2008年北京市高考理科数学试题及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（北京卷）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集U?R，集合A?x|?2≤x≤3，B??x|x??1或x?4?，那么集合A等于（ ） A．x|?2≤x?4 C．x|?2≤x??1

2．若a?2，b?logπ3，c?log2sinA．a?b?c

B．b?a?c

0.5???eB?U??B．x|x≤3或x≥4 D．x|?1≤x≤3

??????2π，则（ ） 5 C．c?a?b

D．b?c?a

3．“函数f(x)(x?R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的（ ） A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ） 4．若点P到直线x??1的距离比它到点(2，A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

?x?y?1≥0，?x?2y5．若实数x，y满足?x?y≥0，则z?3的最小值是（ ）

?x≤0，?A．0

6．已知数列?an?对任意的p，q?N*满足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（ ） A．?165

B．?33

C．?30

D．?21

B．1

C．3

D．9

227．过直线y?x上的一点作圆(x?5)?(y?1)?2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y?x对

称时，它们之间的夹角为（ ） A．30

B．45

C．60

D．90

P作垂直于平面BB1D1D的8．如图，动点P在正方体ABCD?A1BC11D1的对角线BD1上．过点

P?x，MN?y，直线，与正方体表面相交于M，N．设B则函数y?f(x)的图象大致是（ ）

D1 A1 D M C1

B1 P N C B y y y y O A． x O B． x O C． x O D． x

A 第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知(a?i)2?2i，其中i是虚数单位，那么实数a? ___________．

10．已知向量a与b的夹角为120，且a?b?4，那么b(2a?b)的值为 _________ ．

1??11．若?x2?3?展开式的各项系数之和为32，则n?_______ ，其展开式中的常数项为

x??________ ．（用数字作答）

n4)(20)(64)，则12．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，，，，，f(f(0))?________；limf(1??x)?f(1)? ________．（用数字作答）

?xy A C 4 3 ππ??213．已知函数f(x)?x?cosx，对于??，?上的任意x1，x2，有如下条2 1 ?22??x?0B O 1 2 3 4 5 6 22件：①x1?x2； ②x1?x2； ③x1?x2．其中能使f(x1)?f(x2)恒成立的条件序号是 _________ ．

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点

x Pk(xk，yk)处，其中x1?1，y1?1，当k≥2时，

???k?1??k?2??x?x?1?5T?T?kk?1???，??5????5???? ??y?y?T?k?1??T?k?2?．kk?1??????5??5??T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)?2，T(0.2)?0．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 __________ ；第2008棵树种植点的坐标应为________ ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 已知函数f(x)?sin2?x?3sin?xsin??x?（Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．

3 16．（本小题共14分）

如图，在三棱锥P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90，AP?BP?AB，PC?AC． P （Ⅰ）求证：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小； （Ⅲ）求点C到平面APB的距离．

A B

C

17．（本小题共13分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量?为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求?的分布列．

??π??（??0）的最小正周期为π． 2??2π???

18．（本小题共13分）已知函数f(x)? 19．（本小题共14分）

2x?b，求导函数f?(x)，并确定f(x)的单调区间． 2(x?1)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2?3y2?4上，对角线BD所在直线的斜率为1．

1)时，求直线AC的方程； （Ⅰ）当直线BD过点(0，（Ⅱ）当?ABC?60时，求菱形ABCD面积的最大值．

20．（本小题共13分）

对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列

T1(A)：n，a1?1，a2?1，，an?1．

对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(B)； 又定义S(B)?2(b1?2b2?2?mbm)?b12?b2?2． ?bm设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak?1?T2(T1(Ak))(k?01，，2，)． （Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S(T1(A))?S(A)；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，

S(Ak?1)?S(Ak)．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．?1 10．0 11．5 10 12．2 ?2 13．②

8．B

，2) (3，40214．(1 )三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ）f(x)?1?cos2?x3311?sin2?x?sin2?x?cos2?x?

22222π?1??sin?2?x???．

6?2?因为函数f(x)的最小正周期为π，且??0，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?sin?2x?2π?π，解得??1． 2???π?1??． 6?2因为0≤x≤2πππ7π1π??，所以?≤2x?≤，所以?≤sin?2x??≤1， 366626??因此0≤sin?2x???π?13?3?f(x)，即的取值范围为?≤0，?． ??6?22?2?P

16．（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD． AP?BP， ?PD?AB． AC?BC， ?CD?AB． PDCD?D，

A

C P E A

C D

B

?AB?平面PCD． PC?平面PCD， ?PC?AB．

（Ⅱ）AC?BC，AP?BP， ?△APC≌△BPC． 又PC?AC， ?PC?BC．

又?ACB?90，即AC?BC，且ACB

PC?C，

?BC?平面PAC．

取AP中点E．连结BE，CE． AB?BP，?BE?AP．

EC是BE在平面PAC内的射影， ?CE?AP．

??BEC是二面角B?AP?C的平面角．

在△BCE中，?BCE?90，BC?2，BE?3AB?6， 2?sin?BEC?BC6． ?BE36． 3P

H D

?二面角B?AP?C的大小为arcsin（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB?平面PCD， ?平面APB?平面PCD．

过C作CH?PD，垂足为H． 平面APB平面PCD?PD，

A

C B

?CH?平面APB．

?CH的长即为点C到平面APB的距离． 由（Ⅰ）知PC?AB，又PC?AC，且AB?PC?平面ABC． CD?平面ABC， ?PC?CD．

在Rt△PCD中，CD?AC?A，

13AB?2，PD?PB?6， 22?PC?PD2?CD2?2．

?CH?PCCD23?． PD323． 3?点C到平面APB的距离为17．（共13分）

3A31解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)?24?，

C5A440即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

1． 40

4A41（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)?24?，

C5A410所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)?1?P(E)?9． 10（Ⅲ）随机变量?可能取的值为1，2．事件“??2”是指有两人同时参加A岗位服务，

33C52A31则P(??2)?34?．所以P(??1)?1?P(??2)?，?的分布列是

4C5A44? P 18．（共13分）

1 3 3 41 42(x?1)2?(2x?b)2(x?1)解：f?(x)? 4(x?1)??2x?2b?2 3(x?1)2[x?(b?1)]．

(x?1)3??令f?(x)?0，得x?b?1．

当b?1?1，即b?2时，f?(x)的变化情况如下表：

x f?(x) (??，b?1) b?1 0 (b?11)， (1，??) ? ? ? 当b?1?1，即b?2时，f?(x)的变化情况如下表：

x f?(x) (??，1) (1，b?1) b?1 0 (b?1，??) ? ? ? ，上单调递增， 所以，当b?2时，函数f(x)在(??，b?1)上单调递减，在(b?11)，??)上单调递减． 在(11)上单调递减，在(1，b?1)上单调递增，在(b?1，??)上单调递减． 当b?2时，函数在(??，

当b?1?1，即b?2时，f(x)?19．（共14分）

21)上单调递减，在(1，??)上单调递减．，所以函数在(??，

x?1解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y?x?1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC?BD．

?x2?3y2?4，22于是可设直线AC的方程为y??x?n．由?得4x?6nx?3n?4?0．

?y??x?n因为A，C在椭圆上，所以???12n?64?0，解得?设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

24343． ?n?333nn3n2?4则x1?x2?，x1x2?，y1??x1?n，y2??x2?n．所以y1?y2?．

224所以AC的中点坐标为?所以

?3nn??3nn? ，?．由四边形ABCD为菱形可知，点?，?在直线y?x?1上，

?44??44?n3n??1，解得n??2．所以直线AC的方程为y??x?2，即x?y?2?0． 44（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且?ABC?60，

所以AB?BC?CA．所以菱形ABCD的面积S?32AC． 2?3n2?16由（Ⅰ）可得AC?(x1?x2)?(y1?y2)?，

2222所以S??43343?(?3n2?16)???n????． 433??所以当n?0时，菱形ABCD的面积取得最大值43． 20．（共13分）

（Ⅰ）解：A0：，A；T1(A5，3，2，T1(A0)：3，4，21，4，3，21，4，3，210，，， 1?T2(T1(A0))：1)：． A2?T2(T1(A1))：4，3，21，（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，，an， 则T1(A)为n，a1?1，a2?1，

，an?1，

从而S(T1(A))?2[n?2(a1?1)?3(a2?1)??(n?1)(an?1)]

?n2?(a1?1)2?(a2?1)2?又S(A)?2(a1?2a2?所以S(T1(A))?S(A)

?(an?1)2．

2， ?an2?nan)?a12?a2??2[n?2?3??(n?1)]?2(a1?a2??an)?n2?2(a1?a2??an)?n

??n(n?1)?n2?n?0，

故S(T1(A))?S(A)．

（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，，an．

当存在1≤i?j≤n，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B， 则S(B)?S(A)?2(iaj?jai?iai?jaj)?2(i?j)(aj?ai)≤0． 当存在1≤m?n，使得am?1?am?2??an?0时，若记数列a1，a2，，am为C，

则S(C)?S(A)．所以S(T2(A))≤S(A)．

从而对于任意给定的数列A0，由Ak?1?T2(T1(Ak))(k?01，，2，)

可知S(Ak?1)≤S(T1(Ak))．又由（Ⅱ）可知S(T1(Ak))?S(Ak)，所以S(Ak?1)≤S(Ak)． 即对于k?N，要么有S(Ak?1)?S(Ak)，要么有S(Ak?1)≤S(Ak)?1．

因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S(Ak)?S(Ak?1)?S(Ak?2)?即存在正整数K，当k≥K时，S(Ak?1)?S(Ak)．

．

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