概率论与数理统计（龙永红）

第一章 1. (1) ?1?{(1,1),(1,2)(1,3)...(6,6)}

(2) ?2?{x|x1?x?x2} x1:当日最低价 x2:当日最高价 (3) ?3?{0,1,2,3,} (4) ?3?{1,2,3,?} 2. (1) (3) 3. ??{1,2,3,4,5,6} A?{1,3,5,} B?{1,2,3,4,} C?{2,4,} A?B?{1,2,3,4,5} A?B?{5} B?A?{2,4,} AB?{1,3} AC?? A?B?{1,2,3,4,6}

4. (5) ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC (8) ABC?ABC?ABC?ABC (10) AB?BC?AB (11) A?B?C

9. ①?P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.25 又?P(A)?0.4 ?P(AB)?0.15

②?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) ?0.4?0.25?0.15 ?0.5

1

③?P(B?A)?P(B?AB) ?P(B)?P(AB) ?0.25?0.15 ?0.1

④P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B) ?1?0.5 ?0.5

10. ?P(A?B?C)?1?P(ABC) 而 P(A)?1?P(A)?1?0.4?0.6 又P(A)?P(AB?AB) ?P(AB)?P(AB) ?P(AB)?P(A)?P(AB)?0.4 又 AB?ABC?ABC

?P(AB)?P(ABC)?P(ABC) ?P(ABC)?0.4?0.1?0.3 ?P(A?B?C)?0.7 11. A=“其中恰有K件” CKn?①?P(A)?1CkNN?N1Cn

N② B=“其中有次品” B?“一件次品也没有” ?P(B)?1?P(B)?Cn1?N?N1Cn

N③C=“其中至少有两件次品” C?“只有一件次品，或没有” ?P(C)?1?P(C)?1Cn?N?N1C1N1Cn?1N?N1Cn?NCnN．①: A=“男生比女生先到校”

2

12

P(A)?24!?6!24!1?24?24 30!P30C30 ②B=“李明比王先到学校” P(B)?

13. C＝“至少两人生日同一天” C?“每个人生各不同” P(C)?1?P(C)?1?365?364??(365?n?1)

365n1214. ①A=“第2站停车”

A?“不停车”

?P(A)?1?P(A)?1?()25

②B=“第i和第J站至少有一站停车 B?“第i站到J站都不停” ?P(B)?1?P(B)

7?1?()25

989 ③Ai?“第i站有人下车（停车）” Aj?“第j站有人下车” P(Ai?Aj)?1?(Ai?Aj)?1?P(Ai?Aj)

?1?[P(Ai)?P(Aj)?P(AiAj)]

?1?P(Ai)?P(Aj)?P(AiAj)

87?1?()25?2?()25

99④D=“在第i站有3人下车”

3?()3?()22 （贝努里试验） P(D)?C25198915.（1）A＝“前两个邮筒没有信” P(A)?2?21? 442（2）B＝“第一个邮筒恰有一封信”

3

1C2?33P(B)?2?

8416. A＝“前i次中恰好有取到k封信”

ki?kCa?Cb?i!(a?b?i)! P(A)?

(a?b)!ki?kCaCb ?i

Ca?b17. A3?“第三把钥匙可以开门” A2?“第二把钥匙可以开门”

① P(A3)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)

?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?432654463643??????????? 109810981098109824?120?144?

720288? 7204? 10 ② A3?“第三把钥匙才可以开门” P(A3)?6541201???? 10987206 ③ C=“最多试3把就可以开门”

464654????? 1010910985 ?

6 P(C)?18. 贝努里试验

A＝“其中三次是正面”

11133P(A)?C10?()3?()7?C10?()10

22219.A＝“恰有一红球，一白球，一黑球”

111C5?C3?C21 P(A)??34C101C2?3?2?2?24820. P(A)? ?13!13! 4

21. 几何概型

A＝“等待时间不超过3分钟” X???到达汽车站的时间

??{xt?x?t?10} A?{xt?7?x?t?10}

?P(A)?S(A)3? S(?)1022. A＝“需要等零出码头的概率”

x???第1条船到达时刻 y???第2条船到达时刻

??{(x,y)0?x?24 0?y?24? A?{(x,y)0?x?y?2 0?y?x?1?

1242?(222?232)S(A)2?P(A)?? S(?)24223. A＝“第一次取出的是黑球”

B＝“第二次取出的是黑球”

a?(a?1)P(AB)(a?b)?(a?b?1)a?1?? （1） P(BA)?

aP(A)a?b?1a?baa?1?P(AB)a?1a?ba?b?1 （2）P(AB)? ??aa?1baP(B)a?b?1???a?ba?b?1a?ba?b?1 （3）A＝“取出两个球，有一个是黑球” B=“两个都是黑球” nA?a(a?b?1)?b?a?a?(a?2b?1) nB?a?(a?1)

P(BA)?nBa(a?1)a?1 ??nA[a(a?2b?1)]a?2b?1P(AB) P(A)5

24. （1）P(BA)? ?B?A

?AB＝A ?P（BA）＝P（AB）P（A）＝＝1 P（A）P（A）P[A(B1?B2)]P（AB1?AB2） ＝P（A）P（A）（2）P（B1?B2A）＝ ?B1B2?? ?? ?P(AB1)?P(AB2)

P(A)P(AB1)P(AB2) ?P(A)P(A)?P(B1A)?P(B2A)

25. (1) ??{(男，男)，（男，女）（女，男）（女，女）}

A=“已知一个是女孩，”＝（男，女）（女，男）{（女，女）} C＝“两上都是女孩”＝ （女，女）{} P（CA）＝

（2）解略 P（A1A2）＝ Ai?“第i个是女孩” 26. A=“点数为4” P(A)?2?51? 6?63131227. A＝“甲抽难签” B=“乙抽难签” C=“丙抽难签” ① P(A)?4 10 ② P(AB)?P(A)?P(BA) ?64? 10924? 904? 15 ③ P(ABC)?P(A)?PC(BA)?P(CAB)

432?? 109824 ?

720 ? 6

28. A=“试验成功，取到红球”

B0?“从第二个盒子中取到红球”

B1?“从第三个盒子中取到红球”

P(A)?P(AB0?AB1)

?P(AB0)?P(AB1)

?P(B0)?P(AB0)?P(B1)?P(AB1)

1738??? 210101059? 100?0.59 ?29. A=“废品” B1?“甲箱废品” B2?“乙箱废品” （1）P(A)?P(AB1?AB2)

?P(B1)?P(AB1)?P(B2)?P(AB2)

320?0.06??0.05 5050 ?0.056

3000?0.06?2400?0.05 （2）P(A)?

30?100?20?120180?120 ?

54001? 18 ?30. Bi?“第二次取球中有i个新球” i=0.1,2,3 Aj?“第一次取球中有j个新球” j=0,1,2,3 (1) P(B2)?P(B2A0?B2A1?B2A2?B2A3)

?P(A0)?P(B2A0)?P(A1)?P(B2A1)?P(A2)?P(B2A2) ?P(A3)?P(B2A3)

3?JC9JC3 P(Aj)? J?0,1,2,3 ① 3C121C92?JC3?J P(B2Aj)? J?0,1,2,3 ② 3C12 7

分别对应代入该式中，可得：

P(B2)?0.455

P(A1B2)P(A1)?P(B2A1) （2）P(A1B2)? ?P(B2)P(B2)将①，②代入该式，可得：

P(A1B2)?0.14

31、 A＝“确实患有艾滋病” B＝“检测结果呈阳性”

由题知：P(BA)?0.95 P(BA)?0.01 P(A)?0.001

P(A)?P(BA)P(AB)① P(AB)? ?P(B)P(A)?P(BA)?P(A)?P(BA)0.001?0.95

0.001?0.95?0.999?0.01 ?0.087

?② C=“高感染群体确实患有艾滋病” P(C)?0.01 P(CB)?P(C)?P(BC)P(BC) ?P(B)P(C)?P(BC)?P(C)?P(BC)0.01?0.95

0.01?0.95?0.99?0.01 ?0.49

?32. 解：不能说明“袭击者确为白人的概率”为0.8 设 A＝“被袭击者正确识别袭击者种族”

A?“错误识别袭击者种族”

B＝“袭击者为白人” B?“袭击者为非白人” 根据已知条件，有

P(A)?0.8 P(A)?0.2 P(B)?P(BA?BA) ?P(AB)?P(AB)

8

?P(A)?P(BA)?P(A)?P(BA) ?0.8?P(BA)?0.2?P(BA)

因 P(BA) 与 P(BA) 未给出，因而不能断定

P(B)?0.8

33. 解：P(A)?P(B)?P(C)? P(AB)?P(BC)?P(AC)? ?A,B,C两两独立， 又P(ABC)?11?P(A)P(B)P(C)? 481214 ?A,B,C不相互独立，只是两两独立。

34. ① P(A)?0 ?B?? 有 P(AB)?0?P(A)P(B) ?A,B独立 ②P(A)?1 ?B?? 有 P(A)?0 ?A与B独立 ?A,B独立

＝P（B）－P（AB） ?P(AB)?P（B）?P（AB）?P（AB） ＝P（B）－P（A ）P（B） ＝P（B）（ 1－P（A））?P（A） ＝P（B）

35. P(A)＞0 且 P(B)＞0 且 A，B互不相容

则 A，B不可能相互独立

因为P(AB)?(?)?0 但因为 P(A)＞0 P(B)＞0

?P(AB)?0?P(A)P(B) ?不独立

B，C亦相互独立 36. A，B，C相互独立，证明 A，证：P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）且P（AB）＝P（A）P（B）

P（BC）＝P（B）P（C），P（AC）＝P（A）P（C）

）?1?P（A?B）则P（AB）＝P（A?B

?P（B）?P（AB） ?1?P（A）

?1?P（A）?P（B）?P（A）P(B) ?[1?P（A）][1?P（B）]

9

?P(A)P(B)

同理可证 P(AC)?P(A)P(C) P(BC)?P(B)P(C) 下证 P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)

?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C) ?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?[1?P(A)][1?P(B)][1?P(C)

?P(A)P(B)P(C)

?A,B,C相互独立

37. 证略，可用数学归纳法 38.

A＝“第一道工序出品”

B＝“第二道工序出废品” C＝“第三道工序出废品”

P(A?B?C)?1?P(ABC)

?1?P(A)?P(B)?P(C)

?1?0.9?0.95?0.8

?0.316

39. A=“雷达失灵” B=“计算机失灵” P(AB)?P(A)?P(B) （因为独立）

?0.9?0.7 ?0.63

40. B＝“击落” A，B，C分别代表三收炮弹 Ai?i发炮弹击中敌机 i?1,2,3 P(A1)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?0.3?0.7?0.7?0.7?0.7?0.3?0.7?0.7?0.3 ?0.441

P(A2)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?0.3?0.3?0.7?0.3?0.3?0.7?0.3?0.3?0.7 ?0.189

P(A3)?P(ABC)?0.27

10

P(BA1)?0.2 P(BA2)?0.6 P(BA3)?1

?P(B)?0.441?0.2?0.189?0.6?0.027?1

?0.228 6 P(A2B)?P(A2B)

P(B) ? ?P(A2)?P(BA2)P(B)

0.189?0.6

0.2286 ?0.496

习题二（A）

1．解：X: 甲投掷一次后的赌本。

Y：乙???

x20　　　40　Y10　　　30　 　　　　　　　　11p1p1　　　　　　2222x?20?0,?1x~FX(x)??,20?x?40?2x?40?1,x?10?0, Y~F(y)??1,10?x?30?Y?2x?30?1,

２.解

（1）

11

?p(x?i)?1??a2i?1i?1100100i?1?a?2i?1?a?i?11001

i?2i?1i100（２）

?p(x?i)?1??2ai?1i?1100??112?2?ai?1??ai?i?1i?1??

?111?1??a?1?a23 3.解

X?5　　?2 0 2　 　　　　1111p　　 51052４．解

C17（１）X:有放回情形下的抽取次数。P（取到正品）＝17?

C1010 P（取到次品）＝

3 10X1　　 2 3 ? i? 　　　　3273i-17p737　,? () ? ()? 10101010101010

（２）Y:无放回情形下。

Yp 1 2 3 4 　　　　7373273217　 ? ? ? ??? 10109109810987

５．解

P(X??3)?1?p(X??3)?1?p(X??5)?1?14? 554 5P(X?3)?p(?3?X?3)?p(X??2)?P(X?0)?P(X?2)? 12

P(X?1?2)?p(X?1?2)?P(X?1??2)?p(X?1)?p(X??3)?p(X?2)?p(X??5)?710

6．解

（１）根据分布函数的性质

limx?1?2F(x)?F(1)?lim?1?A?1 ?Axx?122(2)P(0.5?X?0.8)?F(0.8)?F(0.5)?0.8?0.5＝0.39 ７．解：依据分布满足的性质进行判断： （１）???x???

单调性：x1?x2?F(x1)?F(x2).在0?x???时不满足。 （２）0?x???，不满足单调性。

?11?,???x?0（３）???x?0，满足单调性，定义F(x)??1?x2是可以做分布函数的.所以，F(x)?能21?x?0?x???0,做分布函数。

８ 解

（１） F（x）在x=0,x=1处连续，所以X是连续型。

?2x,0?x?1 f(x)?F'(x)??0,其他?（２） F（x）在x=0处连续，但在X＝１处间断，所以X不是连续型。

９解： （１） ⅰ）求a,由

?????f(x)dx?1??ae?????x0???xdx?1??0?2a?edx?1??2a?e?xd(?x)?1 ?a?12x1?x???2edx， x1?x1?x??1xF(x)?edx??e?x?e , 当x<0， ???22201?xx11edx??e?xdx?1?e?x 当x≥0, F(x)????2022?1xx?0?2e,所以F(x)?? ,

1?x?1?e,x?0?2ⅱ）F(x)?P(X?x)?ⅲ）

13

P(?1?X?22)?F()?F(?1) 221?21?11?2?1?e?e?1?(e?e?1)

22211p(X?1)?F(??)?F(1)?1?(1?e?1)?e?1

222221P(?X?2)?1?e?22(2) ⅰ）求a:

21?21?2?(1?e)?(e?e2)

2222?????f(x)dx?1

??0??0dx??xdx??(2?x)dx??0dx?1

01a1a??112 ?x21?(2x?x)?1 0221 ?a?4a?4?0 ?a?2 ⅱ）F(x)?P(X?x)?X＜0,F(X)=0.

0≤X＜1,F（x)??xdx??xdx???0xxa2

?x??f(x)dx

12x 21131?2x?x2??2x?x2?1 22221≤x＜2, ,F(x)?X≥2,F(x)=1.

?10xdx??(2?x)dx?1x0,x?0??12x,0?x?1??2所以：F(x)?? ， 12?2x?x?1,1?x?22??1,x?2?ⅲ）

P(?1?X?2121)??()2?0? , 2224P(2119?x?2)?2?2??(2)2?1??22? , 2244121?(1)? , 22P(X＞1) ?1? 10.

?????f(x)dx?1,因f(x)关于x=u对称?f(u?x)?f(u?x)

14

?f(2u?x)?f(u?(u?x))?f(u?(u?x))?f(x) ① 下面证明

?u?x??f(y)dy??u?x??u?xf(z)dz,②

u?x令z+y =2u?y=2u-z

?=

u?x??f(y)dy????f(2u?z)d(2u?z)?????u?x??f(2u?z)dz

???u?xf(2u?z)dz??f(z)dz????u?xf(z)dz (由①式有f(2u-z)=f(z))

????又

?u?x??f(z)dz??f(z)dz?1，由于②式

??f(z)dz??f(y)dy?1

????u?xu?x?F(u?x)?F(u?x)?1

11.解

（１）第２题（２）：

?1i1EX??i?2a??i?2()?2?i?2()i

33i?1i?1i?1i??（２）第３题：由分布律得： EX??5?11111?(?2)??0??2??? 51052512.解：ER=1%×0.1+2%×0.1+┅+6%×0.1=3.7%,

若投资额为10万元，则预期收入为 10×（1+3.7%）＝10.37（万元）

22-42-4-4

DR=ER-(ER)=15.7×10-(3.7)×10=2.01×10 2222222

ER=(1%)×0.1+(2%)×0.1+(3%)×0.2+(4%)×0.3+(5%)×0.2+(6%)×0.1 -5-5-5-5-5-5

=10+4×10+18×10+48×10+50×10+36×10

-4

=15.7×10

13.解：题意不清晰，条件不足，未给出分期期类.

解一.设现在拥用Y，收益率k%, 假设现在至1100时仅一期，则 K％＝

1100?Y11001100 ??1?Y?KYY1?10011001100FY(x)?p(Y?x)?p(?x)?p(k?(?1)?100

kx1?1001110022000 dx?1?20(?1)?21?1100?（?1)?1005xxx5220001100dFY(x)??2,0?（?1)?100?5fY(x)???x xdx?其他?0,?220001100?，?x?1100??x2 1.05?其他?0，

15

EY??11001.0511001100y?fy(y)dy?22000lny1100?22000?ln1.05?1073.4元

1.05解二，由于0≤x≤5题意是否为五期呢？由贴现公式

1100?Y1100?Y? Y1?5K001100?x)?p(k?20(?1)) P(Y≤X)= P(1?5K%x5K%=

??14400?1100?1 dx?1?20(?1)??5?1100??20（?1)5x5x??x51100?4400?44001100?20?20(?1)?5?2,?x?1100fY(x)??x＝?xx1.25??其他其他?0?0,EY??110011001.25xfY(x)dx?4400?lnx11001100/1。25?4400?ln1.25?981.2

14.证明：E(X-EX)2

??(x?EX)f(x)dx??(x2?2xEX?(EX)2)f(x)dx

??????2?? ??????x２f(x)dx?2EX?xf(x)dx?(EX)2?f(x)dx

???????? ?EX2?2EX?EX?(EX)2 ?EX2?(EX)2 15.证明：（2.31）

D(ax)?E?ax?E(ax)?

2 ?E?a(x?Ex)??Ea2(x?Ex)2?a2E(x?Ex)2?a2DX

2(2.32)

L (C)=E(X-C)2=E

16.①连续型。 普照物

p50 -Th2.3证明过程

2令h(x)??x?Ex?

则

Eh(x)??h(x)?f(x)dx??????h(x)??2h(x)f(x)dx????22h(x)??2h(x)f(x)dx??h(x)??2h(x)f(x)dx

??2?h(x)??2f(x)dx??.p(h(x)??)22于是有ph(x)?????Eh(x) (*)

?2将h(X)=(X-EX)代入(*)得px?Ex??２

???E(x?EX)2?216

?Dx?2（证毕）.

②离散型。

Eh(x)????2i????h(x)?p(x)??h(x)p(x)??h(x)?p(xi)??h(x)?p(x)iiiiiiih(xi)??2h(xi)??2h(xi)??2??

h(xi)??2?p(x)??i2p(h(xi)??)DX2于是ph(xi)??2???Eh(xi)?2同理将h (x)=(x-EX)代入得p(x?Ex??)?2

?2

17.解：设P表示能出厂。P＝0.7+0.3×0.8＝0.94

q表示不能出厂。Q=0.3×0.2=0.06

(1)X～b（n，0.94） X:能出厂数

KP(X=K)=Cn(0.94)K(0.06)n?K

n(2) P(X=n)=Cn(0.94)n(0.06)n?n=(0.94)

n

(3)Y～b(n,0.06) Y:不能出厂数。

1１－P(Y=0)-P(Y=1)=1-Cn(0.06)1(0.94)n?1?Cn(0.06)0(0.94)n

0(4)EY=n×0.06,DY=n×0.06×0.94 18.解

X 0 1 2 ? n? 　　　　pPg0 pq1 pq2 ?pqn? ?qqqnEX??n?pq?p?nq?p??.(其中注意应用：nq?) ?22p(1?q)(1?q)n?0n?0n?0nn??19.解：已知X~P(?) P(X?1)??1e??1！?2p(X?2)?2??2e??2！????2???1

EX=DX=?=1

EX2=(EX)2+DX=?2+?

P(x?3)??3e3！??e?11??.(其中??1) 66e2220.解：P:等车时间不超过2min的概率，X:等车时间

?2)? P?P(X q?1?p????f(x)dx??012dx? 553 52再会Y：等车时间不超过２分钟的人数

P(Y?2)?P(Y?3)?C3()()?C3()?21.解：设Y:利润

X:理赔保单如：X～b(8000,0.01)

17

25235132534444??0.35 2125125 Y=500×8000-40000X 由EX=np=8000×0.01=80

EY=4000000-40000×80=800000 22.解

??e??x,x?0（１）X～f(x)??

0,x?0? F(x)??x??f(x)dx???e??xdx???e??xd(??x)??e??x00xxx0??(e??x?1)?1?e??x

?1?e??x,x?0所以：F(x)??

x?0?0,

EX,DX推导见原习题解。 23.证明

?1?e??x,x?0 X～e (?)?F(x)??

x?0?0,P(X?r?sX?s)?p(X?r?s)1?p(X?r?s) ?p(X?s)1?p(X?s)1?(1?e??(r?s))e??r??s??r ???e??s??s1?(1?e)e＝１－（１－e??r)?1?p(X?r)?p(X?r)

24.解：设X:表示元件寿命，X～e(1) 1000 Y:1000h不损坏的个数，当Y为２以上时系统寿命超过1000h，Y~b(3,p) P:1000h不损坏的概率。

P?P(X?1000)?1?p(X?1000)?eq?1?p?1?e?1,

多元件独立工作

22133p(Y?2)?P(Y?3)?C3Pq?C3p

1??10001000?e?1

?12?13?13 ?C23(e)(1?e)?C3(e)

?3e?2(1?e?1)?e?3 ?3e25.解：X～N(?,?2) EX?

?2?2e?3

?????(x??)2x??e?dx,(令y?) 2?2?2??X18

????12???(???y)e1?y22dy

? ?2?26.解

?1???y22??edy?u

p?p(x?19.6)?p(x??19.6)?p(x?19.6)

?2?1??0(??19.6?0?)?0.05 10?? n=100

Y:误差绝对值大于19.6的次数 Y～b(100,0.05)

a=P(Y≥3)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)

用泊松分布近似计算：?＝np?100?0.05?5 a=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)

50e?551e?552e?5?1-???1?18.5e?5 0!1!2!27.解：

设C:损坏，

则由题意：p(cX?200)?0.1 p(c200?X?240)?0.01

p(cX?240)?0.2

p(X?200)??0(200?220)??0(?0.8)?0.2119 25p(200?X?240)?2?0(0.8)?1?0.5762

p(X?240)?p(X?200)?0.2119

所以：P(C)=0.2119×0.1+0.5762×0.01+0.2119×0.2=0.06931 而由贝叶斯定理有：

p(200?X?240c)? ?p(c,200?x?240)

p(c)0.5762?0.01?0.083

0.0693128.解：设数学成绩为：X，X~N(70,100),由题意：

P(X?a)?5%

即1?p(X?a)?5%?p(X?a)?0.95

19

a?70)?0.95 10a?70 ＝1.645

10 ?0( a=70+10×1.645=86.45分 29.

X20?　　22? 24? 26?　 　　　　p0.1　　0.4 0.3 0.2

Y100?　　121? 144? 169?　 　　　　p0.1　　0.4 0.3 0.2

30.解： 令Y=?X+β

FY(Y)?P(Y?y)?p(?x???y)?p(X?'fY(y)?FY'(y)?FX(y???)?Fx(y??) xy???)?fx(y???)?1?

1y???1??，a??b ??b?a? ??0，其他?1??，ax???y?bx??即 ＝?b??a?

?0，其它?也即Y在［a?+β,b?+β］上服从均匀分布。

?1?,?1?x?131.解： 令Y=X2, X~fx(x)??2

?其他?0,FY(y)?p(Y?y)?p(X2?y)?p(?y?X?y)?Fx(y)?Fx(?y)

‘ fY(y)?FY(y)?Fx(y)?Fx(?y)?fx(y)’‘12y?fx(?y)??12y

?1?1，〈0y?1,0?y?1?? 即：fY(y)??4y ??4y?0，?0,其他其他??FY(y)??y?yfX(x)dx??y0y11 dx?x0y?222 20

???即： FY(y)?????0,y?0y,0?y?1 21,y?1?e?x,x?032.解： x~e(1)~fX(x)??

?0,x?0 Y＝ax+β

FY(y)?p(Y?y)?p(?X???y)?p(X?'fY(y)?Fy(y)?FX('y???

)?Fx(y???)

y???)?fX(y???)?1?

??1???y???e,＝???0,?(y??)y???0??1e?,＝????其他0,?1y?? 其他FY(y)?Fx(y???)?1?ey???y???

1?(y??)???,??1?e?0,?1?(y??)??0＝?1?e?,???0,其他?y??

其他

?1?33.解： 令X:直径 f(x)~?b?a??0 Y:体积 Y?a?x?b其他

4x?（)3 32baEY??g(x)f(x)dx??????ba4x31411?()?dx????x432b?a3b?a32?11??(b4?a4)24(b?a)

?1(b?a)(b2?a2) 2434.解：

FY(y)?p(Y?y)?p(?y?x2?X?y)?p(X??2?y)??20y1??e?dx

?x ???20e?d(?)??ex??x?y?20

yy???2?2???e?1??1?e . (y?0）

??所以：

21

??y F?2Y(y)??1?e,y?0

??0,y?0所以： dFyY(y)1dy?fy)?2e?Y(2 (y?0）

所以：

?yg(y)??1??fY(y)?22e,y?0 所以：Y~?2(2)

??0,y?0

.35.解 X~e(2)

所以： f?2e?2x,x?0?1?e?2x,x?0X(x)?? F?0,x?0X(x)??

?0,x?0FXY(y)?p(Y?y)?p(1?e?2?y)?p(e?2X?1?y)?p(?2X?ln(1?y)) ?p??X??1?1?2ln(1?y)???FX(?2ln(1?y))

??2(?1?2ln(1?y)??1?e,0?y?1??1,y?1 ??1?(1?y),0?y?1?y,0?y?11,y?1 ???1,y?1 ???0,y?0?0,y?0?0,y?0????y,0?y?1F(y)???1,y?1 f?1,0?y?1Y?Y(y)???0,y?0?0,其他

?1?12?(lnx??)36.解：由已知参考(p)知f????(lnx),x?0?2?266~67X(x)e,?x ???0,x?0?2??x?0,当前价格X0?10元。 (lnx?u)2 EX????2?20x?fX(x)dx????102??e?dx

依据 p67-eg2.31 EX?e???22?15?e2???2?152

??e?2?1?4?e?2229225?225

22

x?0x?0

DX?e2???(e??1)?4

229?2??ln??225??225???ln?229?2(lnx?u)?1??ln229?ln225?2?2?,x?0 其中 fX(x)??2??xe1??ln225?ln229?0,x?02?222

连续复合年收益率 r=lnx-lnx0=lnx-ln10

FR(r)?P(R?y)?p(lnX?ln10?y)?p(lnX?y?ln10)?p(X?10?ey)

??10?ey12??x0e?(lnx??)22?2dx lnx??)2?lnx??2?????所以：

10?ey10?2?e?(lnx??)22?2d(2) 令?v

ln10?y????22?e?vdv?2??0(ln10?y??2?)

FR(y)?2??0(y?ln10??2?)

fr(y)?Fr'(y)????

注：对数正态分布与对数正态分布的矩，包括中心矩，原点矩等，如EX，DX均不作要求属于超纲内容，Black－Scholes

期权定价公式一般是作为研究经济现象工具也属于超纲内容，因而本题不作要求。 37.证明：

FY(y)?P(Y?y)?p(X?y)?p(X?y2) 显然当y≤0时,P(X?y)?0，所以 fY(y)?0 y＞0时，FY(y)?p(X?y)?y22?y20f(x)dx

dFY(y)d?0f(x)dxfY(y)???2y?f(y2)（复合函数求导方法）

dydy所以：

?2y?f(y2), fY(y)??0,?y?0 y?038.解:X密度函数fX(x), Y=ax+b

23

y?b FY(y)?p(Y?y)?p(aX?b?y)?p(X?)??afX(x)dx , a?0

??adFY(y)d?fY(y)??dy固当a＞0时， fY(y)?y?ba??y?bfX(x)dxdy?1y?b?fX() aa

1y?b?fX() aa1y?b) 当a＜0时，fY(y)???fX(aa

习题三答案

1. 证明：F?x2,y2??F?x1,y2??F?x2,y1??F?x1,y1? ?P?x1＜x?x2,y?y2??P?x1＜x?x2,y?y1?

?P?x1＜x?x2,y1＜y?y2??0由概率的非负性，知上式大于等于零，故得正. 2. 解：①， x2 x1 0 1 2 ０ 1/56 10/56 10/56 １ 5/56 20/56 10/56 PX2?x2j 3/28 15/28 5/14 ??P?X1?x1i? 3/8 5/8 1 ②. P?X1?0,X2?0???1?P{x2?0|x1?0}?P?x1?0?

?1??1??C27??3203205????821?8?56?14 ?P?X1?X2??P?x1?0,x2?0??P?x1?1,x2?1??21 56P?x1x2?0??1?P?x1x2?0??1?P?x1?1,x2?1??P?x1?1,x2?2?

?1?5102613??? 145656283. 解：①由概率的性质

??又

??0??0?x0?????3x?4yf?x,y?dxdy??0kedxdy?1?k1?12 01????x?3x?4yg?x,y?dxdy??0?0k2edxdy?1?k2?21

????0② fX?x?? fY?y???????3x?4y01kedy?k1e?3x????3x?4y01kedx?k1e?4y1?3e?3x x＞0 41??4e?4y y＞0 324

当y＞0时 gX?x??当x＞0时 gY?y????x0k2e?3x?4ydx?21?3xe?e?7x x＞0 4????yk2e?3x?4ydx?7e?7y y＞0

4. 解：①

?1?,0?x?2，0?y?1f?x,y???2

?0,其他?

?xy?,0?x?2，0?y?1xyF?x,y???01/2dxdy??2 ?0?0,其他?

②

fX?x???101121dy? 0?x?2；fY?y???0d?1，0?y?1

222x0?x?2?1?y?xyFX?x???0dx??2 ；FY?y???01dx??

2其他0??0? ③

0?y?1

其它

Py＜x?2???12111?y＜x22dxdy?1??0?x22dxdy?3

5.

?2f?x,y???

?00?x?y?1

其它0?x?1其它其它

fX?x???x1?2??1?x?2dy??

?0?2y2dx??

?0

fY?y???y0?y?1

00,其它??x?y?1?,0?x?2,1?y?2?0?2其它?1???fx,y?x? 6.①F?x,y??? ,0?x?2,y＞2??2?20?x?2,1?y?2?y?1,x＞2,1?y?2?1,x?2,y＞2?②

G?x,y??PX2?x,Y2?y?P?x＜X?x,?y＜Y?y?(xy?x)/2,0?x?4,1?y?4?0，x?0,或y?1??x G(x,y)??，0?x?4,y?42?y?1,x＞4,1?y?4??1,x＞4,y?4?????

讨论如下：

25

③

13??21P?x＜１,y＞?=??dxdy??10?3/2dxdy?1/4

22?D2?7. 证明：P?x1＜X?x2?P?y1＜Y?y2???Fx?x2??Fx?x1??Fy?y2??Fy?y1? ?Fx,y?x2,y2??Fx,y?x2,y1??Fx,y?x1,y2??Fy?x1,y1? ?P?x1＜X?x2,y1＜Y?y2? 故独立得证. 8. ??x1|x2?1 ０ 1 3１ 2 3P x９. 解：① P ②Py?yj?ij?PiPji???i?1pipji ③Pij?xpipjix?ipipjix

111P?P??0 P 1322124421??p?y??1?p?x?0? 故不独立. ② P11410. 解：① P11?11. x y y1 y2 y3 pix x1 1/24 1/8 1/8 3/8 1/2 1/12 1/4 1/3 p1,p2,?,pn1/4 3/4 1 x2 pjy1/6 p11,p12,?,p1np21,p22,?,p2n独立p1,p2,?,pn?pp,?p１２m12. 证明：必要性： 由：

??????pm1,pm2,?,pmn?秩为1

p1,p2,?,pnp11,p12,?,p1np11,p12,?,p1np21,p22,?,p2n秩为1p21,p22,?,p2n?充分性，若

??????pm1,pm2,?,pmnpm1,pm2,?,pnm 26

?p?x?x2y?y1??p?x?x2y?y2??p?x?x2y?y3???p?x?x2y?yn??p?x?xy?y??p?x?xy?y??p?x?xy?y???p?x?xy?y??1112131n??

.............??p?x?xmy?y1??p?x?xmy?y2???p?x?xmy?yn?? 从上式可得x与y独立. 13. 解：① X2?Bx?c?0,

有实根的概率 B2?4c?0,PB2?4C?0

???P?2,1??P?3,1??P?3,2??P?4,4??P?4,2??P?4,1??P?4,3?

?P?5,1??P?5,2??P?5,3??P?5,4??P?5,5??P?5,6??P?6,1??P?6,2??P?6,3??P?6,4??P?6,5???P?6,6?

=

19 36② PB?4C?0?P?2,1??P?4,4??2??1 1814. 解：fx1y1?x,y??f?x,y? fy1?y?x＞0 其它k1e?3x?4y?3e?3x?? 当 y?0时， fx1y1?x,y??k1?4y?0e3 当 y＜0时， fx1y1?x|y??0x????,???

?4e?4y,y?0 当 x?0时， fy1|x1(y|x)＝f1(x,y)/fX1(x)??

?0,y?0 当 x＜0时 fy1x1?xy??0??＜y＜??

f2?x,y??3e?3x?3y??② 当 y?0时， fx2y2?x,y??fy2?y??0Y＜0时，fx2x?y x?yy2(x,y)?0 x?(??,??)

?4e?4y0?y?x?f(x,y)?4x??当X≥0时，fy2x2(yx)?2 (1?e)fx2z(x)?0其它?当X＜0时，

fy2x2(yx)＝0,y?(??,??)

215.解 1.由S(D)=4?1/2?7

27

得X与Y的联合密度函数为f(x,y)???27(x,y)?D

其它?0?2/70?x?y?12. 由于0≤y≤1时，f(x,y)??

0其它?从而 0≤y≤1时，fy(y)??????f(x,y)dx??y?102dx?2(y?1)

77

??27又 1≤y≤3时，f(x,y)????0从而 1≤y≤3时，fy(y)?y?1?x?2其它2y?1?????f(x,y)dx??2/7dx?2(3?y); 7又当Y＜0时,Y＞3时，f(x,y)=0,从而fY(y)＝?????f(x,y)dx?0

2y?1)/70?y?1?（?综上得： fy(y)??（23?y)/71?y?3

?0其它???270?y?x?1此外，0≤X≤1时，f(x,y)??

?其它?0从而 0≤X≤1时，fx(x)??????f(x,y)dx??x?102dy?2(x?1)

77

当 1≤X≤2时，f(x,y)??7从而 1≤X≤2时，fx(x)?当X＜0或X＞2时，f(x,y)=0 从而fx(x)???2??0x?1?y?x?1其它x?1?????f(x,y)dy??2dy?4

7x?17?????f(x,y)dy?0

2x?1)/70?x?1?（?41?x?2 综上得：fx(x)??7?0其它?16. 证明：

??1Da?x?b又?（x)?y??(x) （１）f(x,y)??

?0其它?fY(y)??ba?b?a1dx???DD??0a?x?b,?(x)?y??(x)其它

1f(x,y)D当a?x?b,?(x)?y??(x)时,fxy(x|y)??b?afY(y)

28

?D1 b?a1f(x,y)D?fxy(x|y)??b?afY(y)故fxy(x|y)为均匀分布

?1??(x)?y??(x),a?x?b ??b?a其它D??0又 fX(x)????(x)(x)??(x)??(x)1dy???DD?0?a?x?b其它

fyx11?f(x,y),a?x?b,?(x)?y??(x)?D ?????(x)??(x)fX(x)?(x)??(x)?0?D故 fyx(yx)为均匀分布.

17. 解： f?x,y??fy|xyxfx?x? fy?y?????????f?x,y?dx

故fxy?x,y??fyx?yx?f?x??????f?x,y?dx

18. f?x,y??fX?x??fY?y? 故独立. g?x,y??gX?x?gY?y? 不独立. 19. f?x,y??fX?x?fY?y? 不独立. 20. f?x????10?x?1

0其它?2?1?y?e2 f?y???2??0????y???,0?x?1其它

21. 若?x,y?服从二元正态分布，则

f?x,y??12????21??2?x?u1?22?12?e21??2?1???x?u?2(x?u1)(y?u2)?y?u2?2??2????22???2??12??1??1f?x??e2??1

?1f?y??e2??229

?y?u2?22?22

因为 f?x?,f?y?均无参数ρ，故可见，f?x,y?不能由fX?x?,fY?y?决定.

?fX?x??????22. 解：

1e2??x22x2?y2?2?1?sinxsiny?dy

1?1?sinxsiny?dy?e2?y2?2

1?e2??????e?y22?x2?????e?y22dy1?e2?23. x2?21,fY?y??e2? ???y???

fX?x?,fY?y?均服从正态分布，但是f?x,y?不服从正态分布.

? ０ １ ２ ３ ４ P 1/9 4/9 4/9 0 0 ? 0 1 2 -1 -2 P 3/9 2/9 1/9 2/9 1/9 ? ? -2 -1 0 1 2 ０ １ ２ ３ ４ ０ 0 1/9 0 0 0 1/9 0 1/9 0 1/9 0 1/9 0 1/9 0 1/9 0 1/9 0 0 0 1/9 0 0 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 p????i? 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 1 p????j? 24. ? ? 25.证明：

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 当n=2时，P?X1＋X2＝k???P?Xi?0kk1?i,X2?k?i? ?i,??p?X2?k?i?

??i?k2 ??P?Xi?0k1 ??i?0i?1i!??e??1(k?i)!?ik?i?1?2

?e?(?1??2)?i?ok

i!(k?i)!30

(?1??2)k?(?1??2) ? ，k=0，1，2，?? ek!由数学归纳法，设对n-1成立，即

?Xi?1n?1i服从参数为

??i?1n?1i的泊松分布，因为Xn服从参数为?n的泊松分布，故

?Xi?1n?1i?Xn服从参数为??i??n的泊松分布，即对n成立.

i?1n?126.

??e??xi,xi?0 i=1,2. ,Z=X1+ X2 fi(xi)??xi?0,?0Z＞0时，

f(Z)??f1(z?t)f2(t)dt???e??(z?t)??e??tdt

00zz ??2e??z ??ze2?z0dt

??z

所以fZ(z)?fx?x(z)??120,z?0 2??z??ze,z?0?27.由题意知X1~N(4,3), X2~N(2,1).且两者相互独立.

X1?X2X－X２，Y=1，且X和Y服从正态分布 22EX1?EX24?2??3 故EX?221111DX?DX1?DX2??3??1?1

4444EX1?EX24?211EY???1 , DY?DX1?DX2?1

2244由X1=X+Y, X2=X-Y得X=故X~N(3,1),Y~N(1,1) 即fX(x)?1e2??(x?3)22 , fY(y)?1e2??(y?1)22

28. 用数学归纳法进行推广，与25题类似. Xi~N(?i,?i2),i=1,2??n.

?xi?1ni~N(??i,??i2)

i?1i?1nn1??,(x,y)?G29.f(x,y)??2

??0(x,y)?G当0＜z?2时，

31

FZ(z)?P??X??z????f(x,y)dxdy ?Y?G0???1???zy1?? ????dx?dy????dx?dy

???0??2??zy2? ?(0??11zy01dx)dy?0 21zydy 02z ?

4??当z＞2时，FZ(z)?1?1 z???0?0z?0???1?1故FZ(z)??z0?z?2 fZ(z)???4?4?1?1?1z?2???z?z230.

P?XY?0??0.3?0?0.3?0.2?0.8 P?XY??1??0.1 P?XY?1??0.1

z?00?z?2 z?2XY 0 P -1 1 0.8 0.1 0.1 X 0 P 1 ?0?0.8?(?1)?0.1?1?0.1?0 EXYE(X?Y)?EX?EY

=0×0.6+0.4×1+(-1) ×0.4+0×0.2+1×0.4

=0.4 31 由题意知 fX(x)??所以:

0.6 0.4 Y -1 P 0 1 0.4 0.2 0.4 ?11?x?2,其它?0 fY(y)???11?y?2,其它?0

?11?x?2,1?y?2 f(x,y)??0其它?E?max(X,Y)????????????max(x,y)?1dxdy

?? ?21?221max(x,y)dxdy

2??1211xdxdy??21?2121ydxdy

2 x>y y>x ?

?(?x1xdy)dx??(?ydy)dx

x32

??21(x2?x)dx??211(4?x2)dx 221x32x22x32 ?1?1?2x1?326

8137???2? 33265 ?

3 ?32.证明： P(X=ai,Y=

j)=Pij, i,j=1,2…….

P(X= ai)＝Pi?

P(Y=bj)=P?j?? j=1,2……

E(X?Y)???(ai?bj)?Pij

i?1j?1 ???a?P???biiji?1j?1i?1j?1??ii?j????j?Pij

??ap??bi?1j?1??p?j

?EX?EY

EXY???aibjpij??aipj??bj?pj?EX?EY

i?1j?1i?1j?1???33.

Y 0 1 2

………….. 19 19C1C204020C6020 20C0C204020C60

1182020C19C1C19 4012C20C20C20C401920CP40201840C20CEX?0?1??C220?????19?C20?20?4020C40202020 ………….. C60CCC 206060602020C60C60C60 =8

34.因为可以看成是9重见利试验，EX=np=9?1?（）?

935.参考课本P84的证明过程. 36.

X2 ??825??0 1 2 pi1 XX1 0 1 15521 5628285655535 5614285633

pX2j 31510 282828Cov(x1, x2)=E X1 X2-Ex1 ×Ex2

153535－? 28562815 = －

224 =

?12e?3x?4y37.f(x,y)???0?21e?3x?4yg(x,y)???0所以：

x?0,y?0

其它x?y?0

其它?3e?3x fX1(x)???0?4e?4y fY1(y)???0x?0 x?0y?0 y?0

?21?3x?(e?e?7x)gX2(x)??4?0?y?0 其它x?0其它

?7e?7y gY2(y)???01因为f(x,y)?fX1?fY(y),所以X,Y独立. 故Cov(x1,y1)?EX1Y1?EX1Y1?0

Cov(x2,y2)?EX2Y2?EX2?EY2

? ???0??x??x0xy?21e?3x?4ydydx????021?3x1(e?e?7x)dx? 471?3x?4yxy?21edydx?1? ?0?07811?? ? 4974938. X1?X?Y,DX1?DX?DY?2cov(X,Y) 所以 cov(X1,Y2)?DX1?DX?DY3?1?11??

222因为 X1,Y1 独立。

所以 Cov(X1,Y1)=0

(也可以计算：Cov(X1,Y1)= Cov(X+Y,X-Y) = Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y)

= Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(y,x)-Cov(Y,y)

34

=1?39.

11＋?1=0) 22?1? f(x,y)?????0 fX(x)?x2?y2?1其它

?1?x21?1?x2?dy?21?x2? fY(y)??1?y21?1?y2?dx?21?y2?

所以： f(x,y)?fx(x)fy1y 所以：X,Y不独立。 ?x,y?40.

cov(x,y)EXY?EX?EY=……… ?DXDYDXDY?XY?cov(X,Y)EXY?EX?EY??DXDYDXDY44225 ?66112?2257541.

①?rA,rB?cov(rA,rB)61??

DrADrB16?92 ②rP?xrA?(1?x)?rB

Drp?x2DA?(1?x)2DB?2x(1?x)DA ?16x?9(1?x)?2x(1?x)?4?3? ?13x?6x?9

222DB??AB

1 23232 ?13(x?)?13?2?9

1313当x?39108?时，Drp最小为9?

131313min(DrA,DrB)?min(16,9)?9

当13x?6x?0时，即０?x?42.解

①设投资组合的收益率为rp,则 rp?xrA?(1?x)rB

26时，Drp?min(DrA,DrB) 13Dp?x2DA?(1?x)２DB?2x(1?x)DADB??AB

35

所以： Dp?x2DA?2x(1?x)DA22DB??AB?(1?x)２DB??AB?(1?x)2DB?(1?x)２DB?AB

2 ?(xDA?(1?x)DB?AB)2?(1?x)2DB(1??AB)

当x=1 时，Dp?DA?0

22x?1时,?AB?1故?AB?1,即1??2?0,由D?0得D?(1?x)D(1??BPBAB)?0 AB所以，对任意x,有DP?0，所以，任意组合P都有风险。 ② 若

?AB＝1,当?AB=1时

DB

Dp?x2DA?(1?x)2DB?2x(1?x)DA ?(xDA?(1?x)DB)2 设投资组合中数为X,则 xDA?(1?x)DB?0

即x?DBDB?DA,1?X??DADB?DA

此时Dp＝0

当?AB??1时，DP?x2DA?(1?x)2DB?2x(1?x)DADB ?xDA?(1?x)DB选投资组合中权数x,使得

xDA?(1?x)DB?0 x???

2DBDA?DB , 1?x?DADA?DB,此时DP?0

③不卖座即0＜x＜1,能在0＜x＜1上得到比证券A和B的风险都小的投资组合，意味着Dp的最小值在0＜x＜1达到。 由

?DP?2?DA?2(1?x)DB?(2?4x)DADB??AB?0 ?xDB?DADB?ABDA?DB?2DADB?AB

所以 x?所以 DA?DB?2DADB?AB?DA?DB?2DADB?2DADB(1??AB)

?(DA?DB)2?2DADB(1??AB)?(DA?DB)2?0 故为使0＜x＜1则

36

?DB?DADB?AB?0? ?

??DB?DADB?AB?DA?DB?2DADB?AB解得：

?AB?DBDA且?AB?DADBDADBDBDA

如果DA?DB，则上述等价于?AB?

如果DB?DA，则上述等价于?AB? 综上:

当?AB?min(DA,DB)max(DA,DB)时，可在不卖座的情况下获得比DA和DB都小的风险投资组合。

43. ①Er=0.1×(-3%)+1%×0.105+2%×0.175+3%×0.26+4%×0.125+5%×0.13+6%×0.065+7%×0.04=2.755% ②P(r=-3%/rf=1.5%)=

P(r??3%,rf?1.5%)p(rf?1.5%)?0.025?0.05 0.50.050.1?0.1 P(r=2%/rf=1.5%)=?0.2 0.50.50.150.075?0.3 P(r=4%/rf=1.5%)=?0.15 P(r=3%/rf=1.5%)=0.50.50.050.025?0.1 P(r=6%/rf=1.5%)=?0.05 P(r=5%/rf=1.5%)=0.50.50.025?0.05 P(r=7%/rf=1.5%)=

0.5 P(r=1%/rf=1.5%)=

所以：E(r/ rf=1.5%)=0.05×(-3%)+0.1×1%

+0.2×2%+0.3×3%+0.15×4%+0.1×5%+0.05×6%+0.05×7%=3% 44. fYX(yx)? EYX?x)?f(x,y)8xy2y ,0＜x≤y≤1 ??fX(x)4x(1?x2)1?x2???????yfYX(yx)dy??y?x12ydy 1?x212311?x?x22??yx?? (0＜x＜1) 1?x231?x3?22x2??所以： E?YX?x)???331?x?0?46.看成伯努利试验，X～b(120,

0P(A)?1-[C120(0?x?1

其它1019120)()20201)→X～P(6)泊松分布or X～ N(6,5.7),A=“X≥10” 20119119119129?C120()1()19?C120()2()18????C120()9()11] ＝采用泊松分

202020202020布或正态分布近似计算

＝0.0465（二项分布计算结果）

P(A)=0.022529+0.011264+0.005199+0.002228+0.000891+0.000334+0.000118+0.000039

+0.000012+0.000004+0.000001=0.042619---泊松分布

37

P(A)=1-F(10)=1-Ф0[(10-6)/σ] σ2=5.7

=1-Ф0[1.675415827737….]=1-0.95352 or 0.95244=0.04648 or 0.04756 显然，本题正态分布比泊松分布更准确。

47.X=开动生产的机床数 X~b(200,0.7) 所以X~N(140,42) 设以９５％以上概率保证正常生产机器为K台，则 P(X≤K)≥0.95??(K)??0(K?140)?0.95 42所以 (K?140)?1.65?K?150.7 所以K=151台 42所以 各电能≥K×15=2265个电能单位，以９５％保证机器都正常 48.Xi~U??0.5,0.5?,EXi?0,DXi?1 X1, X2相互独立， 12X??xi~N(0,300?i?13001)?X~N(0,25),X的均值为0，所以密度函数关于原点对称 12(1)P(?xi?1300i?15)?p(x?15)?2(?(??)??(15))?2?2?(15)

=2(1??0(3))?0.0027 （２）X=X1+?+XN～N(0,

n) 12 P(x?10)?p(?10?x?10)?2?(10)?1?2?(10)?1?0.9 n12 ?0(1012所以 n=440.

n)?0.95?1012n?1.65?n?440.77

38

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