高一数列专题训练（附解答） 2

专题达标检测

一、选择题

1．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9等于 ( ) A．30 B．40 C．60 D．80 ( )

A．7 B．8 C．15 D．16

13．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Πn表示它的前n项之积：Πn＝a1·a2·…·an，则Πn中最大的2是 ( ) A．Π11 B．Π10 C．Π9 D．Π8 ?14．设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列??fnm2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于

??(n∈N*)的前n项和是( ) ?A.n＋2nn＋1 B. C. D. n＋1n＋1n－1nn5．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且( ) A.an－1－anan－an＋1*＝(n≥2，n∈N)，则这个数列的第10项等于 an－1an＋11111 D. 10 B.9 C.22105126．数列{an}中，a1＝1，an、an＋1是方程x－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn＝( )

bnA.11nn B. C. D. 2n＋1n＋12n＋1n＋1二、填空题 7．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式 an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝________.

8．已知数列{an}满足an＋1n＋2*＝(n∈N)，且a1＝1，则an＝________. ann9．如图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)图 中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2 个数是________． 10．对正整数n，设曲线y＝x(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列?公式是________．

三、解答题 11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列， b1＝1， 且b2S2＝64，b3S3＝960.

111

(1)求an与bn；(2)求＋＋…＋的值．

n??的前?n＋1?an?n项和的S1S2Sn

?1?2

12．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2?1＋?an.

?

n?

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝(An＋Bn＋C)·2，试推断是否存在常数A、B、C，使得对一切n∈N，an＝bn＋1－bn恒成立？若存在，求出A、B、C的值；若不存在，说明理由；

13．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n). (1)求a3，a5； (2)设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N)，证明：{bn}是等差数列； (3)设cn＝(an＋1－an)q

答案 一、选择题 1．解析：由等差数列性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，故a2＋2a6＋a10＝4a6 ＝120，故a6＝30，a3＋a9＝2a6＝2×30＝60.答案：C 2．解析：设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列．得4a2＝4a1＋a3.∴4a1q n－1**22

n*

(q≠0，n∈N)，求数列{cn}的前n项和Sn. *a11－q4＝4a1＋a1q.∴q－4q＋4＝0 ∴q＝2，∴S4＝＝15.答案：C 1－q223．解析：Πn＝a1a2…an＝a1·qn1＋2＋…＋n－11?n－1nnn－1－n2＋19n?＝2?－?＝(－1)2，∴当 222?2?9nn＝9时，Πn最大．故选C m－124．解析：∵f′(x)＝mx＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x＋x＝x(x＋1)， 1111111111n∴＝＝－，∴Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：A fxnn＋1nn＋1223nn＋1n＋1n＋1

5．解析：∵1－

?1?anananan21111

＝－1，∴＋＝2，＝＋，∴??是首项为，公差为的等差数列， an－1an＋1an－1an＋1anan－1an＋122?an?

111

∴＝n，∴a10＝，故选D.答案：D an25

6．解析：由题意得an＋an＋1＝2n＋1，又∵an－n＝－[an＋1－(n＋1)]，a1＝1∴an＝n，

1

又an·an＋1＝，∴bn＝bnn11n.∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＝.答案：D n＋1n＋1n＋1

二、填空题

7．解析：∵a1－2＝－1?N，∴a2＝3a1＝3.∵a2－2＝1＝a1，

∴a3＝3a2＝9，∵a3－2＝7，∴a4＝7，∵a4－2＝5，∴a5＝5，∵a5－2＝3＝a2，∴a6＝3a5＝15.答案：15 8．解析：由已知得

ann＋1an－1na23＝，＝，…＝，a1＝1，左右两边分别相乘得 an－1n－1an－2n－2a11

3456n－1nn＋1nn＋1nn＋1an＝1·····…···＝.答案： 1234n－3n－2n－1229．解析：设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{an}，则 有a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…，an－an－1＝n－1， 2＋n－1n＋1n－2相加得an－a2＝2＋3＋…＋(n－1)＝×(n－2)＝， 22n＋1n－2n－n＋2an＝2＋＝. 2210．解析：∵y＝x(1－x)，∴y′＝(x)′(1－x)＋(1－x)′·x＝n·xnnnn－12(1－x)＋(－x)． nf′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1. ∵函数在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n. nn－1n∴切线方程为y＋2＝(－n－2)·2(x－2)，与y轴交点纵坐标为y＝(n＋1)·2＝an ?an?ann?成等比数列，首项为2，公比为2， ∴＝2，∴数列?n＋1?n＋1?2∴前n项和为三、解答题 11．解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝q?S2b2＝???S3b3＝n－11－2nn＋1＝2(2－1)＝2－2. 1－2， n依题意有?6＋dq＝6429＋3dq＝960 n－1，解得??d＝2???q＝8 6d＝－??5 或?40q＝??3 (舍去)， 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8. 1111111(2)由(1)知Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋ S1S2Sn1×32×43×5nn＋211?1?111?31?11111－＝?1－＋－＋－＋…＋－ ＝?1＋－＝－?32435nn＋2?2?2n＋1n＋2?2??42an＋112．(1)解：由已知得n＋122n＋3. n＋1n＋2?an?anann－1n2??＝2·，∴是公比为2的等比数列，且首项为2，∴，an＝2·n 2222＝2·2nn?n?n2n＋1(2)解：∵bn＝(An＋Bn＋C)·2，∴bn＋1－bn＝[A(n＋1)＋B(n＋1)＋C]·2B)n＋2A＋2B＋C]·2. 若an＝bn＋1－bn恒成立，则An＋(4A＋B)n＋2A＋2B＋C＝n恒成立， A＝1??

∴?4A＋B＝0??2A＋2B＋C＝0

22n－(An＋Bn＋C)·2＝[An＋(4A＋

2n2 *

，解得A＝1，B＝－4，C＝6，故存在常数A＝1，B＝－4，C＝6满足条件．

13．(1)解：由题意，令m＝2，n＝1可得a3＝2a2－a1＋2＝6.再令m＝3，n＝1可得a5＝2a3－a1＋8＝20. (2)证明：当n∈N时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8.于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1

)＝8，即bn＋1－bn＝8.

所以，数列{bn}是公差为8的等差数列．

(3)由(1)、(2)的解答可知{bn}是首项b1＝a3－a1＝6，公差为8的等差数列． 则bn＝8n－2，即a2n＋1－a2n－1＝8n－2.另由已知(令m＝1)可得，an＝那么，an＋1－an＝

a2n－1＋a1

2

－(n－1).

2

a2n＋1－a2n－1

2

1

－2n＋1＝

8n－2n－1

－2n＋1＝2n.于是，cn＝2nq. 2

0

1

2

当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)．当q≠1时，Sn＝2·q＋4·q＋6·q＋…＋2n·q两边同乘q可得qSn＝2·q＋4·q＋6·q＋…＋2(n－1)·q上述两式相减即得

(1－q)Sn＝2(1＋q＋q＋…＋q122

3

n－1

.

n－1

＋2n·q.

nn＋1nn－11－q1－n＋1q＋nqn)－2nq＝2·－2nq＝2·1－q1－qnn， nqn＋1－n＋1qn＋1所以Sn＝2·. 2q－1综上所述， nn＋1 q＝1，??Sn＝?nqn＋1－n＋1qn＋12· q≠1.2?q－1?

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