固体物理第一二章习题解答

第一章 习 题

1. 画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和

配位数。

(1) 氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。 解：

布拉菲

名称

分子式

结构

惯用元胞

格子

中原子数

中原子数

初基元胞

惯用元胞

配位数

氯化钾 KCl NaCl结构 fcc 2 8 6

氯化钛 TiCl CsCl结构 sc 2 2 8

硅 Si 金刚石 fcc 2 8 4

砷化镓 GaAs 闪锌矿 fcc 2 8 4

碳化硅 SiC 闪锌矿 fcc 2 8 4

2、6、12

钽酸锂

LiTaO3

钙钛矿

sc

5

5

O、Ta、Li

简单

铍

Be

hcp

六角

2

6

12

钼 Mo bcc bcc 1 2 8

铂 Pt fcc fcc 1 4 12

2. 试证明：理想六角密堆积结构的

c?8?c????1.633。如果实际的值比这个数值大得多，可以把晶体a?3?a12视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。

?ac?2证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a，而相邻两层的最近邻原子间距为：d?? ?3?4??。

???ac?2 当d=a时构成理想密堆积结构，此时有：a???3?4??，

??221221c?8? 由此解出：???a?3? 若

12?1.633。

c?1.633 时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， a因此层间堆积不够紧密。

3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。 解：

4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基

原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？

解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标

系中，在a1、a2、a3三个基矢坐标上的截距为

?2,?,2，则晶面

?指数为（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系a1、a2、

a3上的截距为

?2,2,?，则晶面指数为（110）。

?5. 试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于

上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解：

晶面指数 （100） 原子数面密度 面间距 对称轴 C4 2 2aa （110） 1.4 a22.3 2a2a 23a 3C2 （111） C3 ??a????a???6. 对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：a1??i?3j?，a2???i?3j?，c?ck。求

2?2???其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。

2?a2?a32??1?(i?j)， 解：由倒格基失的定义，可计算得：b1?=

?a3???2?a1?a22??2?a3?a12?1b2??(?i?)j，b3??k（未在图中画出）

?c?a3????????正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示

（1）由b1、b2组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C6操作对称性，而C6对称性是六角晶系的特征。

（2）由a1、a2构成的二维正初基原胞，与由b1、b2构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。

（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。

??????

7. 用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl]晶向与（hkl）晶面垂直。

证明：由倒格矢的性质，倒格矢Ghkl?hb1?kb2?lb3垂直于晶面（hkl）。由晶向指数[hkl]，晶向可用矢

量A表示，则：A?ha1?ka2?la3。 倒格子基矢的定义：b1??????????2?(a2?a3)2?(a3?a1)2?(a1?a2)；b2?；b3?

?????????????a2、a3相互垂直且a1?a2?a3，则可得知a1b1，　在立方晶系中，可取a1、a2b2，　a3b3，

且b1?b2?b3。设biai?m（为常值，且有量纲，即不为纯数），

则 Ghkl?m(ha1?ka2?la3）＝mA，即Ghkl与A平行;也即晶向[hkl] 垂直于晶面（hkl） 8. 考虑晶格中的一个晶面（hkl），证明：(a) 倒格矢Gh?hb1?kb2?lb3垂直于这个晶面；(b) 晶格中相

???邻两个平行晶面的间距为dhkla2；(c) 对于简单立方晶格有d?2。 ?22Gh?h?k?l?2?2a2、　a3上的截距为证明：（a）晶面（hkl）在基矢a1、　a3a1a2。作矢量： 、　、　hkl m1?a1a2a2a3a3a1??? ，m2?，m3?hkkllh显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图），且

?a1a2?m1?Gh?????hb1?kb2?lb3?hk???

?a1a2??a2?a3a3?a1a1?a2　　　　??????2?h?2?k?2?l?hk?a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a3???????????????0??

同理，有m2?Gh?0，m3?Gh?0 所以，倒格矢Gh??hkl?晶面。 （b）晶面族（hkl）的面间距为： dhkl?a1Gha1hb1?kb2?lb32? ????hGhhGhGh（c）对于简单立方晶格：

?2??222 Gh???h?k?l?a???12

a2 d?2

h?k2?l229. 用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54?，反射角为?=19.20，求面间距d111。 解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin?=?，可得

n? （对主极大取n=1）

2sin??1.54?2.34(A) d?02?sin19.2d?10. 试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。

证明：由劳厄方程：Rl?(k?k0)?2?? 与正倒格矢关系：Rl?Gh?2??比较可知：

若Gh?k?k0成立，即入射波矢k0，衍射波矢k之差为任意倒格矢Gh，则k方向产生衍射光，

Gh?k?k0式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。

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