空间向量与立体几何练习题

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA)?OF?OE?OH?OE?????????EF?EH∴E,F,G,H共面；

????????????????????????????????（2）∵EF?OF?OE?k(OB?OA)?k?AB，又∵EG?k?AC，

∴EF//AB,EG//AC 所以，平面AC//平面EG．

空间距离

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．

例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD?4i，CB?4j，CG?2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

????????∴ BE?(2,0,0)，BF?(4,?2,0)，

????????? BG?(0,?4,2)，GE?(2,4,?2)，

????EF?(2,?2,0)． 设BM?平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定

??????????????????理知，存在实数a、b、c，使得BM?aBE?bBF?cBG(a?b?c?1)，

?????∴ BM?a(2,0,0)?b(4,?2,0)?c(0,?4,2)＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．

由BM?平面EFG，得BM?GE，BM?EF，于是

?????????????????? BM?G?E，0BM?EF?0．

?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,4,?2)?0?∴ ?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,?2,0)?0

?a?b?c?1?15?a??11a?5c?0??7??整理得：?a?3b?2c?0，解得?b??．

11??a?b?c?1?3?c??11?∴ BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝(226,,)． 111111222?????211?2??2??6?∴ |BM|??????????

11111111??????故点B到平面EFG的距离为

211． 11说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

例2已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，求直线DA'与AC的距离．

分析：设异面直线DA'、AC的公垂线是直线l，则线段AA'在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．

解：如图，设B'A'?i，B'C'?j，B'B?k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系B'－xyz，则有

A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．

???????????????∴ DA'?(0,?1,?1)，AC?(?1,1,0)，A'A?(0,0,1)．

设n?(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则x2?y2?z2?1． ∵ n?DA'，n?AC，

??y?z?033?∴ ??x?y?0，解得x?y??z?或x?y??z??．

33?x2?y2?z2?1?取n?(333,,?)，则向量A'A在直线l上的投影为 3333333． ,,?)·(0,0,1)??33333． 3 n·A'A?(由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA'与AC的距离为

向量的内积与二面角的计算

在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：

cos??cos?cos??sin?sin?cos?, (1)

其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。?AON??，?BON??， ?AOB??。?为二面角P-MN-Q（见图1）。

zDPA?a?MO??bxyNBQ

图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：

以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则OD?MN，得

?AOD??2??，?DOx??，?DOz??2??。

????分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b，则a,b??。 ??由计算知a，b的坐标分别为

(sin?cos?,cos?,sin?sin?)，(sin?,cos?,0)，

于是，

????a?b??a?b?cos?cos??sin?sin?cos?。 cos???|a|?|b|公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。

例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。

求面EFG和面GHI的夹角?的大小（用反三角函数表示）。

解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面HIG?。而?就是二面角G-IH-G?（见图3）。利用公式（1），只要知道了?，

?和?的大小，我们就能求出?。

D1EGA1B1HC1FDICAB

图2

由已知条件，?GHI和?HIG?均为等边三角形，所以?????3，而

???GIG???2。因此，

D1EGA1B1HC1G'FDICAB ?sin图3

cos?2?cos?3cos?3?3sin?3cos?，

即

0?1133???cos?。 2222解得

11cos???， ????arccos。

33当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法

向量，利用法向量同样也可算出夹角?来。

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