东北大学2011年数学建模论文解答解读

本论文通过上网查找事故发生地的实际情况，结合公路设计的标准要求，忽 略次要因素，对于问题一，建立了基于分析汽车在弯道内侧滑的条件的公路含理 性模型，计算出汽车在弯道内行驶最容易发生事故的点和进入弯道而不发生事故 的最大速度口。对于问题二，设计缓和曲线，建立了缓和曲线的曲线方程模型，使 汽车通过缓和曲线能从直道平滑的过渡到弯道。

对于问题一，首先，通过在google地图上取点，描绘出事故多发地弯道的 曲线形状，将屏幕坐标点转化为实际道路情况坐标点。其次，对得到的反映实际 路况的一系列坐标点进行Hermite插值处理，并将处理后的点拟合成一个多项式 函数。再次，通过分析汽车入弯后行驶时的情况得出发生侧滑的条件。最后，考 虑汽车在弯道上每一点行驶的滚动摩擦力，结合己经分析得出的侧滑条件，计算 得出在弯道上最容易发生事故的点的坐标，并求出该点对应的进入弯道的初始速 度的值，这个值就是能顺利过弯而不发生事故的速度最大值。通过计算得出进入 弯道的最大速度为17.2839m/s转换为km/h为62.2221 km/h即超过此速度后汽车 在弯道内一定会发生事敌。

对于问题二，由于不要求成本最低，则假设不能改变s型弯道的形状，依据 问题一的结论，在不改变弯道形状的前提下，通过设计缓和曲线使汽车安全过弯， 缓和曲线作用主要有两点，一是提示司机前方有弯，需减速至60km/h以下，二 是使汽车车头能平滑的转动至弯道切线方向，而不因为车头转动过快使汽车失去 控制。缓和曲线的设计通过对缓和曲线的要求推导出霍尔布鲁克螺线(回旋线)

A2模型Rj?，根据要求改变道路成本最低，确定处缓和曲线的最小长度，通过

lj最小长度确定回旋线的参数。求解缓和曲线方程式，通过转化，近似，将此问题 转化为求解一个带初值的二阶微分方程的问题，微分方程为:

3?'22?x?x）1?k2(1?Y)2（0'' ? ?AY?''''''?YS?ys,YS?ys 此微分方程无法求得解折解，因此采用计算出其在设置缓和曲线范围内的一 系列数位解，之后通过最小二乘法对缓和曲线方程做拟合的方法近似计算缓和曲 线方程。论文中图七为缓和曲线与弯道连接的示意图。 关键词:Hermite插值，最小二乘法拟合，滚动摩擦力，缓和曲线，霍尔布鲁克螺线〔回旋线)，微分方程数值解。

二 问题重述

2010年 5月25日，广元市利州区宝轮镇街道上，一辆拉砖的货车一头撞进路边居民房内，司机受伤，所幸没造成楼房内人员伤亡。

28日，住在此路段的居民张建东反映，发生车祸的下坡路段设计不合理，通车以来，已发生大大小小几十起交通事故，造成多人死伤， 公路通车后房屋已4次被撞， 通车前的2008年11月28日，在24小时内就连续发生了3起事故。

该段道路的上段是近2公里的长坡，到出事路段时，则是一段S形的急弯陡坡路。 “这一段公路至少都有40多米宽，是宝轮的形象公路。”张建东来到宝白公路另一端说，他家门口的公路，却因为建了一座“山珍大厦”，将整个道路差不多占去一半，该大厦同时将往宝轮方向行驶的车辆的视线完全挡住。

“我们认为这段路设计上有问题，以前这里就是一块平地，本来可以建成没有坡的道路，现在却是原没有坡的拱了个坡，没有弯的造了个弯。”附近居民说，行驶至该路段的驾驶员被前方十字路口的建筑挡住视线，驶过此路段的车辆车速都很快，一下坡就遇到红绿灯，根本来不及刹车。

在题目给定的条件下，同学们可自行设计符合题意的情景，建立你的数学模型： （1）说明道路设计是否合理；

（2）如道路设计不合理需要如何修改设计在最小成本的情况下得到最大改善。

三 模型假设

1、汽车在下坡时不知道前方有急弯。汽车在不知情情况下沿下坡路段一直加速。 2、当汽车发现红绿灯时立即刹车减速，并开始过弯。汽车进入弯道为平滑入弯， 即是沿弯道的切线方向进入弯道的口

3、汽车的转弯半径约等于弯道的曲率半径。

4、假设汽车发生的事故只有侧滑而没有侧翻的情况，即当失去平衡时汽车四轮 没有离开地面二

5、认为只要侧滑就为发生事故。

四问题分析

通过查阅gongle地图中当地地形的实际情况的卫星视图可清楚的看到事故 发生路段的地形情况，事故所发生路段为一个直道下坡之后接一个S型弯道如下 图所示:

图片一：事故发生地地形示意图

结合gnogle地图中的地形和照片中的路口实际情况，分析事故发生的原因

可以推断，汽车行驶经过下坡路段后，车速达到较大的值，在不知道前方有弯道 和红绿灯的情况下，不会减速刹车。遇到红绿灯后汽车刹布过弯，但已经来不及 将速度降低到正常过弯的情况。由于离心力的作用，导致汽车失去控制，发生事

故。分析道路设计是否合理即可转化为分析汽车以一定速度从坡道上行驶下来后 不发生事故的最大速度的问题。改良公路线型使汽车能平滑入弯。

第一步，通过取点将入弯段得公路弯道曲线离散化，用Hermite插值对所取 离散的点进行插值处理，之后用最小二乘法拟含出在入弯处得公路曲线的函数。 第二步，结合第一步所得的函数，计算在入弯处的函数在此点的曲率半径， 结合牛顿力学进行分析，得出实际允许的最大速度，与实际情况比较得出公路设 计是否合理

第三步，以汽车在弯道路段不发生侧滑为原则，对以上两步求得的结果进行 优化分析，结合公路设计中的缓和曲线，尽可能大的增大最大速度，权衡成本与 速度最优得出结论。

五符号说明 符号 （xi,yi） Y=f(x) (xs,ys) x∈[xs,xe] Rs,Ri m vs,vi 含义 在地图上取得一系列的点 汽车行驶到弯道处得曲线方程 汽车驶入弯道时，弯道的起点 弯道在xs处开始到xe处结束， 汽车入弯时在xs的曲率半径，在弯道中行驶在xi处得曲率半径 汽车的质量 汽车入弯时的速度，汽车行驶到（xi,yi）时的速度 汽车的滚动摩擦系数 汽车的横向附着力系数 路面超高，即公璐平面与水平面夹角 刹车后滑行，从刹车点到（xi,yi）的路程 缓和曲线的方程 缓和曲线的起始点。 xj点处距开始x。处距离。 缓和曲线段行驶的平均速度。 缓和曲线上行驶的离心加速度变化率为a 缓和曲线的总长度 直线段得斜率，即入弯点的弯道斜率 缓和曲线上点（xj,yj）处得曲率半径 六模型建立

6.1原始数据的取得和处理

6.1.1对所取的点进行Hermite插值

用google地图中的点在屏幕上的坐标得到在题目描述路段的道路曲线上的 点的坐标并将通过比例尺转化为横纵坐标都为m的点设为（xi,yi）。以水平东西 方向为x轴，以水平南北方向为y轴建立直角坐标系。在（xi,yi）中对事故发生 路段着重取点增大取点的密集程度，提高准确性。对取得的一组点（xi,yi）中的事 故发生路段的点设为x∈[xs,xe]，设其中有若干组点进行Hermite插值，得到更 加密集的一组点，使曲线更加平滑。 6. 1.2最小二乘法拟合

由于Hermite插值得到的插值多项式一阶可导但二阶不一定可导，而求曲线 的曲率时必须用到函数的二阶导数值，因此，对Hermite求得的更密集的点用最

‘? ? e si Y=F(x) X0 lj v0 a’ L k Rj 小二乘法进行拟合，拟合成一个多项式函数，设用最小二乘法拟合求得弯道曲线 的方程为y=f(x)，（x∈[xs,xe]）并求得汽车在(xs,ys)处入弯。 6.2公路弯道设计合理性分析

公路设计的合理性可由入弯不发生侧滑的最大速度衡量，即容许通过该路段 不发生事故车辆的最大速度。通过动力学理论分析可求得此最大速度。 6.2.1弯道曲线中的曲率半径

道路曲线的方程为y=f(x)，则曲线上点的的曲率半径为:

（1?y） （1） R''y在点(xs,ys)的曲率半径Rs为Rs=R(xs)

6.2.2汽车不发生侧滑时速度条件模型

轮胎在路而巨出现横向滑移时的附着系数称为横滑附着系数设其为?。汽 车通过弯道时，在未使用制动的条件下，不出现侧滑的条件是离心力不大于横向 附着力与汽车重力在路面平行方向的分力之和。汽车离心力可表示为

3'22v2F?m（2）

R公示中m为汽车的质量，v为汽车过弯的速度。汽车的横向附着力可表示为:

F1??mg（3）

由于公路设计时路面都不会是平整的，路面与水平面之间都有很小的夹角，设路面与水平面之间的夹角即路面超高为e，因此重力在路面方向的分力为:

F1?mg sine（4）

在e很小时由于limsine?1，即sine=e则可以用e近似的代替sine，即上式可化为：

e?0e（5） F1?mg（ ?e）要使汽车入弯后不出现侧滑的情况须有:

F?F1?F2（6）

由以上各式可解得： （7） v2?Rg（??e）6.2.3刹车之后速度变化模型

刹车之后，发动机停止工作不做功，汽车依靠原有动能在路上滑行，摩擦力 最大可取滑动摩擦力?mg，不发生侧滑时取滚动摩拣力为?mg。设滑到（xi,yi）处 时汽车速度为vi，在此处弯道的曲率半径Ri

由刹车后汽车动能转化为内能。从（xs,ys）处入弯到达（xi,yi）处汽车划过距离 由弧长公示可得:

xiSi?xs?1?[f'(x)]2dx （8）

汽车行驶到xi处时的速度vi满足关系式

112mvs?mvi2??mgsi（9） 22判断公路设计是否合理即判断在弯道曲线上的每一点上是否都有 （10） vi2?Rig（??e）由以上各式带入化简可得:

2（11） vs?2?gsi?Rig（??e）在曲线的每一点都要满足上式，因此应满足:

2vs?min[2?gsi?Rig（??e）]（12）

将上式作为评判公路是否合理的标准。 6.3缓和曲线道路改善模型

在不改变弯道形状的情况下，使道路状态改善，在弯道上发生事故的事敌率 降低，只有降低入弯时的速度才能达到目的，在6.2得出的结论基础上，在坡道 和弯道间加入缓和曲线，缓和曲线能提醒司机前方有弯道，提醒司机减速。 经分析该段道路容易发生事故的主要原因就是司机不能提前知道事故路段 是一个s型弯道，即弯道曲线的曲率半径变化过快，车通过在坡道和弯适曲线 之间加入一条缓和曲线可解决此问题。缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大 圆曲线与小圆曲线之间过渡的线型，是道路平面线型要素之一。在加入缓和曲线 后，汽车行驶至缓和曲线范围时开始减速。让司机有足够的时间调整车头方向， 使汽车平滑入弯。

6.3,1缓和曲线的曲线方程模型

此处的缓和曲线应为在一条直线与圆曲线之间的过渡，在理想状态下此缓和 曲线应满足如下性质:

1.在缓和曲线开始处，曲率半径应与直线曲率半径一致，均为无穷大口 2.在缓和曲线结束处，曲率半径应与弯道曲线的曲率半径相同

3.以缓和曲线开始处为参照点，在曲线任意点处曲线的曲率半径都与对应的曲线 长成反比例。

由以上性质建立缓和曲线方程模型，设缓和曲线从x=x。处开始至x=xs处 结束，xj为缓和曲线上任意一点，此点距x0处跟离为lj，曲率半径为Rj。 缓和曲线总长为L。在曲线任意点曲率半径与对应曲线长成反比例:

Rj?1（13） lj为使上式满足当lj=0时Rj??，当lj=L时Rj=Rs.必须找出一个待定的 比例系数，为推导上的便利，由于rj和lj都为正数因此选比例系数为A2。 上式可化为:

A2（14） Rj?lj此公式即为缓和曲线公式，满足此条件的螺旋线称为霍尔布鲁克螺线(回旋线)。 用此作为公路直线段与弯道段的过渡曲线可满足平滑过渡的要求。 6.3.2霍尔布鲁克螺线(回旋线)中参数的确定

以上推导得出的霍尔布鲁克螺线方程中缓和曲线总长为L是未知量，即缓和 曲线的初始位置x0是未知的。霍尔布鲁克螺线的参数A2未知，可根据6.2中拟 合出的缓和曲线终点的曲率半径等于弯道起始点的曲率半径得出A2与L的函数

关系如下:

A2?RsL（15）

分析上述函数式，必须引入其他因素来确定缓和曲线长度的值L从而确定出螺线中的参数A2。缓和曲线的长度应尽可能的小，从而降低修改公路的成本，

缓和曲线的最小长度可综合旅客过弯时的舒适程度和缓和曲线段行驶时间长短 确定。

(1)根据旅客的舒适程度确定L

旅客的舒适程度是有离心加速度的变化率决定的，设在缓和曲线上行驶的离 心加速度变化率为a’，进入弯道时的离心加速度为a，缓和曲线上行驶平均速度 为v0，缓和曲线上行驶的时间为t，则:

2avs（16） a??tRst'Lmin?v0t（17）

综合确定a的取值

2vsv0（18） Lmin?Rsa'2vsv0这A的取值即可确定：A?

a'’

}2)行驶时间不宜过短确定L

缓和曲线上行驶的时间为t，缓和曲线上行驶平均速度为v。，则有Lmin=v0t， 由此可得出螺线参数A的取值:

A?RsV0t（19）

综合以上两点，可由（1）先计算出Lmin的值，再由（2）式条件调整Lmin的大小， 达到最优解决问题的目的。

5.3.2霍尔布鲁克螺线直角坐标系下曲线方程的推导

设霍尔布兽克螺线在直角坐标系下的方程为Y=F(x)则由上一问模型中给出的公式得在螺线上的每一点的曲率半径都满足表达式R（1?y）距缓和曲线开始时的长度满足表达式 ''y3'22xjL?

x0?1?(Y')2dx 在螺线上每一点都满足A2?RL得出在螺线的曲线方程应满足:

3?xj'22(1?Y)???1?(Y')2dx?A2（20） ?x0Y''?''''''??YS?ys,YS?ysxj为了简化计算，当缓和曲线上点的曲率半径充分大时可将L?x0?1?(Y')2dx近似的等于直

线上从点x=x。到点x=xt的直线距离，设直线的方程为y=kx+b。

（xj-x0）1?k上微分方程可化为： 则L?3?'22?x-x）1?k2(1?Y)2（0''（21） ?A?Y?''''''Y?y,Y?ySsSs?2

求出此微分方程即可得出Y的表达式，积分得到Y的表达式。要求解处此微分方 程解析解非常困难，本模型通过计算数值解在曲线上描点后拟合得出其曲线方 程。

七模型求解 7.1原始数据的处理

查阅资料可得出弯道曲线部分的拟合多项式为:

y=p1*x^10+p2*x^9+p3*x^8+p4*x^7+p5*x^6+p6*x^5+p7*x^4+p8*x^3+p9*x^2+p10*x+p11 Coefficients: p1=3,1713e-23; P2=-1.4584e-19; p3=2.835e-16; P4=-3.0413e-13; p5 =1.975e-10; P6=-8.0578e-8; p7=2.0784e-005; P8=-0.0033561; p9=0.33085; P10=-18.581;

P11=695.16; 上述多项式即为插值拟合后得到的拟合曲线方程。去掉一些不合理的点之后得 到多项式函数曲线图像如图

‘

图六最终确定的多项式函数曲线

在如图曲线中X的取值可从50m到60m可研究此段水平方向上0.6公里的弯道 情况来说明公路没计的合理性和缓和曲线的设计。 1.2公路弯道设计合理性求解 7.1.1计算弯道的曲率半径

由求得的拟介多项式函数及曲率半径的公示计算可得曲率半径为: far i=1:1259 in=x(i);

Out(i)=p1*in^10+p2*in^9+p3*in^8+p4*in^7+p5*in^6+p6*in^5+p7*in^4+p8*in^3+p9*in^2+p10*in+p11; End

d1=diff(Out,1) d2=diff(Out,2); d1= abs(d1); d2=abs(d2); For i=1:1259

ans(i)=sqrt(( 1+d1(i)^2)^3)/d2(i); End

因此在入弯时曲率半径为142.9576m此曲率半径在x=50时取得，最小 曲率半径为86.9802 m此曲率半径在x=555 m取得。 min(ans) ans=86.9802

7.1.1计算弯道个点的长度

根据曲线弧长的计算公式，在计算公式中，积分可变成求个段得和matlab实 现代码如下: s = sqrt(1+d1^2); For i=1:1259

S(i)=sqrt(1+d1(i)^2); End

For i=1:1259 q(i)=sum(s(1:i)); end

得出的q即为各点到起点的曲线长度。 7.7 .2选取合适的参数u，e，g

在公路上行驶假设地面对汽车的横附着力系数是一个常量，井且不会改变。

2查阅相关资料可取u?0.25，路面超高e=0.1，为了简化计算此处 ，g?9.8m/s的滚动摩擦因数取附着力系数的1/30即是???。下面来求最容易失去控制发生侧 30 all 3吃〕 滑的点在曲线中的位置。按照模型推理出来的公式求各点的速度的matlab代码 如下:

For i=1:1259

f(i)=sqrt(2*(1/30)*0.25*9.8*q(i)+ans(i)*9.8*0.25*(31/30)); End min(f)

ans =17.2839

得出要安全过弯在弯道入口处得最大速度为17.2839n/s转换为km/h得入弯时的 速度应为62.2221km/h。即在入弯处应限制最大速度60km/h. 7.3缓和曲线设计模型的求解 7.3.1缓和曲线中参数A2的确定

考虑汽车中乘客的舒适程度，查阅相关资料得到离心加速度变化率一般都在 0.35到0.5之间，即a∈(0.3,0.5)，平均速度v0取0.0214v得:

20.0214vs（22） Lmin?Rsa'结合行驶时间不超过3s得L≤317.2839=51.8517，为方便计算取L=50m。当L=50m时A=84.5451.

7.3.2计算缓和曲线在直角坐标系下的方程

由模型建立中给出的公式结合已算出的数据可将微分方程中参数加以确定:

3?'22?x-x）1?k2(1?Y)（0?A2（23） ?Y''?''''''?YS?ys,YS?ys其中A=84.5451，ys=1.2133，ys=0.027，由假设得到直线的斜率与入弯点的斜

’‘

率相等，因此k=1.2133，此微分方程求解析解很困难，冈此求出一系列数值解 后描点得出曲线的形状，再用最小二乘法拟合出缓和曲线的曲线方程。

求解微分方程数值解需对模型中变量做近似，因为两点间直线冲离最短，当 直线距离为50m时缓和曲线取值大于50m，但由于缓和曲线的曲率半径很小所 以可以近似的认为缓和曲线设置在直线长度为50区间内，求解得出直线上距离 入弯点50米得点的坐标为(18.5, 243.0843)求解过程如下: x=[0:0.5:50];

and=(50-x)*sqrt(1+1.2133^2); and(38) ans=

49.5271 X(38) ans= 18.5

即计算出微分方程中x坐标为18.5到50的各点的函数值即可。求解步骤如下: 1.将微分方程变为一阶微分方程组:

'?u1?Y，u2?u1?3?22?2(1?u2) （?A2（24） ?x-x0）1?k'u2??u'?y',u''?y''2Ss2Ss??2.上述方程中求出u2关于x的一系列值。

3对u2求积分，得出u1即为缓和曲线上的点。描点得到加入缓和曲线后公路的弯道情况如下:

图七 缓和曲线与弯道连接示意图

曲线用4次多项式拟合后多项式函数为: y=p1*x^4+p2*x^3+p3*x^2+p4*x+p5 Coefficients： P1=1.2659e-17

P2=-1.747e-15 p3=8.7342e- 14 P4=-1.2133 p5=341.97

九模型优化

1.公路设计合理性的优化

考虑到方便计算，上述模型只从汽车过弯道时是否发生侧滑情况加以分析， 但没有考虑另一种罕见的事故情况即侧倾，当汽车速度过快入弯时，车头方向来 不及调整，可能造成汽车侧倾，侧倾与侧滑相似也有一个不发生侧倾的最大速度， 得出不发生侧倾的最大速度后，可以依照原模型进行分析。具体过程与侧滑时相 同。

2.缓和曲线的优化

在设计缓和曲线时，可加入对超高渐变的没计，设弯道超高为e，则应使超 高随缓和曲线长度的大均匀变化即超高与距初始点长度比值为一个常数即:

c?p，（p为常数）（25） l在超高上升过程中，缓和曲线应有一个旋转轴，旋转轴与行车道外测边缘之 间的相对坡度。附加坡度或超高渐变率太大太小都不好:可由下面公式确定:

Lmin?B?i（26） p共中B为旋转轴至行车道外侧边缘的宽度，?i为超高坡度与路拱坡度的代数差。 依照此标准设计出来的缓和曲线能将超高平缓的从0变化到e。 八模型评价与推广

解题过程中分析了公路上行驶的汽车是否发成侧滑建立了一系列模型，抓住 重要因素舍弃不重要因素，对汽车的滚动摩擦力，路面超高，滑动摩擦力，侧滑 条件，能否平滑过渡等问题进行了详细的讨论与分析，依据物理学知识建立了第 一个模型，讨论了在弯道曲线上行驶时发生侧滑的条件，紧接着考虑汽车刹车后 在滚动摩擦力作用下在弯道曲线下行驶的情况，整个过程中考虑因素比较充分， 模型虽然不是很复杂，但能比较好的反映出，事故发生路段的真实情况。计算结 果合理。该模型运算量比较小，适立推广。

问题二中通过在直道和弯道添加缓和曲线，来提醒司机前方有弯，井使 汽车能从直线平滑过渡到弯道。车头角度均匀变化，当入弯时车头恰好与弯道切 线方向一致，使汽车能顺利的入弯而不因为速度过大或来不及调整角度而发生事 故，通过计算确定出缓和曲线的方程，通过数值积分计算出缓和曲线上各点，之 后通过拟合，拟合出缓和曲线的方程。再通过使缓和曲线的长度最短，此时改造 道路的成本最小。

侧滑模型缺点:在汽车在弯道中减速时，减速的加速度没有考虑超高的情况， 可能使减速的过程减慢。造成结果不太准确。

缓和曲线模型缺点:由于只在二维空间上建立模型，没考虑超高的设置情况， 即路面从平面变化到倾斜面时缓和曲线段应该将超高从0变化到路面值，这点在 模型优化中提出了改进方案。

总而言之，此模型适用性较强，对一些不足之处可根据适用的实际情况加以

改进使之更加适合具体情况。 十参考文献

(1)编著者:马莉等书名Matlab数学实验与建模[M」.出版地:北京清华人 学学研大厦，出版社:清华人学出版社，年代:2010年1月页码; 235

(2)编著者:周立，许洪国，张健等.题目:单车弯道交通事故车速模型.中 国汽车工程学会2004汽车安全技术国际研讨会[M].年代:2004年页 码：191一195

(3)编著者:方国涛等.题目:公路平面设计中合理回旋线参数的计[M]. 北方交通年代:2011年 页码:28-29

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