人教版A数学选修2-1：第二章2.4.2知能演练轻松闯关

1.顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A．x2＝16y C．x＝±8y

2

B．x2＝8y D．x＝±16y

2

2

2

2

2

解析：选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x＝－2py，x＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x＝16y，x＝－16y.

2.过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A．8 C．32

2

B．16 D．64

2

解析：选B.由抛物线y＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.

3.抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|＝43，则焦点到弦AB的距离为__________． 解析：不妨设A(x，23)，则(23)＝4x，∴x＝3，∴AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1，0)，∴焦点到弦AB的距离为2.

答案：2

4.过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则这样的直线有__________条． 解析：可知点(2，4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行． 答案：2

[A级 基础达标]

2

1.(2012·奉节调研)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x的切线方程为( ) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0

解析：选D.设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，

即切线方程为2x－y－1＝0.

2.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( ) A．(6，＋∞) C．(3，＋∞) p

∴＝3，即p＝6. 2

p

又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，

2

B．[6，＋∞) D．[3，＋∞)

2

解析：选D.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，

∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 3.抛物线y＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( ) A.15 C.

B．215 15 D．15 2

解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

??y＝2x＋12由?2得4x－8x＋1＝0， ?? y＝12x

2

1∴x1＋x2＝2，x1x2＝，

4∴|AB|＝（1＋2）（x1－x2）

＝5[（x1＋x2）2－4x1x2]＝15. 4.抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________． 解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，∴x0＝4， ∴y20＝16，∴y0＝±4.

答案：(4，±4)

5.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．

2??y＝ax

解析：设抛物线C的方程为y＝ax(a≠0)，由方程组?得交点坐标为A(0，0)，B(a，a)，

? y＝x?

2

2

2

而点P(2，2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线C的方程为y2＝4x.

答案：y2＝4x

6.若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求P点横坐标及抛物线方程．

解：设P(x，y)，则

???x＝9?x＝1

?∴或?∴P点横坐标为9或1， ? p＝2?? p＝18?

∴抛物线方程为y2＝4x或y2＝36x.

[B级 能力提升]

7.以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为( ) A．相交 B．相离 C．相切

D．不确定

p|PF|xPp解析：选C.|PF|＝xP＋，∴＝＋，即为PF的中点到y轴的距离．故该圆与y轴相切．

22248.等腰Rt△AOB内接于抛物线y＝2px(p>0)．O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面

积是( )

A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2

解析：选B.∵抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB是等腰直角三角形，∴由反射线的对称

2

性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组

????y＝x，?x＝0?x＝2p，?2得?或? ? y＝2px，?? y＝0?? y＝2p.?

∴A、B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)， 1

∴|AB|＝4p，S△AOB＝×4p×2p＝4p2.

2

9.已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax相切，则a＝________．

??x－y－1＝0

解析：由?，得ax2－x＋1＝0， 2

? y＝ax?

2

1

由Δ＝1－4a＝0，得a＝.

41

答案：

4

10.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，|AB|＝23，求抛物线方程．

解：由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为：y2＝ax(a≠0)．

设抛物线与圆x＋y＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称， 所以点A与B关于x轴对称，

∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝23，

∴|y1|＝|y2|＝3，代入圆x2＋y2＝4得x2＋3＝4， ∴x＝±1，

∴A(±1，3)或A(±1，－3)，代入抛物线方程，得： (3)2＝±a，∴a＝±3.

∴所求抛物线方程是：y2＝3x或y2＝－3x.

11.(创新题)某隧道横断面由抛物线拱顶与矩形三边组成，尺寸如图．某卡车在空车时能过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此车能否通过此隧道，说明理由．

解：如图建立直角坐标系．设抛物线标准方程为x2＝－2py(p>0)，则点(3，3

－3)在抛物线上，求得p＝，上拱抛物线方程为x2＝－3y，箱宽3(米)，

2故当x＝1.5(米)时，y＝－0.75(米)，即B(1.5，－0.75)，那么B点到底的距离为5－0.75＝4.25(米)，而车与箱的高为4.5(米)，故不能通过．

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kmfd.html