2010年高考预测试题(2)解答题

【数学】2010年高考预测试题（2）·解答题1

江苏省涟水中学 汪显林

适用：新课标地区 1. (本题满分14分)

某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 女生 男生 初一年级 373 377 初二年级 初三年级

x 370 y z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.

（1） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （2） 已知y?245,z?245,求初三年级中女生比男生多的概率.

(3)为了了解该校初三学生的身体发育情况，抽查了该校100名初三男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示，根据此图，估计该校初三男生平均体重. （广东2008年文科改编）

提示: (1)由

x?0.19,解得x?380,初三年级人数为 2000m48?，解得m=12. 5002000y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 设应在初三年级抽取m人，则

答: 应在初三年级抽取12名.?????????5分

(2) 设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生和男生数记为数对(y,z)， 由（1）知y?z?500,(y,z?N,y?245,z?245)，则基本事件总数有：

(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250), (251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共11个，

而事件A包含的基本事件有：

(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共5个，

∴P(A)?5 ????????????????10分 11（3）由图可知:100男生在各组的频率分别为:0.02,0.04,0.1,0.12,0.14,0.16,

0.13,0.11,0.08,0.07,0.03;各组的组中值分别为:55.5,57.5,59.5,61.5,63.5,65.5,67.5, 69.5,71.5,73.5,75.5;所以平均体重为

55.5?0.02+57.5?0.04+59.5?0.1+61.5?0.12+63.5?0.14+65.5?0.16+67.5?0.13+69.5?0.11+71.5?0.08+73.5?0.07+75.5?0.03=63.31(kg)

???????????????????????????14分

点评:该题考查分层抽样与古典概型以及频率分布直方图和利用组中值估计平均数，还考查了直线上满足一定条件的整点个数。是课本上掷骰子例题的变形。是容易题. 2. (本小题满分14分) 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

（1）求三棱锥E－PAD的体积；

（2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （3）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF． 提示:（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，

1113V?S?PAD?AB???1?3?1?3326．????4分 ∴三棱锥E－PAD的体积为

（2）当点E为BC的中点时，

EF与平面PAC平行.∵在△PBC中， E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF//PC 又EF?平面PAC，

而PC?平面PAC ∴EF//平面PAC.??????????9分 （3）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，

∴EB⊥PA.又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB， ∴EB⊥平面PAB，

又AF?平面PAB，∴AF⊥BE.

又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，

又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，∴AF⊥平面PBE.

∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE.???????????????14分

点评:该题考查棱锥的体积计算、线面平行判定、线面垂直性质、判定、线线垂直判定以及空间想象能力;是容易题. 3.（本小题满分14分）

在?ABC中,A为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且cos2A?,cos（I）求A?B的值； （II）若a?b?（2009四川卷理改编） 2?1，求a,b,c的值。

235310B?.10

提示：（Ⅰ）?A为锐角，又cos2A?1?2sinA?3， 5?sinA?5252，cosA?1?sinA?， 55∵cosB?31010?0,?B是锐角,?，sinB?1?cos2B?; 1010253105102 ????5105102?cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB??A?B??4 ????????????????8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C? 由正弦定理

3?2,?sinC?. 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b，c?5b

Qa?b?2?1，

?2b?b?2?1，?b?1

?a?2,c?5 ??????????????14分

点评：本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。

【数学】高考预测试题（2）·解答题2

江苏省涟水中学 汪显林

适用：新课标地区

2

1.(本题满分16分) 已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x轴交于点O, A，

t与y轴交于点O, B，其中O为原点． （1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程．(自编)

4． t222422 设圆C的方程是 (x?t)?(y?)?t?2

tt4 令x?0，得y1?0,y2?；令y?0，得x1?0,x2?2t

t114 ?S?OAB?OA?OB??||?|2t|?4，即：?OAB的面积为定值．??6分

22t解 （1）?圆C过原点O，?OC?t?22 （2）?OM?ON,CM?CN,?OC垂直平分线段MN． ?kMN??2,?koc? ?11，?直线OC的方程是y?x． 2221?t，解得：t?2或t??2 t2 当t?2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC?5， 此时C到直线y??2x?4的距离d?95?5，

圆C与直线y??2x?4相交于两点．

当t??2时，圆心C的坐标为(?2,?1)，OC?5， 此时C到直线y??2x?4的距离d?95?5

圆C与直线y??2x?4不相交，?t??2不符合题意舍去．

? 圆C的方程为(x?2)2?(y?1)2?5．??????????????16分

点评:该题考查两点间距离公式、圆的标准方程、直线的斜率与方程、直线与圆的为之关系以及分类讨论的思想.是中档题.

2. (本题满分16分)已知数列{an}中，a1?2，对于任意的p,q?N*，有ap?q?ap?aq

（1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足：an?{bn}的通项公式；

bbb1bb?22?33?44???(?1)n?1nn(n?N*)求数列2?12?12?12?12?1（3）设Cn?3n??bn(n?N*)，是否存在实数?，当n?N*时，Cn?1?Cn恒成立，若存在，

求实数?的取值范围，若不存在，请说明理由.(自编)

提示:（1）取p＝n，q＝1，则an?1?an?a1?an?2

∴an?1?an?2（n?N*）

∴{an}是公差为2，首项为2的等差数列

∴an?2n ????????????????（4分） bbbbb（2）∵11?22?33?44???(?1)n?1nn?an(n≥1) ①

2?12?12?12?12?1b?1bb∴11?22???(?1)n?2n?n?an?1(n≥2) ② 2?12?121?1b①－②得：(?1)n?1nn?2(n≥2)

2?1bn?(?1)n?1(2n?1?2)(n≥2)

b当n?1时，a1?1 ∴b1?6满足上式

3∴bn?(?1)n?1(2n?1?2)(n?N*) ???????????（9分） （3）Cn?3n?(?1)n?1(2n?1?2)??

假设存在?，使Cn?1?Cn(n?N*)

3n?1?(?1)n(2n?2?2)???3n?(?1)n?1(2n?1?2)?? [(?1)n(2n?2?2)?(?1)n?1(2n?1?2)]???3n?3n?1??2?3n (?1)n(3?2n?1?4)????2?3n

当n为正偶函数时，(3?2n?1?4)???2?3n恒成立 3n1??(?)?(?) max2n1nmax3?2n?23?()?2?()3319)max?? 当n?2时(?21143?()n?2()n339∴???

14当n为正奇数时，?(3?2n?1?4)????2?3n恒成立

3n1)?() ∴??(min2n1nmin3?2n?23?()?2()3313]min? 当n?1时[2183()n?2()n333∴??

893综上，存在实数?，且??(?,) ??????????????（16分）

148

点评:该题考查等差数列、等比数列、和与通项关系、函数性质、分类讨论思想、不等式性质以及综合运用能力；是难题.

3.(本题满分16分)已知函数f(x)?1?aln(x?1),其中n∈N*,a为常数.

(1?x)n（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）当a=1时,若b1,b2,?,bk均非负数,且b1?b2???bk?1,求证:

f(b1)?f(b2)???f(bk)?k?1.(自编)

提示:（Ⅰ）由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞-1}， 当n=2时，f(x)?1?aln(x?1), 2(1?x)a(1?x)2?2 所以 f(x)?. 3(1?x)'（1）当a＞0时，由f'(x)?0得

x1??1?22＞-1，x2??1?＜-1， aaa(x?x1)(x?x2).

(x?1)3此时 f′（x）=

当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减； 当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值. 综上所述，n=2时，

当a＞0时，f(x)在x??1?22a2处取得极小值，极小值为f(?1?)?(1?ln). aa2a当a≤0时，f(x)无极值.

（Ⅱ）先证明当x?0时,f(x)?x?1,只要设

g(x)?x?1?f(x),则g'(x)?1?n1xn????0(x?0),

(x?1)n?1x?1x?1(x?1)n?1?g(x)在[0,??)是增函数,?g(x)?g(0)?0,得证;

而b1,b2,?,bk均非负数, 且b1?b2???bk?1,所以f(b1)?f(b2)???f(bk)?k?1

点评:该题考查导数运算、解二次不等式、研究函数单调性及极值、分类讨论思想、导

数应用、灵活的运用所学知识处理问题得能力.是难题.

【数学】高考预测试题（2）·解答题3

江苏省涟水中学 汪显林

适用：新课标地区

1．选修4－1：几何证明选讲(本题满分10分)

如图，?O与?O相交于A、B，过A引直线CD，EF分别交两圆于C、D、E、F，

'EC与DF的延长线相交于P，求证：?P??CBD?180?．

(自编)

提示：连AB，∵?E与?CBA是?O中AC所对的圆周角，

∴?E??CBA，??????????3分

又四边形ABDF内接于?O， ∴?PFA??ABD，

∴?E??PFE??CBA??ABD??CBD， ??????????????????8分 又∵?E??P??PFE?180，

∴?P??CBD?180．??????10分

点评：该题考查圆周角定理、圆内接四边形性质,是容易题. 2．选修4－2：矩阵与变换(本题满分10分)

??'?1??2设矩阵 A??3???2(自编)

23??2?2

，求矩阵A 的特征向量及A. ?1???2?提示：由??1?0得,???1,分别求出???1时得特征向量,????6分

2

然后利用矩阵乘法求A;????????????????????10分

点评:该题考查矩阵得特征值与特征向量、矩阵乘法;是容易题. 3．选修4－4：坐标系与参数方程(本题满分10分)

已知曲线C的极坐标方程是??4cos?．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

?2t?1?x?2半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：?，求直线l与曲线C相交??y?2t??2所成的弦的弦长．(自编)

222

提示：曲线C的极坐标方程是??4cos?化为直角坐标方程为x＋y－4x=0，即（x－2）

2

＋y=4 ??????????????????????????3分

?2t?1?x?直线l的参数方程?，化为普通方程为x－y－1=0，?????6分 2??y?2t??2曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为1?2 所以直线l与曲线C相交所成的弦的

22弦长24?1=14．??????????????????????10分

2点评：该题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的参数方程、点到直线距离公式；是容易题。

【数学】高考预测试题（2）·解答题4

江苏省涟水中学 汪显林

适用：新课标地区

1.已知a?b?c?1,若a?b?2c?|x?1|对任意实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围. (选自福建上杭一中12月月考理)

提示: ?(a?b?2c)?|(1?1?2)(a?b?c)?4

2222222?a?b?2c?2 ????????????????5分

又a?b?2c?|x?1|对任意实数a,b,c恒成立, ?|x?1|?(a?b?2c)max?2 解得x??3或x?1 ???????????????10分

点评：该题考查柯西不等式、绝对值不等式求解；是容易题。 2．【必做题】(本题满分10分)

某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡

片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行． （I）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于

7，则“海宝”卡至少多少张？ 8（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用?表示获奖的人数，求?的分布列及E?,D?的值．（北京市宣武区理改编）

提示：（I）记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件A，设“海宝”卡n张，则任一人

22Cn2CnCn73获奖的概率2，所以， P(A)?(1?2)，由题意：1?(1?2)3?，所以，n?7.

C9C9C98 至少7张“海宝”卡??????????????????4分 （Ⅱ）?～B(4,)的分布列为P(??k)?C4()()16k16k564?k(k?0,1,2,3,4)；

3 4 ? 00 1 2 105411153212523135141450 ()()()() ()()()()()() P C4CCCC4444666666666612115 E??4??，D??4??(1?)?．????????????????10分

63669点评：该题考查乘法原理、排列组合、二项式定理、n次独立重复试验的模型及二项分

布，是中档题。 3．【必做题】(本题满分10分)

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA?平面ABC，AB?2，BD?1，AF?2，CE?3，O为AB的中点． （Ⅰ）求证：OC?DF；

（Ⅱ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值；

（Ⅲ）在DE上是否存在一点P，使CP?平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由．(选自福州三中第三次月考理)

EFPDAOBC

提示：如图，以O为原点，OB，OC，Oz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

C(0,3,0)，D(1,0,1)，E(0,3,3)，F(?1,0,2)．

??2分

（Ⅰ）OC?，DF?(?2,0,1)， （0，3，0）所以DF?OC?0，即OC?DF．

??2分

（Ⅱ）平面ABC的法向量为n1?(0,0,1)．

设平面DEF的法向量为n2?(x,y,z)，DE?(?1,3,2)．

??z?2x,?n2?DE?0,??x?3y?2z?0,由?得?所以? ??y??3x.?n2?DF?0,??2x?z?0,取x?1，得n2?(1,?3,2)． 所以cos?n1,n2??n1?n222，所以平面DEF与平面ABC相交所成??n1n21?2222． 2 ??6分

锐角二面角的余弦值为

（Ⅲ）假设在DE存在一点P， 设P(x,y,z)， 因为DP??DE，故(x?1,y,z?1)??(?1,3,2)，

所以P(???1,3?,2??1)，所以CP?(???1,3??3,2??1)． 因为CP?平面DEF，所以CP与平面DEF的法向量n2共线， 所以

1???13??32??1 ，解得??， ??412?3112DE，即DP?DE，所以DP?． 442

所以DP???10分

点评：该题考查空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量的共线与垂直、直

线的方向向量与平面的法向量；是中档题。

【数学】高考预测试题·解答题5（函数及导数应用）

浙江省杭州市萧山十一中 沈灿江

版本：人教A版

适用：新课标地区 1、已知函数f(x)?12ax?2x，g(x)?lnx. 2（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调增函数，求a的取值范围； （2）是否存在实数a?0，使得方程

g(x)1?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个xe不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． （Ⅰ）解：当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题意．???1分

当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为x??2， a由于y?f(x)在[1,??)上是单调增函数， 所以?2?1，解得a??2或a?0， a所以a?0． ????????2分

当a?0时，不符合题意．

综上，a的取值范围是a?0． ????????3分 （Ⅱ）解：把方程

g(x)lnx?f?(x)?(2a?1)整理为?ax?2?(2a?1)， xx2即为方程ax?(1?2a)x?lnx?0. ????????4分

2 设H(x)?ax?(1?2a)x?lnx (x?0)，

原方程在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数H(x)在区间(,e)内有且只有两个零点. ????????5分

1e1eH?(x)?2ax?(1?2a)?1 x2ax2?(1?2a)x?1(2ax?1)(x?1)? ? ???????6分

xx 令H?(x)?0，因为a?0，解得x?1或x??1（舍） ???????7分 2a 当x?(0,1)时, H?(x)?0, H(x)是减函数；

当x?(1,??)时, H?(x)?0，H(x)是增函数. ???????8分

1H(x)在(,e)内有且只有两个不相等的零点, 只需

e?1?H(e)?0,??H(x)min?0, ???????11分 ?H(e)?0,??e2?e ? 1?a? ???????12分

2e?1

2、设a?0，函数f(x)?x?ax2?1?a.

（1）若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围； （2）求f(x)在区间(0,1]上的最大值. （1）解：对函数f(x)求导数,得f?(x)?1?axx?12. ????????? 1分

axx?12?0,1?上是增函数，只要f?(x)?1?要使f(x)在区间即a??0在?0,1?上恒成立，

x2?11?1?2在?0,1?上恒成立 ??????????????3分 xx11??上单调递减，所以在0,11?在?0,1?上的最小值是2， x2x2因为1?注意到a > 0，所以a的取值范围是0,2. ??????????????5分 （2）解：①当0?a????0,1?上是增函数， 2时，由（I）知，f(x)在区间?0,1?上的最大值是f(1)?1?(1?2)a. ????????7分 此时f(x)在区间②当a?2时,令f?(x)?1?1a?12axx?12?0，

解得x??(0,1). ????????????????????8分

因为0?x?1a?112时,f?(x)?0;1a?12?x?1时,f?(x)?0， 1a?12所以f(x)在(0,a?12)上单调递增,在(1,1)上单调递减，

此时f(x)在区间?0,1?上的最大值是f(a2?1)?a?a2?1.???? 11分

综上，当0?a?当a?

?0,1?上的最大值是1?(1?2)a； 2时，f(x)在区间?0,1?上的最大值是a?a2?1. ?????12分 2时，f(x)在区间23、设关于x的方程x?mx?1?0有两个实根?、?，且???.定义函数f(x)?2x?m. 2x?1（1）求?f(?)??f(?)的值；

（2）判断f(x)在区间(?,?)上的单调性，并加以证明； （3）若?,?为正实数，证明不等式：|f(??????????)?f()|?|???|.

??????（1）解：∵?,?是方程x2?mx?1?0的两个实根

?????m ∴?

?????1?2??(???)?????1 ∴f(?)?2?2?m?2?(???)???1???? 同理f(?)?1

? ∴?f(?)??f(?)?2 ????3分

?m （2）∵f(x)?2x2x?12(x2?1)?(2x?m)?2x2(x2?mx?1)?? ∴f?(x)? ????4分

(x2?1)2(x2?1)2 当x?(?,?)时，x?mx?1?(x??)(x??)?0

而f?(x)?0

2

∴f(x)在(?,?)上为增函数 ????7分 （3）∵?,??R?且??? ∴

??????(???)??(???)??????????0

???????????????(???)??(???)??????????0

???????????????? ????9分

???????? 由（Ⅱ）可知f(?)?f()?f(?)

???????? 同理可得f(?)?f()?f(?) ????9分

????????????? ∴f(?)?f(?)?f()?f()?f(?)?f(?)

????????????????)?f()?f(?)?f(?) ????11分 ∴f(?????? ∴?? 又由（Ⅰ）知f(?)?1,f(?)?1,????1

??????|???| ∴f(?)?f(?)?|1?1|????? 所以 |f(

??????????)?f()|?|???|. ????12分

??????

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