山西大学附中2015-2016学年高一(下)期中数学试卷(解析版)

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2015-2016学年山西大学附中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）

1．tan150°的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．若=（﹣1，2），=（1，﹣1），则=（ ）

A ．（﹣2，3）

B ．（0，1）

C ．（﹣1，2）

D ．（2，﹣3）

3．已知向量=（3，k ），=（2，﹣1），⊥，则实数k 的值为（ ） A ． B ． C ．6 D ．2

4．已知||=3，在方向上的投影为，则?=（ ）

A ．3

B ．

C ．2

D ．

5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若

=2， =，则λ=（ ） A ． B ． C ．﹣ D ．﹣

6．已知向量，满足?=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

7．给出下列命题：

（1）若，则；

（2）向量不可以比较大小；

（3）若

，则； （4）

其中真命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．设为基底向量，已知向量=﹣k ， =2+， =3﹣，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于（ ）

A ．﹣2

B ．2

C ．﹣10

D ．10

9．已知向量

，且∥，则tan α=（ ） A ． B ．

C ．

D ． 10．如图，为互相垂直的单位向量，向量

可表示为（ ）

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A ． 2

B ． 3

C ． 2

D ． 3

11．设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ）

A ．

B ．

C ．若，则

D ．若

，则 12．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a ，b ，c 大小关系（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．cos89°cos1°+sin91°sin181°=______．

14．tan25°+tan35°+tan25°tan35°=______．

15．已知，，，和的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是______．

16．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B=45°，AB=2CD=2，M 为腰BC 的中

点，则

=______．

三、解答题（本题共5大题，共52分）

17．已知=（﹣1，3），=（3，m ），

=（1，n ），且∥．

（1）求实数n 的值；

（2）若⊥，求实数m 的值． 18．已知f （α）=

（1）若α=﹣，求f （α）的值

（2）若α为第二象限角，且cos （α﹣

）=，求f （α）的值． 19．已知非零向量，满足||=1，且（﹣）?（+）=．

（1）求||；

（2）当?=﹣时，求向量与+2的夹角θ的值．

20．设=（﹣1，1），=（x ，3），=（5，y ），=（8，6），且

．

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（1）求和；

（2）求在方向上的投影； （3）求λ1和λ2，使．

21．已知=（cos α，sin α），=（cos β，sin β），|﹣|=

． （1）求cos （α﹣β）的值 （2）若0＜α＜

，﹣＜β＜0，cos β=，求sin α．

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2015-2016学年山西大学附中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）

1．tan150°的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】将所求式子中的角150°变形为180°﹣30°，利用诱导公式tan=﹣tan α化简后，再利用特殊角的三角函数值化简，即可求出值．

【解答】解：tan150°=tan

=﹣tan30°=﹣．

故选B

2．若=（﹣1，2），=（1，﹣1），则=（ ）

A ．（﹣2，3）

B ．（0，1）

C ．（﹣1，2）

D ．（2，﹣3）

【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】根据平面向量的坐标运算，计算即可．

【解答】解： =（﹣1，2），=（1，﹣1），

所以=﹣=（1+1，﹣1﹣2）=（2，﹣3）．

故选：D ．

3．已知向量=（3，k ），=（2，﹣1），⊥，则实数k 的值为（ ）

A ．

B ．

C ．6

D ．2

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直的条件即可求出．

【解答】解：∵向量=（3，k ），=（2，﹣1），⊥，

∴6﹣k=0，

解得k=6，

故选：C ．

4．已知||=3，在方向上的投影为，则?=（ ）

A ．3

B ．

C ．2

D ．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】关键向量的数量积的定义变形可知，一个向量在另一个向量方向的投影为这个向量的模乘以夹角的余弦值．

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【解答】解：∵已知||=3，在方向上的投影为，

∴?=||||cos ＜

＞=3×=；

故选B ．

5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若

=2， =，则λ=（ ） A ． B ． C ．﹣ D ．﹣ 【考点】向量加减混合运算及其几何意义．

【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．

【解答】解：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点

∵

=2， =， ∴

=，

∴λ=，

故选A ．

6．已知向量，满足?=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】要求没有坐标的向量的模，一般先求模的平方，利用向量的平方等于模的平方解答．

【解答】解：∵向量，满足?=0，||=1，||=2，

∴|2﹣|2=（2﹣）2=4||2+||2﹣4?=4+4﹣0=8；

故选：D ．

7．给出下列命题：

（1）若，则；

（2）向量不可以比较大小；

（3）若

，则； （4） 其中真命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】根据向量不能比较大小，故可判断（1），（2），根据共线和向量的模即可判断（3），（4）．

【解答】解：（1）若，则，故错误

第6页（共13页） （2）向量不可以比较大小，故正确，

（3）若

，则； 故正确， （4）

，故错误， 其中真命题的个数为2个，

故选：B ．

8．设为基底向量，已知向量=﹣k ， =2+， =3﹣，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于（ ）

A ．﹣2

B ．2

C ．﹣10

D ．10

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】由题意先求出，再由A ，B ，D 三点共线得=λ，根据方程两边对应向量的系数相等求出k 的值．

【解答】解：由题意得， =﹣=（3﹣）﹣（2+）=﹣2，

∵A ，B ，D 三点共线，∴ =λ，则﹣k =λ（﹣2），

解得λ=1，k=2．

故选B ．

9．已知向量

，且∥，则tan α=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系．

【分析】根据题设条件，由∥，知

，由此能求出tan α． 【解答】解：∵向量

，

且∥，

∴

， ∴tan α=

=． 故选A ．

10．如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为（ ）

A ．

2 B ．

3 C ． 2 D ． 3

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【考点】向量的加法及其几何意义．

【分析】观察图形知：

， =，，由此能求出．

【解答】解：观察图形知：

， =，， ∴

=（）+（）+（） =

． 故选C ．

11．设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ）

A ．

B ．

C ．若，则

D ．若

，则 【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．

【分析】根据向量共线和向量的数量积的应用分别进行判断

【解答】解：对A 选项，（ ）与共线，（ ?）与共线，故A 错误； 对B 选项，当，共线且方向相反时，结论不成立，故B 错误；

对C 选项，∵

=||||cos ， =||||cos ，∴若=，则||cos

=||cos ，故C 错误． 对D 选项，∵

是非零向量，所以若与共线，与共线，则与共线，故D 正确．

故选D ．

12．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a ，b ，c 大小关系（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b

【考点】不等式比较大小；两角和与差的正弦函数．

【分析】利用两角和的正弦公式对a 和b 进行化简，转化为正弦值的形式，再由正弦函数的单调性进行比较大小．

【解答】解：由题意知，

a=sin14°+cos14°==，

同理可得，b=sin16°+cos16°=， =，

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∵y=sinx 在（0，90°）是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，

∴a ＜c ＜b ，

故选D ．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．cos89°cos1°+sin91°sin181°= 0 ．

【考点】两角和与差的余弦函数．

【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：cos89°cos1°+sin91°sin181°=cos89°cos1°﹣cos1°sin1°=sin1°cos1°﹣cos1°sin1°=0， 故答案为：0．

14．tan25°+tan35°+tan25°tan35°=

．

【考点】

两角和与差的正切函数．

【分析】利用两角和差的正切公式即可得出．

【解答】

解：原式=tan

（

25°

+35

°

）

（1

﹣tan25

°

tan35°

）+tan25°tan35°=tan60°=． 故答案为：．

15．已知

，，，和的夹角是锐角，则实数λ的取值范围

是 {λ|λ＞，且λ≠0} ． 【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】先求出向量，而由和的夹角是锐角，便可得到0＜cos ＜，＞＜1，根据条件即可求出=，从而解不等式

，这样便可求出实数λ的取值范围．

【解答】解：

；

∵，夹角为锐角；

∴； ∵=；

；

∴；

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∴，且λ≠0；

∴实数λ的取值范围是{λ|，且λ≠0}．

故答案为：

．

16．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B=45°，AB=2CD=2，M 为腰BC 的中

点，则

= 2 ． 【考点】向量在几何中的应用．

【分析】以直角梯形的两个直角边为坐标轴，写出点的坐标，求出向量的坐标，利用向量数量积的坐标形式的公式求．

【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系．

则：A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （1，1），M （．

因为AB=2CD=2，∠B=45，所以AD=DC=1，M 为腰BC 的中点，

则M 点到AD 的距离=（DC +AB ）=，M 点到AB 的距离=DA=

所以

，，

所以=﹣=2． 故答案为2．

三、解答题（本题共5大题，共52分）

17．已知=（﹣1，3），=（3，m ），

=（1，n ），且∥．

（1）求实数n 的值；

（2）若⊥，求实数m 的值． 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【分析】（1）由已知得到向量，利用向量平行求n ；

（2）求出，的坐标，由向量垂直，数量积为0 求m ．

【解答】解：因为=（﹣1，3），=（3，m ），=（1，n ），所以

==（3，3+m +n ），

（1）因为∥．所以，即，解得n=﹣3；

（2）因为==（2，3+m ），=

=（4，m ﹣3），又⊥，

所以?=0，

即8+（3+m ）（m ﹣3）=0，解得m=±1．

18．已知f （α）=

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（1）若α=﹣，求f （α）的值

（2）若α为第二象限角，且cos （α﹣

）=，求f （α）的值． 【考点】三角函数的化简求值．

【分析】（1）利用诱导公式化简已知可得f （α）=cos α，从而利用诱导公式可求α=﹣时f （α）的值；

（2）利用诱导公式可求sin α，进而根据同角三角函数基本关系式即可计算得解．

【解答】解：（1）∵

，…..

∴

（2）∵

， ∴． ∵α为第二象限角，

∴f （α）=cos α=﹣

=﹣…

19．已知非零向量，满足||=1，且（﹣）?（+）=．

（1）求||；

（2）当?=﹣时，求向量与+2的夹角θ的值．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】（1）根据条件进行数量积的运算便可求出

，从而得出的值； （2）根据，及即可求出的值，进而求出的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ的值，从而得出θ的值．

【解答】解：（1）根据条件，

=； ∴

； ∴

； （2）；

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∴

， =；

∴

；

∵θ∈[0，π]；

∴

． 20．设=（﹣1，1），=（x ，3），=（5，y ），=（8，6），且．

（1）求和；

（2）求在方向上的投影；

（3）求λ1和λ2，使． 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．

【分析】（1）根据条件，建立方程关系求出x 即可求和； （2）根据向量投影的定义即可求在方向上的投影； （3）根据．建立方程关系进行求解即可．

【解答】（1）∵，∴6x ﹣24=0，∴x=4…

∵4+=（4，10），

∴由（4+）⊥=0，

得5×4+10y=0，得y=﹣2．

则=（4，3），=（5，﹣2），

（2） ∴在方向上的投影为

．

（3）∵， ∴，

解得

21．已知=（cos α，sin α），=（cos β，sin β），|﹣|=．

（1）求cos （α﹣β）的值

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（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos β=，求sin α．

【考点】两角和与差的余弦函数．

【分析】（1）利用两个向量坐标形式的运算，两角差的余弦公式求得cos （α﹣β）的值． （2）由条件求得 sin （α﹣β）、sin β的值，再根据sin α=sin [（α﹣β）+β]=sin （α﹣β）cos β+cos （α﹣β）sin β 计算求得结果．

【解答】解：（1）∵=（cos α，sin α），=（cos β，sin β），

|﹣|===． ∴cos （α﹣β）=．

（2）由（1）得，，

∴，∴sin （α﹣β）==，

又∵cos β=，∴sin β=﹣=﹣．

∴sin α=sin [（α﹣β）+β]=sin （α﹣β）cos β+cos （α﹣β）sin β

=+=．

2016年10月9日

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