函数项级数的一致收敛判别论文

摘 要

函数项级数是数学分析中的一个重要的概念,在工程技术领域也有着重要应用. 关于函数项级数的问题往往是数学分析的重点,又是难点,不易理解和掌握 而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,但是一致收敛的判别往往比较困难,我们的教材中对于函数项级数?un(x)的收敛判别给出了一些基本方法,然而这些方法却只能解决一些常见的问题,对于很多其它类型的函数项级数,我们需要寻求其它更为方便的方法。例如,我们可以把正项级数的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法和它们的极限形式顺利地推广到函数项级数的一致收敛的判别上,此外,还有很多种不常见的判别函数项级数一致收敛的方法,它们在处理某些类型函数项级数一致收敛判别问题上有着很重要的应用。本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究,为今后在处理函数项级数一致收敛性的判别提供理论基础。

关键词：函数项级数、 一致收敛、函数列、部分和数列

n?1?

Ⅰ

Abstract

The function series is an important concept in mathematical analysis ,also has its importing application in engineering field. The function of series problems are often the focus of mathematical analysis, it is difficult, difficult to understand and master and one of the basic problems in function series is to study the convergence problems, but consistent convergence is often difficult, our textbooks for the convergence of functional series discriminate gives some basic methods in common use, however these methods can only solve some common problems, for series of function of many other types, we need to find other more convenient method. For example, we can put the positive term series by Darren Bell method, Cauchy method, Abe discriminate method and their limiting forms smoothly to discriminant of uniform convergence of functional series of. In addition, there are many not often the discriminant function series convergence method, in which they some type of uniform convergence the function series problems of discriminant has a very important application. This paper aims to make a comprehensive summary and research method to distinguish the function series convergence, for the future in the processing function of distinguishing uniform convergence of series and provide a theoretical basis.

Keywords: function series, uniform convergence,function,partial sums

Ⅱ

目 录

第1章 引 言 ..................................................................................................... 1 第2章 预备知识 ............................................................................................... 2

2.1函数列及其一致收敛性 .................................................................................................... 2 2.2 函数项级数及其一致收敛性的定义 ............................................................................... 2

第3章 函数项级数一致收敛的判定方法 ............................................................ 4

3.1 常用判别方法 ................................................................................................................. 4

3.1.1 定义法 .................................................................................................................. 4 3.1.2 阿贝尔判别法 .................................................................................................... 5 3.1.3 余项判别法 ........................................................................................................ 5 3.1.4 狄利克雷判别法................................................................................................. 6 3.1.5 比式判别法 ........................................................................................................ 6 3.1.6 根式判别法 ........................................................................................................ 7 3.1.7 对数判别法 ........................................................................................................ 7 3.1.8 端点判别法 ........................................................................................................ 8 3.2 其它判别方法 ................................................................................................................. 9

3.2.1 两边夹判别法 .................................................................................................... 9 3.2.2

单调判别法 ....................................................................................................... 9

3.2.3 一致L条件判别法 .......................................................................................... 10 3.2.4 导数判别法 ...................................................................................................... 11 3.2.5

点列判别法 ..................................................................................................... 12

结束语 ................................................................................................................. 14 致谢 .................................................................................................................... 15 参考文献 ............................................................................................................. 16

Ⅲ

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第1章 引 言

函数项级数一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.同时,函数项级数一致收敛是数学分析教学中的难点之一,数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们需要讨论它的一致收敛性作为保证.

目前,已有许多文献对函数项级数一致收敛进行了研究,如文献[1]中介绍了函数列、函数项级数一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数一致收敛的充要条件；文献[2]对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、判别方法等方面做了讨论；文献[3]给出了判别函数项级数一致收敛的新方法,这种方法与Dini定理的区别在于：Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献[4]介绍了函数项级数中的Dini定理.文献[5]则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.

虽然已有诸多文献对如何判断函数项级数一致收敛性进行了研究,但多数都有其局限性.本文试图从函数列、函数项级数一致收敛的判别方法进行探索,在文献[2]中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.本文准备从三个阶段对其展开阐述：首先是简单阐述函数列、函数项级数的定义以及一致收敛的概念.其次，分别列出常用的判别函数项级数一致收敛的方法及其应用.最后是本文的主要内容,是在常用的判别函数项级数一致收敛的方法上推出一些定理.先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯M判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini定理；利用L条件,给出函数项级数一致L条件的定义,研究满足一致L条件的,函数项级数的一致收敛性；探讨在{un(x)}可微条件下,当?un(x)在[a,b]上的一致收敛时,函数项级数?un(x)的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.

n?1?n?1?[第1页,共17页]

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第2章 预备知识

2.1 函数列及其一致收敛性

设

f1,f2,...,fn,...

（1）

是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.该函数也可简单地写作：

fn(x)或fn,n?1,2,....

定义1[1] 设函数列{fn}与函数f定义在同一数集D上,若对任给的正数?,总存在某一正整数N,使得当n?N时,对一切x?D,都有

fn?x??f??x??, 则称函数列{fn}在D上一致收敛于f,记作

fn(x)?f(x ) (n??),x?D.

2.2 函数项级数及其一致收敛性的定义

设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列,表达式

u1(x)?u2(x)?...?un(x)?...,x?E

称为定义在E上的函数项级数,简记为?un(x). 称

sn(x)??uk(x),x?E,n?1,2,...k?1n（2）为函数项级数的部分和函数列.

定义2 若函数项级数?un(x)的部分和函数列?Sn(x)?在数集D上一致收

[1]n?1?敛于S(x),则称函数项级数?un(x)在D上一致收敛于S(x)或称?un(x)在D上

n?1n?1??一致收敛.

我们可以看到,函数项级数?un(x)的一致收敛性归结到其部分和函数列

??S(x)?的一致收敛性的研究上,下面我们给出一个运用这个思想处理问题的例

子.

n?1[第2页,共17页]

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? 例1 考察级数?x2e?nx(0?x??)的一致收敛性

n?1 分析 由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。所以我们首先要求出它的和函数列,由等比级数求和公式知当x?0时,

对于任意n,由于

S(x)?Sn(x)??xen?n?1

S(x)??xen?1?2?nxx2?1?e?x

?2?kxx2e?nx?1?e?xx2e?nx因此级数的一致收敛性等价于函数列 对区间(0?x??)的一致收敛于零 ?x1?e 证明： 由等比级数求和公式知当x?0时 S(x)??xe2n?1??nxx2? ?x1?e故对任意n,

?2?kxx2?e?nxS(x)?Sn(x)??xe?1?e?x函数列是一致收敛于零的. k?n?1下面证明此

x2x2?0 所以f(x)?由于lim

x?01?e?x1?e?x在0?x?1有界且对于任意给定的??0,存在??0,当x?(0,?)时,

x2?nxe?(n?2)xe?(n?2)?e???0(n??) 1?e?x1?e?x1?e??x2x2x2?nx??,于是对所有自然数n,x?(0,?),有 e???,而当?x?x?x1?e1?e1?ex2xe?nx在??x??上一致收敛于零,因??x??时,由x?e知,当n?2时,?x1?ex2?nxx2?n?e?e??,这样当此存在N,当n?N时,对所有x???,???,?x??1?e1?e??x2e?nx2?kx2?nx??xe 在,因此级数n?N时,对所有0?x??,有?xe???x1?ek?nn?10?x??一致收敛.

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函数项级数的一致收敛判别法探究

第3章 函数项级数一致收敛的判定方法

本章我们将给出一些判别函数项级数一致收敛的基本方法：柯西一致收敛准 则,魏尔斯特拉斯判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法以及不常用的方法,例如： 两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致L条件判别法、导数判别法、点 列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法.

3.1 常用判别方法

3.1.1 定义2[1] 设{Sn(x)}是函数项级数?un(x)的部分和函数列.若{Sn(x)}在数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级数?un(x)在D上一致收敛于函数

S(x),或称?un(x)在D上一致收敛.

由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定,所以由前段 有关函数列一致收敛的定理,都可推出相应的有关函数项级数的定理：

定理1[1]（柯西一致收敛准则） 函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛 的充要条件：对任意的正数?,总存在某正整数N,使得当n>N时,对一切x?D和 一切正整数p都有 |sn?p(x)?sn(x)|

例1 讨论函数项级?n?2??x1?2n2?nx??n?1?22??2?,D???1,1?在所给区间D上是否

一致收敛

解 因 |Sn?p(x)?Sn(x)|?|

?|1?2k|?2222k?n?1(x?k)[x?(k?1)]n?p11?)|2222?kx?(k?1)k?n?1

1111?|2?|??222x2?n2n x ? ( n ? p )x?n?(xn?p1?,当n?N时,对一切x?[?1,1],和一切自然数p,都有 所以,???0,取N?????1???

|Sn?p(x)?Sn(x)|?? 由函数项级数一致收敛的柯西准则知所给级数在[?1,1]上一致收敛.柯西收 敛准则是我们在判断函数项级数一致收敛时的常用方法

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判别函数项级数一致收敛性除了根据定义和柯西准则外,有些级数还可以根据级数各项的特征来判定。例如我们在数学分析的课本中, 也介绍了用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法掌握解答级数的问题,以下介绍级数收敛性理论中阿贝尔判别法和狄利克雷判别法及魏尔斯特拉斯判别法:

设函数项级数?un(x)定义在数集D上,?Mn为收敛的正项级数,若对 一切x?D,有：

|un(x)|?Mn,n=1,2?, 则函数项级数?un(x)在D上 一致收敛. 下面讨论定义在区间I上形如

?un(x)vn(x)?u1(x)v1(x)?u2(x)v2(x)?...?un(x)vn(x)?... （3）

的函数项级数的一致收敛性判别法,它也是基于分步求和公式. 3.1.2 定理2（阿贝尔判别法）设 (1)?un(x)在区间I上一致收敛; (2)对于每一个x?I,{vn(x)}是单调的；

(3){vn(x)}在I上一致有界,即对一切x?I和正整数n,存在正数M,使

|vn(x)|?M,

则原级数在I上一致收敛.

2x?n在任何有穷区间上的一致收敛性 例2 ?(?1)n2n?1?n 解 对任何有穷区间I,?M1?0,使得对一切x?M1, 有?(?1)nn?1?1，在I上nx2?nx2?nx21x212?????M?1 即是一对 x?I一致收敛，?x?I,调,12222nnnnnn致有界的,由阿贝尔判别法知级数一致收敛

3.1.3 定理3（余项判别法） 函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是:

limsup|Rn(x)|?limsup|S(x)?Sn(x)|?0 n?? x ? D n??x?D例3

?xn?1?n?1在(?1,1)的收敛性

解 由余项判别法知,

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函数项级数的一致收敛判别法探究

nnn)xn?1sup|Sn(x)?S(x)|?sup||?||

nx?(?1,1)x?(?1,1)x?11?n?1( ?n(nn?1)??n(?? )n?1可知级数在(?1,1)内不一致收敛,实际上,余项判别法本质上可看做是柯西一致收敛准则的推论

3.1.4 定理4[1]（狄利克雷判别法） （1）?un(x)的部分和函数列

Un(x)??uk(x) （n=1,2,…）

k?1n在I上一致有界；

（2）对于每一个x?I,?vn(x)?是单调的； （3）在I上vn(x)?0(n??), 则级数(3)在I上一致收敛.

n?1)(?1()x2)的一致收敛性 例4 判断 ? ( 1 ? x 2n),x?(??,???n?1

解 当x?0时,Sn(0)?S(0)?0；

(n?1)当x?0时,令un(x)?(?1)?x2,vn(x)?

(1?x)n则?x?(??,??),有?uk(x)?1(n?1,2,...)，根据狄利克雷判别法可知该函数项级

k?1数一致收敛

（注意：利用狄利克雷判别函数级数一致收敛时,三个条件都应满足）

同样的,结合数项级数比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时我们还可得到函数项级数一致收敛性 的对数判别法、积分判别法.

3.1.5 定理5（比式判别法） 设un(x)为定义在数集D上的函数列,且

u(x)un(x)?0,n=1,2,……,记qn(x)?n?1

un(x)[第6页,共17页]

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若存在正整数N及实数q,M,使得qn(x)?q?1,uN(x)?M对任意的n>N, x?D成立,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛.

n?1?证明 易知

u(x)un?1(x)uN?1(x)un(x)?n???uN(x)un?1(x)un?2(x)uN(x)

?qn?1(x)?qn?2(x)?qN(x)?uN(x)

?qn?N?1M?n1?N

而等比级数当0?q?1时收敛,从而?q?Mq在D上一致收敛.

n?N收敛,由M判别法知, ?un(x)n?1?（极限形式）设un(x)为定义在数集D上正的函数列, 若qn(x)?un?1(x),由于 un(x)?nlimqn??n(x)?q(x)?q?1,且un(x)在D 上一致有界,则函数项级数

?un?1(x)在D上一

致收敛.

3.1.6 定理6 (根式判别法)

设un(x)为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使n|un(x)|?q?1, 对?n>N ,x?D 成立,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛.

n?1?

证明 由定理条件,|un(x)| ≤ qn,对?n>N成立,而几何级数?qn收敛,

?n?1由优级数判别法知,函数项级数?un(x)在D上一致收敛.（注:当定理6条件成立时,级数?un(x)在D上收敛且绝对收敛）

n?1?（极限形式）?un(x)为定义在数集D上的函数列,limn|un(x)|?q(x)?q?1,对

n?1n????x?D成立,则函数项级数在D上一致收敛

例5 ?xn在[?b,b]上一致收敛（0?b?1）

n?1?解 n|un(x)|?n|xn|?|x|?b?q?1，由根式判别法知级数一致收敛 3.1.7 定理7(对数判别法)

设un(x)为定义在数集D上正的函数列,若存在

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函数项级数的一致收敛判别法探究

?lnun(x)?p(x) limlnnn??则(1)若对?x?D,p(x)?p?1 ,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛；

n?1?(2)若对?x?D,p(x)?p?1,则函数项级数?un(x)在D上不一致收敛；

n?1?证明 由定理条件知,对???0 , ?N ,使得对?n>N ,有

p(x)????lnun(x)

?p(x)??lnn

,1np(x)???un(x)?1np(x)??则当p(x)?p?1对x?D成立时,有 un(x)??11而p级数?np当p(x)?p?1时np收敛,由优级数判别法知函数项级数?un(x)在D上一致收敛；而当p(x)

n?1?1有un(x)?,且由p级数当p<1时发散,从而函数项级数?un(x)在D上不一致收

nn?1敛.

例6 ?13ln(1?nx)在[2,??)上不一致收敛 3n?1n?ln[11ln(1?n3x)]?[ln3?ln(1?n3x)]3nn ?limlnnlnnn???解 lim?lnun(x)?limn??lnnn???lim[3?n??ln(1?n3x)ln(n3x)lnx

]?lim[3?]?lim(?)lnnlnnlnnn??n???lim(?n??ln2)?0=p?1 lnn3.1.8 定理8（端点判别法）

),设un(x)在[a,b]上单调(n?1,2,...)，若?un(a()b?un绝对收敛，则?un(x)在[a,b]绝对且一致收敛

证明 ?un(x)在[a,b]上单调，由?un(a),?un(b)?|un(x)|?|un(a)|?|un(b)|，绝对收敛，知?(|un(a)|?|un(b)|)收敛，由M判别法知?un(x)在[a,b]上绝对且一致收敛

由端点判别法我们很容易判断函数项级数?xn在[0,b]（0?b?1）上一致收敛

n?1?[第8页,共17页]

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教材中为我们提供了函数项级数一致收敛的几种基本的判别方法,为我们解决这一类问题提供了条件；然而,在实际应用中,我们会遇到一些问题,单纯靠这些基本方法是难以解决的,因此,我们需要寻求其他的判别方法。

3.2 其它判别方法

在熟悉以上常规的判别法以后,在处理一些问题时还会用到其它的判别法, 例如：两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致L条件判别法、导数判别 法、点列判别法等,下面将一一介绍. 3.2.1 定理9（两边夹判别法）

对任意自然数n和x?D,都有un(x)?vn(x)?wn(x)成立且?un(x),?wn(x) 均在点集D上一致收敛于s(x),则?vn(x)也在点集D一致收敛于s(x).

证明 设

??k?1k?1n?1???n?1n?1Un(x)??uk(x),Vn(x)??vk(x),Wn(x)??wk(x)??n?N?,?x?I都有

k?1?un(x)?vn(x)?wn(x),所以对?n?N?,?x?I有un(x)?vn(x)?wn(x),又级数

?un?1?n(x),?wn(x)在I上一致收敛于s(x),即

n?1?s(x)???Un(x)?Vn(x)?Wn(x)?s(x)??

由函数项级数一致收敛定义知,?un(x)在I上也一致收敛于s(x) 3.2.2 定理10（单调判别法）

n?1?在讨论级数的和函数单调条件下,加上若干条件,可推出函数项级数的Dini定理.

设级数?un(x)的每一项在有界闭区间[a,b]上连续且非负,如果它的和函数S(x)也在[a,b]上连续,那么该级数在[a,b]上一致收敛.

证明 用Sn(x)记级数的部分和,由于un(x)?0,故对每个给定的x,Sn(x) 是单调增的数列.记

rn(x)?S(x)?Sn(x)（n?1,2…）, ⑷ 则rn(x)是非负的单调减得数列.我们要证明rn(x)在[a,b]上一致趋于0.如果不是这样,那么存在某个??0,不论n多大,总能在[a,b]找到这样的点xn,使得 rn(xn)??（n?1,2…）,

{xn}既然是[a,b]中的一个点列,那么根据维尔斯特拉斯定理,从它中间能挑出一

n?1?个收敛的子列xnk,x0?[a,b],则根据rm(x)的连续性,我们有：

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函数项级数的一致收敛判别法探究

limxnk?x0 limrm(xnk)?rm(x0)(m?1,2...) ⑸

k??k??另一方面,对于任意给定的m,总能找到充分大的k,nk?m.于是,对于任意给定的x,就有rm(x)?rnk(x),特别有rm(xnk)?rnk(xnk).因而由⑷得 rm(xnk)??, 令k??,就得

rm(x0)? ?（m?1,2…）. 但⑸知,

rm(x0)＝S(x0)?Sm(x0)?0 （m??）,

矛盾,从而证明了级数在[a,b]上一致收敛于S(x).

（注：如果把定理中的有界闭区间[a,b]换成开区间或者无穷区间,结论就可能不

?1成立.例如级数?xn的每一项在区间[0,1)中非负且连续,它的和函数也在

1?xn?0[0,1)中连续,但该级数在[0,1)中并不一致收敛）

例7 证明函数项级数?x2n(lnx)2在区间(0,1]上一致收敛.

?2n?解 设该级数?x(lnx)的和函数为S(x),则S(1)?0,且当x?(0,1)

n?01时,由几何级数求和公式,可得 S(x)=(lnx)2. 21?x因为S(1?0)?0,所以S(x)在(0,1]上连续.考虑到级数的每一项都同号,且在(0,1]上连续,由Dini定理可知,级数?x2n(lnx)2在(0,1]上一致收敛. 可见用Dini定理来判别函数项级数的一致收敛性是很方便的. 3.2.3 定理11（一致L条件判别法）

当?un(x)满足一致L条件时,我们来探讨?un(x)的一致收敛性,得到函数项级数的一致L条件判别法：

??n?1n?1??n?02?n?0设函数列{un(x)}在闭区间[a,b]上连续,且存在一点x0?[a,b]收敛,使得

n0?u(x)在点xn?1收敛；且?un(x)在闭区间[a,b]上满足一致L条件，即存在常数

n?1?n?1L?0,使得对于任意两点x,x0?[a,b],则函数项级数?un(x)在[a,b]上一致收

敛.

?证明 已知?un(x)在点x0?[a,b]收敛,即任意??0,存在N1(?),使得

n?1n?pn?N1(?)时,对任意p?N,有

?k?n?1?uk(x0)??；又因为?un(x)在闭区间[a,b]上

n?1?满足一致L条件,即存在常数L?0,使得对于任意两点x,x0?[a,b],都有

k?n?1?u(x)??u(x)?L(x?x)

kk00k?n?1n?pn?p[第10页,共17页]

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存在?(x0)??L,当0?x?xo??(x0)时,对一切n?N?,任意p?N?,对任意

n?pkk00x?[a,b],有

k?n?1?u(x)??u(x)?L(x?x)

k?n?1n?p

n?pn?p?L??L??于是任意n?N?,p?N?,对任意x?[a,b],

k?n?1?u(x)??u(x)??u(x)??u(x)kkk0k0k?n?1n?pk?n?1n?pk?n?1n?pn?pn?p??uk(x)??uk(x0)??uk(x0)k?n?1k?n?1k?n?1 ?????2?.

即?un(x)在[a,b]上一致收敛.

n?1?sinnx在(??,??)上一致收敛 3nsinnx解 ?3显然在0处收敛

nn?pn?pn?psinkxn?psinkxuk(x)??uk(x0)?????33kk?n?1k?n?1k?n?1k?n?1k例8 ??sin(n?1)xsin(n?1)x0??sin(n?p)xsin(n?p)x0?????...????333(n?1)?(n?p)3??(n?1)?(n?p)???sin(n?1)xsin(n?1)x0sin(n?p)xsin(n?p)x0??...??333(n?1)(n?1)(n?p)(n?p)311(n?1)x?(n?1)x?...?(n?p)x?(n?p)x0 033(n?1)(n?p)11?x?x?...?x?x0022(n?1)(n?p)?11????...?x?x022?(n?p)??(n?1)?2?11???2?2?....?x?x0?x?x0?Lx?x06?12?3.2.4 定理12（导数判别法）

下面探讨在函数列{un(x)}可微条件下,当?un?(x)在[a,b]上一致收敛时,函

n?1?数项级数?un(x)的一致收敛性.

n?1?[第11页,共17页]

函数项级数的一致收敛判别法探究

设函数列{un(x)}在闭区间[a,b]上连续可微,且存在一点x0?[a,b]使得

?????un(x)在点x0收敛；?un(x)在[a,b]上一致收敛,则函数项级数?un(x)

n?1n?1n?1在[a,b]上一致收敛.

证明 已知?un(x)在点x0?[a,b]收敛, ?un(x)在[a,b]上一致收敛,即

n?1n?1???n?p任意??0,存在N1(?),使得n?N1(?)时,对任意p?N,有

n?p?k?n?1?uk(x0)??对任意

x?[a,b],有

k?n?1?u?k(x)??,根据拉格朗日中值定理,任意n?N?,任意p?N?,任

意x?[a,b],有

k?n?1?u(x)??u(x)??u?(?)(x?x)kk0k0k?n?1k?n?1n?pn?pn?p??(b?a)（?介于x与x0之间）

于是任意n?N?,任意p?N?,任意x?[a,b],

x) ??uk(x)??k( u

k?n?1k?n?1n?pn?pk?n?1n?p?u(x)??u(x)k0k0k?n?1n?pk0k0n?pn?p

? ?uk(x)?k?n?1n?pk?n?1?u(x)??u(x)k?n?1??(b?a)????(b?a?1).

即?un(x)在[a,b]上一致收敛.

1 例9 ?sin

nn?1n?1??解：令f(x)?sinx,显然在x?0处可导连续,但f'(0)?1?f(0),所以由导数判别法知级数发散.

3.2.5 定理13（点列判别法）

接下来,我们把?un(x)在点集X归结到点列的情况下来确定函数项级数的一致收敛性.

n?1??un?1?n(x)在点集

X上一致收敛于S(x)的充分必要条件是对任意

点列{xn}?X,都有

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黄冈师范学院本科学位论文

lim?uk(xn)?S(xn)?0n??k?1 n证明 必要性 若?un(x)在点集X上一致收敛于S(x),则

n?1?

?u(x)?S(x)kk?1n?sup?uk(x)?S(x)?0,(n??)x?Xk?1n于是对任意点列{xn} ?X,都有

n

uk(xn)?S(xn)?? k?1充分性（用反证法）

假设?un(x)在点集X上不一致收敛于S(x),则??0?0,?N,?n?N,及x?X,使得

n?1??u(x)?S(x)kk?1n?0,(n??)

?u(x)?S(x)??kk?1n0于是,取N?1,?n1?1与xn1?X,使：

nkn1?1?ukn2nkn1(xn1)?S(xn1)??0

取N?2,?n2?n1与xn2?X,使： ……

kn2?1?un(xn2)?S(xn2)??0

取N?m,?nm?nm?1与xnk?X,使：|…….

knm?1?unknm?1(xnm?1)?S(xnm?1)|??0

这样就得到一点列{xnk}?X使: limn???uk?1k(xn)?S(xn)?0

与已知条件相矛盾.

由上述判别法也可判断 ?xn在[0,b]（0?b?1）上是一致收敛的

n?1?

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函数项级数的一致收敛判别法探究

结束语

本次的毕业设计是对大学四年的一个总结，在历经将近半年的时间里，我通过去图书馆查阅文献资料，对相关知识进行研究和总结，才得以完成本次毕业设计。在此过程中，我也曾遇到过很多问题。例如，在对函数项级数一致收敛判别法进行总结时，一些文献介绍的方法在应用上十分少见，找不到合适的实例。另外，在后期论文定稿时，格式上容易出现一些问题等，慢慢的这些问题才得以解决。虽然论文在内容上还不够全面，甚至在细节上还很粗糙，但总体上还是达到了当初的设计要求。

通过本次毕业设计，使我无论是对文献资料的整理和搜集，还是运用公式编辑器对复杂的数学公式进行编辑等基本操作都能更加熟练，对函数项级数一致收敛判别法有了更清晰的认识和了解。总之，这次毕业论文在函数项级数收敛判别的方法上更加系统和全面，是我大学四年的总结，也是今后工作和研究的宝贵经验。

本文从函数项级数的收敛判别方法着手,对函数项级数一致收敛的判别方法做出系统且全面的介绍和归纳,从其定义出发,对其基本的判别法进行论述,之后在这几种基本判别法的基础上进行推广,可根据所给函数项级数的具体结构,选择恰当的判别一致收敛的方法,以达到简便、快速求解的目的.此外,当前对函数项级数的收敛性的讨论研究已经达到比较高的水平,只是在许多实际解题过程中,我们遇到的往往不是特殊的的函数项级数,用特殊的方法不能解决,故需要对众多判别方法进行总结和发展。

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黄冈师范学院本科学位论文

致 谢

值此论文完成之际,谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师、同学和家人表示衷心地感谢.

我能顺利完成学业,首先要感谢系领导及各科老师对我的关心和帮助.特别感谢夏丹老师给我的无私帮助,夏老师渊博的专业知识,严谨的治学态度,扎实的理论功底,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严于律己、宽以待人的高尚风范,都为我以后的治学态度和做人标准树立了楷模.在论文的选题、写作和修改过程中都得到了夏老师热情的指导和细致的审阅,再次表示深深的感谢！

最后, 感谢我的家人在各方面一直给予我的全力支持以及在我的同学在我搜集资料时给我提供的帮助,我能完成学业与他们的无私奉献是分不开的.

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函数项级数的一致收敛判别法探究

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kngv.html