高等数学求导公式

I.基本函数的导数 01.?C???0；

02.?x?????x??1；

03.?sinx???cosx； 04.?cosx????sinx；

05.

?tanx???sec2x； 06.?cotx????csc2x；

07.?secx???secxtanx； 08.?cscx????cscxcotx；09.?ax???axlna； 10.?ex???ex；

11.?log1ax???xlna； 12.?lnx???1x；

13.

?arcsinx???11?x2；

14.?arccosx????11?x2；15.?arctanx???11?x2； 16.

?arccotx????11?x2。

II.和、差、积、商的导数 01.?u?v???u??v?； 02.?Cu???Cu?； 03.?uv???u?v?uv?； 04.??u??u?v?uv??v???v2(v?0)。

III复合函数的导数 若y?f?u?,u???x?，则

dydx?dydududx 或 y??x??f??u????x?。

? 计算极限时常用的等价无穷小

12limsinx?x limtanx?x lim?1?cosx??x

x?0x?0x?02lim?ex?1??x limln?1?x??x limn1?x?1?x?0x?0x?0x1x n? 两个重要极限: limx?0sinx?1??1 lim?1???e

x??x?x?g?x?? 若 limf?x??A?0, limg?x??B，则 limf?x??AB

? 罗尔定理：在?a,b?内可导，且f?a??f?b?，F??x??0若f?x?在?a,b?上连续，则存在一???a,b?，使f?????0。

? 拉格朗日中值定理：若f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，则存在一

???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?。

? 柯西中值定理：若f?x?、F?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且F??x??0f?b??f?a?f????则存在一???a,b?，使得x?x0??，则。 ?F?b??F?a?F????f?x??limF?x??0(或?)，? 罗必达法则：若（1）x?lim（2）f??x?及F??x?a(或?)x?a(或?)在0?x?x0??（或x?X）处存在，且F??x??0，（3）limx?a(或?)f?x?f??x?，则lim。 ?lim?）x?a(或?)F(x)x?a(或?)F?(x)f??x?存在（或F?(x)? 泰勒公式：

nf??x0?f???x0?f???x0?2nf?x??f?x0???x?x0???x?x0?????x?x0??Rn?x?

1!2!n!f?n?1????n?1其中：Rn?x???x?x0? ,???x0,x?。

?n?1?!nf??0?f???0?2f???0?n? 马克劳林公式： f?x??f?0??x?x???x?Rn?x?

1!2!n!f?n?1????n?1x,???0,x?。 其中：Rn?x???n?1?!x2x3xne?xn?1e?1?x??????x ?0???1? ????x??? 1.

2!3!n!?n?1?!xx3x5x7x2m?1m?1?? ????x??? 2. sinx?x????????1?3!5!7!?2m?1?!2nx2x4x6nx?? ????x??? 3. cosx?1????????1?2!4!6!?2n?!123n?1?x?x?x???x?? ??1?x?1? 4.

1?x1n2n24?1?x?x????1x?? ??1?x?1? ??5. 21?xn?1x2x3x4nx?? ??1?x?1? 6. ln?1?x??x????????1?234n?1? 驻点：导数为零的点

?x1?x2?f?x1??f?x2?拐点：f?，则称f?x?在?a,b?上是凸的， ??22???x?x?f?x1??f?x2?，则称f?x?在?a,b?上是凹的， f?12??2?2?若曲线在x0两旁改变凹凸性，则称?x0,f?x0??为曲线的拐点。

? 凹凸性判断（充分条件）：设f???x?存在，若a?x?b时f???x??0，则曲线是为凸的，若a?x?b时f???x??0，则曲线是为凹的。

设曲线方程y?f?x?，f?x?具有二阶导数，则函数y?f?x?在?x,y?的曲率K为：K?y???1?y??22/3（工程中，若y???1时，K?y??）。

基本积分公式：

??1x1??kdx?kx?C ?xdx???1?C ?xdx?lnx?C

11?1?x2dx?arctanx?C ?1?x2dx?arcsinx?C

?cosxdx?sinx?C ?sinxdx??cosx?C；

1122dx?secxdx?tanx?Cdx?csc?cos2x??sin2x?xdx??cotx?C

?secxtanxdx?secx?C ?cscxcotx??cscx?C

xaxxxa?C edx?e?C ?dx??lna?shxdx?chx?C ?chxdx?shx?C

*?tandx??lncosx?C *?cotxdx??lnsinx?C

*?secxdx?lnsecx?tanx?C *?cscxdx?lncscx?cotx?C

11x?a11xdx?ln?C dx?arctan?C *?2*?222x?a2ax?ax?aaadxa?xdx22*?*?

?arcsinxdx?C *??lnx?x2?a2?C ax2?a2??x2?a2?lnx?x2?a2?C

? 基本积分方法

1换元法：（1）设f?u?具有原函数F?u?，而u???x?可导，则有：

???x??????x?dx??f?u?du?F????x????C； ?f?（2）设x???t?在区间??,??上单调可导，且???t??0，又设f????x??????x?具

?1???t?tdt?F??有原函数F?t?，则有：?f?x?dx??f?????????t????C。

2分布积分法： ?udv?uv??vdu 3.有理函数积分：①?A?x?a?dx ②?nMx?N?x2?Px?q?ndx

2du， 1?u24.万能代换（三角函数的有理式的积分）：设tan?u，则dx?2u1?u2sinx?，cosx?。

1?u21?u222221?2?3???n??

x21n?n?1??2n?1?。 6? 定积分中值定理：

?f?x?dx?f????b?a? ?a???b?。

ab? 定理：如果函数f?x?在区间?a,b?上连续，则积分上限的函数

??x???f?t?dt在?a,b?上具有导数，并且它的导数是

ax ???x??dxf?t?dt?f?x? ?a?x?b? ?adx? 定积分换元公式： ?????a, ?????b，

?f?x?dx???ab?f????t??????t?dt。

??

??20f?sinx?dx??2f?cosx?dx

0??0xf?sinx?dx??f?sinx?dx ?20?? 定积分的分步积分：

?baudv??uv?a??vdu

abb?n?1n?331????? , ?n为正偶数????nn?2422In??2sinnxdx?? 0n?1n?342???? , ?n为大于1的奇数???nn?253

? 弧长计算公式：① s??ba1?y?2dx;

??x???t?? ??t???? ，s????2?t????2?t?dt; ②?y??t???????x?r???cos??22 ?????????s?r??r?????d?。 ③y?r?sin?，??????

向量代数

x1??x2y1??y2z1??z2, y?, z?? 定比分点公式：x?。

1??1??1??????b?abcos?， a?b?axbx?ayby?azbz。 ? 数量积： a???axbx?ayby?azbza?bcos???。 222abax?ay?az2bx2?by?bz2? 向量积：

??a?b?axbx?i?jayby?kazbz。

? 平面

?? 平面的一般方程：Ax?By?Cz?D?0（向量n??A,B,C?为平面法向

量）。

? 平面点法式方程：A?x?x0??B?y?y0??C?z?z0??0。

xyz? 平面的截距式方程：???1（a,b,c为平面在三个坐标轴上的截

abc距）。

? 两个平面的夹角：两个平面方程为：?1平面：A1x?B1y?C1z?D?0，

?2平面：A2x?B2y?C2z?D?0，则两平面的夹角?的余弦为：

cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?B212121222222A?B?B。

? 两平面平行的条件：

A1B1C1D1。 ???A2B2C2D2? 两平面垂直的条件： A1A2?B1B2?C1C2?0。

? 点到平面的距离：平面：Ax?By?Cz?D?0，平面外一点：M?x1,y1,z1?，则点M到平面的距离：d?? 空间直线

?A1x?B1y?C1z?D?0? 两个平面的交线：?。

Ax?By?Cz?D?0?222Ax1?By1?Cz1?DABC222。

??? 点向式方程：直线上的一点M0?x0,y0,z0?，直线的一个向量S??m,n,p?，

?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0???则直线方程为：，参数方程为：?y?y0?nt mnp?z?z?pt0?? 两直线的夹角：L1:x?x01y?y01z?z01x?x02y?y02z?z02，L2:，则????m1n1p1m2n2p2m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121两直线的夹角余弦为：cos??两直线平行：

m?n?p222222。

m1n1p1??， m2n2p2两直线垂直：m1m2?n1n2?p1p2?0， ? 两直线共面（平行或相交）：

x?x01y?y01z?z01?L:x2?x1?1m?n?p111两直线：?，共面的条件：m1??L:x?x02?y?y02?z?z02m22?mnp?222y2?y1n1n2z2?z1p1p2?0。

? 直线与平面的夹角

平面： ?:Ax?By?Cz?D?0，直线：L:①若直线与平面相交，夹角：sin??x?x0y?y0z?z0 ??mnpAm?Bn?CpA?B?C222m?n?p222；

②若直线与平面平行：Am?Bn?Cp?0； ③若直线与平面垂直：

? 多元函数微积分

ABC??。 mnp?f?f?f?cos??sin? （?为x轴到方向l的转角） 1.方向导数：

?l?x?y?f??f??f?i?j?k 2.梯度： grad f?x,y,z???x?y?z3.二元函数的极值：z?f?x,y?，fx?x0,y0??0，fy?x0,y0??0。令fxx?x0,y0??A，

fxy?x0,y0??B，fyy?x0,y0??C。①当AC?B2?0时具有极值，且当A?0时具有

极大值，当A?0具有极小值；②当AC?B2?0时没有极值；③当AC?B2?0时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨论。

3.二重积分的计算??f?x,y?d???adx??1?x?f?x,y?dy??cdy??1?y?f?x,y?dx

Db?2?x?d?2?y???f?x,y?d????f?rcos?,rsin??rdrd?

DD??f?rcos?,rsin??rdrd????D???2???f?rcos?,rsin??rdr?d??????1?????2????1??? ??d????f?rcos?,rsin??rdr

4.曲面的面积计算：

??z???z?A???1?fx2?x,y??fy2?x,y?d????1??????dxdy

??x???y?DDM平面薄片的重心： x?M?22??x??x,y?d?DDM, y??M????x,y?d???y??x,y?d?D

?x,yd?????D22I?y?x,yd?, I?x??平面薄片的转动惯量： x??y????x,y?d?

DD5.三重积分的计算：

???f?x,y,z?dv??Dbadx?y2?x?y1?x?dy?z2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz

? 曲线积分和曲面积分 1.对弧长的曲线积分： ???x???t? ???t??? y??t?????L22??f?x,y?ds??f??t,?t?t??????????t?dt ???222???f?x,y,z?ds??f??t,?t,?t?t??t??????????????t?dt ????????2.对坐标的曲线积分： x???t?, y???t?

LP?x,y?dx?Q?x,y?dy?????P????t?,??t??????t??Q????t?,??t??????t??dt

223.对曲面的积分：

???22f?x,y,z?dS???f?x,y,zx,y1?zx,y?z?????xy?x,y?dxdy ??Dxy4.对坐标的曲面积分：

? 无穷级数

? 收敛级数的基本性质：

1.如果级数?un收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数

n?1??kun?1?n也收敛，且其和为ks。

??2.如果级数s、?vn分别收敛于和s、?，则级数??un?vn?也收敛，且其和

n?1n?1为s??。

3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。 4.如果级数?un收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数

n?1??u???u???u1n1n1?1???un2???un2?1???unk??仍收敛，且其和不变。

????5.（级数收敛的必要条件）如果级数?un收敛，则它的一般项趋于零，即

n?1limun?0。

n??

? 常数项级数的审敛法：

定理1.正项级数?un收敛的充分必要条件是：它的部分和数列?sn?有界。

n?1?定理2（比较审敛法）.设?un和?vn都是正项级数，且un?vn?n?1,2,??。

n?1n?1??若级数?vn收敛，则级数?un收敛；反之，若级数?un发散，则级数?vn发

n?1n?1n?1n?1????散。

推论1.设?un和?vn都是正项级数，如果级数?vn收敛，且存在自然数N，

n?1n?1n?1???使当n?N时有un?kvn?k?0?成立，则级数?un收敛；如果级数?un发散，

n?1?n?1??且当n?N时有un?kvn?k?0?成立，则级数?vn发散。

n?1?1推论2. 设?un为正项级数，如果有p?1，使un?p?n?1,2,??，则级数?unnn?1n?1?1收敛；如果un??n?1,2,??，则级数?un发散。

nn?1???定理3（比较审敛法的极限形式）. 设?un和?vn都是正项级数，如果

n?1n?1??unlim?l ?0?l????，则级数?un和级数?vn同时收敛或同时发散。 n??vn?1n?1n?定理4（比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert）判别法）.若正项级数?un的

n?1lim后项于前项之比值的极限等于?：n??limun?1??1??，则当??1时级数收敛；（或

unun?1??）时级数发散；??1时级数可能收敛也可能发散。 n??un定理5（根值审敛法，柯西判别法）. 设?un为正项级数，如果它的一般

n?1nu??，则当??1时级数收敛；??1（或项un的n次根的极限等于?：limnn???limnun??）时级数发散；??1时级数可能收敛也可能发散。

n??定理6（莱布尼茨定理）.如果交错级数???1?un满足条件：（1）

n?1?n?1（2）limun?0，则级数收敛，且其和s?u1，其余项rn的un?un?1 ?n?1,2,3??，

n??绝对值rn?un?1。

定理7.如果级数?un绝对收敛，则级数?un必定收敛。

n?1n?1??? 幂级数

定理1（阿贝尔（Abel）定理）.如果级数?axn当x?x0?x0?0?时收敛，则

n?1?适合不等式x?x0的一切x使这幂级数绝对收敛；反之，如果级数?axn当

n?1?x?x0时发散，则适合不等式x?x0的一切x使这幂级数发散。

推论：如果幂级数?axn不是仅在x?0一点收敛，也不是在整个数轴上都收

n?1?敛，则必有一个完全确定的正数R存在，使得：当x?R时，幂级数绝对收敛；当x?R时，幂级数发散；当x?R与x??R时，幂级数可能收敛也可能发散。

?an?1定理2.如果lim??，其中an?1、an是幂级数?axn的相邻两项的系数，

n??an?1n?1 ???0???则这幂级数的收敛半径R????? ???0?

?0 ????????性质1. 设幂级数?axn的收敛半径R?R?0?，则其和函数s?x?在区间??R,R?n?1?内连续。如果幂级数在x?R（或x??R）也收敛，则和函数s?x?在??R,R?（或

??R,R?）连续。

性质2.设幂级数?axn的收敛半径R?R?0?，则其和函数s?x?在区间??R,R?内

n?1??????n?n?是可导的，且有逐项求导公式s??x????anx????anx???nanxn?1，其中

n?1?n?1?n?1x?R，逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

性质3.设幂级数?axn的收敛半径R?R?0?，则其和函数s?x?在区间??R,R?内

n?1?是可积的，且有逐项积分公式?0s?x?dx??0xx??xann?1??n?naxdx?axdx?x,????n??0nn?1n?1n?1?n?1?其中x?R，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 ?

? 傅立叶级数

ixe?cosx?isinx 欧拉公式：

??cosnxdx?0 ?n=1,2,3,?? ??sinnxdx?0 ?n=1,2,3,??

??????sinkxcosnxdx?0 ?n=1,2,3,??

????sinkxsinnxdx?0 ?n=1,2,3,?,k?n?

????coskxcosnxdx?0 ?n=1,2,3,?,k?n?

??

? 函数展开成傅里叶级数 （f?x?是周期为2?的周期函数）

a0?f?x?????akcoskx?bksinkx?

2k?11???a0?????f?x?dx?1???an????f?x?cosnxdx ?n=0,1,2,??其中：? ?1???bn?????f?x?sinnxdx ?n=1,2,3,???定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设f?x?是周期为2?的周期函数，如果它满足：

（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， （2）在一个周期内至多只有有限个极值点， 则f?x?的傅里叶级数收敛，并且：

当x是f?x?的连续点时，级数收敛于f?x?；

1f?x?0??f?x?0??当x是f?x?的间断点时，级数收敛于???。 2定理. 设f?x?是周期为2?的函数，在一个周期上可积，则 （1）当f?x?为奇函数时，它的傅里叶系数为：

?an?0 ?n=0,1,2,3,????2? b?fxsinnxdx n=1,2,3,??????n??0?（2）当f?x?为偶函数时，它的傅里叶系数为：

2???an??0f?x?cosnxdx ?n=0,1,2,3,???? ?bn?0 ?n=1,2,3,???? 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

定理：设周期为2l的周期函数f?x?满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级

a0?数展开式为：f?x?????akcoskx?bksinkx?

2k?11ln?x?a?fxcosdx ?n=0,1,2,????n???l?ll其中系数an,bn为：?

?b?1lf?x?sinn?xdx ?n=1,2,3,??n?l??ll?n?x??当f?x?为奇函数时，f?x????bnsin?

l??n?1?2ln?xb?fxsindx ?n=1,2,3,?? ?? 其中系数bn为：n?0lla0??n?x?当f?x?为偶函数时，f?x?????ancos?

2n?1?l?2ln?xa?fxcosdx ?n=0,1,2,?? ??其中系数an为：n?0ll

? 微分方程：

dy?y???? 齐次方程： ?? dx?x?u?ydydu?y?ux??u?xxdxdxdydududx ?y????????u??u?x???u???dxdx??u??ux?x??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kmz3.html