得到EF=GF，由中位线知识，只须AB=CD．

②∵FB∥AC，∠ACB=90°∴∠FBC=90°，由AC=BC、∠ACB=90°∴∠DBA=45°，证AB是∠CBF平分线．明Rt△ADC≌Rt△FBC，所以DB=FB，所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）．

解答：①（1）证明：

∵E、F分别是AD、BD中点， ∴EF∥AB，EF= AB，

同理GH∥AB，GH= AB，

∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形． （2）当四边形ABCD满足AB=CD时，四边形EFGH是菱形． 证明：F、G分别是BD、BC中点，所以GF= CD，

∵AB=CD，∴EF=GF

又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形．

②证明：∵∠ACB=90°，Rt△ADC中，∠1+∠2=90°， ∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3+∠2=90°，得：∠1=∠3．

∵FB∥AC，∠ACB=90°，∴∠FBC=90°，得：△FBC是直角三角形． ∵AC=BC，∠1=∠3，△FBC是直角三角形 ∴Rt△ADC≌Rt△FBC．

∴CD=FB，已知CD=DB，可得：DB=FB．

由AC=BC、∠ACB=90°，可得：∠4=45°，AB是∠CBF平分线． 所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）．

点评：本题考查了中位线知识，平行四边形和菱形的判断方法．

821、

（2010?安徽）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1=∠2，BF=BC． （1）求证：四边形BCEF是菱形；

（2）若AB=BC=CD，求证：△ACF≌△BDE．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定．

分析：（1）根据∠1=∠2，AD∥FE，可得∠1=∠FEB，则BF=EF；又BF=BC，所以EF=BC．根据有一

组邻边相等的平行四边形是菱形得证；

（2）根据已知条件易得四边形ABEF、CDEF都是平行四边形，所以对边相等．运用SSS判定：△ACF≌△BDE．

解答：证明：（1）∵AD∥FE，∴∠FEB=∠2．

∵∠1=∠2，∴∠FEB=∠1． ∴BF=EF．

∵BF=BC，∴BC=EF． ∴四边形BCEF是平行四边形． ∵BF=BC，∴四边形BCEF是菱形． （2）∵EF=BC，AB=BC=CD，AD∥EF， ∴四边形ABEF、CDEF均为平行四边形． ∴AE=BE，FC=ED． 又∵AC=2BC=BD， ∴△ACF≌△BDE．

点评：此题考查了菱形的判定方法及三角形全等的判定等知识点．

菱形的判别方法是：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分． 具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

答题：zxw老师；审题：Linaliu老师．

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822、

（2009?云南）如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定． 专题：证明题．

分析：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；

（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN．

解答：证明：（1）如图，在△ABC和△DCB中，

∵AB=DC，AC=DB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB；（4分）

（2）据已知有BN=CN．证明如下： ∵CN∥BD，BN∥AC，

∴四边形BMCN是平行四边形，（6分） 由（1）知，∠MBC=∠MCB， ∴BM=CM，

∴四边形BMCN是菱形， ∴BN=CN．（9分）

点评：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．

答题：kaixinyike老师；审题：wangcen老师．

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823、

（2009?西宁）如图，在平行四边形ABCD中．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠ABC的平分线BE交AD于E；在线段BC上截取CF=DE；连接EF．

（2）求证：四边形ABFE是菱形．

考点：菱形的判定；平行四边形的性质． 专题：作图题．

分析：（1）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB、BC于两点，再分别以这两点为圆心，

以任意长为半径画弧，两弧交于一点G，连接BG并延长交AD于点E，则BE即为所求． ②再以点C为圆心，以DE为半径画弧交BC于点F，连接EF即可．

（2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．先证四边形ABFE是平行四边形；再证AB=AE．即证?ABFE是菱形．

解答：解：

（1）如图：

（2）证明：∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC 又∵DE=CF

∴AD-DE=BC-CF， 即AE=BF ∵AE∥BF

∴四边形ABFE是平行四边形， 又∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠EBF 又∵AD∥BC ∴∠AEB=∠EBF ∴∠ABE=∠AEB ∴AB=AE

∴?ABFE是菱形．

点评：（1）考查了尺规作图．

（2）菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分．

答题：wangcen老师；审题：lihongfang老师．

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824、

（2009?梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．

（1）求证：AD=CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是 ．

考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质．

分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=

∠EOC=90°， ∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE，OD=OE， 由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，

∵OD=OE，OA=OC∠AOD=90°根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得．平行四边形ADCE是菱形．

解答：证明：

（1）∵MN是AC的垂直平分线（1分） ∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°（3分） ∵CE∥AB

∴∠DAO=∠ECO（4分） ∴△ADO≌△CEO（5分） ∴AD=CE（6分）

（2）四边形ADCE是菱形．（8分） （填写平行四边形给1分）

点评：本题利用了：1、中垂线的性质，2、全等三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定．

答题：zhehe老师；审题：kaixinyike老师．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/knt3.html