函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

（二）函数极限的定义

（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：()0lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=． 2.充要条件：(1)()()000lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==;

(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞

=?==. 3.柯西准则：()0

lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.

4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且00lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0

lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞

存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆)

1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.

(1)若()lim 0()

x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim

,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim

(0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim

1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim (0),0,())()

k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)

当0x →时,

sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ?

???????+?-?? ()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记容,理解掌握)

定理1 0

00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 00

lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0

lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.

定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且

00lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0

lim ()x x f x A →=． 定理6 无穷小量的性质：

(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;

(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;

(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．

定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则

(1)lim(()())f x g x A B ±=±

(2)lim ()()f x g x A B =? (3)()lim (0)()f x A B g x B

= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．

定理10 初等函数在其定义域的区间连续．

定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．

（六）重要公式 (重点记忆容,应考必备) (1)0sin lim 1x x x

→= (2)1

01lim(1)e,lim(1)e n x

x n x n

→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()

()sin lim 1f x f x =,()()1

lim 1f x f x e +=????) (3)1011010

0110,lim ,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m

---→∞-? ?L L ． (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+?==.

(5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度

()ln ,0,(1),a x x

x x a a a x >>→+∞速度由慢到快

()ln ,0,(1),!,a n n

n n a a a n n >>→+∞速度由慢到快

(6)几个常用极限

)01,n a >=

1,n = lim arctan 2x x π→+∞=

lim arctan 2x x π→-∞=- lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞

= lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=.

（七）连续函数的概念

1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：

①()f x 在点0x 的某个领域有定义

②()f x 当0x x →时的极限存在

③()()0

0lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ?→→??=+?-=????. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-有定义,且()()0

0lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+有定义,且()()0

0lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 连续：如果()f x 在(),a b 点点连续．

5. ()f x 在[],a b 连续：如果()f x 在(),a b 连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．

（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆容)

1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即?常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．

2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη?使得：

()(){}[]max ,,a x b f f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x b

f f x a b ηη≤≤=∈. 3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少?一个ξ,使得

()().f a b ξμξ=≤≤．

4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ?<,则在(),a b 至少?一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<

（九）连续函数有关定理

1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数．

2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．

3．复合函数的连续性：()u x ?=在点0x 连续,()00x u ?=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函

数()y f x ?=????在点0x 连续．

4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间是连续函数．

（十）间断点的定义及分类

1．定义：若在0x x =处,()0

lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()0

0lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间

断,0x x =称为()f x 的间断点．

2．间断点的分类

一、函数、极限、连续

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有

n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞

=.若

{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的．

(2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤.

(3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有

()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

(了解记忆)

1．海涅定理：()0lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=． 2.充要条件：(1)()()000

lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞

=?==. 3.柯西准则：()0

lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.

4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且00lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0

lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞

存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆)

1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.

(1)若()lim 0()

x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim

,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量.

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